高中数学两个向量的数量积知识点解析共32页
高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点
高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点高二数学向量的数量积是《向量》这一章的重要内容，下面是店铺给大家带来的高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点，希望对你有帮助。
高二数学空间向量的数量积运算知识点定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。
若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算率a·b=b·a(交换率);(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c (a≠0)，推不出b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
高中数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
向量的数量积
向量的数量积向量的数量积是线性代数中的一个重要概念，也是向量运算中的一种常用运算。
它可以帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直等问题。
本文将详细介绍向量的数量积的定义、性质以及应用。
一、定义在二维空间或三维空间中，我们可以用向量来表示有方向和大小的量。
设有两个向量A和B，向量A的坐标表示为（A1，A2，A3），向量B的坐标表示为（B1，B2，B3），则向量A和向量B的数量积定义为：A·B=|A||B|cosθ，其中|A|表示向量A的长度，|B|表示向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
二、性质1. 交换律：A·B=B·A2. 结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)，其中k为实数3. 分配律：(A+B)·C=A·C+B·C三、计算方法1. 若向量A和向量B的坐标分别为（A1，A2，A3）和（B1，B2，B3），则A·B=A1B1+A2B2+A3B3。
2. 若向量A和向量B的坐标形式为A=a1i+a2j+a3k和B=b1i+b2j+b3k，其中i，j，k分别是坐标轴上的单位向量，则A·B=a1b1+a2b2+a3b3。
四、应用1. 判断向量是否垂直：如果向量A·B的结果为0，则向量A和向量B垂直；如果向量A·B的结果大于0，则向量A和向量B之间的夹角为锐角；如果向量A·B的结果小于0，则向量A和向量B之间的夹角为钝角。
2. 计算向量的模长：|A|=√(A·A)3. 计算向量的夹角：cosθ=(A·B)/(|A||B|)4. 计算向量的投影：向量A在向量B上的投影记作projBA=(A·B)/|B|总结：本文详细介绍了向量的数量积的定义、性质和应用。
向量的数量积是一种常用的向量运算，可以帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直等问题。
高中数学两个向量的数量积知识点解析
§3.1 空间向量及其运算
3.1.3 两个向量的数量积
XUEXIMUBIAO
学习目标
1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.
3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判 断向量的共线与垂直.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
→ → 解析 易知①②正确；AD1与A1B的夹角为 120° ，
∴③不正确.故选B.
1
2
3
4
5
2 4.已知 a， b 为两个非零空间向量， 若|a|＝2 2， |b|＝ 2 ， a· b＝－ 2， 则 〈a， b〉 3π 4 ＝______.
a· b 2 3π 解析 cos〈a，b〉＝ ＝－ 2 ，∴〈a，b〉＝ 4 . |a||b|
→ → (3)EF· DC； → → 1→ → 解 EF· DC＝2BD· DC 1→ → → → ＝2|BD|· |DC|cos〈BD，DC〉 1 1 ＝2cos 120° ＝－4. → → (4)AB· CD. → → → → → → → → → 解 AB· CD＝AB· (AD－AC)＝AB· AD－AB· AC
k (3)空间向量没有除法运算：即若 a· b＝k，没有 a＝ . b
跟踪训练1
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面
AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：
→ → (1)BC· ED1；
解 → → 如图，设AB＝a，AD＝b，
→ AA1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a· b＝b· c＝c· a＝0.
1 → → 2 2 c － a ＋ b BC· ED1＝b· ＝ | b | ＝ 4 ＝16. 2
高中数学第六章平面向量及其应用-向量的数量积课件及答案
【对点练清】 1．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量 a ，b 的夹角为 45°，ka －b 与 a 垂直，则 k＝_____.
解析：由题意，得 a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝ 22.因为向量a ＝ka
2－a ·b ＝k－
22＝0，解得
【学透用活】 [典例 3] (1)已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量，若向量 e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角，则 k 的取值范围为_________． (2)已知非零向量 a ，b 满足 a ＋3b 与 7a －5b 互相垂直，a －4b 与 7a －2b 互相垂直，求 a 与 b 的夹角． [解析] (1)∵e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当 k ＝1 时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为 0，不符合题意，舍去．综上， k 的取值范围为 k＞0 且 k≠1. 答案：(0,1)∪(1，＋∞)
(3)设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ>0⇔a ·b >0.
