广东省高三数学寒假作业(九)

一、选择题 1．已知函数的大致图象如图所示， 则函数的解析式应为（ ）A ．B ．C ．D ．2．设，曲线在处的切线与轴的交点的纵坐标为，则( ) A ．80 B ．32C ．192D ．2563．设，函数的导函数是，且是奇函数，则的值为A ．B ．C ．D ．4．已知，则 的值为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．若上是减函数，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x '<-成立（其中()()f x f x '是的导函数），若3(3)a f =，(1)b f =，2211(log )(log )44c f =则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>7．已知，，直线与函数、的图象都相切，且与图象的切点为，则（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为（ ）A ．B ．C ．D ．9．定义在R 上的可导函数f(x)，已知y ＝e f ′(x)的图象如下图所示，则y ＝f(x)的增区间是A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(0,1)D ．(1,2)二、填空题10．对任意x ∈R ，函数f(x)的导数存在，则的大小关系为：11．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”应对对称中心．根据这一发现，则函数的对称中心为 ．12．已知函数2()2(2)f x x xf =-',则函数)(x f 的图象在点()()2,2f 处的切线方程是 13．若函数xax x f 1)(2-=的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．三、解答题14．设函数.(Ⅰ）若，求的最小值；(Ⅱ）若，讨论函数的单调性.15．（本小题满分14分）已知函数，.（其中为自然对数的底数），(Ⅰ）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值；(Ⅱ）若对于任意实数≥0，恒成立，试确定实数的取值范围；(Ⅲ）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.16．(本小题满分12分)已知函数。

如果，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。

17．（本小题满分12分）设函数()()2()2ln 11f x x x =---． (1）求函数)(x f 的单调递增区间；(2）若关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知函数)-()-()(2b x a x x f =（b a R b a <∈,,）. ①当2,1==b a 时，求曲线)(x f y =在点(2)),2(f 处的切线方程；②设21,x x 是)(x f 的两个极值点，3x 是)(x f 的一个零点),(2313x x x x ≠≠.证明：存在实数4x ，使得4321,,,x x x x 按某种顺序排列后构成等差数列，并求4x .19．（本题满分10分）设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-．试求a ，b ，c 的值。

广东省2014届高三寒假作业（九）数学一、选择题 1．D【解析】如图，因为函数定义域是{x|x≠0}，排除A 选项， 当x→－∞，f （x ）→0，排除B ，根据函数图象不关于y 轴对称可知函数不是偶函数，故可排除选项C ， 故选D ． 2．A【解析】 x=2时，；，曲线在x=2处的切线斜率为曲线在点（2，）的导数，即切线斜率k= ，所以曲线在处的切线方程为x=0时，上式化为，所以=，80，故选A 。

3．A【解析】根据题意，由于函数的导函数是，且是奇函数，则可知故选A. 4．C 【解析】由已知=，故选C 。

5．C【解析】定义域，在上是减函数在上恒成立，即设的最小值为－1，6．A【解析】由题意()()(),()()0,(())0,xf x f x f x xf x f x xf x '''<-=-∴+<∴<所以()()g x xf x =是(,0)-∞上的减函数，而()g x 是偶函数，所以()g x 是(0,)+∞上的增函数，而21(3),(1),(log )(2),.4a gb gc g g c a b ====-∴>> 7． D【解析】先求出f′（x ），求出=f ′（1）即其切线l 的斜率和切点，代入点斜式求出切线l 方程，利用l 与g （x ）的图象也相切，连立两个方程，则此方程组只有一解，再转化为一个方程一解，等价于判别式△=0，进而求出m 的值．解：由题意得，f ′(x)=，g ′（x ）=x+m ，∴与f （x ）图象的切点为（1，f （1））的切线l 的斜率k=f ′（1）=1，且f （1）=ln1=0，所以切点为（1，0），∴直线l 的方程为：y=x －1， ∵直线l 与g （x ）的图象也相切，∴y=x－1, 此方程组只有一解，即x 2+(m －1)x+=0只有一解，∴△=(m－1)2－4××=0，解得m=－2或m=4（舍去）．故选D ． 8．D 【解析】∵，∴，∴曲线在点处的切线斜率为3，由两直线垂直的结论知：，∴=，故选D9．B【解析】若f ‘(x)≥0，则e f ′(x)≥ e 0=1，由图知当x<2时，e f ′(x)≥ 1，所以y ＝f(x)的增区间是(－∞，2) 。

二、填空题 10．<【解析】令F(x)=因为f′（x ）＞f （x)，所以F'(x)>0，所以F(x)是增函数。

又a>0，所以F （a ）>F(0)，即，即，故填<。

11．【解析】由，得，所以此函数的对称中心为．12．4x －y －8=0【解析】解：∵函数f （x ）=2x 2－xf′（2），∴f′（x ）=4x －f′（2），∴f′（2）=8－f′（2），、∴f′（2）=4∴f（2）=8－2×4=0∴函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是y －0=4（x －2）即4x －y －8=0故答案为：4x －y －8=0 13．[)∞+.0 【解析】因为函数xax x f 1)(2-=的单调增区间为(0，＋∞)，则导函数在给定区间上恒大于等于零，可知实数a 的取值范围是[)∞+.0，故答案为[)∞+.0。

