非线性方程组的迭代解法【开题报告】
非线性方程组的迭代解法【开题报告】
毕业论文开题报告信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、选题的背景和意义=的系数矩阵具有两非线性问题是近代数学研究的主流之一，随着计算问题的日益复杂化Ax b个明显的特点：大型化和稀疏化。
大型化指系数矩阵阶数可达上万甚至更高，稀疏性指A的零元素占绝大多数对这样的A作直接三角分解，稀疏性会遭到破坏，零元素被大量填入变为非零元素，因此迫切需要新的数值方法，适用于大型稀疏线性方程，以节省储存空间和计算时间，即提高计算效=是数值计算的重要任务，但是率，迭代法在这样的背景下得到关注和发展，求解线性方程组Ax b大多数科学和实际问题本质上是非线性的，能做线性化的毕竟有限，对这些非线性问题是各种解决方案，常常归纳为求解一个非线性方程组，而与线性方程相比非线性方程组的求解要困难和复杂的多，计算量也大的多，现有的理论研究还比较薄弱。
而对于非线性方程，一般都用迭代法求解。
二、国内外研究现状、发展动态近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。
这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。
三、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）非线性的迭代法是解非线性方程组的基本途径，是数值计算中非线性方程组求根的重要工具，也是研究非线性方程组整体性质和具体分布的重要工具。
就因为这样，很多专家学者对非线性方程组的迭代法进行研究。
在前人研究的基础上，本文首先介绍非线性方程组迭代法的产生背景以及国内外状况，然后从数值计算的定义及理论定理出发来研究非线性方程组的迭代法的一些相关的结论，包括非线性方程组的基于不动点原理的迭代法、newton迭代法及其收敛性、非线性方程组的迭代法及其收敛性、最小二乘法、迭代法的收敛加速性等，进一步讨论非线性方程组迭代解法的收敛性质以及其他一些相关定理，以便我们更好、更清楚的看到非线性方程组和迭代法之间的联系，以及收敛和加速。
非线性方程和非线性方程组的迭代解法
敛：ｐ＝２，ｃ＞０称序列至少平方收敛；若ｋ≥ｋ．，时，有Ｘｋ＝ｘ４成立，或
ｌｉｍ堕：。二型 ＝０
“‘｜｜Ｘ“一Ｘ＋旷 则称事列（Ｘ）为超ｐ阶收敛
定义４［１３假定迭代序列（ｘ。｝收敛于ｘ＋，量
！抽婪∑梨，当ｘｔ≠ｘ·对ｋ≥ｋ。 。
（１）公式的建立
设ｘ＋是方程ｆ（ｘ）＝ｏ的解，ｆ（ｘ）在ｘ＋的某邻域Ａ＝｛ｘｊ ｘ—ｘ４≤６｝存在
二阶导数，且ＶＸ∈Ａ，ｆ’（Ｘ）≠０，设ｘ。∈△为ｆ的近似值，将ｆ（ｘ）在Ｘ。处 展为一次Ｔａｙｌｏｒ多项式ｆ（Ｘ）＝ｆ（ｘｋ）＋ｆ ７（ｘ。）（ｘ—ｘ。），记ｐ（Ｘ）＝ｆ（ｘ．）十 ｆ’（Ｘ：）（Ｘ—Ｘ．），显然Ｐ（Ｘ）≈ｆ（ｘ）．令Ｐ（ｘ）＝Ｏ，解得
应用这个方法求解了非线性偏微分方程ｕ．＋“萎生等｝＜如Ｖ＞。Ｑ，ｓ（ｕ）＝。，其中
Ｑ“ｕ）２与竿导，万—ｉｉＦ数值计算中得到的非线性方程组，并通过迭代公
式（４－３）与Ｎｅｗｔｏｎ法的数值实验结果的比较，晚明了在相同精度要求卜Ｉ求解这 个问题时，ｆ＝｝｝式ｆ ４—３）优于＼ｅｎｔＯｔｌ法的几个方面．
第一章解非线性方程的常用迭代格式
在第三章写出了这几个迭代公式的相应算法设计，并将这些格式的数值实验 结果与Ｎｅｗｔｏｎ法、 弦截法、Ｍｕｌｌｅｒ法的数值实验结果进行了比较，说明了这 几个迭代格式的有效性．
在第四章中将预测式迭代法推广到了求解非线性方程组，分析了它的收敛 性、收敛阶，给出了其算法设计并进行了数值实验证明了方法的有效性．特别地，
兰州大学 硕士学位论文 非线性方程和非线性方程组的迭代解法及 姓名：尚秀丽 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：周宇斌
20041101
非线性算子不动点的迭代算法的开题报告
非线性算子不动点的迭代算法的开题报告
非线性算子不动点问题是数值分析领域的一个经典问题。
在数值计算中，很多实际问题都可以归结为求解一个非线性方程或解一个非线性的算子方程，这时需要使用迭代算法来求解。
其中一种常见的方法就是通过迭代算法求解非线性算子的不动点，也就是通常所说的迭代式。
此次开题报告的主要目的是探究非线性算子不动点的迭代算法。
我们将主要从以下三个方面来进行研究：
1. 迭代算法的基本原理：介绍迭代算法的原理和基本概念，加深对于迭代算法的理解。
2. 非线性算子不动点的存在性和唯一性：介绍非线性算子不动点的定义、存在性和唯一性，并通过一些典型例子进行阐述。
3. 针对不同的问题设计迭代算法：根据不同的问题特点，设计相应的迭代算法，并对其收敛性和计算效率进行分析和比较。
在研究过程中，我们将使用数学方法进行分析和证明，并基于计算机模拟实验验证理论结论的正确性和可行性。
最终，我们期望通过本次研究，探究出一些实用的非线性算子不动点的迭代算法，为数值计算提供一些有益的理论和方法支持。
非线性方程的迭代解法
⾮线性⽅程的迭代解法深圳⼤学实验报告实验课程名称：计算⽅法实验项⽬名称：⾮线性⽅程的迭代解法学院：计算机软件专业：计算机与科学技术报告⼈：学号：班级：04指导教师：实验时间：2010.5实验报告提交时间：2010.5.10教务处制实验报告包含内容⼀、实验⽬的与要求熟悉典型的迭代⽅法：⽜顿法、弦截法、⼆分法，了解各⾃的优缺点和适⽤范围掌握⾮线性⽅程的数值解法的基本思想和原理，深刻认识⾮线性⽅程的数值解法的意义⼆、模型建⽴x 5-3x 3+x-1= 0求该⽅程在区间[-8,8〕上的全部实根在区间[-8,8〕上的全部实根⼆分法：确定区间（a,b ）后，取（a,b ）的中点x(0)=(a+b)/2，若f(x(0))=0，则x(0)是根，否则，如f(a)*f(x(0))<0，令a1=a,b1=x(0)；如f(x(0))*f(b)<0，令a1=x(0),b1=b 在(a1,b1)内⾄少有⼀个根，再取的中点如此进⾏下去Newtown 法：将⾮线性问题逐步线性化⽽形成如下迭代程序：弦截法：将Newton 迭代中的导数，⽤差商代替，有格式 Newtown 下⼭法：将⽜顿的迭代公式修改为),2,1,0()(')(1 =-=+k x f x f x x k k k k λ其中λ是⼀个参数，λ的选取应使)()(1k k x f x f <+ 成⽴当11)(ε<+k x f 或21ε<-+k k x x 时就停⽌迭代，且取x *≈ x k +1，否则再减⼩λ，继续迭代。
