双曲线定点定值最值问题-S

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高中数学解析几何双曲线性质与定义

双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。

双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。

双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。

一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。

取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。

设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。

将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：()()22222222a c a y a x a c -=--由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得：双曲线的标准方程：12222=-by a x两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。

两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。

坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。

实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：12222=-by a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()ac ca x c x y =±±+22 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (ca x 2±=)的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

18 高中解析几何-双曲线的问题

专题18高中解析几何-双曲线的问题【知识总结】 1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹． (2)符号表示：||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数)(0<2a <|F 1F 2|)． (3)焦点：两个定点F 1，F 2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F 1F 2|． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质F (－c ，0)，F (c ，0)F (0，－c )，F (0，c )【高考真题】1．(2022·北京) 已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为y =，则m =__________．2．(2022·全国甲理) 若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．3．(2022·全国甲文) 记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．4．(2022·全国乙理) 双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为( )A B ．32 C D5．(2022·浙江) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a 的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【题型突破】题型一双曲线的标准方程1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝12．(2016·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝13．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝15．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1 C ．x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝16．已知双曲线E 的中心为原点，(3, 0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12, 15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A ．x 26－y 25＝1B ．x 28－y 212＝1C ．x 28－y 24＝1D ．x 24－y 26＝18．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ．若△FOM的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( )A ．x 2－4y 25＝1 B ．x 22－2y 25＝1 C ．x 24－y 25＝1 D ．x 216－y 220＝19．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )．A ．x 23－y 24＝1B ．x 24－y 23＝1C ．x 25－y 22＝1D ．x 22－y 25＝110．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( ) A ．x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D ．x 23－y 2＝1题型二双曲线中的求值11．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( )A ．32B ．3C ．23D ．412．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．22D ．3213．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为2，则( )A ．θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2B ．θ＝π2C ．θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，πD ．θ＝3π414．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________． 15．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ．若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是________．16．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4317．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4318．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为()A ．1B ．3C ．5D ．1219．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 220．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使 sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．－2 题型三双曲线的离心率21．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．3或233D ．233或222．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40° C.1sin 50° D.1cos 50°23．(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．24．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ．2B ．32C ．3D ．225．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝ba x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．5D ．626．已知O 为坐标原点，点A ，B 在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，且关于坐标原点O 对称．若双曲线C 上与点A ，B 横坐标不相同的任意一点P 满足k P A ·k PB ＝3，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B ．4 C ．10 D ．1027．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过点P (3，6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12，15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．32C ．355D ．5228．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A ．52 B ．62 C ．233D ．3 29．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过双曲线Γ的右焦点F ，且倾斜角为π2的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若∠AOB ＝∠OAB ，则双曲线Γ的离心率为( ) A ．3＋72 B ．11＋332 C ．3＋396 D ．1＋17430．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且FN →＝3FM →，若OM ⊥FN ，则C 的离心率为( )A ．2B ．7C ．3D ．10 题型四双曲线的渐近线31．(2018·全国Ⅰ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 32．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线PF 2交双曲线C 右支于点N ，若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x 33．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (1，0)作x 轴的垂线，与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为83，则双曲线的渐近线方程为________．34．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±3x35．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，F 为其一个焦点，若F 关于l 1的对称点在l 2上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x36．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x37．已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±6x D ．y ＝±66x 38．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0 题型五双曲线中的最值与范围39．P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( ) A ．1 B ．2＋155 C ．4＋155D ．22＋1 40．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线上在第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( )A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317 41．过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19 42．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．743．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．44．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．45．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是________．。

双曲线方程问题汇总

双曲线的方程问题汇总本次课课堂教学内容双曲线的方程【要点梳理】要点一、双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.要点诠释：1. 双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=<（0a >），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若21122PF PF a F F -=<（0a >），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支；3. 若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -==，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=>，则动点轨迹不存在； 5．若常数0a =，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。

要点二、双曲线的标准方程标准方程的推导：如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1) 建系设点取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴（2）建立直角坐标系.设M(x ，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c ＞0)，那么F 1、F 2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数. (2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F 1|-|M F 2||=2a}={M|M F 1|-|M F 2|=±2a}． (3)代数方程∵12||||MF MF =2a ± (4)化简方程将这个方程移项，两边平方得：22222()44()x c y a x c y ++=±-+化简得：两边再平方，整理得： (c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2(c 2-a 2).(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设c 2-a 2=b 2(b ＞0)，代入上式得： b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2.即22221x y a b-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+ 这就是双曲线的标准方程. 双曲线的标准方程：1.当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程：22221x y a b -=(0,0)a b >>，其中222c a b =+；2.当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：22221y x a b-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+椭圆、双曲线的区别和联系：方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件方程Ax 2+By 2=C 可化为221Ax By C C+=，即221x yC C A B+=，所以只有A 、B 异号，方程表示双曲线。

双曲线中的定点、定值问题(学生版)

双曲线中的定点、定值问题1.如图，在平面直角坐标系中，F 1,F 2分别为等轴双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，若点A 为双曲线右支上一点，且|AF 1|-|AF 2|=42，直线AF 2交双曲线于B 点，点D 为线段F 1O 的中点，延长AD ，BD ，分别与双曲线Γ交于P ，Q 两点．(1)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，求证：x 1y 2-x 2y 1=4y 2-y 1 ；(2)若直线AB ，PQ 的斜率都存在，且依次设为k 1,k 2，试判断k 2k 1是否为定值，如果是，请求出k 2k 1的值；如果不是，请说明理由．2.已知在△ABC 中，B -2,0 ，C 2,0 ，动点A 满足AB =23，∠BAC>90°，AC 的垂直平分线交直线AB 于点P ．(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)直线x =m m >3 交x 轴于D ，与曲线E 在第一象限的交点为Q ，过点D 的直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，与直线x =3m交于点K ，记QM ，QN ，QK 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，①求证：k 1+k 2k 3是定值．②若直线l 的斜率为1，问是否存在m 的值，使k 1+k 2+k 3=6？若存在，求出所有满足条件的m 的值，若不存在，请说明理由．3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率是52，实轴长是8.(1)求双曲线C的方程；(2)过点P(0,3)的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l 上存在不同于点P的点D满足|PA|⋅|DB|=|PB|⋅|DA|成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.4.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左顶点为A-2,0，右焦点为F，点B在C上．当BF⊥AF时AF=BF．不垂直于x轴的直线与双曲线同一支交于P，Q两点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)直线PQ过点F，在x轴上是否存在点N，使得x轴平分∠PNQ？若存在，求出点的N的坐标；若不存在，说明理由．5.已知双曲线Γ:x2a2-y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点P x0,y0是Γ右支上一点，若I为△PF1F2的内心，且S△IPF1=S△IPF2+ 32S△IF1F2.(1)求Γ的方程；(2)点A是Γ在第一象限的渐近线上的一点，且AF2⊥x轴，Γ在点P处的切线l与直线AF2相交于点M，与直线x=32相交于点N.证明：无论点P怎么变动，总有NF2=32MF2 .6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，四点M 14,23 ，M 23,2 ，M 3-2,-33 ，M 42,33中恰有三点在C 上.(1)求C 的方程；(2)过点3,0 的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线x =1的垂线，垂足为A .证明：直线AQ 过定点.7.设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的右顶点为A，虚轴长为2，两准线间的距离为26 3.(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线l与双曲线C交于P,Q两点，已知AP⊥AQ，设点A到动直线l 的距离为d，求d的最大值.8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线斜率为22，且双曲线C经过点M2,1．(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为-12的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，若k1+k2=1，求直线l的方程．9.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为4，且经过点5 4,3 2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)双曲线C的左、右顶点分别为A1,A2，过左顶点A1作实轴的垂线交一条渐近线l:y=-ba x于点T，过T作直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点，直线A2P,A2Q分别交l于M,N两点.证明：四边形A1MA2N为平行四边形.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为e ，且点(e ，3)，(2，b )都在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若A ，B 是双曲线C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1⎳BF 2.证明：1AF 1+1BF 2为定值.11.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)的虚轴长为4，直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线．(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为k1，直线NB斜率为k2，求证：k1k2为定值．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a 、b 为正常数)的右顶点为A ，直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且P 、Q 均不是双曲线的顶点，M 为PQ 的中点．(1)设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1·k 2的值；(2)若AM PQ=12，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．13.已知双曲线C ：x 24-y 25=1的左、右顶点分别为A ,B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ,Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1)若PF =3FQ ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ,BQ 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k1k 2为定值．14.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，双曲线C 的右顶点A 在圆O :x 2+y 2=2上，且AF 1 ⋅AF 2=-2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，问△OMN (O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.15.平面直角坐标系xOy 中，点F 1(-3，0)，F 2(3，0)，点M 满足MF1- MF 2 =±2，点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知A (1，0)，过点A 的直线AP ，AQ 与曲线C 分别交于点P 和Q (点P 和Q 都异于点A )，若满足AP ⊥AQ ，求证：直线PQ 过定点.16.已知M ，N 为椭圆C 1:x 2a 2+y 2=1a >0 和双曲线C 2:x 2a2-y 2=1的公共顶点，e 1，e 2分别为C 1和C 2的离心率．(1)若e 1e 2=154．(ⅰ)求C 2的渐近线方程；(ⅱ)过点G 4,0 的直线l 交C 2的右支于A ，B 两点，直线MA ，MB 与直线x =1相交于A 1，B 1两点，记A ，B ，A 1，B 1的坐标分别为x 1,y 1 ，x 2,y 2 ，x 3,y 3 ，x 4,y 4 ，求证：1y 1+1y 2=1y 3+1y 4；(2)从C 2上的动点P x 0,y 0 x 0≠±a 引C 1的两条切线，经过两个切点的直线与C 2的两条渐近线围成三角形的面积为S ，试判断S 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．17.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F 2,0 ，O 为坐标原点，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，点F 在线段AB 上，且OA ⊥AB ，OA +OB =3AB .(1)求双曲线C 的方程；(2)过点F 作直线l 交C 于P ，Q 两点，问；在x 轴上是否存在定点M ，使MP 2+MQ 2-PQ 2为定值？若存在，求出定点M 的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.18.在平面直角坐标系xOy中，已知A1,A2两点的坐标分别是(-3,0),(3,0)，直线A1B,A2B相交于点B，且它们的斜率之积为13.(1)求点B的轨迹方程；(2)记点B的轨迹为曲线C，M,N,P,Q是曲线C上的点，若直线MN，PQ均过曲线C的右焦点F且互相垂直，线段MN的中点为R，线段PQ的中点为T. 是否存在点G，使直线RT恒过点G，若存在，求出点G的坐标，若不存在，说明理由.19.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，C 的右焦点F 与点M 0,2 的连线与C 的一条渐近线垂直．(1)求C 的标准方程．(2)经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ．①若O 为坐标原点，求OA ⋅OB的取值范围；②若D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点．20.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为32，A为C的左顶点，且AF1⋅AF2=-5．(1)求C的方程；(2)若动直线l与C恰有1个公共点，且与C的两条渐近线分别交于点M、N．求证：点M与点N的横坐标之积为定值．21.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1-6,0，F26,0．且该双曲线过点P22,2．(1)求C的方程；(2)如图．过双曲线左支内一点T t,0作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线x=t相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．22.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右顶点分别为A -1,0 ，B 1,0 ，两条准线之间的距离为1．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若点P 为右准线上一点，直线PA 与C 交于A ，M ，直线PB 与C 交于B ，N ，求点B 到直线MN 的距离的最大值．23.设双曲线C :x 2-y 22=1，点A ，B 为双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线上异于顶点的一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为k PA ，k PB .(1)证明：k PA ⋅k PB =2；(2)若过点Q t ,0 作不与x 轴重合的直线l 与双曲线C 交于不同两点M ，N ，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数t 使k 1=-12k 2？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由.24.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，右顶点D 到一条渐近线的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，且OA ⋅OB=0,O 为坐标原点，点O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.25.在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右准线x=55与其两条渐近线的交点分别为A、B，且tan∠AOB=-43．(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线l与双曲线C相交于点M、N，若OM⊥ON，求证：存在定圆与直线l相切，并求该定圆的方程．26.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的两条渐近线互相垂直，且过点D 2,1 ．(1)求双曲线C 的方程；(2)设P 为双曲线的左顶点，直线l 过坐标原点且斜率不为0，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线m 过x 轴上一点Q (异于点P )，且与直线l 的倾斜角互补，m 与直线PA ，PB 分别交于M ,N (M ,N 不在坐标轴上)两点，若直线OM ，ON 的斜率之积为定值，求点Q 的坐标．27.已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x，且过点P(3,2).(1)求C的方程；(2)设Q(1,0)，直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过定点.28.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)经过点P (-2，1)，且C 的右顶点到一条渐近线的距离为63．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P 分别作两条直线l 1,l 2与C 交于A ，B 两点(A ，B 两点均不与点P 重合)，设直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2．若k 1+k 2=1，试问直线AB 是否经过定点?若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．29.在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-17,0 、F 217,0 ，MF 1 -MF2 =2，点M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA ⋅TB =TP ⋅TQ ，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.30.如图，已知双曲线C :x 23-y 2=1，过P 1,1 向双曲线C 作两条切线，切点分别为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，且x 1<0,x 2>0.(1)证明：直线PA 的方程为x 1x3-y 1y =1.(2)设F 为双曲线C 的左焦点，证明：∠AFP +∠BFP =π.。

