初中数学二次函数综合应用
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
中考数学复习第三单元函数第15课时二次函数的综合应用
的形状为开口向下的抛物线,其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8米,距地面的
高度为2.4米,灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4米,则灯罩顶端D距地面的
高度为
米.
图15-7
[答案] 1.95 [解析]如图,以点B为原点,建立直角坐标系. 根据题意,点A(0,1.6),点C(0.8,2.4),则设抛物线解析式为y=a(x-0.8)2+2.4. 将点A的坐标代入上式,得1.6=a(0-0.8)2+2.4,解得a=-1.25. ∴该抛物线的解析式为y=-1.25(x-0.8)2+2.4. ∵点D的横坐标为1.4, ∴y=-1.25×(1.4-0.8)2+2.4=1.95. 故灯罩顶端D距地面的高度为1.95米.
关系式是y=-x2+3x+4.请问:若不计其他因素,
水池的半径至少要
米,
才能使喷出的水流不至于落在池外.
图15-5
[答案]4 [解析]在y=-x2+3x+4中, 当y=0时,-x2+3x+4=0, ∴x1=4,x2=-1, 又∵x>0, ∴x=4, 即水池的半径至少要4米,才能使喷出的水流不至于落在池外.
2
3.[2018·绵阳]图15-4是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,水面下
降2 m,水面宽度增加
m.
图15-4
[答案] (4 2-4)
[解析]如图所示,建立平面直角坐标系,横轴 x 通过 AB,纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过抛物线 顶点 C,O 为原点.则抛物线以 y 轴为对称轴,A(-2,0),B(2,0),C(0,2), 通过以上条件可设抛物线解析式为 y=ax2+2,代入 A 点坐标(-2,0),解得 a=-0.5, 所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2, 当水面下降 2 m 时,水面的宽度即为直线 y=-2 与抛物线相交的两点之间的距离, 把 y=-2 代入抛物线解析式得出:-2=-0.5x2+2, 解得:x=±2 2,故水面此时的宽度为 4 2 m, 比原先增加了(4 2-4)m.故答案为(4 2-4).
二次函数综合应用---含答案
二次函数应用（能力提高）一、选择题：1 . 如果抛物线 y=x 2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是 3, 那么 c 的值等于（C）（A） 8 （B） 14 （C）8或 14 （D） -8 或-142 .2当 a>0,b<0 时 , 它的图象经过 ( B)已知抛物线 y=ax+bx,（ A）一、二、三象限（ B）一、二、四象限（ C）一、三、四象限（D）一、二、三、四象限3 . 当 a>0, b<0,c>0 时 , 下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c 的是（ A ）（C）（D）第 7题4. 抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图，OA=OC，则（ A ）（ A） ac+1=b （ B） ab+1=c （ C） bc+1=a （D）以上都不是5.若二次函数 y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（ 0，1），（ -1 ，0），则 S=a+b+c 的变化范围是 ( C )(A)0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<16.将抛物线 y=-2x 2-1 向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ A ）（A）3个单位(B)1 个单位(C) 1 个单位(D) 2 个单位2 27. 如图，等腰梯形ABCD的底边 AD在 x 轴上，顶点 C 在 y 轴正半轴上， B（ 4,2 ），一次函数y=kx-1 的图象平分它的面积，关于2m的值为（ D ）x 的函数 y=mx -(3m+k)x+2m+k 的图象与坐标轴只有两个交点，则（A） 0 （B）1（C）－ 1 （D）0 或1或－12 28.（ 2015 浙江）设二次函数y1a( x x1)( xx2 )(a0， x1 x2 ) 的图象与一次函数y2dx e d 0 的图象交于点 ( x1，0) ，若函数y y2y1的图象与 x 轴仅有一个交点，则（ B ）（ A） a( x1x2 ) d （ B）a( x2x1 ) d（ C）a( x1x2 )2 d （D） a x12dx2二、填空题：1. 已知二次函数y＝－4x2 2y＝2m4 的图像在第二象限内的一个交点的横坐标是－ 2mx＋ m 与反比例函数x－ 2，则 m的值是-72. 已知抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在 x 轴上截得的线段长为6，则该抛物线的解析式为_y = -(x+1)(x - 5)___1 / 83. 已知二次函数y＝ax2（ a≥1）的图像上两点 A、 B的横坐标分别是－1、 2，点 O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△ OAB的周长为 4 2 + 2 54.老师给出一个函数 , 甲, 乙 , 丙 , 丁四位同学各指出这个函数的一个性质: 甲 : 函数的图像不经过第三象限。
初中数学_《二次函数的应用》(复习)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数的应用》教学设计35321212++-=x x y 3532121-2++=x x y 教学环节教学内容 学生活动环节目标 创设情境问题引入 1.已知二次函数 ，求出抛物线的顶点坐标与对称轴。
2.已知二次函数图象的顶点坐标是（6,2.6），且经过点（0,2），求这个二次函数的表达式 。
3.抛物线 c bx x y ++=261-经过点（0,4）经过点（3,217），求抛物线的关系式。
问题：（1）求二次函数顶点坐标的方法 （2）设表达式的思路（3）如何求二次函数与x 轴及y 轴的交点坐标课前布置，独立完成，上课时没完成的继续完成，之后组内批阅，找学生上台板演，并回答老师提出的问题。