三、模型求解：3.1开发环境： Visual C++ 6.0)()()(111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x3.2程序设计说明：程序设计根据⽜顿法、弦截法、⼆分法和newtown下⼭法思想和原理设计3.3：源代码：⼆分法：#include#include#define P 0.000001float getx(float x){return (x*x*x*x*x-(3*x*x*x)+x-1);};void main (){float y;float str1[20],str2[20];int i=0;str1[0]=-8;str2[0]=-1.3;while (str2[i]-str1[i]>P){y=(str1[i]+str2[i])/2;if(getx(str1[i])*getx(y)>P){str1[i+1]=y;str2[i+1]=str2[i];}else{str1[i+1]=str1[i];str2[i+1]=y;}i++;printf("%f %f\n",str1[i],str2[i]);}y=(str1[i]+str2[i])/2;printf("%f\n",y);}Newtown法：#include#include#define X 0.00000]1float nt(float x){return (x*x*x*x*x-(3*x*x*x)+x-1); }; float nt2(float y){return (5*y*y*y*y-9*y*y+1);};void main(){float c1,c2,x1=-1.3,x,dt;int i=1;while(i<20){c1=nt(x1);c2=nt2(x1);if(c1*c2==0){printf("%f\n",x1);exit(0);}x=x1-c1/c2;if(fabs(x)<=1)dt=fabs(x-x1);elsedt=fabs(x-x1)/fabs(x);if(dt{printf("%f \n",x1);printf("迭代次数=%d\n",i);exit(0);}}printf("%f\n",i);printf("迭代次数=%f\n",i);}弦截法：#include#include#include#define X 0.000001float xj(float x){return (x*x*x*x*x-(3*x*x*x)+x-1); };void main(){float x[20];float c1,c2,dt;int i=1;x[0]=1.5;x[1]=8;while(i<200){c1=xj(x[i]);c2=xj(x[i])-xj(x[i-1]);if(c1*c2==0){printf("%f\n",x[i]);exit(0);}x[i+1]=x[i]-(x[i]-x[i-1])*c1/c2;if(fabs(x[i+1])<=1)dt=fabs(x[i+1]-x[i]);elsedt=fabs(x[i+1]-x[i])/fabs(x[i+1]);printf("%f\n",x[i]);printf("迭代次数=%d\n",i);exit(0);}i++;}printf("%f %d\n",x[i],i);}Newtown下⼭法：#include#include#include#define X 0.000001double ntd(double x){return (x*x*x*x*x-(3*x*x*x)+x-1); }; double ntd2(double y){return (5*y*y*y*y-9*y*y+1);};void main(){double h,c1,c2,xo=8,x,dt;int i=1,j=0;while(i<20){j=0;c1=ntd(xo);c2=ntd2(xo);if(c1*c2==0){printf("%f\n",xo);exit(0);while(1){h=1*pow(0.5,j);x=xo-h*c1/c2;if(fabs(ntd(x))break;j++;}if(fabs(x)<=1)dt=fabs(x-xo);elsedt=fabs(x-xo)/fabs(x);if(dt{printf("%f\n",xo);printf("迭代次数=%d\n",i);exit(0);}xo=x;i++;}}3.4使⽤说明：直接运⾏程序3.5模型的解：⼼得体会：通过对⽐四种不同的迭代法解⾮线性⽅程，认识到各种的⽅法的优点和缺点。
数值分析--非线性方程的迭代解法
非线性方程的迭代解法1．迭代函数对收敛性的影响实验目的：初步认识非线性问题的迭代法及其收敛性，认识迭代函数对收敛性的影响，知道当迭代函数满足什麽条件时，迭代法收敛。
实验内容：用迭代法求方程 012)(3=--=x x x f 的根。
方案一： 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(213x x x φ=+= 方案二： 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(123x x x φ=-= 实验要求：分别对方案一、方案二取初值00=x ，迭代10次，观察其计算值，并加以分析。