双曲线的最值问题及解决方法

双曲线的最值问题及解决方法摘要：1.双曲线的基本概念及特点2.双曲线最值问题的提出3.解决双曲线最值问题的方法4.方法实例与应用5.总结与拓展正文：一、双曲线的基本概念及特点双曲线是一种常见的数学图形，其方程形式为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。

其中，a和b分别为双曲线的横轴半轴长度和纵轴半轴长度。

双曲线具有以下特点：1.有两个顶点，分别为（±a，0）和（0，±b）；2.有两条渐近线，分别为y = ±(b/a)x；3.离心率e = √(1 + b^2/a^2)；4.焦距为2c，其中c = √(a^2 + b^2)。

二、双曲线最值问题的提出在实际问题中，我们常常需要求解双曲线的最值问题。

最值问题可以分为两类：一类是在给定双曲线方程条件下，求解某函数的最大值或最小值；另一类是在给定函数条件下，求解双曲线与该函数的关系。

三、解决双曲线最值问题的方法为了解决双曲线最值问题，我们可以采用以下方法：1.利用双曲线方程特征：根据双曲线方程，分析其顶点、渐近线和离心率等特征，以确定最值问题的求解方向。

2.设参数法：将双曲线方程转化为参数方程，然后分析参数变化对函数的影响，从而求解最值问题。

3.利用数学工具：如导数、微积分等，求解双曲线与给定函数的关系，进而得到最值。

四、方法实例与应用以下以一个具体实例说明解决双曲线最值问题的方法：已知双曲线方程为x^2/4 - y^2/3 = 1，求该双曲线上的点到原点距离的最大值。

解：将双曲线方程转化为参数方程，得到x = 2cosθ，y = √(3)sinθ。

代入距离公式，得到距离d = √(4cos^2θ + 3sin^2θ)。

通过求导数，找到d的最大值点，即可得到最大距离。

五、总结与拓展本文介绍了双曲线的基本概念及特点，提出了双曲线最值问题，并阐述了解决方法。

在实际问题中，解决双曲线最值问题有助于优化工程、物理、经济等领域的相关问题。

专题08 双曲线中的参数范围及最值问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(解析版)