(√)
(4)|a ·b |≤a ·b .
( ×)
2．若向量 a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与 b 的夹角为 60°，则 a ·b 等于 ( )
1 A.2
3 B.2
C．1＋
3 2
D．2
答案：A
3．已知|a |＝1，|b |＝2，设 e 是与 a 同方向上的单位向量，a 与 b 的夹 角为π3，则 b 在 a 方向上的投影向量为______．
(4)|a ·b |≤__|_a_|_|_b_|.
2．平面向量数量积的运算律：
高中数学公式大全向量的数量积与向量的投影公式
高中数学公式大全向量的数量积与向量的投影公式高中数学公式大全：向量的数量积与向量的投影公式在高中数学中，向量是一个重要的概念。
它不仅可以用于表示力、速度、位移等物理量，还可以用于解决几何和代数问题。
在研究向量时，数量积和投影是两个经常被使用的概念。
本文将为您介绍向量的数量积与向量的投影公式，帮助您更好地理解和应用这些公式。
一、向量的数量积向量的数量积是两个向量的乘积，它的结果是一个标量。
假设有两个向量a和b，它们的数量积写作a·b或者ab，计算公式如下：a·b = |a| × |b| ×cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示向量a和b之间的夹角。
向量的数量积有以下几个重要的性质：1. a·b = b·a （交换律）2. a·(kb) = k(a·b) （数乘结合律）3. a·(b+c) = a·b + a·c （分配律）二、向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，它的结果是一个标量。
假设有一个向量a和一个非零向量b，它们之间的夹角为θ，那么向量a在向量b上的投影长度计算公式如下：projb a = |a| × cosθ其中，|a|表示向量a的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
向量的投影有以下几个重要的性质：1. 投影是一个与向量b同向或反向的向量，其长度小于等于向量a的长度。
2. 如果投影为正值，则向量a与向量b的夹角在0度到90度之间；如果投影为负值，则夹角在90度到180度之间。
三、向量的数量积与向量的投影公式的应用向量的数量积和投影在解决几何和代数问题时起着重要的作用。
下面将介绍一些应用。
1. 判断向量是否垂直如果两个向量的数量积为0，那么它们垂直。
数学表达式为a·b = 0。
2. 计算向量的模向量的模可以通过向量自身的数量积计算得到。
向量的数量积的概念讲解
向量的数量积的概念讲解向量的数量积是指两个向量之间的数乘积。
在三维空间中，向量通常用箭头表示，例如AB。
向量的数量积通常用小括号“()”表示，例如(A,B)，其中A和B为两个向量。
向量的数量积在向量运算中有着重要的应用。
向量的数量积取决于两个向量的长度和它们之间的夹角。
两个向量的数量积定义如下：(A, B) = A B cosθ其中，A 和B 分别是向量A和向量B的长度，θ是A和B之间的夹角。
这个公式意味着当两个向量的夹角为0或180度时，它们的数量积为正或负的最大值。
当两个向量垂直时，它们的数量积为0。
这个公式也可以写成：(A, B) = Ax Bx + Ay By + Az Bz其中，Ax、Ay和Az是向量A的x、y和z分量，Bx、By和Bz是向量B的x、y和z分量。
这个形式更直观，也更方便计算。
向量数量积的应用非常广泛，以下列举几个常见的方面：1.计算向量的模长向量的数量积可以用来计算向量的模长。
根据上述公式，对一个向量A，它的模长可以表示为：A = √(A·A)其中，A·A是向量A与它自己的数量积，也就是A的长度的平方。
这个公式可以推广到任意维度的向量。
2.计算向量之间的夹角向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角。
两个向量之间夹角的余弦可以通过它们的数量积计算，即：cosθ= (A, B) / A B其中，A和B为两个向量。
这个公式也可以写成：cosθ= (Ax Bx + Ay By + Az Bz) / ( A B )注意，因为余弦值只在0到π之间取值，所以这个公式只能确定向量夹角的绝对值，而无法确定它们的正负或是具体的夹角角度。
3.求解向量的投影向量的数量积可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影长度。
对于两个非零向量A和B，在B方向上的投影长度可以表示为：P = (A, e) / B其中，e是B的单位向量，即e = B / B这个公式的推导可以通过三角函数得到。
《两个向量的数量积》PPT课件
精选ppt
17
3.1.3
跟踪训练 3 如图所示，已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，线段 DD′⊥α 于 D′，如果∠DBD′＝30°，AB＝a，AC＝ BD＝b，求 CD 的长．
解 由 AC⊥α，可知 AC⊥AB.