实验程序：实验结果:2. 初值的选取对迭代法的影响实验目的：通过具体的数值实验，体会选取不同的初值对同一迭代法的影响。
实验内容：用牛顿迭代法求方程 013=--x x 在x =1.5附近的根。
实验要求：对牛顿迭代公式 131231----=+k k k k k x x x x x ，分别取00=x ，5.10=x 迭代10次，观察比较其计算值，并分析原因。
实验程序：实验结果：3.收敛性与收敛速度的比较实验目的：通过用不同迭代法解同一非线性方程，比较各种方法的收敛性与收敛速度。
实验内容：求解非线性方程 0232=-+-x e x x 的根，准确到106-。
实验要求：(1) 用你自己设计的一种线性收敛的迭代法求方程的根，然后用斯蒂芬森加速迭代计算。
输出迭代初值、各次迭代值及迭代次数。
(2) 用牛顿迭代法求方程的根，输出迭代初值、各次迭代值及迭代次数，并与(1)的结果比较。
实验程序：1．普通迭代，选用初值0.52. 斯蒂芬森加速迭代3.牛顿迭代法实验结果：。
非线性方程的简单迭代法和Steffensen迭代法
《数值计算方法》实验报告实验名称：实验1 非线性方程的简单迭代法和Steffensen 迭代法 实验题目：分别用简单迭代法和Steffensen 迭代法求方程 010423=-+x x在 [1, 2] 的一个实根.实验目的：理解并掌握简单迭代法和Steffensen 迭代法 基础理论：简单迭代法和Steffensen 迭代法1）.简单迭代法的原理：将一元非线性方程：0)(=x f 改写成等价方程：)(x x ρ= ，对此，从某个初始值x0开始，对应式)(x x ρ= 构成迭代公式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ ，这样就可以确定序列 {}k x （k=0，1，2…）。
如果 {}k x 有极限*lim x x k k =∞→ ，由式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ 两边取极限可得 )(**x x ρ= ，可知 *x 为方程0)(=x f 的近似解。
2）Steffensen 迭代法的原理：通过把改进的Aitken 方法应用于根据不动点迭代所得到的线性收敛序列，将收敛速度加速到二阶。
()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+---===+k k k k k k k k k k k x y z x y x x y z x y 2)()(21ρρ[]x x x x x x x +---=)(2)(()()(2ρρρρψ实验环境：操作系统：Windows 7；实验平台：Turbo C++实验过程：写出算法→编写程序→调试运行程序→计算结果1）简单迭代法的算法：Input:初始近似值x0,精度要求del,最大迭代次数NOutput:近似解x 或失败信息1. n ←12. While n≤N do;3. x ←f(x0);4. if | x-x0|<del then5. | return x;6. end7. n←n+1;8. X0←x;9. End10. return False;// 超出最大迭代次数2）Steffensen迭代法的算法：Input : 区间端点a,b；精度要求del；最大迭代次数N Output:近似解或失败信息1. n←12. while n ≤N do;3. y←f(x0);4.z←f(y);5.x←x0－()202xyzxy+--;6.If |x-x0|<del then;7.| return x;8.end9.n←n+1;10.x0←x;11.end12.return False;实验结果a，用简单迭代法计算的结果结果约为1.365230b.用Steffensen迭代法计算的结果：近似解为：1.365230给出程序:1,简单迭代法的程序（C++）#include "stdio.h"#include "math.h"#define phi(x) 0.5*sqrt(10-x*x*x)void main(){int n=1,N;float x,x0,del;printf("x0="); scanf("%f",&x0); printf("\ndel=:"); scanf("%f",&del); printf("\nN="); scanf("%d",&N);printf("\nk x(k)");printf("\n %2d %f ",0,x0);while (n<N){ x=phi(x0);if(fabs(x-x0)<del){ printf("\n \n=近似解= %f \n",x);return;}printf("\n %2d %f ",n,x0);n=n+1; x0=x;}printf("\n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n",N); }2,Steffensen迭代法的程序（C++）#include "stdio.h"#include "math.h"#define phi(x) 0.5*sqrt(10-x*x*x);void main(){int n=1,N;float x,x0,del,y,z,a,b;printf("x0="); scanf("%f",&x0);printf("\ndel=:"); scanf("%f",&del);printf("\na="); scanf("%f",&a);printf("\nb="); scanf("%f",&b);printf("\nN="); scanf("%d",&N);printf("\nk x(k)");printf("\n %2d %f ",0,x0);while (n<N){ y=phi(x0);z=phi(y);x=x0-(y-x0)*(y-x0)/(z-2*y+x0);if(fabs(x-x0)<del){ printf("\n \n=近似解= %f \n",x);return;}printf("\n %2d %f ",n,x0);n=n+1; x0=x;}printf("\n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n",N);}结果分析：1.用简单迭代法和Steffensen迭代法都能求出非线性方程的近似解，且用简单迭代法和Steffensen迭代法求出的近似解基本一样。