专题08 双曲线中的参数范围及最值问题一、单选题1．若点O 和点F 分别为双曲线2212x y -=的中心和左焦点，点P 为该双曲线上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为（） A．2B．2C ．12D ．32-【解析】由题意，点()0,0O，点()F ，设点(),P x y ，则2212x y -=，2212x y =-，(),2,x ⎡∈-∞+∞⎣，所以()(),,OP x y FP x y ==，所以(2222331222OP FP x x y x x x ⎛-=- ⎝⋅=+=++⎭，所以当x =OP FP ⋅取最小值233222⎛-= ⎝⎭.故选：B. 2．过双曲线()222103x y a a-=>的右焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得||6AB =，若这样的直线有且只有两条，则实数a 的取值范围是（） A ．(]()0,13,⋃+∞ B ．()()0,13,+∞C ．()0,1D ．()3,+∞【解析】若A ，B 在同一支上，当min ||AB 时AB 为双曲线的通经，即有2min 26||b AB a a==；若A ，B 不在同一支上，则min ||2AB a =．因为6a 与2a 不可能同时等于6，所以2666a a >⎧⎪⎨<⎪⎩或2666a a<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得3a >或01a <<，故选：B3．已知0(M x ，0)y 是双曲线2222:1x y C a b-=上的一点，半焦距为c ，若||MO c （其中O 为坐标原点），则20y 的取值范围是（）A ．420,b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．420,a c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．42,b c ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．42,a c ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】||MO c 2220a b +222200x y a b ++，又2200221x y a b -=，所以222002(1)y x a b=+，所以 22222002(1)y a y a b b ++≤+，可得4422220b b y a b c =+，故选：A 4．设双曲线)(2222:1,0x y C a b a b-=>的焦距为2，若以点)()(,P m n m a <为圆心的圆P 过C 的右顶点且与C 的两条渐近线相切，则OP 长的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫⎪ ⎭⎝B ．)(0,1C ．1,12⎛⎫⎪ ⎭⎝D ．11,42⎛⎫⎪ ⎭⎝【解析】由题可得渐近线方程为by x a=±，1c =，由于圆P 与两条渐近线都相切，则P 在x 轴或y 轴上，又圆P 过C 的右顶点，则P 在x 轴正半轴上，即)()(,00P m m a <<，圆心)(,0P m bm =，又圆半径为a m -，则由题可得a m bm -=，即1am b =+，又221a b +=，则()()2222211211111a b b m b b b b --====-+++++， ()0,1b ∈，()20,1m ∴∈，()0,1m ∴∈，则OP 长的取值范围是)(0,1.故选：B.5．设双曲线2222:1(0,0)x y C ab a b -=>>A ，B 是双曲线C 上关于原点对称的两个点，M 是双曲线C 上异于A ，B 的动点，直线,MA MB 斜率分别12,k k ，若11,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2k 的取值范围为（） A ．[24,4]--B ．31,816⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[4,24]D ．13,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】设00(,)M x y 11(,)A x y ，则11(,)B x y --，那么2200221x y a b -=，2211221x y a b-=两式相减得：22220101220x x y y a b ---=，整理得：222010101222010101()()()()y y y y y y b x x x x x x a --+==--+ 即2122b k k a = ，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C ab a b -=>>所以c e a ==，所以2218b a =，故1218k k =，其中11,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21113,8168k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故选：D.6．已知M 、N 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上关于原点对称的两点，P 是C 上异于M 、N 的动点，设直线PM 、PN 的斜率分别为1k 、2k ．若直线12y x =与曲线C 没有公共点，当双曲线C 的离心率取得最大值时，且123k ≤≤，则2k 的取值范围是（） A ．11,128⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,812⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】因为直线12y x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>没有公共点，所以双曲线C 的渐近线的斜率12b k a =≤，而双曲线C的离心率c e a ==当双曲线C 的离心率取最大值时，b a 取得最大值12，即12b a =，即2a b =，则双曲线C 的方程为222214x y b b-=，设()11,M x y 、()11,N x y --、()00,P x y ，则2211222200221414x y b b x y b b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得：()()()()10101010224x x x x y y y y b b +-+-=，即1010101014y y y y x x x x -+⋅=-+，即1214k k ⋅=，又123k ≤≤，211,128k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：A.7．已知P 是双曲线22:14y x E m-=上任意一点，M ，N 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，若122k k +的最小值为1，则实数m 的值为（） A ．16B ．32C ．1或16D ．2或8【解析】双曲线22:14y x E m -=中0m >，设()11,M x y ，()11,N x y --，()22,P x y ，则221114y x m-=，222214y x m -=，所以相减得2222121204y y x x m---=，∴221222124y y x x m -=-，因此2221212112222121214y y y y y y k k x x x x x x m -+-=⋅==-+-．从而1221k k +≥=，所以32m =（当且仅当122k k =时取等号）．故选：B ．8．已知点()15,0F -，()25,0F ．设点P 满足126PF PF -=，且12MF =，21NF =，则PM PN -的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】因为12610PF PF -=<，所以点P 在以1F ，2F 为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为221916x y -=．由题意知M 在圆()221:54F x y ++=上，N 在圆()222:51F x y -+=上，如图所示，12PM PF ≤+，21PN PF ≥-，则()()12122139PM PN PF PF PF PF -≤+--=-+=．当M 是1PF 延长线与圆1F 的交点，N 是2PF 与圆2F 的交点时取等号．故选：C ．二、多选题9．如果双曲线2222-1(0b 0)x y a a b=＞，＞的一条渐近线上的点(M -关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F P ，为双曲线上的动点，已知(3,1)A ，则PA PF +的值可能为（）A ．32B ．2C ．72D ．4【解析】由(M -在双曲线的渐近线上知，ba=(c,0)F ，由M 与F 关于b y x a ==1=-，故2c =，1a =，b =2213y x -=，设双曲线左焦点为1(2,0)F -，若P 在左支上，由双曲线定义知，112222PA PF PA PF AF +=++≥+=若P 在右支上，由双曲线定义知，112222PA PF PA PF AF +=+-≥-==则根据选项的数值大小关系知，CD 满足条件；故选：CD10．已知动点P 在左、右焦点分别为1F 、2F 的双曲线C 22:13y x -=上，下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的离心率为2B ．当P 在双曲线左支时，122PF PF 的最大值为14C ．点P 到两渐近线距离之积为定值D ．双曲线C的渐近线方程为y x = 【解析】在双曲线C 22:13y x -=中，实半轴长1a =，虚半轴长b =2c =.对于AD ，双曲线的离心率2ce a==，渐近线方程为y =，故A 正确，D 错误；对于B ，当P 在双曲线的左支上时，12111,22PF c a PF a PF PF ≥-==+=+，故()11122221111111484424PF PF PF PF PF PF PFPF PF ===≤=+++++，当且仅当114PF PF =时，即12=PF 时等号成立，故122PF PF 的最大值为18，故B 错误；对于C ，设00(,)P x y ，则220013y x -=，即220033x y -=，0y +=0y -=，故00(,)P x y22003344x y -==为定值，故C 正确. 故选：AC.11．已知双曲线()22*1x y n n n-=∈N ，不与x 轴垂直的直线l 与双曲线右支交于点B ，C ，（B在x 轴上方，C 在x 轴下方），与双曲线渐近线交于点A ，D （A 在x 轴上方），O 为坐标原点，下列选项中正确的为（） A ．AC BD =恒成立B ．若13BOC AOD S S =△△，则AB BC CD ==C ．AOD △面积的最小值为1D ．对每一个确定的n ，若AB BC CD ==，则AOD △的面积为定值【解析】设:l y kx b =+，代入22x y n -=得()222120k x bkx b n ----=，① 显然1k ≠±，()()22224410b k k b n ∆=+-+>，即()2210b n k +->，设()11,B x y ，()22,C x y ，则1x ，2x 是方程①的两个根，有12221kb x x k +=-，()21221b n x x k -+=-，设()33,A x y ，()44,D x y ，由y kx b y x =+⎧⎨=⎩得31bx k =-，由y kx b y x =+⎧⎨=-⎩，得41b x k -=+；所以34221kbx x k +=-，所以AD 和BC 的中点重合，所以AB CD =，所以AC BD =恒成立．故A 正确．因为AD 和BC 的中点重合为P ，所以AB CD =，又13BOC AOD S S =△△，所以13BC AD =，所以AB BC CD ==，故B 正确．设直线l 方程为x ty m =+，(1,0)(0,1),1t m ∈->，由x ty m y x =+⎧⎨=⎩得31m y t =-，由x ty m y x =+⎧⎨=-⎩得41my t -=+，OA =OD =90AOD ∠=︒，2221||||121AODm S OA OD m t==>>-△，故C 错误. 因为AB BC CD ==，所以13BC AD =，得1234x x -=-，即()229108nb k =->，所以0n >，21k >，又OA =，OD =，90AOD ∠=︒，所以2219218AODb nS OA OD k ===-△是定值．故D 正确．故选：ABD.12．已知1l ，2l 是双曲线T ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，直线l 经过T 的右焦点F ，且1//l l ，l 交T 于点M ，交2l 于点Q ，交y 轴于点N ，则下列说法正确的是（） A ．FOQ △与OQN △的面积相等B ．若T 的焦距为4，则点M 到两条渐近线的距离之积的最大值为14C ．若FM MQ =，则T 的渐近线方程为y x =±D ．若12,23FM FQ ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则T 的离心率[]2,3e ∈ 【解析】,A 由题可知，(c,0)F ，不妨记1l ：b y x a =，2l ：by x a=-．由1//l l 可得l 的方程为()b y x c a =-，与2l 的方程联立可解得2Q c x =，2Q bc y a =-，即点,22c bc Q a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．对于()b y x c a =-，令0x =，可得bc y a =-，即点0,bc N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以21224FOQ bc bcS c a a=⨯⨯=△，21224OQNc bc bc S a a=⨯⨯=△，所以FOQ OQN S S =△△，所以选项A 正确； ,B 设点M 的坐标为00,x y ，则2200221x y a b-=，即22222200b x a y a b -=，所以M 到两条渐近线的222222002222b x a y a b a b a b-==++，因为T 的焦距为4，所以2c =，所以2222224a b a b a b =+，因为2242a b ab =+≥，所以2ab ≤，224a b ≤，所以22222214a b a b a b =≤+，所以点M 到两条渐近线的距离之积的最大值为1，所以选项B 错误；,C 由FM MQ =得M 为QF 的中点，则03224cc c x +==，0224bc bc a y a=-=-，即点3,44c bc M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线T 的方程得22223441c bc a a b⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，即222c a =，又222c a b =+，所以22a b =，所以a b =，所以双曲线T 的渐近线方程为y x =±，所以选项C 正确；,D 由()b y x c a =-与22221x y a b-=，得222M c a x c +=，所以MF QF =22211221,232F M F Q c a c x x c c x x e c +--⎡⎤==-∈⎢⎥-⎣⎦-，得[]22,3e ∈，所以e ∈，所以选项D 错误．故选：AC ．三、填空题13．已知()00,M x y 是双曲线2222:1x y C a b-=上的一点，半焦距为c ，若MO c ≤（其中O 为坐标原点），则20y 的取值范围是___________.【解析】因为MO c ≤，所以MO ≤222200x y a b +≤+，又2200221x y a b -=，可得2222002a y x a b=+，所以，22222222222000022a y c y x y a y a a b b b +=++=+≤+，所以，42020b y c≤≤.14．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为y =，若动点P 在C的右支上，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，2OP OF ⋅的最小值是2a （其中O 为坐标原点），则212||||PF PF 的最小值为___________ 【解析】设(),P x y ，且x a ≥，()2,0F c ，则(),OP x y =,()2,0OF c =，因此2OP OF cx ⋅=，当x a =时，2OP OF ⋅取得最小值，且最小值为2ac a =，即2c =，所以2222ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得1a =，b =2PF t =（1t ≥），则12PF t =+，所以()221224448PF t t PF tt +==++≥=，（当4t t =即2t =时取等号），即212||||PF PF 的最小值为8.15．过点()1,1P 作直线l 与双曲线222y x λ-=交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是______.【解析】因为双曲线方程为222y x λ-=，则0λ≠，设()11,A x y ,()22,B x y ，因为点P 恰为线段AB 的中点，则12122,2x x y y +=+=，则2211222222y x y x λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减并化简可得1212121222y y x x x x y y -+=⨯=-+ ，即直线l 的斜率为2，，所以直线l 的方程为21y x =- ， 22212y x y x λ=-⎧⎪⎨-=⎪⎩,化简可得224210x x λ-++=，因为直线l 与双曲线有两个不同的交点，所以()1642210λ∆=-⨯⨯+>，解得12λ<且0λ≠，所以λ的取值范围为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭16．已知双曲线的方程为221916x y -=，点12,F F 是其左右焦点，A 是圆22(5)1x y +-=上的一点，点M 在双曲线的右支上，则1||||MF MA +的最小值是__________. 【解析】如图∵双曲线的方程为221916x y -=，右焦点坐标为()25,0F ，连接22,AF MF .由双曲线的定义，得1226MF MF a -==.∴12266MF MA MF MA AF +=++≥+. 因为点A 是圆()2251x y +-=上的点，此时圆心为(0)，5，半径为1，∴2211AF CF ≥-=，∴1265MF MA AF +≥+≥，当点M ，A 在线段2CF 上时上式取等号，即1MF MA +的最小值为5. 四、解答题17．已知双曲线2212y x -=，斜率为k (0)k ≠的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B两点.（1）若直线l 过(0,1)P ，且3PB AP =，求直线l 的斜率k .（2）若线段AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为92，求k 的取值范围.【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，因为3BP AP =，所以3PB AP →→=，即2211(,1)3(,1)x y x y -=--，所以2121343x x y y =-⎧⎨=-⎩，所以2211221112(43)(3)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，所以11x =-，10y =，即(10)A -，，所以1011AP k k -===. （2）设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由2212y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(2)220k x kmx m ----=．则12222km x x k +=-，212222m x x k --=-，因为直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，于是22k -≠0，且222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+-+>．，整理得2220m k +->．设线段AB 的中点坐标00(,)x y ，则120222x x km x k +==-，00222my kx m k =+=-．所以AB 的垂直平分线方程为2221()22m km y x k k k -=----．此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为23(,0)2km k -，23(0,)2mk -．由题可得221339||||2222km m k k ⋅=--．整理得222(2)||k m k -=，0k ≠．所以可得222(2)20||k k k -+->，整理得22(2)(||2)0k k k --->，0k ≠．解得0||k <<或||2k >．所以k 的取值范围是,2)(,0)(0,(22)(2,)-∞--+∞． 18．在平面直角坐标系xOy 内，已知双曲线Γ：2221y x b-=(0b >)，（1）若Γ的一条渐近线方程为2y x =，求Γ的方程；（2）设1F 、2F 是Γ的两个焦点，P 为Γ上一点，且12PF PF ⊥，△12PF F 的面积为9，求b 的值；（3）若直线:21l y x =+与Γ交于A 、B 两点，且坐标原点O 始终在以AB 为直径的圆内，求b 的取值范围.【解析】（1）由双曲线Γ：2221y x b-=(0b >)可得其渐近线方程为y bx ±=，而Γ的一条渐近线方程为2y x =，故2b =即Γ的方程为：2214y x -=.（2）不妨设P 在第一象限，1F 、2F 分别为左右焦点，则122PF PF -=，()1F ，)2F而22221212=44PF PF F F b +=+，所以21224PF PF b =，所以2122PF PF b =，故12PF F △的面积为2b ，所以29b =，因为0b >，故3b =.（3）设()()1122,,,A x y B x y ，因为坐标原点O 始终在以AB 为直径的圆内，故AOB ∠为钝角，所以0OA OB ⋅<即12120x x y y +<，故()()121221210x x x x +++<即()12125210x x x x +++<.由222221y x b x y b =+⎧⎨-=⎩可得()2224410b x x b ----=，所以212122241,44b x x x x b b ++==---，又2040b ∆>⎧⎨-≠⎩，故()()221644102b b b ⎧+-+>⎪⎨≠±⎪⎩，故b >2b ≠.又22214521044b b b ⎛⎫+⋅-+⋅+< ⎪--⎝⎭可化简为2255840b b --++-<，该不等式对任意的b >2b ≠恒成立.故b >2b ≠.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等轴双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左顶点A，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与E 交于B ，C 两点，若ABC 1．（1）求双曲线E 的方程；（2）若直线:1l y kx =-与双曲线E 的左，右两支分别交于M ，N 两点，与双曲线E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，求MNPQ的取值范围．【解析】（1）因为双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>为等轴双曲线，所以a b =，设双曲线的焦距为2c ，0c >，故2222c a b a =+=，即c =．因为BC 过右焦点F ，且垂直于x 轴，将B x c =代入22221x y a b-=，可得B y a =，故2BC a =．将ABC 1，所以112BC AF ⨯⨯=，即()1212a a c ⨯⨯+=，所以21a =，1a =，故双曲线E 的方程为221x y -=．（2）依题意，直线:1l y kx =-与双曲线E 的左，右两支分别交于M ，N 两点，联立方程组221,1,x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y 可得，()221220k x kx -+-=，所以()()()222210,24120,20,1M Nk k k x x k ⎧⎪-≠⎪⎪∆=--⨯->⎨⎪-⎪=<⎪-⎩解得11k -<<，且222,12.1M N M N k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩ 所以M N MN x =-== 联立方程组,1,y x y kx =⎧⎨=-⎩得11P x k =-，同理11Q x k =+，所以11P Q PQ x k =-=+．所以MN PQ =11k -<<，所以(MN PQ ∈． 20．已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为32（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为8116，求实数k 的取值范围．【解析】(1)焦点(),0c ±到渐近线0bx ay ±=b ==,又32c a =,∴22222954c a a b a ==+=+,∴24a =,∴双曲线C 的标准方程为22145x y -=. (2)设直线l 的方程为()0y kx m k =+≠,()11,M x y ,()22,N x y , 则由22145x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y ,可得()2225484200k x kmx m ----=,根据题意可知2540k -≠,且()()()22284544200km k m ∆=----->,即22540m k +->①,设线段MN 的中点坐标为()00,x y ,则12024254x x km x k +==-,002554my kx m k =+=-, ∴线段MN 的垂直平分线方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭,此直线与x 轴,y 轴的交点坐标分别为29,054km k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,290,54m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,∴22199812545416km m k k ⋅⋅=--,化简可得()222548k m k -=②,将②代入①得()222545408k k k-+->,即()()22454850k k k --->,解得0k <<52k >,∴实数k 的取值范围是5555,,00,,2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．已知椭圆1C 的方程为2214xy +=，双曲线2C 的左、右焦点分别是1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点． (1)求双曲线2C 的方程；(2)若直线:=l y kx 2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB >(其中O 为原点)，求k 的取值范围．【解析】(1)设双曲线2C 的方程为()222210,0x ya b a b-=>>，则2234a c ＝，＝，再由222a b c ＋＝，得21.b＝故2C 的方程为2213xy -=(2)将y kx ＝代入2213x y -=，得22(13)90k x -=－－由直线l 与双曲线2C 交于不同的两点，得()()()22221306236133610k k k k ⎧-≠⎪⎨=-+-=->⎪⎩22113k k ∴≠<且①，设1122()()A x y B x y，，，，则1212229,1313x x x x k k =---＋＝ (12121212(x x y y x x kx kx ∴＋＝＋()2212122371()231k k x x x x k +++=-＝＋又2OA OB >，得12122x x y y ＋＞，2237231k k +∴>-，即2239031k k -+>-，解得2133k <<②，由①②得13＜k 2＜1，故k的取值范围31,,13⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22．己知等轴双曲线N 的顶点分别是椭圆22:162x y C +=的左、右焦点1F 、2F .（1）求等轴双曲线N 的方程；（2）Q 为该双曲线N 上异于顶点的任意一点，直线1QF 和2QF 与椭圆C 的交点分别为E ，F 和G ，H ，求4EF GH +的最小值.【解析】（1）由椭圆22:162x y C +=可得2c =，所以等轴双曲线N 的顶点为(20)，设等轴双曲线N 为22221x ya b-=，所以2a b ==，所以等轴双曲线N 的方程为22144x y -=；（2）设11(,)E x y ，22(,)F x y ，33(,)G x y ,44(,)H x y ,设直线1QF 的方程为2x my =-，直线2QF 的方程为2x ny =+，由222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(3)420m y my +--=，所以0∆>显然成立，所以12122242,33m y y y y m m +==-++，同理可得34342242,33n y y y y nn +=-=-++，所以EFGH ==，联立直线1QF 和2QF ：22x my x ny =-⎧⎨=+⎩，解得224m n x m ny m n +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以224(,)m n Q m n m n +--，因为Q 在双曲线上，所以222(22)1614()4()m n m n m n +-=--，解得1mn =，所以222222221111146(4)6(4)13333m n m m EF GH m n m m +++++=+⨯=+⨯++++ 222222222222*********(4)(4)()313431311m m m m m m m m m m m m ++++++=+⨯=⨯+⨯+++++++，22221334)313m m m m ++=++⨯≥+=++.当且仅当22221334313m m m m ++=⨯++，即25m =。