由∠DBD′＝30°，可知〈C→A，B→D〉＝60°，
＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0， ∴C→C1⊥B→D，即 CC1⊥BD.
3.1.3
精选ppt
14
3.1.3
探究点三 利用数量积求向量的模
问题 类比平面向量，说出利用数量积求长度或距离的方法．
答案 利用数量积 a·b＝|a||b|cos θ 知 a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
精选ppt
19
3.1.3
2．已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么|a＋3b|等
于
(C )
A. 7 B. 10 C. 13 D．4
解析 |a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2 ＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝ 13.
精选ppt
20
3．如图所示，已知 PA⊥平面 ABC，∠ABC ＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则 PC 等于
精选ppt17313小结求向量的模可以转化为求向量的数量积求两点间的距离或某条线段的长度可以转化为求对应向量的模其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来
3.1.3
3.1.3 两个向量的数量积
【学习要求】 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量
积的概念、性质和计算方法及运算规律． 2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中
空间向量的数量积运算 高中数学新教材人教A版
若 ∙ =k，能不能写成 =
(或
解析：由 ∙ =k，不能写成 =
有除法运算
= )的形式?
(或 = )的形式，即向量没
知识点一 空间向量的投影
思考5
对于三个均不为0的数a，b，c，有(ab )c =a(bc)．
对于向量，，，( − )=( − ）成立吗?为什么?
(3)因为AA’ · AD=5×3×cos
2
15
60°= ，AD
2
· AB=3×4×cos 90°=0
所以 =(++’)
= 2 + 2 + ’ 2 +2(·+·’+’·)
15
2
=42 ＋32 +52 +2(0+10+ )=85，所以 = 85.
= + .
将上式两边分别与向量作数量积运算，得
⋅ = ⋅ + ⋅ ,
因为 ⋅ =0， ⋅ =0(为什么?)，所以 ⋅ =0.所以 ⊥ .
这就证明了直线垂直于平面α内的任意一条直线，所以 ⊥平面α.
课堂检测
1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,则AB1与
在平面β上的投影向量．这时，向量，A′B′的夹角就是向量α所在直线
与平面β所成的角.
β
’
图
(3)
’
空间向量的数量积满足如下的运算律:
()·=(·)，∈R
·=·(交换律)
·(＋)=·+·(分配律)
知识点一 空间向量的投影
思考3
高中数学中向量的数量积与叉积的性质与运算讲解
高中数学中向量的数量积与叉积的性质与运算讲解在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅可以用来表示方向和大小，还可以进行数量积和叉积的运算。
数量积和叉积是两种不同的运算方式，它们有着不同的性质和应用。
首先，让我们来看看数量积。
数量积也被称为点积或内积，它是两个向量的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
设有两个向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
数量积的计算公式为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们的夹角。
数量积具有一些重要的性质。
首先，数量积满足交换律，即a·b = b·a。
其次，数量积还满足分配律，即对于任意向量a、b和c，有(a + b)·c = a·c + b·c。
另外，如果两个向量的数量积为0，即a·b = 0，那么它们是垂直的，夹角为90度。
这个性质在解决几何问题中非常有用。
接下来，让我们来介绍另一种运算方式，即叉积。
叉积也被称为向量积或外积，它是两个向量的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
设有两个向量a和b，它们的叉积表示为a×b。
叉积的计算公式为|a×b| = |a||b|sinθ，其中|a×b|表示向量a×b的模长。
叉积也具有一些重要的性质。
首先，叉积满足反交换律，即a×b = -b×a。
其次，叉积还满足分配律，即对于任意向量a、b和c，有a×(b + c) = a×b + a×c。