非线性方程组迭代法
实验二 非线性方程的数值解法1.1 实验内容和要求在科学研究和工程技术中大量的实际问题是非线性的，求非线性方程()0f x =满足一定精确度的近似根是工程计算与科学研究中诸多领域经常需要解决的问题。
实验目的：进一步理解掌握非线性方程求根的简单迭代法、埃特金Aitken 加速法、牛顿迭代法的思想和构造。
实验内容： 求方程2320x x x e -+-=的实根。
要求：（1）设计一种简单迭代法，要使迭代序列收敛，然后再用埃特金Aitken 加速迭代，计算到-8110k k x x --<为止。
（2）用牛顿迭代法，同样计算到-8110k k x x --<（3）输出迭代初值、迭代次数k 及各次迭代值，并比较算法的优劣。
1.2 算法描述普通迭代法计算步骤：（1）给定初始近似值0x ，eps 为精确度。
（2）用迭代公式x =x 2+2−e x 3进行迭代，直到-8110k k x x --<为止。
埃特金Aitken 加速迭代法计算步骤：（1）将()0f x =化成同解方程()x x ϕ=()k k y x ϕ= ，()k k z y ϕ=21()2k k k k k k k y x x x z y x +-=--+=22k k k k k kx z y z y x --+ （2）计算到-8110k k x x --<为止。
牛顿法计算步骤：给定初始近似值0x ，1ε为根的容许误差，2ε为()f x 的容许误差，N 为迭代次数的容许值。
计算00(),()f x f x '（1）如果0()0f x '=或者迭代次数大于N ，则算法失败，结束；否则执行（2）（2）按公式0100()()f x x x f x =-'迭代一次，得到新的近似值1x ，计算11(),()f x f x ' （3）如果101x x ε-<或者12()f x ε<，则迭代终止，以1x 作为所求的根，结束；否则执行（4）（4）以111(,(),())x f x f x '代替000(,(),())x f x f x '，转步骤（1）继续迭代。
非线性方程的迭代法
非线性方程的迭代法”1. 实验题目设方程f （x ）=x 3-3x-1=0有3个实根x1*=1.8793，x2*=-0.34727，x3*=-1.53209.现采用下面6种不同计算格式，求f （x ）=0的根x1*，x2*。
(a) x=2x 1x 3+ (b) x=313+x (c) x=313+x (d) x=312-x (e) x=x/13+ (f) x=x-31 要求如下：（１）编制一个程序进行运算，最后打印出每种迭代格式的敛散情况；（２）用误差估计｜ｘ1n +－ｘn ｜＜ｄｅｌ来控制迭代次数，并且打印出迭代的次数；（３）观察初始值的选取对迭代收敛有何影响；（４）分析迭代收敛和发散的原因。
2. 实验目的掌握用迭代法求解线性方程组,加深对用迭代方程求方程根的理解3. 基础理论4. 实验环境Visual C++ 语言5. 实验过程#include<iostream.h>#include<stdio.h>#include<math.h>#define pha(x) 3*x+1/x*x#define phb(x) (x*x*x-1)/3#define phc(x) pow(3*x+1,1/3.0)#define phd(x) 1/(x*x-3)#define phe(x) sqrt(3+1/x)#define phf(x) x-((x*x*x-3*x-1)/((x*x-1)*3)) void main(){int N;double x,x0,del;cout<<"初始近似值x0=";cin>>x0;cout<<"精度del=";cin>>del;cout<<"最大迭代次数N=";cin>>N;double s;for(int k=1;k<7;k++){int n=1;if(k==1){s=fabs(pha(x0+1e-4)-pha(x0))/1e-4;cout<<"使用a计算方法:"<<endl; }if(k==2){s=fabs(phb(x0+1e-4)-phb(x0))/1e-4;cout<<"使用b计算方法:"<<endl; }if(k==3){s=fabs(phc(x0+1e-4)-phc(x0))/1e-4;cout<<"使用c计算方法:"<<endl; }if(k==4){s=fabs(phd(x0+1e-4)-phd(x0))/1e-4;cout<<"使用d计算方法:"<<endl; }if(k==5){s=fabs(phe(x0+1e-4)-phe(x0))/1e-4;cout<<"使用e计算方法:"<<endl; }if(k==6){s=fabs(phf(x0+1e-4)-phf(x0))/1e-4;cout<<"使用f计算方法:"<<endl; }if(s>0&&s<1){cout<<"该迭代公式收敛"<<endl;while(n<N){if(k==1) x=pha(x0);if(k==2) x=phb(x0);if(k==3) x=phc(x0);if(k==4) x=phd(x0);if(k==5) x=phe(x0);if(k==6) x=phf(x0);if(fabs(x-x0)<del){cout<<"近似解为:"<<x<<endl;cout<<"迭代次数为:"<<n<<endl<<endl;n=N+1;}elsen=n+1;x0=x;if(n==N)cout<<"超过最大的迭代次数，得不到所要求近似解。