双曲线函数的最值问题举例(附练习、答案)

双曲线函数的最值问题举例(附练习、答案)双曲线函数是数学中常见的一类函数，对于这类函数的最值问题，我们可以通过一些实际例子来加深理解。

下面提供了一些练题和相应的答案，帮助读者更好地掌握双曲线函数的最值问题。

练题1. 设函数 $f(x) = e^x - e^{-x}$，求函数 $f(x)$ 在定义域内的最小值和最大值。

2. 函数 $g(x) = \sinh(x)$ 在 $[-1, 1]$ 区间上是增函数还是减函数？并求其最小值和最大值。

3. 对于任意正实数 $a$，函数 $h(x) = \cosh(ax)$ 在定义域内的最大值是否存在？如果存在，是多少？答案1. 解答：首先求函数的一阶导数：$$f'(x) = e^x + e^{-x}$$然后求导数为零的点，即：$$e^x + e^{-x} = 0$$由于 $e^x$ 恒大于零，所以 $e^x + e^{-x}$ 恒大于零，即不存在导数为零的点。

因此函数 $f(x)$ 在定义域内没有极值点，也就是没有最小值和最大值。

2. 解答：首先求函数的一阶导数：$$g'(x) = \cosh(x)$$函数 $g(x)$ 的一阶导数为 $\cosh(x)$，根据双曲函数的性质可知 $\cosh(x) > 0$，即在定义域内函数 $g(x)$ 是增函数。

当 $x = 0$ 时，$\sinh(0) = 0$，所以函数 $g(x)$ 在 $[-1, 1]$ 区间上最小值为 0。

当 $x = 1$ 时，$\sinh(1) \approx 1.1752$，所以函数 $g(x)$ 在$[-1, 1]$ 区间上最大值为约 1.1752。

3. 解答：函数 $h(x) = \cosh(ax)$ 为双曲余弦函数，其定义域为实数集。

双曲余弦函数的最大值为 $\cosh(0) = 1$，当且仅当 $ax = 0$ 时取到最大值。

因此，函数 $h(x)$ 在定义域内的最大值为 1。

双曲线中的最值问题

∴（ ∣ A M │ - ∣ A F 2 │ ）m a x = ∣ M F 1 │ = 3 1 2 3 0 2 5
∴ （ ∣ A M │ + ∣ A F 2│ ） max= 2 a + ∣ M F 1│ = 8 + 5 = 1 3
例2、已知：抛物线y2=2x及点M（ a， 0） ,其中 a>0， A为抛物线上任意一点，求： ∣AM│的最小值
解 :设 A（ x,y）
∣ AM│ =xa2y2=xa22x
=x22a xa22x 设f(x)x22a1xa2
xa12a12a =xa12a12a
=xa12a2a12
=xa122a1
当 a10,即 a1 时 ,fxm inf0a2 AM m in fxm inaa
当 a 1 0 ,即 a 1 时 ,fx m ifn a 1 2 a 1 Am M infx m in 2 a 1
小结
• 求圆锥曲线的最值问题时，可利用圆锥曲线的定义并结合几何性质，用几何方法求出最值；也可用代数方法建立目标函数，利用函数性质或不等式性质求出最值。
作业
1、知双曲线
及点 x 2 y 2 1
45
M （ 6 ， 2 ） , F 1、
F2分别为双曲线的左、
右焦点， A为双曲线右支上的任意一点，
求： ① ∣ A M │ + ∣ A F 2│ 的最小值及最大值；
2
② ∣ A M │ + 3 ∣ A F 2│ 的最小值
2 、已知抛物线 y 2= 2 x 及点 M （ 3 ， 1 ）， F 为抛物线焦点， A 为抛物线上任意一点，ι为准线，求： ∣ AM│ +∣ AF│ 的最小值； 3 、若抛物线 y = 4 -x 2 与直线 3 x -y = 0 的交于 A 、 B 两点， P 是抛物线弧 A B 上的点，试求 △ PA B 面积的最大值。

最全总结之双曲线曲线定值问题

最全总结之双曲线曲线定值问题在微积分学中，双曲线曲线定值问题是一个重要的主题。

它涉及到求解具有特定边界条件的双曲线曲线的方程。

本文将对双曲线曲线定值问题进行全面总结和讨论。

1. 引言双曲线是一种特殊的曲线，其方程可以写为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中a和b为常数。

双曲线在数学和物理学中具有广泛的应用，因此解决双曲线曲线定值问题对于解决实际问题具有重要意义。

2. 双曲线曲线定值问题的求解方法双曲线曲线定值问题的求解可以通过以下步骤进行：1. 确定双曲线方程的参数a和b的值。

2. 定义适当的边界条件，例如给定曲线上的点或曲线与其他曲线的交点。

3. 将边界条件代入双曲线方程，得到一个关于未知量的方程。

4. 解方程，得到满足边界条件的双曲线曲线方程的解。

3. 解决双曲线曲线定值问题的挑战解决双曲线曲线定值问题可能面临一些挑战，例如：- 方程的解可能不存在或不唯一。

- 方程可能非线性，需要使用数值方法进行求解。

- 边界条件的选择可能会影响解的性质和存在性。

为了克服这些挑战，我们可以使用数值方法，如牛顿法或迭代法，来找出方程的近似解。

此外，选择适当的边界条件也是解决问题的关键。

4. 实际应用双曲线曲线定值问题在数学和物理学的许多领域中都有实际应用。

例如，在光学中，光线在双曲面聚焦镜中的传播可以通过双曲线曲线定值问题来建模和分析。

在工程学中，双曲线曲线定值问题可以用于描述电磁场的分布和电子器件的设计。

5. 结论双曲线曲线定值问题是数学和物理学中的一个重要问题。

通过合适的求解方法，我们可以找到满足特定边界条件的双曲线曲线方程的解。

这一问题对于解决实际问题具有重要意义，并在许多领域中有广泛的应用。

以上是对双曲线曲线定值问题的全面总结。

希望本文可以帮助读者更好地理解和应用双曲线曲线定值问题。

参考文献。

双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设5339(2),()M m N m ，代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ，即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．题型四已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=，所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =，又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=，故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+，于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________．【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ，则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上，设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ，当2πθ=时，||||0ME NE -=；当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a，因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ，从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-，分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立，求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）．故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________．【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=，所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =，所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-，化简得2121133k =-，即213k =，因为0k >，所以33k =，故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩，则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=，又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+，即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=，则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-，则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =，又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。