另外，如果两个向量的叉积为0，即a×b = 0，那么它们是平行的或共线的。
这个性质在解决平面几何问题中非常有用。
除了性质外，数量积和叉积还有一些实际应用。
数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，通过求解cosθ的值来确定夹角的大小。
叉积可以用来计算两个向量所构成的平行四边形的面积，通过求解sinθ的值来确定面积的大小。
数量积与向量积知识点梳理
数量积与向量积知识点梳理数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。
它们在物理学、几何学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将对数量积和向量积的定义、性质和应用进行梳理。
一、数量积1. 数量积的定义数量积，也称为点积或内积，是两个向量的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
设有两个向量A和B，它们的数量积用点号表示为A·B或AB。
2. 数量积的计算公式数量积的计算公式为：A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A与B之间的夹角。
3. 数量积的性质数量积具有以下性质： - 交换律：A·B = B·A - 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C - 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k为常数 - 零向量的数量积为0：0·A = 04. 数量积的几何意义数量积的几何意义是向量A在向量B方向上的投影与向量B的模长的乘积。
具体而言，如果A与B之间的夹角为锐角，数量积为正；如果夹角为钝角，数量积为负；如果夹角为直角，数量积为零。
5. 数量积的应用数量积在物理学和几何学中有广泛的应用，如： - 计算力的功和功率：功等于力和位移的数量积，功率等于功和时间的数量积。
- 判断向量的正交性：若两个向量的数量积为零，则它们互相垂直。
- 计算夹角的余弦值：夹角的余弦等于两个向量的数量积除以它们的模长的乘积。
二、向量积1. 向量积的定义向量积，也称为叉积或外积，是两个向量的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
设有两个向量A和B，它们的向量积用叉号表示为A×B。
2. 向量积的计算公式向量积的计算公式为：|A×B| = |A| |B| sinθ，其中|A×B|表示向量积的模长，θ表示A与B之间的夹角。
3. 向量积的性质向量积具有以下性质： - 反交换律：A×B = -B×A - 分配律：A×(B + C) = A×B +A×C - 数乘结合律：(kA)×B = k(A×B)，其中k为常数 - 零向量的向量积为零：0×A = 04. 向量积的几何意义向量积的几何意义是一个与向量A和B都垂直的向量，它的模长等于A、B构成的平行四边形的面积，方向由右手法则确定。
平面向量的数量积与向量积详细解析与归纳
平面向量的数量积与向量积详细解析与归纳平面向量是数学中重要的概念之一，而其中的数量积（也叫点积或内积）与向量积（也叫叉积或外积）是平面向量运算中常用的两种运算方法。
本文将详细解析这两种运算，并对其进行归纳总结。
一、平面向量的数量积数量积，记作A·B，是两个向量A和B的数量上的乘积。
具体计算公式如下：A·B = |A| * |B| * cosθ其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模（即长度），θ表示A和B 之间的夹角。
数量积有以下几个重要的性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)这些性质使得数量积在计算中更加方便。
数量积的几何意义是，它等于一个向量在另一个向量方向上的投影长度与另一个向量的模的乘积。
通过数量积，我们可以计算向量的夹角、判断两个向量是否垂直以及计算向量的模等。
二、平面向量的向量积向量积，记作A×B，是两个向量A和B的向量上的乘积。
具体计算公式如下：A×B = |A| * |B| * sinθ * n其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A和B之间的夹角，n为垂直于A和B所在平面的单位法向量，并满足右手法则。
向量积有以下几个重要的性质：1. 反交换律：A×B = -B×A2. 分配律：A×(B + C) = A×B + A×C3. 数乘结合律：(kA)×B = k(A×B)这些性质使得向量积在计算中更加灵活。
向量积的几何意义是，它等于一个向量在另一个向量所在平面上的投影的长度乘以一个单位法向量。
通过向量积，我们可以计算平行四边形的面积、判断两个向量是否平行以及计算平行四边形的对角线等。
三、数量积与向量积的关系数量积和向量积之间存在一定的关系：A×B = |A| * |B| * sinθ * n由此可得到以下等式：|A×B| = |A| * |B| * sinθ此等式表明，向量积的模等于数量积的模乘上夹角的正弦值。