非线性方程的迭代法实验
《数值分析》实验报告实验1 非线性方程的迭代法1.实验名称实验 非线性方程的迭代法2.实验题目设方程f(x)=x3-3*x-1=0有三个实根，X1*=1.8793，X2*= -0.34727，X3*= -1.53209，现采用下面6种不同的计算格式，求f(x)=0的根x1*，x2*。
(a) x=21x 3+ (b) x=31x 3- (c) x=31x 3+ (d) x=3x 12- (e) x=x 13+ (f) x=x-311-x 1-x 3-x 23 要求如下：（1）编制一个程序进行运算，最后打印出每种迭代格式的敛散情况。
（2）用误差估计|xn+1-xn|<ε来控制迭代次数，并且打印出迭代的次数。
（3）观察初始值的选取对迭代收敛有何影响。
（4）分析迭代收敛和发散的原因。
3实验过程：（利用C 语言及迭代算法编写代码如下）#include<stdio.h>#include<math.h>double fa(double x){return (3*x+1)/(x*x);}double fb(double x){return (x*x*x-1)/3;}double fc(double x){return pow( (3*x+1),1.0/3.0);}double fd(double x){return 1/(x*x -3);}double fe(double x){return sqrt(3+1/x);}double ff(double x){return x-(x*x*x-3*x-1)/( 3* (x*x-1) ); }int main(){double e,x,x0,x1;int n,count,i;printf("请输入最大迭代次数N: ");scanf("%d",&n);printf("请输入函数的一个近似值X: "); scanf("%lf",&x1);printf("请输入误差估计值e: ");scanf("%lf",&e);for(i=1;i<=6;i++){printf("函数f%c()的结果\n",'a'-1+i);count=1;x0=x1;while(count<=n){switch(i){case 1: x=fa(x0); break;case 2: x=fb(x0); break;case 3: x=fc(x0); break;case 4: x=fd(x0); break;case 5: x=fe(x0); break;case 6: x=ff(x0); break;}// x=fb(x0);if(fabs(x-x0)<e){printf(" x= %lf\n\n",x0);break;}else{printf("%d %lf\n",count,x);x0=x;count++;}}if(count>n)printf("循环次数超过%d,没求出结果\n\n",count-1);}return 0;}实验结果：取迭代最大次数N为50，ε=0.0000001，近似初始值如下表的结果如下表（n为迭代次数）：实验数据分析：显然：对于函数a取初始值X1*=1.8793，X2*= -0.34727时，迭代次数是超过50次的，即函数a在X1*=1.8793，X2*= -0.34727可能是发散的。
非线性方程两点迭代解法的改进的开题报告
非线性方程两点迭代解法的改进的开题报告一、研究背景与意义非线性方程组在科学、工程等领域中应用广泛，如物理、化学、经济等领域。
然而，一般情况下，非线性方程的求解是非常困难的。
因此，如何高效地求解非线性方程组一直是学术界和工业界的研究热点。
目前，解非线性方程组的迭代算法主要有牛顿迭代法、割线法、二分法、迭代加速法等方法。
其中，非线性方程组迭代加速法是一类重要的方法。
作为非线性方程求解的一种有效工具，非线性方程两点迭代解法已经被广泛地应用，这种方法具有收敛速度较快的优点。
因此，对非线性方程两点迭代解法进行研究和改进，具有很高的实际应用价值。
二、研究内容与目标本研究主要是针对非线性方程两点迭代解法进行改进。
目前，非线性方程两点迭代解法在使用过程中存在一些问题，如收敛速度较慢、迭代次数较多等问题。
针对这些问题，本研究将从以下几个方面进行改进：1. 改进初始值的选取方法，以减少迭代次数，提高算法效率。
2. 引入自适应参数，优化迭代算法的收敛速度，提高求解精度。
3. 对算法的稳定性和收敛性进行分析和论证，确保算法的可靠性。
通过对非线性方程两点迭代解法进行改进，提高算法的求解效率和精度，使得该算法在实际应用中更具有实用性和可行性。
三、研究方法本研究的主要研究方法如下：1. 分析非线性方程组的迭代求解方法及其应用。
2. 提出改进非线性方程两点迭代解法的思路和方法，确定初始值的选取方法，引入自适应参数等。
3. 对新算法进行稳定性和收敛性分析，确保算法的可靠性。
4. 利用MATLAB对所提出的改进迭代算法进行数值模拟和实验验证，对新算法进行效果评估。
四、预期结果本研究的预期结果如下：1. 提出改进非线性方程两点迭代解法的思路和方法，确定初始值的选取方法，引入自适应参数等。
2. 对新算法进行稳定性和收敛性分析，论证新算法的可靠性。
3. 利用MATLAB对所提出的改进迭代算法进行数值模拟和实验验证，评估新算法的效果，证明新方法的优越性。
非线性方程迭代解法实验报告
深圳大学实验报告
课程名称：计算方法
实验项目名称：非线性方程迭代解法
学院：计算机与软件学院
专业、班级：09 计算机科学与技术05班
}
ax[k]=x2;
//printf("用%d次牛顿迭代求得一个根，值为：\n",j);//迭代次数
//printf("用%d次牛顿简化迭代求得一个根，值为：\n",j);//牛顿简化//sprintf("用%d次弦割迭代求得一个根，值为：\n",j);//弦割
printf("用%d次下山迭代求得一个根，值为：\n",j);//下山