第2讲双曲线的定义及其应用-新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

新高考数学大一轮复习第2讲双曲线的定义及其应用一．问题综述本讲梳理双曲线的定义及其应用．（一）双曲线的定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定值2a ()1202a F F <<的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．（二）双曲线定义的应用主要有下面几方面的应用：1．判断轨迹形状；2．求标准方程；3．求最值或范围．二．典例分析类型一：判断轨迹形状【例1】已知12,F F 是定点，动点M 满足12||||8MF MF -=，且12||10F F =则点M 的轨迹为（）A ．双曲线B ．直线C ．圆D ．射线【解析】由题意得12||||8MF MF -=<12||10F F =，所以点M 的轨迹为双曲线。

【方法小结】紧扣椭圆的定义进行判断：设平面内动点M 到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定值2a ()0a >，即12||||2MF MF a -=，（1）若1202a F F <<，则点M 的轨迹是双曲线（包括两支）．（2）若12||||2MF MF a -=，则点M 的轨迹是双曲线的一支；若21||||2MF MF a -=，则点M 的轨迹是双曲线的另一支．（3）若122a F F =，则点M 的轨迹是两条射线．（4）若122a F F >，则点M 的轨迹不存在．【变式训练】18表示的曲线是，其标准方程是．212表示的曲线是，其方程是．314表示的曲线．【答案】1．双曲线的左支，()22141620x y x -=-≤；2．两条射线，()044y x x =-或≥≤； 3．不存在．类型二：利用双曲线的定义求轨迹方程【例1】ABC △中，()5,0B -，()5,0C ，且3sin sin sin 5C B A -=，求点A 的轨迹方程．【解析】由3sin sin sin 5C B A -=，得32sin 2sin 2sin 5R C R B R A -=⋅，∴35AB AC BC -=，即6AB AC -=， ∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）， ∵26a =，210c =，∴3a =，5c =，4b =，所求轨迹方程为()2213916x y x -=>．【方法小结】由于sin A ，sin B ，sin C 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为ABC △外接圆半径），可转化为边长的关系．再根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后求椭圆的标准方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法．【例2】已知双曲线224199x y -=的左右焦点分别是12,F F ，Q 是双曲线右支上的动点，过1F 作12F QF ∠的平分线的垂线，求垂足M 的轨迹．【解析】设点M 的坐标为(),x y ，延长2QF 与1F M 交于点T ，连接OM ． ∵QM 平分12F QF ∠，且QM ⊥1F M ， ∴ 1QF QT =，1F M MT =．又∵点Q 是双曲线右支上的动点， ∴ 1222QF QF QT QF a -=-=，∴ 22F T a =，∴ OM a =，即点M 在以O 为圆心，a 为半径的圆上． ∵ 当点Q 沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM 趋近于双曲线的渐近线， ∴ 点M 的轨迹是圆弧CBD ，除去点C 和D ，方程为226593x y x ⎛⎫+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭．【方法小结】求轨迹与轨迹方程的注意事项（1）求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．（2）求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．【变式训练】ABC △的顶点()5,0A -、()5,0B ，ABC △的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是（）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．()2213916x y x -=>D ．()2214169x y x -=>【解析】如图8AD AE ==，2BF BE ==，CD CF =，所以82610CA CB AB -=-=<=．根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为()2213916x y x -=>．类型三：焦点三角形中的计算问题【例1】已知P 是双曲线2216436x y -=上一点，1F ，2F 是双曲线的两个焦点，若117PF =，则2PF 的值为________．【解析】由双曲线方程2216436x y -=知，8, 6a b ==，则2210c a b =+=．∵P 是双曲线上一点，∴12216PF PF a -==，又117PF =，∴21PF =或233PF =．又22PF a c -=≥，∴233PF =．【例2】已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 右支上的一点，且212PF F F =，则12PF F △的面积等于（）A ．24B ．36C ．48D ．96【解析】依题意得21210PF F F ==，由双曲线的定义，得1226PF PF a -==，∴116PF =．∴122211616104822PF F S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭△，故选C ．【方法小结】关键抓住点P 为双曲线C 右支上的一点，从而有122PF PF a -=，再利用212PF F F =，进而得解．双曲线上一点P 与双曲线的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求12PF PF ⋅；通过整体代入可求其面积等．【变式训练】1．设椭圆2212x y m +=和双曲线2213y x -=的公共焦点分别为1F 、2F ，P 为这两条曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值等于__________．【答案】3．【解析】焦点坐标为()0,2±，由此得24m -=，故6m =.根据椭圆与双曲线的定义可得12PF PF +=12PF PF -=．两式平方相减，得12412PF PF ⋅=，123PF PF ⋅=.2．设1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线C 的离心率为5，则12cos PF F ∠=( )A ．35B ．34C ．45D ．56【答案】C ．【解析】依题意可知12PF PF ⊥，设21, PF m PF n ==，由双曲线定义知：2m n a -= ①；由勾股定理得：2224m n c += ②；又由离心率：5ce a ==③，三式联立解得8m a =，故2121284cos 255PF a PF F F F a ∠===⨯. 3．已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠= ( )A ．14B ．35C ．34D ．45【答案】C ．【解析】由双曲线的定义有122PF PF a -==，∴122PF PF ==则2222221212121243cos 24PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⋅. 4．已知ABP △的顶点A ，B 分别为双曲线221169x y -=左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则sin sin sin A B P -的值等于( )A．45 BC ．54D【答案】A ．【解析】在ABP △中，由正弦定理知sin sin 284sin 2105PB PA A B a PABc --====. 5．已知P 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>上的点，1F 、2F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且120PF PF ⋅=，若12PF F △面积为9，则a b +的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】由120PF PF ⋅=，得12PF PF ⊥，设设1PF m =，2PF n =，不妨设设m n >，则2224m n c +=，2m n a -=，192mn =，54c a =，解得45a c =⎧⎨=⎩，∴223b c a =-=，∴7a b +=. 类型四：利用双曲线的定义求离心率【例1】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，与C 的左、右两支分别交于点A ，B ，若2AB BF =，则C 的离心率为( )A 523+B ．523+C 3D 5 【解析】依题意2AB BF =，则11122AF BF BA BF BF a =-=-=，所以2124AF AF a a =+=，又直线1BF 与圆222x y a +=相切，故1sin AF a O c ∠=，所以1cos AF b O c∠=，在12AF F △中，由余弦定理得()()()221222c s 222o 4AF a c a bO a cc+-==⋅⋅∠，化简得2232c a ab -=，所以22220b a ab --=，即2220b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13b a =+21523c b e a a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭【变式训练】已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，且12PF PF ⊥，1230F P F ∠=︒，则双曲线的离心率为．【解析】依题意可得12, 3PF PF c c ==，所以12223123PF P c c e a c cF ====--．类型五：利用双曲线的定义求范围或最值【例1】如图，M 是以A 、B 为焦点的双曲线222x y -=右支上任一点，若点M 到点()3,1C 与点B 的距离之和为s ，则s 的取值范围是（）A ．)262,⎡+∞⎣B ．)2622,⎡+∞⎣ C ．2622,2622⎡⎣ D ．)262,⎡+∞⎣【解析】连结MA ，由双曲线的第一定义可得：222222622MB MC MA a MC MA MC AC +=-+=+--=-≥当且仅当,,A M C 三点共线时取得最小值．故选B ．【例2】如图，点A 的坐标为()50-，，B 是圆()2251x y +-=上的点，点M 在双曲线2214y x -=右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标．【解析】设点D 的坐标为)5，，则点A ，D 为双曲线的焦点，22MA MD a -==，所以2+2MA MB MB MD BD +=+≥，B 是圆(2251x y +=上的点，其圆心为(5C ，半径为1，故1101BD CD -=≥，1101BD CD -=≥，从而2101MA MB BD ++=≥，当,M B 在线段CD 上时取等号，此时MA MB +101．直线CD 的方程为5y x =-+，因点M 在双曲线右支上，故0x >，由方程组22445x y y x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩ 解得5424542x y ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以M 点的坐标为5424542-+-⎝⎭．【方法小结】在求解有关圆锥曲线的最值问题时,如果用函数观点求解会困难重重．利用定义进行转化，则势如破竹, 能起到出奇制胜的效果。

第19讲双曲线中的最值问题题型总结(解析版)