向量的数量积
向量的数量积什么是向量的数量积在线性代数中，向量的数量积（也称为点积、内积、标量积）是指两个向量之间的一种运算。
它是将两个向量乘积的每个分量相乘，并将结果相加的运算。
数量积产生的结果是一个标量值，而不是向量。
它可以用数学符号表示为：A ·B = |A| |B| cosθ其中，A和B表示两个向量，|A|和|B|表示这两个向量的模（长度），θ表示这两个向量之间的夹角。
数量积的性质向量的数量积具有以下性质：1.交换律：A · B = B · A2.分配律：(A + B) · C = A · C + B · C3.数量积与向量的数量乘积的结合律：k(A · B) = (kA) · B = A · (kB)4.数量积与向量的模（长度）的关系：A · A = |A|^25.数量积与两个向量夹角的关系：A · B = |A| |B| cosθ，其中θ为A和B之间的夹角。
数量积的应用1. 计算向量的模（长度）根据数量积与向量的模（长度）的关系，我们可以利用数量积来计算一个向量的模。
例如，对于一个二维向量A=(x, y)，根据数量积的定义，可以得到A · A = |A|^2 = x^2 + y^2因此，向量A的模可以通过计算|A| = sqrt(A · A)来得到。
2. 计算两个向量之间的夹角通过数量积的定义，我们可以得到两个向量之间夹角的计算公式：cosθ = (A · B) / (|A| |B|)利用这个公式，我们可以计算两个向量之间的夹角的余弦值，然后通过反三角函数计算得到夹角的值。
3. 判断两个向量之间的关系利用向量的数量积，我们可以判断两个向量之间的关系。
如果两个向量的数量积为零（A · B = 0），则表示它们是垂直的。
如果两个向量的数量积大于零（A · B > 0），则表示它们夹角小于90度，即锐角。
空间向量的数量积运算-高中数学知识点讲解
空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积运算【知识点的认识】1．空间向量的夹角→→→已知两个非零向量푎、푏，在空间中任取一点O，作푂퐴=→→푎，푂퐵=→→→→푏，则∠AOB叫做向量푎与푏的夹角，记作＜푎，→푏＞．2．空间向量的数量积→→→→→→→→→→→→→→（1）定义：已知两个非零向量푎、푏，则|푎||푏|cos＜푎，푏＞叫做向量푎与푏的数量积，记作푎•푏，即푎•푏=|푎||푏|cos→→푎，푏＞ ＜→→→→→→→→→→→（2）几何意义：푎与푏的数量积等于푎的长度|푎|与푏在푎的方向上的投影|푏|cosθ的乘积，或푏的长度|푏|与푎在푏的方→向上的投影|푎|cosθ的乘积．3．空间向量的数量积运算律空间向量的数量积满足交换律和分配律．→（1）交换律：(휆푎)⋅→→푏=λ（푎⋅→푏）=→→푎•（휆푏）→푎⋅→푏=→푏⋅→푎→→（2）分配律：푎⋅(푏+→푐)=→푎⋅→푏+→푎⋅→푐．4．数量积的理解→（1）书写向量的数量积时，只能用符号푎⋅→→푏，而不能用符号푎×→→→푏，也不能用푎푏（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．→（3）当푎≠→→0时，由푎⋅→→→→→푏= 0不能推出푏一定是零向量，这是因为任一个与푎垂直的非零向量푏，都有푎⋅→푏=0【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：1/ 3利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，→将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|푎| =→푎⋅→푎求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．利用数量积证明垂直关系：→（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断푎⊥→→푏时，须指明푎≠→→0，푏≠→0；→→→（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量푎，푏，푐的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．【命题方向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．→例：已知 2푎+→→→→푏=（2，﹣4，1），且푏=（0，2，﹣1），则푎•푏=﹣7→分析：通过 2푎+→→→푏=（2，﹣4，1），且푏=（0，2，﹣1），求出向量푎的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算．→解答：∵2푎+→→푏=（2，﹣4，1），且푏=（0，2，﹣1），→∴푎=（1，﹣3，1），→→∴푎•푏= 1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；2/ 3故答案为：﹣7．点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．3/ 3。