printf("ax%d=%.9lf\n",k+1,ax[k]);//输出根
k++;//记录根个数
}
getchar();
getchar();
}
3.3 模型的解（含运行结果截图）
图1：牛顿迭代
图1：简化牛顿迭代
图3：弦割法
图4：下山法
3.4 结果分析
用牛顿迭代解法的收敛速度最快，求解的时候分别只用4次和3。
求解非线性方程的某些高阶迭代方法的收敛性分析的开题报告
求解非线性方程的某些高阶迭代方法的收敛性分析的开题报告开题报告：求解非线性方程的某些高阶迭代方法的收敛性分析一、研究背景非线性方程是数学中的一类重要问题，解决非线性方程问题在科学与工程上有着重要的应用。
目前，求解非线性方程的方法包括Newton法、Broyden法、割线法、迭代法等。
其中，迭代法通过迭代逼近方程的根，是一种简单、可行的数值计算方法。
传统的迭代法通常采用简单的迭代格式，如$x_{k+1}=g(x_k)$，其中$g(x)$为迭代函数。
但这种方法的收敛速度慢，常常需要大量的迭代次数才能得到满意的解。
因此，为了加快求解速度，我们需要研究一些高阶迭代方法。
二、研究内容本文将研究非线性方程的某些高阶迭代方法的收敛性分析。
具体来说，我们将研究以下三个方面：1. 高阶收敛方法的定义介绍高阶收敛方法和其定义，以及对比这种方法与传统迭代法之间的差异。
2. 数值实验在Matlab中实现高阶收敛方法，并通过数值实验来比较不同方法的求解速度和精度。
3. 收敛性分析基于泰勒级数和牛顿-莱布尼茨公式，分析高阶迭代方法的收敛性，并从理论上证明该方法的正确性。
三、研究意义本研究的主要意义在于提高非线性方程求解的精度和速度。
不仅可以为科学工程中的实际应用提供更准确高效的解决方案，同时有助于推动非线性方程领域的研究进展。
四、研究方法本文将采用文献调研和数值实验相结合的方法进行研究。
首先，通过文献调研了解高阶收敛方法的概念、定义和相关理论知识。
然后在Matlab中实现不同的高阶收敛方法，并进行数值实验，以验证方法的实际效果。
最后，针对实验结果进行数据分析和理论分析，从而得出结论。
五、预期成果本研究的预期成果为：1. 实现不同的高阶收敛方法，并通过数值实验比较方法的求解速度和精度。
2. 基于泰勒级数和牛顿-莱布尼茨公式，从理论上证明高阶迭代方法的收敛性。
3. 提出适用于不同类型非线性方程的高阶迭代方法，并对实际数值计算进行指导。
非线性算子不动点的迭代方法的开题报告
非线性算子不动点的迭代方法的开题报告一、选题背景在实际问题中，许多方程和问题的求解往往需要使用到非线性算子的概念，比如非线性微分方程、非线性积分方程等等。
而求解这些问题的难点在于很多非线性算子往往没有解析解，需要使用数值方法来求解。
求解非线性算子的一种有效方法是通过非线性算子不动点迭代法。
不动点迭代法是一种基于迭代的求解算法，其思想是通过迭代计算来逐渐逼近不动点，从而得到非线性算子的解。
二、研究目的本研究的目的是探讨非线性算子不动点迭代法在求解非线性微分方程和非线性积分方程问题上的应用，进一步探索该方法的数值计算特点和优缺点，为该方法的进一步发展和应用提供理论和实践基础。
三、研究方法和技术路线本研究将采用文献综述和数值实验相结合的方法，通过查阅相关文献，总结和分析不动点迭代法的基本思想和数学理论，并利用 MATLAB 等数值计算工具来验证该方法的可行性和精度。
具体的技术路线为：1.搜集相关文献，了解非线性算子不动点迭代法的基本概念、理论和方法；2.研究非线性微分方程和非线性积分方程的数值求解方法，并对比不动点迭代法与其他方法的优缺点；3.通过数值实验验证不动点迭代法在非线性微分方程和非线性积分方程问题上的应用，并分析其数值计算特点和优缺点；4.总结分析研究结果，提出进一步完善和发展该方法的建议和措施。
四、预期成果和意义预期成果：1.对非线性算子不动点迭代法的数学理论和实际应用有深入的理解和认识；2.分析比较了不动点迭代法和其他数值方法在非线性微分方程和非线性积分方程问题上的优缺点；3.利用 MATLAB 等数值计算工具，验证了不动点迭代法在非线性微分方程和非线性积分方程问题上的可行性和精度。
意义：通过本研究的开展，可以进一步深入研究非线性算子不动点迭代法的数学理论和实际应用，为解决实际问题提供更为有效和优秀的数值方法，有一定的学术和应用价值。
4 非线性方程(组)的迭代解法
则 ∃δ > 0, 使得 ∀x0 ∈[ x * −δ , x * +δ ],
n→∞
由迭代(1)产生的序列 {xn } ⊂ [ x * −δ , x * +δ ], 且有与前一定理完全相同的不等式成立！ 注： 当定理条件成立时，
limxn = x *
只要x0充分 充分接近x*，就能保证迭代序列{xn}收敛于x*！
ω
3 由 ϕ ''( a ) = 0，可得 ω = 。 2
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School of Math. & Phys.
14
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2011-4-15
J. G. Liu
3、牛顿迭代算法 、
将f(x)在初值x0处做Taylor展开 取其线性部分做为f(x)的近似，有：
2011-4-15
方法3 1.5000 0.8165 2.9969 0 -2.9412i 方法4 1.5000 1.3484 1.3674 1.3650 1.3653 1.3652 1.3652
J. G. Liu
不收敛
不收敛
6次
收敛与否，以及 收敛快慢，取决 于迭代函数 迭代函数
15次
School of Math. & Phys.
a+b , f = f ( x ); 2 若 f < η , 则 x为所求根，结束！ 计算 x =
否则 若 f ∗ f a < 0, 则 b = x, fb = f ;
注：
其中 η , ε 为 精度控制参数!