第19讲双曲线中的最值问题题型总结【题型目录】题型一：利用焦半径范围求最值题型二：利用渐近线与双曲线位置关系求范围题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值【典型例题】题型一：利用焦半径范围求最值【例1】（2022·全国·高二）若P 是双曲线C ：2214x y m-=上一点，C 的一个焦点坐标为()4,0F ，则下列结论中正确的是（）A ．m =．渐近线方程为y =C ．PF 的最小值是2D ．焦点到渐近线的距离是【例2】（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知1F ，2F 分别是双曲线22:1421x yC -=的左、右焦点，动点P 在双曲线C 的右支上，则()()1244PF PF -⋅-的最小值为（） A ．4-B ．3-C ．2-D ．1- 【答案】B 【解析】【分析】根据题意得124PF PF -=，所以124PF PF =+，再根据双曲线性质得2PF 的范围，则()()()1222444PFPF PF PF -⋅-=⋅-，再利用二次函数求值域即可.【详解】因为动点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义可得：124PF PF -=，所以124PF PF =+，因为24a =，221b =，所以2a =，5c =，所以2523PF c a ≥-=-=，将124PF PF =+代入()()1244PF PF -⋅-得： ()()222222244243PF PF PF PF PF ⋅-=-=--≥-.故选：B ．【例3】（2022·全国·高二课时练习）设P 是双曲线221916x y -=上一点，M ､N 分别是两圆22(5)4x y -+=和22(5)1x y ++=上的点，则PM PN -的最大值为（）A ．6B ．9C ．12D ．14 【答案】B【分析】根据双曲线方程及其定义，求得,PM PN 的范围，再求PM PN -得最大值即可. 【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，故291625c =+=，则其焦点为()()125,0,5,0F F -，根据题意，作图如下：则22PM PF ≤+，当且仅当2,,P M F 三点共线，且2F 在,P M 之间时取得等号；11PN PF ≥-，当且仅当1,,P N F 三点共线，且N 在1,P F 之间时取得等号；则11PN PF -≤-，故可得213369PM PN PF PF -≤+-=+=，故PM PN -的最大值为：9. 故选：B. 【题型专练】1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P 是双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线上一点，F 是双曲线的右焦点，若|PF |的最小值为2a ，则该双曲线的离心率为（）ABD【答案】D 【解析】【分析】结合双曲线的概念和性质求双曲线的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=， |PF |的最小值即为焦点(),0F c2a =，即12a b =，∴()22221144a b c a ==-，c e a ==.故选：D2．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）双曲线()2221016x y a a -=>的一条渐近线方程为43y x =，1F ，2F 分别为该双曲线的左右焦点，M 为双曲线上的一点，则2116MF MF +的最小值为（） A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】B 【解析】【分析】求2116MF MF +最小值，则2MF 要尽可能小，1MF 要尽可能大,所以M 在双曲线的右支上,则2126MF MF a -==，所以216MF MF =-，消元转化为对勾函数求最值【详解】若求2116MF MF +最小值，则2MF 要尽可能小，1MF 要尽可能大所以M 在双曲线的右支上渐近线 4433b b y x x a a ==⇒= 又因为4b =所以3a =由双曲线定义，当M 在双曲线的右支上，2126MF MF a -==当且仅当1116MF MF =，即14MF =时取等号因为右支上的顶点()3,0到()15,0F 最小，最小为8 所以11166MF MF +-取不到等号，当18MF =时，取最小值最小值为：168682648+-=+-= 故选：B3．（2022·重庆·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（）A ．1PQA △的周长B ．1PFQ 的周长与2PQ 之差C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅ 【答案】BD 【解析】【分析】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，可判断A ，根据双曲线定义求解可判断B ，设(),P x y ，则tan ,tan y y a x x aαα==-+-根据商与积的值可判断CD ．【详解】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，故A 不正确；1PFQ 的周长为1122442PF QF PQ a PF QF PQ a PQ ++=+++=+所以1PFQ 的周长与2PQ 之差为4a ，故B 正确；设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-，由tan tan a xa xαβ-=+不是常量，故C 不正确；由22222222221tan tan x b y y a y b a x a x a x a x a αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---为常量，故D 正确；故选：BD题型二：渐近线与双曲线位置关系求范围【例1】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知()2,0A -，()2,0B ，若曲线()00,0x y x y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上存在点P 满足2PA PB -=，则b a 的取值范围是___________.【题型专练】1．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知()()2,0,2,0A B -，点P 满足方程0(0,0)nx my m n ±=>>，且有2PA PB -=，则nm的取值范围是（）A ．(0,1)B ．C ．D ．2) 【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的双曲线C 的右支，进而求得双曲线的渐近线方程y =，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，点()()2,0,2,0A B -且满足2PA PB -=，根据双曲线的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的双曲线C 的右支，其中22,24a c ==，可得1,2a c ==，则b可得双曲线C 的渐近线方程为by x a=±=，又因为点P 满足方程0(0,0)nx my m n ±=>>，即ny x m=±，结合双曲线的几何性质，可得0nm<n m 的取值范围是.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知点(A ，(0,B ，若曲线()222200,0x y a b a b -=>>上存在点P 满足4PA PB -=，则下列正确的是（） A ．1b a <+B ．2b a <C ．1b a >+D ．2b a > 【答案】D 【解析】【分析】由已知可判断点P 在双曲线221(0)4y x y -=<上，将已知转化为曲线b y x a =±与双曲线221(0)4y x y -=<相交，利用直线by x a=±与渐近线的位置关系可得解. 【详解】点(A ，(0,B ，且4PA PB -=<P 在双曲线的下支上. 所以双曲线的方程为221(0)4y x y -=<，其渐近线方程为2y x =±，又点P 在曲线()2222000x y a b a b-=>>，上，即点P 在曲线b y x a =±上，即曲线b y x a =±与双曲线221(0)4y x y -=<相交，2b a ∴>，即2b a >故选：D题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值【例1】（2022·天津·二模）已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，若2MF MN +的最小值为9，则该双曲线的离心率为（）AB ．32D ．53【答案】A 【解析】【分析】由题意可知3a =，根据双曲线的对称性画出图形，由双曲线的定义可知21||||||6MF MN F N ++，当且仅当点1F ，M ，N 三点共线时，等号成立，从而得到2||||MF MN +的最小值为6b +，求出b 的值，得到双曲线的离心率．【详解】解：根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线，因为双曲线()222:109x y C b b-=>，3a ∴=，由双曲线的定义可知，21||||26MF MF a -==，211||||||||6||6MF MN MF MN F N ∴+=++≥+，当且仅当点1F ，M ，N 三点共线时，等号成立，渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，且1(,0)F c -， ∴此时1||bcF N b c==， 2||||MF MN ∴+的最小值为6b +，69b ∴+=，3b ∴=，所以c =∴离心率ce a=故选：A ．【例2】（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、有焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，离心率2e =，点Q 为双曲线右支上的一点，点(0,4)P ．当1||QF PQ +取最小值时，2QF 的值为（）A．1)B ．1)C ．1D ．1【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22143x y -=的左，右焦点，动点A 在双曲线的左支上，点B 为圆E ：()2231x y ++=上一动点，则2AB AF +的最小值为______．【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知点P在双曲线22145x y-=的右支上，()0,2A，动点B满足2AB=，F是双曲线的右焦点，则PF PB-的最大值为___________.2##2-【例5】（2022·全国·高二课时练习）设P是双曲线221916x y-=上一点，M､N分别是两圆22(5)4x y-+=和22(5)1x y++=上的点，则PM PN-的最大值为（）A．6B．9C．12D．14故选：B.【例6】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为32，其左，右焦点分别为12,F F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若(||5,AB M =，P 为双曲线右支上一点，则2PM PF +的最小值为（）A 1B ．4C ．4D 1【例7】（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）设(),P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则A +．．．5 1||a AF -+2，(,)P x y 是双曲线则1||PF -1|||||PA PF a AF ∴--+故选：C 【题型专练】1．（2022·安徽蚌埠·三模（理））双曲线C ：2221(0)y x a a -=>F 是C 的下焦点，若点P为C 上支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则d PF +的最小值为（） A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】【分析】由离心率可得29a =，即知渐近线为3y x =±，若上焦点为F '，结合双曲线定义，将问题转化为求6d PF '++最小，若||d PH =应用数形结合思想判断,,P F H '的位置关系求最值. 【详解】由题设，221109a a +=，可得29a =，则双曲线渐近线方程为3y x =±，若上焦点为F '，则||||26PF PF a '-==，故||6||PF PF '=+，所以6d PF d PF '+=++，如下图示：||d PH =，所以6||d PF PH PF '+=++，要使d PF +最小，只需,,P F H '共线，即F H '⊥一条渐近线，而F '1=，故min ()7d PF +=.故选：B2．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则22AF BF +的最小值为______．3．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线221(0)5x y m m -=>20+=y ，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆22(4)1x y +-=上运动，则||||PQ PF +的最小值为___________.4．（2022·陕西宝鸡·二模（理））已知F 是双曲线22:1C x y -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，A .当APF 周长最小时，该三角形的面积为___________. 【答案】32##1.5【分析】M 为左焦点，利用双曲线定义得到APF 周长为||||||||||4AF PF AP PM AP ++=++，判断其最小由APF 周长为当且仅当,A 三点共线时APF 周长最小，此时所以，此时∴2的等腰直角三角形，||AP x =，则，故||PF =∴APF 中x ，可得32x =5．（2022·湖北·高三阶段练习）已知双曲线C ：22133y x -=，F 是双曲线C 的右焦点，点A 是双曲线C 的左支上的一点，点B 为圆D ：(223x y ++=上一点，则AB AF +的最小值为_____.【答案】6．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知双曲线2213x y -=的左右焦点分别为1F ､2F ，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为()2,3-，则1PQ PF +的最小值为___________.【答案】5+5【详解】7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，则当2MF MN +取最小值10时，12F NF △面积的最大值为___________ 【答案】252##12.51212F NF F NOSS=，可求得答案【详解】由题意得MF (),0F c -到渐近线bx 8．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线C ：22197x y -=，1F ，2F 是其左右焦点.圆E ：22430x y y +-+=，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则1PQ PF +的最小值是________.【答案】5+59．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知双曲线221(0)5x y m m -=>20+=y ，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆22(4)1x y +-=上运动，则||||PQ PF +的最小值为（）A ．4B ．8C ．5D ．910．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知双曲线22:145x y C 的左焦点为1F ，M 为双曲线C 右支上任意一点，D 点的坐标为()3,1，则1MD MF -的最大值为（） A ．3B ．1C ．3-D ．2-11．（2023·全国·高三专题练习）已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为（）A．9B．8C．7D．612．（2022·全国·高二专题练习）设F是双曲线221412x y-=的左焦点，()1,3A，P是双曲线右支上的动点，则PF PA+的最小值为（）A．5B．4+．5+．9。

双曲线的最值问题及解决方法

双曲线的最值问题及解决方法一、双曲线的基本概念及特点双曲线是一种常见的数学曲线，其特点是具有两个分支，且分支之间的距离随着自变量的变化而变化。

双曲线的标准方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为双曲线的横轴半轴长和纵轴半轴长。

二、双曲线最值问题的提出在双曲线问题中，最值问题一直是学生和家长关注的焦点。

求解双曲线的最值，可以帮助学生更好地理解双曲线的性质，并提高解题能力。

那么如何解决双曲线最值问题呢？三、解决双曲线最值问题的方法1.利用双曲线性质求解根据双曲线的性质，我们可以知道双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于双曲线的离心率乘以双曲线上的点至两个焦点的距离之和。

利用这一性质，我们可以求解双曲线的最值问题。

2.转化为二次函数求解将双曲线方程化为标准二次函数形式，即y = a(x - h)^2 + k，其中a、h、k为常数。

根据二次函数的性质，我们可以知道当x = h - sqrt(4ak -b^2)/a 时，y取得最小值或最大值。

将此方法应用于双曲线问题，可以求解双曲线的最值。

3.利用数值方法求解当双曲线的方程不易求解时，我们可以采用数值方法求解。

例如，利用牛顿法、二分法等迭代算法，不断逼近双曲线的最值。

四、实际应用案例分析以一道高考真题为例：已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1，求解该双曲线在第一象限内的最大值和最小值。