高中数学向量的数量积与向量积
高中数学向量的数量积与向量积高中数学中，向量是一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念，本文将重点介绍这两个概念的定义、性质和应用。
一、向量的数量积数量积，也称为内积或点积，是两个向量的一种运算，通常用点号（·）表示。
设有两个向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
数量积的计算公式为：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示a和b之间的夹角。
从计算公式可以看出，数量积的结果是一个标量（即一个实数），而不是一个向量。
数量积的性质如下：1. 对于任意向量a和b，有a·b = b·a，即交换律成立。
2. 对于任意向量a，有a·a = |a|^2，即自身与自身的数量积等于向量的模的平方。
3. 若两个向量的数量积为0，即a·b = 0，则称这两个向量垂直或正交。
4. 若两个非零向量的数量积为正数，则它们的夹角为锐角；若数量积为负数，则夹角为钝角。
数量积在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在几何学中，可以利用数量积来判断两个向量是否垂直；在物理学中，可以利用数量积计算功、力等物理量。
二、向量的向量积向量积，也称为叉积或外积，是两个向量的一种运算，通常用叉号（×）表示。
设有两个向量a和b，它们的向量积表示为a×b。
向量积的计算公式为：a×b = |a| * |b| * sinθ * n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示a和b之间的夹角，n为一个垂直于a和b所在平面的单位向量。
向量积的性质如下：1. 对于任意向量a和b，有a×b = -b×a，即对换律成立。
2. 对于任意向量a，有a×a = 0，即自身与自身的向量积等于零向量。
3. 向量积不满足交换律，即a×b ≠ b×a。
高中数学的解析向量的数量积与向量积解析
高中数学的解析向量的数量积与向量积解析解析向量是研究物理学中的一个重要概念，它被广泛运用在高中数学中。
解析向量的数量积与向量积是解析向量的两个重要运算。
本文将详细介绍高中数学中解析向量的数量积与向量积的概念，性质以及应用。
1. 解析向量的数量积解析向量的数量积也被称为点积或内积，是将两个解析向量进行运算得到一个标量的操作。
解析向量的数量积可以通过向量的坐标表示进行计算，具体公式如下：设向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，则向量A与向量B的数量积表示为：A ·B = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2数量积有如下性质：- A · B = B · A（数量积满足交换律）- A · (B + C) = A · B + A · C（数量积满足分配律）数量积有广泛的应用，其中一个重要应用是计算两个向量的夹角。
通过数量积的定义和余弦函数的相关公式，可以得到两个向量的夹角公式：cosθ = (A · B) / (|A| * |B|)2. 解析向量的向量积解析向量的向量积也被称为叉积或外积，是将两个解析向量进行运算得到一个新的向量的操作。
解析向量的向量积可以通过向量的坐标表示进行计算，具体公式如下：设向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，则向量A与向量B的向量积表示为：A ×B = (y1*z2 - y2*z1) i + (z1*x2 - z2*x1) j + (x1*y2 - x2*y1) k向量积有如下性质：- A × B = -B × A（向量积不满足交换律）- |A × B| = |A| * |B| * sinθ（向量积的模长等于两个向量模长的乘积与夹角的正弦值）向量积的一个重要应用是计算两个平面的法向量。
通过向量积的定义和法向量的性质，可以得到两个平面的法向量公式。
《两个向量的数量积》 知识清单
《两个向量的数量积》知识清单一、向量数量积的定义两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为θ （0 ≤ θ ≤ π），则数量｜a| ｜b| cosθ 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a·b ，即 a·b ＝｜a| ｜b| cosθ 。
如果两个向量中有一个零向量，规定它们的数量积为 0 。
二、向量数量积的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度｜a| 与 b 在 a 方向上的投影｜b| cosθ 的乘积。
例如，向量 a ＝（2, 0) ，向量 b ＝（1, √3) ，它们的夹角为 60°。
｜a| ＝ 2 ，｜b| ＝ 2 ，cos60°＝ 1/2 。