(4)
若 f ∗ f a > 0, 则 a = x , f a = f ; b+a 若 b − a < ε ,则x = 为所求根，结束！ 2
非线性方程求解的若干研究的开题报告
非线性方程求解的若干研究的开题报告一、研究方向非线性方程求解是数学和计算机科学中一个基本和重要的问题，它在许多领域中被广泛应用，例如机器学习、数据挖掘、自然语言处理等。
本研究旨在探索非线性方程求解的一些最新研究进展和算法应用，并提出一些新的思路和解决方法。
二、研究内容1. 研究非线性方程求解的基本概念和问题，包括标量方程的求解、多元方程组的求解等。
2. 探究现有的非线性方程求解算法及其优缺点，包括基于牛顿迭代、拟牛顿法、粒子群算法等方法，分析不同算法的适用性和收敛性。
3. 提出一种改进的非线性方程求解算法，结合多适应度和混合优化技术，提高算法的精度和稳定性，适用于大规模的复杂非线性优化问题。
4. 应用研究结果，比较不同算法在实际问题中的运行效果，例如人脸识别、语音识别等。
三、研究意义本研究对于解决实际问题中的非线性方程求解问题具有一定的理论和应用意义。
通过研究不同的求解方法和算法，提高非线性方程求解的精度和效率，为解决复杂问题提供了有效的手段。
四、研究方法1. 理论研究，系统梳理非线性方程求解中的基本概念和问题，深入探究现有的算法和理论依据。
2. 算法设计，基于文献和理论研究结果，结合多适应度和混合优化技术，提出一种改进的非线性方程求解算法。
3. 实验研究，应用研究结果，比较不同算法在实际问题中的运行效果，例如人脸识别、语音识别等，验证算法的优越性。
五、预期成果1. 提出一种改进的非线性方程求解算法，提高算法的精度和效率。
2. 比较不同算法在实际问题中的运行效果，验证算法的优越性。
3. 撰写本文，介绍非线性方程求解的研究现状、分析存在的问题和挑战，提出改进算法，分析算法的优化和应用效果。
六、研究进度安排第一阶段：调研和文献阅读（2个月）1. 对非线性方程求解的相关领域进行广泛调研，统计最新研究成果和发展趋势，了解国内外学术文献和研究进展。
2. 系统阅读相关文献，包括非线性方程求解的理论、算法、应用等，掌握基础的理论知识和研究方法。
带参数非线性方程的迭代解法的开题报告
带参数非线性方程的迭代解法的开题报告一、选题的背景和意义在实际应用中，许多问题都可以通过方程的求解来得到解决，因此求解方程的方法也是一个重要的研究方向。
其中，非线性方程是一类在不同领域中广泛应用的重要数学问题，其求解方法具有重要的理论意义和实际价值。
在数学中，迭代法是一种基本的数值计算方法，它适用于很多数值求解问题。
对于非线性方程组，其解析解求解困难，通常需要通过数值迭代方法来近似求解。
因此，带参数的非线性方程的迭代解法的研究具有重要的实际应用价值和科学意义。
二、研究内容和思路本文将从以下几个方面入手，研究带参数的非线性方程的迭代解法。
1. 带参数的非线性方程的描述和数学模型建立：从实际问题出发，对带参数的非线性方程进行描述和数学模型建立。
2. 数值迭代方法的基本原理：介绍数值迭代方法的基本原理和一些常用的数值迭代方法。
3. 带参数的非线性方程的迭代解法：基于数值迭代方法，研究带参数的非线性方程的迭代解法，分析其数值稳定性和收敛性。
4. 数值实验：通过数值实验，验证所提出的带参数的非线性方程的迭代解法的可行性和有效性，比较不同方法的优劣，并分析其适用范围和限制条件。
三、研究目标和创新点本文的研究目标是提出一种可靠、高效的带参数的非线性方程的迭代解法，并分析其数值特性和稳定性。
本文的创新点主要体现在以下几个方面：1. 在带参数的非线性方程的求解问题上，提出了一种新的数值迭代方法，提高了求解的精度和效率。
2. 对所提出的方法进行了深入的数学分析，证明了其数值稳定性和收敛性。
3. 通过大量的数值实验，在实际问题中验证了所提出的方法的可行性和有效性，并比较了其与其他方法的优劣。
综上所述，本文的研究成果具有一定的理论价值和实际应用价值，为带参数的非线性方程的求解问题提供了一种新的数值迭代方法，并对该方法进行了深入的数学分析和大量的数值实验。
第六章非线性方程组的迭代解法
第六章非线性方程组的迭代解法6.3 一元方程的常用迭代法6.3.1 Newton迭代法6.3.2 割线法与抛物线法第六章非线性方程组的迭代解法设x*是方程f(x)=0的实根，是一个近似根，用Taylor展开式有,)(2)())(()()(02*"*'*k k k k x x f x x x f x f x f −+−+==ξ*xx k ≈k x 这里假设存在并连续。
若，可得)(''x f 0)('≠k x f ,)()(2)()()(2*'"'*k k k k k x x x f f x f x f x x −−−=ξ（6.3.1）其中。
若（6.3.1）的右端最后一项忽略不记，作为x*新的一个近似值，就有之间与在k x x *ξ)()('1k k k k x f x f x x −=+，k=0,1,…，（6.3.2）这就是Newton 迭代法。
6.3.1 Newton 迭代法第六章非线性方程组的迭代解法对（6.3.2）可作如下的几何解释：为函数f(x)在点处的切线与横坐标轴的交点,见图6-3.因此Newton 迭代法也称为切线法.k x 1+k x Y1+k x *xy=f(x))(k x f kxX将(6.3.2)写成一般的不动点迭代(6.2.3)的形式,有,)()()('x f x f x x −=ϕ2'"')]([)()()(x f x f x f x =ϕ所以有Newton 迭代法是超线性收敛的。
更准确地,从(6.3.1)和(6.3.2)可得下面的定理.)0)((,0)(*'*'≠=x f x ϕ第六章非线性方程组的迭代解法定理6.5, 且f(x)在包含x*的一个区间上有二阶连续导数,则Newton 迭代法（6.3.2）至少二阶收敛，并且0)(,0)(*'*≠=x f x f 设.)(2)()(*'*"2**1lim x f x f x x x x k k k =−−+∞→以上讨论的是Newton 法的局部收敛性。