解：首先，我们将双曲线方程化为标准形式，得到y = 3sqrt(x^2 - 4) / 2。

观察方程可知，当x = 2时，y取得最小值0；当x = sqrt(16 + 36) = 4时，y取得最大值3。

因此，在第一象限内，该双曲线的最大值为3，最小值为0。

五、总结与建议解决双曲线最值问题，需要掌握双曲线的性质，熟练运用二次函数求解方法，以及灵活运用数值方法。

在实际求解过程中，可以根据问题特点选择合适的方法。

04 双曲线定点定值最值问题

双曲线最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题一、双曲线的最值问题例1已知点，，，，)02()02(N M -动点P 满足条件，22||||=-PN PM 记动点P 的轨迹为W ．(1)求W 的方程；(2)若B A 、是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OB OA ⋅的最小值．实战演练1．P 是双曲线221916x y -＝的右支上一点，M N 、分别是圆22(5)4x y ++=和 22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为．2．已知双曲线C 的方程为22221(00)y x a b a b-=>>，，离心率52e =，顶点到渐近线的距离为255． (1)求双曲线C 的方程； (2)如图8-2-1，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP PB λ=，1[2]3λ∈，，求AOB ∆面积的取值范围．3．已知双曲线1C ：22221(0)2x y a a a -=>，抛物线2C 的顶点在原点O ，又2C 的焦点是1C 的左焦点1F ．(1)求证：1C 与2C 总有两个不同的交点；(2)是否存在过1C 的焦点1F 的2C 的弦AB ，使AOB ∆的面积有最大值或最小值？若有，求出AB 所在直线方程与最值；若没有，请说明理由．图8-2-1二、与双曲线有关的定点与定值问题例题：已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．(1)若动点M 满足1111F M F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程； (2)在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．实战演练1．已知()()122,0,20F F -，，点122,P PF PF P E -=满足记点的轨迹为，． (1)求轨迹E 的方程；(2)若直线l 过点2F 且法向量为(1)n a →=，，直线与轨迹E 交于P Q 、两点． ①过P Q 、作y 轴的垂线,,B A QB PA 、垂足分别为、记||||AB PQ λ=，试确定λ的取值范围；②在x 轴上是否存在定点M ，无论直线l 绕点2F 怎样转动，使0MP MQ ⋅=恒成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由．三、双曲线与直线例题：已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的实轴与焦距之比为25：．(1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；(2)如图8-2-2，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OG OH 的值．实战演练1．设直线l ：y kx m =+（其中,k m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同的两点A 、B ，与双曲线221412x y -=交于不同的两点C 、D ，问是否存在直线l ，使得0AC BD +=成立，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2．已知双曲线22221x y a b-=右支上任意一点E 作抛物线22(0)y px p =->的两切线，两切点M ，N 所在直线分别与双曲线的两条渐近线交于G ，H 两点，试问：(1)是否存在正实数p ，使得OG OH ⋅为定值？ (2)是否存在正实数p ，使得2211||||OG OH +为定值？3．已知双曲线C ：2212x y -=． (1)已知点M 的坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，记MP MQ λ=⋅．求λ的取值范围；(2)已知点D 、E 、M 的坐标分别为(21)--，、(21)-，、(01)，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．四、双曲线与圆例题：已知双曲线C ：2221(0)2x y a a -=>的实轴长与焦距的比为1 (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 是圆O ：222x y +=上动点0000()(0)P x y x y ≠，处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，证明AOB ∠的大小为定值．实战演练1．从双曲线221916x y -= 的左焦点F 引圆229x y +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ．若M 为线段FP 的中点．O 为坐标原点，则||||MO MT -= ．2．已知双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为3=±y x ，左焦点为F ，过(0)A a ，，(0)B b -，的直线为l ，原点到直线l ． (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y x m =+交双曲线于不同的两点C ，D ，问是否存在实数m ，使得以CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点F ．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．3．若动圆P 恒过定点(20)B ，，且和定圆C ：22(2)4x y ++=外切．(1)求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；(2)若过点B 的直线l 与曲线E 交于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆与直线m ：12x =是否相交，若相交，求出截得劣弧所对圆心角的弧度数，若不相交，请说明理由．。

高三数学双曲线知识精讲

高三数学第一轮复习：双曲线苏教版（文）【本讲教育信息】一、教学内容：双曲线高考要求：掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。

二、知识要点1、双曲线的两种定义（1）平面内与两定点F 1，F 2的常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是． ②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在．（2）平面内动点P 到一个定点F 和一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比是常数e ，当∈e 时动点P 的轨迹是双曲线．设P 到1F 的对应准线的距离为1d ，到2F 对应的准线的距离为2d ，则e d PF d PF 2211==2、双曲线的标准方程（1）标准方程：1b y a x 2222=-，焦点在轴上；1bx a y 2222=-，焦点在轴上．其中：a 0，b 0，=2a ．（2）双曲线的标准方程的统一形式：)0nm (1ny mx 22<=+3、双曲线的几何性质（对0b ,0a ,1by a x 22>>=-进行讨论）（1）范围：∈x ，∈y ．（2）对称性：对称轴方程为；对称中心为．（3）顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长为，虚轴长为，准线方程为，渐近线方程为．（4）离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越，e 越小，双曲线开口越，焦准距P ＝．（5）焦半径公式，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若)y ,x (P 00是双曲线右支上任意一点，=1PF ，=2PF ，若)y ,x (P 00是双曲线左支上任意一点，=1PF ，=2PF ．（6）具有相同渐近线x ab y ±=的双曲线系方程为（7）的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为，离心率为．（8）1by a x 2222=-的共轭双曲线方程为．【典型例题】例1、根据下列条件，写出双曲线的标准方程（1）中心在原点，一个顶点是（0，6），且离心率是1.5．（2）与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M （2，－2）．（3）已知双曲线的渐近线方程为032=±yx ，且过点（2，－6），求双曲线的方程；（4）已知双曲线的右准线为x ＝4，右焦点为F （10，0），离心率为e ＝2，求双曲线的方程．解：（1）∵顶点为（0，6），设所求双曲线方程为1bx a y 2222=- ∴6=a又∵5.1=e ∴95.1b e a c =⨯=⨯=故所求的双曲线方程为145x 36y 22=- （2）令与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线为x 2－2y 2＝k ∵ 双曲线过M （2，－2） ∴ 4－2×4＝k 得k ＝－4∴ x 2－2y 2＝－4即14x 2y 22=- （3）设2222,3,1492712x y y x λλ-=∴=-∴-=（42223(2)16x y =∴-+=例2、ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4BC =，且A sin 21B sinC sin =-，求顶点A 的轨迹方程．答案：221(0)3y x x -=>例3、可以证明函数x bax y +=（b ≠0）的图象是双曲线，试问双曲线C ：x 33x y +=的离心率e 等于．答案：332（提示：22x 3)3x )(3x (x 331y -+=-='）解：列表如下：根据上表，可作出x33x y +=的草图如下：渐近线有两条，一条为y 轴，另一条可设为y ＝kx ．由渐近线的意义知：设P （x ，y ）为双曲线x33x y +=上任一点，则点P 到渐近线y ＝kx 的距离为 d ＝1k x33x kx 2++-＝1k x3x )31k (2++-显然：01k x3x )31k (limd lim 2x x =+--=∞→∞→∴3331k ==即33a b =故双曲线的离心率332311)a b (1ab a ace 2222=+=+=+==.例4、直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解：（1）将y ＝kx ＋1代入2x 2－y 2＝1后并整理得：（k 2－2）x 2＋2kx ＋2＝0 ①依题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-02k 202k k 20)2k (8)k 2(02k 22222⇒－2＜k ＜－2（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由①得：x 1＋x 2＝2k 2k2-，x 1x 2＝2k 22- ② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c ，0），则FA ⊥FB ，因此⋅＝0即（x 1－c ）（x 2－c ）＋y 1y 2＝0 又y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1 ∴（k 2＋1）x 1x 2＋（k －c ）（x 1＋x 2）＋c 2＋1＝0 ③把②及c ＝26代入③得：5k 2＋62k －6＝0解得：k ＝－566+∈（－2，－2）或k ＝566-∉（－2，－2）（舍去）因此当k ＝－566+时，符合题给要求．例5、在双曲线112y 13x 22-=-的一支上有不同的三点A （x 1，y 1），B （x 2，6），C （x 3，y 3）与焦点F （0，5）的距离成等差数列．（1）求y 1＋y 3；（2）求证：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出这个定点的坐标．解：（1）依题意，A 、B 、C 均在双曲线的上支，则|AF|＝ey 1－32， |BF|＝6e －32， |CF|＝ey 3－32∵|AF|，|BF|，|CF|成AP∴6e －32＝232ey 32ey 31-+- 即y 1＋y 3＝12（2）∵A 、C 在双曲线上∴113x 12y 2121=-，113x 12y 2323=- 两式相减得：13x x )y y (13)x x (12x x y y 3131313131+=++=-- 于是AC 的垂直平分线方程为： y －6＝－)2x x x (x x 133131+-+ 即y ＝－31x x 13+x ＋225故直线恒过定点（0，225）例6、一双曲线以y 轴为其右准线，它的右支过点M （1，2），且它的虚半轴、实半轴、半焦距长依次构成一等差数列试求：（1）双曲线的离心率；（2）双曲线的右焦点F 的轨迹方程；（3）过点M ，F 的弦的另一端点Q 的轨迹方程解：（1）依题意，2a=b+c ， ∴b 2=（2a －c ）2 = c 2－a 2， 5a 2－4ac=0，两边同除以a 2，得54e =；（2）设双曲线的右焦点F （x ，y ），由双曲线的定义，点M 到右焦点的距离与点M 到准线的距离之比为e=45， ∴1)2y ()1x (22--+-=45， ∴F 的轨迹方程为（x －1）2+（y －2）2=1625 （3）设Q （x ，y ），点Q 到右焦点的距离与点Q 到准线的距离之比为5/4， ∴|QF|=4x5，又设点F （x 1，y 1），则点F 分线段QA 的比为FM QF =4x 5：45= x ， ∴x 1=x11x x +⨯+=x 1x 2+ ， y 1=x 12x y +⨯+=x 1y x 2++ ，代入（x 1－1）2+（y 1－2）2=1625整理得：点Q 的轨迹方程为 9x 2－16y 2+82x+64y －55=0例7、若1F 、2F 为双曲线)0b ,0a (1b y a x 2222>>=-的左右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左支，M 在右准线上，且满足OF 2=，)0|OM |(11>=λλ（1）求双曲线离心率；（2）若双曲线过点N （2，3），它的虚轴端点为1B ，2B （1B 在y 轴正半轴上）过2B作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，当A B 1⊥B B 1时，求直线l 的方程。

高二数学课件双曲线中的最值问题

= x2 2ax a 2 2x 设 f (x) x 2 2a 1x a 2
x a 12 a 12 a =x a 12 a 12 a
=x a 12 a 2 a 12
=x a 12 2a 1
当a 1 0,即a 1时, f xmin f 0 a2 AM min f xmin a a
3、若抛物线 y=4-x2 与直线 3x-y=0 的交于 A、B 两点，P 是抛物线弧 AB 上的点，试求△PAB 面积的最大值。
4
3 ∣AF2│的最小值
解：①∵b= 7 ＜3
∴点 M(1,3)在椭圆外, ∵∣AM│+∣AF2│≥∣MF2│(当且仅当 A、M、F2 三点共线时，等号成立) ∴（∣AM│+∣AF2│）min=∣MF2│= 1 32 3 02 13 ∵∣AF1│+∣AF2│=2a ∴∣AM│+∣AF2│=∣AM│+2a-∣AF1│=2a+(∣AM│ -∣AF1│) ∴∣AM│-∣AF1│≤∣MF1│(当且仅当 A、M、F2 三点共线时，等号成立)
当a 1 0,即a 1时, f xmin f a 1 2a 1 AM min f xmin 2a 1
小结
▪ 求圆锥曲线的最值问题时，可利用圆锥曲线的定义并结合几何性质，用几何方法求出最值；也可用代数方法建立目标函数，利用函数性质或不等式性质求出最值。
作业1Biblioteka 知双曲线x2 4y2 5
圆锥曲线中的最值问题
复习
1、椭圆及双曲线第一定义； 2、椭圆及双曲线第二定义； 3、抛物线定义
例1、已知椭圆
x2 16
y2 7
1 及点
M（1，3）,
F1、 F2 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭

椭圆、双曲线中若干定点定值问题

2020摘要：数学是高中主要基础学科，其中圆锥曲线的知识是高考的重中之重，教师在教学圆锥曲线这一部分的内容时关键是要让学生正确掌握解题思路，采用正确合理的解题方法才能在遇到类似数学问题时可以找到大致方向，帮助他们提高解题能力和解题效率。

本文将从高中数学解题思路切入，然后以椭圆、双曲线为例，简要分析其中的定点定值问题。

关键词：椭圆双曲线圆锥曲线解题思路一、培养学生正确解题思路的重要性想要提高学生的数学应用能力，最终在高考中获得高分最重要的就是培养学生正确的解题思路。

很多学生之所以学习能力不够好、数学成绩一直提不上去很大原因是因为没有正确掌握解题方法，其解题思路存在问题。

当学生遇到一道题干信息很多的时候往往会摸不着头脑，无从下手，连基本的解题方向也找不到，这也是学生在解题时经常出现的漏洞，甚至会出现漏题、看错题目、用错数学知识等问题。

学生如果能正确掌握数学解题方法和解题的思路，培养了正确的解题习惯就能知道这类题目应该用什么理论知识、用什么解题方法更快更准确，一旦掌握了正确的解题方法就对解题步骤了然于心，在考试时面对这样的题目也不会出现惊慌。

所以教师在平时教学中也要注重培养学生正确的数学解题能力和解题习惯，慢慢地对各类题型的解题有一个清晰的思路。

二、椭圆解题思路分析椭圆和双曲线是圆锥曲线中的重要内容，也是高考的重中之重，是高考中经常会出现的热门题型。

对于椭圆和双曲线问题的考察主要是考查学生对椭圆和双曲线概念、性质的掌握程度，以及曲线方程、轨迹方程、直线和圆锥曲线关系、定点定值最值、参数等问题。

在填空题、选择题中主要考查的是椭圆和双曲线的概念和性质，在解答题中通常会将椭圆、双曲线和其他知识结合起来考查，一般不会单独出现。

1.总的解题思路。

第一，合理应用数学思想方法，在形成解题思路以后要试着动手计算。

第二，椭圆解题通常利用到椭圆上点到焦点之间的距离，以及和到准线之间距离的转化问题。

第三，关于椭圆的标准方程必须分清楚类型，一般会用到的是待定系数法以及轨迹法。

直击双曲线的范围或最值问题

直击双曲线的范围或最值问题ʏ江苏省太仓市明德高级中学王佩其在数学问题中,范围或最值问题无处不在,破解这类问题必须讲究方法与策略㊂那么,求解双曲线的范围或最值问题有哪些基本策略呢本文举例说明,供同学们参考㊂策略一㊁数形结合例1 已知不共线的平面向量m ,n 满足|m |=2,|n |ȡ3,|m +n |-|m -n |=2,则m 与n 夹角的余弦取值范围为( )㊂A.0,22B .12,22C .0,32D .22,32分析:不妨设m =(2,0),由题意得到向量n 的终点的轨迹,结合条件|n |ȡ3,利用双曲线上点的特征,数形结合得到结论㊂解:已知|m |=2,不妨设m =(2,0),由|m +n |-|m -n |=2,得|n +m |-|n -m |=2㊂令n =O N ң,其对应点N 的轨迹是以(-2,0),(2,0)为焦点的双曲线的右支,它的方程为x 2-y 23=1(x >0),故实半轴为1,虚半轴为3㊂又|n |ȡ3,则x 2+y2=3,x 2-y 23=1⇒N62,62㊂图1此时O Nң与x 轴的夹角为π4,则满足|n |ȡ3的N 在图中双曲线N 点的上方或在双曲线上与N 点关于x 轴对称的N 1点下方的位置(如图1)㊂又双曲线的渐近线为y =ʃ3x ,所以m 与n 的夹角范围为π4,π3,则m 与n 夹角的余弦取值范围为12,22,故选B ㊂策略二㊁利用基本不等式例2 已知直线l 与双曲线x 23-y 24=1相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若O A ʅO B ,则|O A |㊃|O B |的最小值为( )㊂A.20 B .22C .24D .25分析:设直线O A 的方程为y =k x (k ʂ),与双曲线方程联立求出A 点坐标㊂同理,设直线O B 的方程为y =-1kx ,求出点B 的坐标㊂从而得出1|O A |2+1|O B |2=112,再利用基本不等式可得答案㊂解:依题意得直线O A 与O B 的斜率都存在且不为0,不妨设直线O A 的方程为y =k x (k ʂ0),则直线O B 的方程为y =-1k x ㊂设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立可得x 23-y 24=1,y =k x ,则x 21=124-3k 2,y 21=12k 24-3k2㊂所以|O A |2=x 21+y 21=124-3k 2+12k 24-3k2=12k 2+124-3k2㊂同理可得|O B |2=x 22+y 22=12ˑ1k 2+124-3ˑ1k2=12k 2+124k 2-3㊂所以1|O A |2+1|O B |2=4-3k212k 2+12+4k 2-312k 2+12=k 2+112k 2+12=112㊂8知识篇新高考名师护航高二数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.所以112=1|O A |2+1|O B |2ȡ21|O A |2㊃|O B |2=2|O A |㊃|O B |,即|O A |㊃|O B |ȡ24,当且仅当|O A |=|O B |时等号成立㊂故选C ㊂策略三㊁建立不等式例3 已知双曲线C :x23-y 2=1的左焦点为F ,过F 的直线l 交双曲线C 的左右两支分别于点Q ,P ,若|F Q |=t |Q P |,则实数t 的取值范围是( )㊂A.0,23-36B .23-36,1C .-ɕ,23-36D .23-36,2分析:设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),根据|F Q |=t |Q P |,求得x 2=t x 1-21+t ,y 2=t y 11+t ㊂将点P ,Q 的坐标代入双曲线的方程,求得x 1=1-6t4t,结合x 1ȡ3,即可求解㊂解:由题意知,双曲线C :x23-y 2=1的左焦点为F (-2,0)㊂设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),可得F Q ң=(x 2+2,y 2),Q P ң=(x 1-x 2,y 1-y 2)㊂因为|F Q |=t |Q P |,即F Q ң=t Q P ң,所以(x 2+2,y 2)=t (x 1-x 2,y 1-y 2)㊂整理得x 2=t x 1-21+t ,y 2=t y 11+t㊂又由点P ,Q 都在双曲线上,可得x 21+4y 21=3,(t x 1-2)2-3(t y 1)2=3(1+t )2㊂整理得x 1=1-6t4t㊂又由x 1ȡ3,可得1-6t4tȡ3㊂因t >0,解得0<t ɤ23-36,即实数t 的取值范围是0,23-36㊂故选A ㊂策略四㊁建立函数关系例4 已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1的离心率为2,点P 是双曲线上的动点,F 1㊁F 2分别是其左㊁右焦点,O 为坐标原点,则|P F 1|+|P F 2||O P |的取值范围是㊂分析:根据双曲线的定义将|P F 1|+|P F 2||O P |用点P 的横坐标表示出来,利用函数的单调性求出|P F 1|+|P F 2||O P |的值域㊂解:因双曲线x 2a 2-y 2b2=1的离心率为2,故b 2=3a 2,双曲线方程为x 2a 2-y 23a 2=1㊂不妨设P 为右支上的一点,其坐标为(x ,y ),其中x ȡa ,则:|P F 1|=(x +c )2+y2=(x +c )2+3x 2-3a 2=2x +a ㊂|P F 2|=|P F 1|-2a =2x -a ,即|P F 1|+|P F 2|=4x ,|O P |=x 2+y 2=4x 2-3a 2㊂所以|P F 1|+|P F 2||O P |=4x4x 2-3a2=44-3ax2㊂此时0<axɤ1,则1ɤ4-3a x 2<4㊂所以44-3ax2ɪ(2,4]㊂故答案为(2,4]㊂从以上几例的解析不难发现,求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的主要方法有:(1)几何法,如果题中给出的条件有明显的几何特征,那么可以考虑用图形的性质来求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解;(2)代数法,若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,将双曲线的范围(或最值)问题转化为函数的值域问题求解;(3)不等式法,借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解㊂(责任编辑徐利杰)9知识篇新高考名师护航高二数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

专题16：双曲线的定点问题

专题16：双曲线的定点问题1．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，半焦距2c =，点F 到右准线2a x c=的距离为12，过点F 作双曲线C 的两条互相垂直的弦AB ，CD ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N .（1）求双曲线C 的标准方程；（2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标.2．已知动圆P 过点()22,0F ，并且与圆1F ：()2224x y ++=相外切，设动圆的圆心P 的轨迹为C .（1）求曲线C 的方程；（2）过动点P 作直线与曲线2230x y -=交于,A B 两点，当P 为AB 的中点时，求OA OB ⋅的值；（3）过点2F 的直线1l 与曲线C 交于,E F 两点，设直线l ：12x =，点()1,0D -，直线ED 交l 于点M ，求证：直线FM 经过定点，并求出该定点的坐标.3．已知离心率为2的双曲线C 的一个焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离（1）求双曲线C 的方程；（2）设12A A ，分别为C 的左右顶点，P 为C 异于12A A ，一点，直线1A P 与2A P 分别交y 轴于,M N 两点，求证：以线段MN 为直径的圆D 经过两个定点.4．已知动圆P 过点()22,0F 并且与圆()221:24F x y ++=相外切，动圆圆心P 的轨迹为C .（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点()22,0F 的直线1l 与轨迹C 交于A 、B 两点，设直线1:2l x =，点()1,0D -，直线AD 交l 于M ,求证：直线BM 经过定点()1,0.5．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率2e =虚轴长为2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，点A 在曲线C 上，曲线C 的点P Q 、为曲线C 上易于点A 的任意两点,O 为坐标原点．（1）求曲线C 上方程；（2）若12F F 、为曲线的焦点，求12||PF PF OP +最大值；（3）若以PQ 为直径的圆过点A ，求证：直线PQ 过定点，并求出定点坐标．7．已知曲线22:136x y C -=，Q 为曲线C 上一动点，过Q 作两条渐近线的垂线，垂足分别是1P 和2P .（1）当Q 运动到时，求12QP QP ⋅的值；（2）设直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于M 、N 两点，与x 轴正半轴交于T 点，与y 轴交于S 点，若SM MT λ=，SN NT μ=，且1λμ+=，求证T 为定点.8．双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为3π，直线l 交双曲线于A 、B .（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率为PA k 、PB k ，证明：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标，若不存在，请说明理由.二、填空题9．已知双曲线C ：24x －y 2＝1，直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线C 相交于A ，B 两点(A ，B 均异于左、右顶点)，且以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，则直线l 所过定点为________．10．已知双曲线2212y x -=，点()1,0A -，在双曲线上任取两点P 、Q 满足AP AQ ⊥，则直线PQ 恒过定点__________；。

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