初中数学二次函数综合应用

经典例题

1、已知，在平面直角坐标系xoy 中，二次函数y= -1/3x 2+bx+c 的图像经过点A （-1,1）和点B （2,2），该函数图像的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D. （1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴 （2）求证： = （3）如果点P 在直线AB 上，且△POB 与△BCD 相似，求点P 的坐标

2、如图，一次函数y= -

1

2

x+2分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点，抛物线y=-x 2+bx+c 过A 、B 两点． （1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x 轴的直线x=t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．

CBO

∠ABO ∠

3、已知二次函数y=mx 2+5x-4，它的图像开口向下，且与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其顶点为D 。

（1）求m 的取值范围；

（2）如果△ABC 的面积为6，试求m 的值；

（3）若直线x=k 将第（2）题中的四边形ACBD 的面积平分，则直线x=k 截四边形ACBD 所得的线段的长为多少？

4、已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线1

2y x

=上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y= -abx 2+（a+b ）x 的最值情况是（ ）

A ．有最大值，最大值为92-

B ．有最大值，最大值为92

C ．有最小值，最小值为92

D ．有最小值，最小值为9

2

-

课堂练习

1、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线2

(0y ax bx a =+>）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，

AO OB == 2，0

120AOB ∠=．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结OM ，求AOM ∠的大小；

（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． M

A

B O

x

y

图1

2、如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．

3、若关于x 的一元二次方程（x-2）（x-3）=m 有实数根x 1、x 2，且x 1≠x 2，有下列结论：①x 1=2，x 2=3；②m ＞1

4

-

；③二次函数y=（x-x 1）（x-x 2）+m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

4、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过原点O ，交x 轴于点A ，其顶点B 的坐标为（3，3-）． （1）求抛物线的函数解析式及点A 的坐标； （2）在抛物线上求点P ，使S △POA =2S △AOB ；

（3）在抛物线上是否存在点Q ，使△AQO 与△AOB 相似？如果存在，请求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由．

A

B C O

x

y

5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫－9

4，0，点C (0,3)，点B 是x 轴上的一点(位于点A 右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过点C .

(1)求∠ACB 的度数；

(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点，求抛物线的解析式；

(3)线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

6、如图，抛物线y ＝x 2－2x ＋c 的顶点A 在直线l ∶y ＝x －5上．

(1)求抛物线顶点A 的坐标；

(2)设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，D (点C 在点D 的左侧)，试判断△ABD 的形状；

(3)在直线l 上是否存在一点P ，使以点P ，A ，B ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．