非线性算子的迭代算法的开题报告
非线性算子的迭代算法的开题报告一、选题背景与意义随着科技的不断进步和发展，越来越多的计算问题需要进行高效、准确地求解。
其中，非线性算子的迭代算法被广泛应用于诸如数值微积分、多元函数优化、图像处理以及机器学习等领域中。
非线性算子的迭代算法可以将复杂的问题简化为一系列简单的计算步骤，并能够处理各种类型的非线性问题。
因此，研究非线性算子的迭代算法对于提高计算效率与准确性，推动科技创新和发展具有重要的意义。
二、研究内容非线性算子的迭代算法是计算数学中的一个重要分支，其核心思想是由一个初值出发，通过多次迭代使用某个变换，逼近所求的解。
因此，非线性算子的迭代算法研究主要包括以下几个方面：1.非线性算子的收敛性非线性算子的收敛性是非线性迭代算法最基本的理论问题。
针对不同的非线性算子，需要确定什么条件下迭代算法可以收敛。
2.非线性算子的迭代格式非线性算子的迭代格式是指非线性迭代算法的具体实现方法。
针对不同的非线性算子，需要设计相应的迭代格式，以便迭代求解。
3.非线性算子的混合迭代法非线性算子的混合迭代法是一种常用的提高非线性迭代算法收敛速度的方法。
该方法通过结合不同的迭代方法，将其优点结合起来，使得迭代求解更加高效。
三、研究方法本文将采用理论分析和数值实验相结合的方法进行研究。
通过数学分析和计算实验来验证非线性算子的迭代算法的正确性和有效性，进而提出相应的改进措施和优化算法。
本文将着重研究非线性算子的收敛性和迭代格式，同时也将探讨非线性算子的混合迭代法。
四、论文结构本文将分为五个部分：引言、非线性算子的基本理论、非线性算子的迭代方法、非线性算子的混合迭代算法以及结论与展望。
其中，引言部分将介绍研究的背景和意义，非线性算子的基本理论将阐明非线性算子的基本概念和理论基础，非线性算子的迭代方法将讨论非线性算子的迭代格式和收敛性，非线性算子的混合迭代算法将介绍混合迭代方法的基本原理和应用，结论与展望部分将总结本文的研究成果，并展望未来研究方向。
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毕业论文开题报告
信息与计算科学
非线性方程组的迭代解法
一、选题的背景和意义
=的系数矩阵具有两非线性问题是近代数学研究的主流之一，随着计算问题的日益复杂化Ax b
个明显的特点：大型化和稀疏化。
大型化指系数矩阵阶数可达上万甚至更高，稀疏性指A的零元素占绝大多数对这样的A作直接三角分解，稀疏性会遭到破坏，零元素被大量填入变为非零元素，因此迫切需要新的数值方法，适用于大型稀疏线性方程，以节省储存空间和计算时间，即提高计算效
=是数值计算的重要任务，但是率，迭代法在这样的背景下得到关注和发展，求解线性方程组Ax b
大多数科学和实际问题本质上是非线性的，能做线性化的毕竟有限，对这些非线性问题是各种解决方案，常常归纳为求解一个非线性方程组，而与线性方程相比非线性方程组的求解要困难和复杂的多，计算量也大的多，现有的理论研究还比较薄弱。
而对于非线性方程，一般都用迭代法求解。
二、国内外研究现状、发展动态
近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。
这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。
三、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）
非线性的迭代法是解非线性方程组的基本途径，是数值计算中非线性方程组求根的重要工具，也是研究非线性方程组整体性质和具体分布的重要工具。
就因为这样，很多专家学者对非线性方程组的迭代法进行研究。
在前人研究的基础上，本文首先介绍非线性方程组迭代法的产生背景以及国内外状况，然后从数值计算的定义及理论定理出发来研究非线性方程组的迭代法的一些相关的结论，包括非线性方程组的基于不动点原理的迭代法、newton迭代法及其收敛性、非线性方程组的迭代法及其收敛性、最小二乘法、迭代法的收敛加速性等，进一步讨论非线性方程组迭代解法的收敛性质以及其他一些相关定理，以便我们更好、更清楚的看到非线性方程组和迭代法之间的联系，以及收敛和加速。
四、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）
（一）研究方法
利用网络、书籍，杂志等渠道收集与非线性方程组迭代解法问题相关的信息资料, 然后对资料加以整理分类，筛选出有用的信息。
和老师同学进行讨论，运用已学的分析方法，对筛选出来的资料加以终结、归纳，为写正文作准备。
（二）准备工作
非线性方程组的迭代法是数值计算的重要任务，但是它的体系还不是很完善，现有的研究和理论还比较薄弱，但是人们从来没有停止过对非线性方程组的深入研究。
很多人都会根据需要来研究非线性方程组迭代法的推广，探索它新的理论体系。
在关于非线性方程组迭代法的研究上，我采取了先对已知非线性方程组的迭代法定义了解的基础上，再根据这些非线性方程的迭代得出新的迭代法定义，然后就所有可用资料结论来完成对这项研究进行全面的认识而后集结成文。
这次研究资源的主要取向是图书馆藏书、网上的刊物及博硕士论文，通过对资料的整理、对知识点的理解、掌握，编写而成。
主要思想是在非线性方程组迭代法的理解基础上，讨论它们之间的关系，对非线性方程组迭代法的推广的分析来完成。
五、毕业论文（设计）提纲
摘要
1 引言
1.1 概念
2非线性方程的根的定位和二分法
2.1根的定位
2.2二分法
3 非线性方程组的迭代法解法
3.1概论
4 基于不动点迭代原理
4.1概述
4.2不动点的迭代格式性
4.3迭代法的局部收敛性与收敛阶
4.4非线性方程组的不动点迭代解法
5 牛顿迭代法
5.1牛顿迭代法格式
5.2牛顿迭代法的收敛性质
5.3牛顿迭代法解非线性方程组
六、主要参考文献
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