三、解答题 14．（Ⅰ）（Ⅱ）在上递增 【解析】（Ⅰ）时，，.当时，；当时，.所以在上单调减小，在上单调增加故的最小值为（Ⅱ）若，则，定义域为.，由得，所以在上递增， 由得，所以在上递减， 所以，，故.所以在上递增. 15．（1）＝－1；（2）；（3）不存在实数，使曲线C ：在点处的切线与轴垂直.【解析】（Ⅰ）， …1分 ,在处的切线的斜率为，…2分 又直线的斜率为， ………………………3分∴（）＝－1，∴ ＝－1. ……………………5分（Ⅱ）∵当≥0时，恒成立，∴ 先考虑＝0，此时，，可为任意实数； ………………………6分又当＞0时，恒成立，则恒成立，…………7分设＝，则＝，当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减，故当＝1时，取得极大值，， (9)分∴ 要使≥0，恒成立，＞－，∴ 实数的取值范围为． (10)分（Ⅲ）依题意，曲线C的方程为，令＝，则＝设，则，当，，故在上的最小值为，…………………12分所以≥0，又，∴＞0，而若曲线C：在点处的切线与轴垂直，则＝0，矛盾。

(13)分所以，不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直.…14分16．；。

【解析】（1）因为， x >0，则，（1分）当时，；当时，.所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值.因为函数在区间（其中）上存在极值，所以 解得.（2）不等式即为 记所以令，则， ，在上单调递增，， 从而,故在上也单调递增，所以，所以.17．（1）函数()f x 的单调递增区间为()1,2．（2）[)2ln35,2ln 24--．【解析】本题考查导数的工具作用，考查学生利用导数研究函数的单调性的知识．考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想，将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题，属于综合题型．（1）确定出函数的定义域是解决本题的关键，利用导数作为工具，求出该函数的单调递增区间即为f'（x ）＞0的x 的取值区间；（2）方法一：利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键．构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a 的取值范围．方法二：先分离变量再构造函数，利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性，根据题意列出关于实数a 的不等式组进行求解解：（1）函数()f x 的定义域为()1,+∞，………………………………………………1分∵()()221()2111x x f x x x x -⎡⎤'=--=-⎢⎥--⎣⎦， ………………………………………2分∵1x >，则使()0f x '>的x 的取值范围为()1,2，故函数()f x 的单调递增区间为()1,2． ……………………………………………4分 （2）方法1：∵()()2()2ln 11f x x x =---，∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=． …………………………6分令()()12ln 1g x x a x =++--， ∵23()111x g x x x -'=-=--，且1x >， 由()03()03g x x g x x ''>><<<得，得1．∴()g x 在区间[2,3]内单调递减，在区间[3,4]内单调递增， ……………………8分故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根 (2)0,(3)0,(4)0.g g g ≥⎧⎪⇔<⎨⎪≥⎩ ……10分即30,42ln 20,52ln 30.a a a +≥⎧⎪+-<⎨⎪+-≥⎩解得：2ln352ln 24a -≤<-． 综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--． ………………………………12分 方法2：∵()()2()2ln 11f x x x =---，∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=． …………………………6分即()2ln 11a x x =---，令()()2ln 11h x x x =---， ∵23()111xh x x x -'=-=--，且1x >， 由()03,()03h x x h x x ''><<<>得1得．∴()h x 在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减．……………………8分 ∵()23h =-，()32ln 24h =-，()42ln35h =-， 又()()24h h <，故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根()()43h a h ⇔≤<．……………………………………10分 即2ln352ln 24a -≤<-．综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--． ……………………………12分 18．①2-x y =.②存在实数4x 满足题意，且324ba x +=. 【解析】（1）将a ，b 的值代入后对函数f （x ）进行求导，根据导数的几何意义即函数在某点的导数值等于该点的切线的斜率，可得答案．（2）对函数f （x ）求导，令导函数等于0解出x 的值，然后根据x 3是f （x ）的一个零点可得到x 3=b ，然后根据等差数列的性质可得到答案．解：①当2,1==b a 时，5)-1)(3x -(x )(='x f ，故1)2(='f ，又0(2)=f ， 所以)(x f 点(2)),2(f 处的切线方程为：2-x y =.②证明：因为)(x f '=)32b a -a)(x -(x 3+，由于b a <，故32ba a +<， 所以)(x f 的两个极值点为32,b a x a x +==，不妨设a x =1，322ba x +=，因为2313,x x x x ≠≠，且3x 是)(x f 的一个零点，故b x =3，由于b a <，故b b a <+32，故321x x x <<，又)32ba -(b 2 -32+=+a b a ， 故4x =3b 2a )32b a (a 21+=++，此时b b a b a a ,32,32,++依次成等差数列，所以存在实数4x 满足题意，且324ba x +=.19．2a =，12b =-，0c =．【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。