所以 a·b ＝ 2 × 2 × 1/2 ＝ 2 。
向量 b 在向量 a 方向上的投影为｜b| cosθ ＝ 2 × 1/2 ＝ 1 。
三、向量数量积的性质1、若 e 是单位向量，a·e ＝ e·a ＝｜a| cosθ 。
2、 a ⊥ b ⇔ a·b ＝ 0 。
3、当 a 与 b 同向时，a·b ＝｜a| ｜b| ；当 a 与 b 反向时，a·b ＝｜a| ｜b| 。
4、｜a·b| ≤ ｜a| ｜b| ，当且仅当 a 与 b 共线时，等号成立。
四、向量数量积的运算律1、交换律：a·b ＝ b·a2、分配律：（ a ＋ b ）·c ＝ a·c ＋ b·c3、数乘结合律：（λa)·b ＝λ( a·b ）＝ a·（λb) （λ 为实数）五、向量数量积的坐标运算设向量 a ＝（x₁, y₁) ，向量 b ＝（x₂, y₂) ，则a·b ＝ x₁x₂＋ y₁y₂例如，a ＝（3, 4) ，b ＝（1, －2) ，则a·b ＝ 3 × 1 ＋ 4 ×（－2) ＝ 3 8 ＝－5六、用向量数量积求夹角设两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为θ （0 ≤ θ ≤ π），则cosθ ＝（a·b）／（｜a| ｜b|）例如，a ＝（1, 0) ，b ＝（0, 1) ，则a·b ＝ 0 ，｜a| ＝ 1 ，｜b| ＝ 1cosθ ＝ 0 ／（1 × 1）＝ 0 ，所以θ ＝ 90°七、用向量数量积求向量的模若向量 a ＝（x, y) ，则｜a| ＝√（ a·a ）＝√（x²＋ y²)例如，a ＝（3, －4) ，则｜a| ＝√（3²＋（－4)²) ＝√（9 ＋ 16) ＝ 5八、向量数量积在几何中的应用1、证明垂直关系若要证明两条直线垂直，可以将直线用向量表示，通过计算向量数量积为 0 来证明。
高中数学两个向量的数量积知识点解析共34页
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11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
高中数学两个向量的数量积知识点解 析
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
高中数学 §3.1.3 两个向量的数量积
§3.1.3 两个向量的数量积一、 学习目标1. 理解空间向量夹角的概念及表示方法;2. 理解两个向量数量积的概念；3. 会利用数量积定义及运算律，计算两个向量的数量积及向量的模。
二、预习案（预习教材 P85～P87页，找出疑惑之处）复习 1：已知平面α内有两个非零向量a ，b ，在平面α内任取一点O ，作,,OA a OB b ==则AOB ∠叫做两个向量a ，b 的 ，记作 。
复习 2：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量叫做a 与b 的 (或内积)，记作⋅，即b a b a ,cos =⋅足的运算律有：（1）交换律：（2）分配律：（3）()=⋅λ =三、课中案※ 学习探究１.空间中两向量夹角的定义：注：规定夹角的范围是：探究1：下面式子表示什么意思？他们之间有什么关系？OB OA OB OA OA OB OB OA --2.异面直线：异面直线的夹角：3.空间向量数量积的定义：4.类比平面两个向量的数量积，探究空间两个向量数量积的性质： (1)=⋅e a (2)⇔⊥=(填≤或≥)两个空间向量的数量积满足的运算律（1）()=⋅b a λ（2）=⋅b a （3）()=⋅+ 讨论1：对于向量a →、b →、c →，由c a b a ⋅=⋅，能得到b →=c →吗？讨论2. 对于向量,,,c b a ()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅成立吗？向量的数量积满足结合律吗？※ 典型例题例1：在正方体中，求下列各对向量的夹角。
（1）与''C A（2）与'C（3）与''D A（4）与'B解：例2.已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为1，设===,,， 求：（1）()+⋅（2）()c b a a ++⋅（3）()()c b b a +⋅+++三、总结提升※ 学习小结1空间向量的夹角及数量积的定义2.掌握利用数量积来求夹角及长度的问题※ 当堂检测（时间：5分钟 满分：10分）计分: 1.已知2,22,22-=⋅==，则a →b →所成的角为2.判断真假)()4)()()3)()()()2,,012q p -=-+⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅===⋅3、已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)；(3)|OA →＋OB →＋OC →|.4.在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，23BD =， 3CD =，30ABD ∠=，60ABC ∠=，求AB 与CD 的夹角的余弦值。