这三个小题是后面实际应用问题的答案，学生在复习二次函数基础知识的同时，把后面的计算提到前面来，便于后面把教学重点放在解题思路的分析与掌握上，减少学生的计算量。
探索交流获得新知1例题解析例 1 ：这是王强在训练掷铅球时的高度y （m)与水平距离x(m)之间的函数图像，其关系式为 ，则铅球达到的最大高度是_____米，此时离投掷点的水平距离是____米。
铅球出手时的高度是_____米，此次掷铅球的成绩是____米。
2、跟踪练习：如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从1、学生独立思考后回答问题答案。
2、根据图像回答解题思路。
（前面已经求过前两个空，只计算后面两个即可）引导学生得到解决问题的方法：这四个问题都是求线段的长度，共同点为已知点的一个坐标，可将其代入表达式求另一个坐标，再把坐标转化成线段的长。
O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，出手后水平运行6米达到最大高度2.6米，(1) 运行的高度记为y(m)，运行的水平距离记为x(m)，建立平面平面直角坐标系如图，求y 与x的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2) 若球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m。
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。
《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
中考初中数学一轮复习专题导引40讲-15二次函数的应用
中考初中数学一轮复习专题导引40讲第15讲二次函数的应用☞考点解读：知识点名师点晴二次函数的应用1.实际背景下二次函数的关系会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。
2.将实际问题转化为数学中二次函数问题会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系。
3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展。
☞考点解析：考点1：二次函数与几何的综合运用。
基础知识归纳：求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性。
基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。
注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面。
【例1】（湖北十堰·12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP 和BC的解析式，k相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△AB E有可能相似，即△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO=S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x1=0（舍），x2=，∴D；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，OE=C.EOE= C.E∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为或（，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定三角形与△ABE相似并画出图形是关键．【变式1】（四川省攀枝花）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；B.DP为线段BD上一点（点P不与B.D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF 面积的最大值；②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由一元二次方程根与系数关系：x1+x2=﹣，x1x2=∴+==﹣∴﹣则c=﹣3∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3（2）由（1）点D坐标为（1，﹣4）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0解得x1=﹣1，x2=3∴点B坐标为（3，0）①设点F坐标为（a，b）∴△BDF的面积S=×（4﹣b）（a﹣1）+（﹣b）（3﹣a）﹣×2×4整理的S=2a﹣b﹣6∵b=a2﹣2a﹣3∴S=2a﹣（a2﹣2a﹣3）﹣6=﹣a2+4a﹣3∵a=﹣1＜0∴当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1②存在由已知点D坐标为（1，﹣4），点B坐标为（3，0）∴直线BD解析式为：y=2x﹣6则点E坐标为（0，﹣6）BC.CDBC.CD，则由勾股定理CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18CD2=12+（﹣4+3）2=2BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20∴CB2+CD2=BD2∴∠BDC=90°∵∠BDC=∠QCE∴∠QCE=90°∴点Q纵坐标为﹣3代入﹣3=2x﹣6∴x=∴存在点Q坐标为（，﹣3）【例2】（云南省曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A 的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）当y=0时，x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【变式2】【例3】（湖北江汉·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解．解：（1）当y=0时，有﹣x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=3，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为．故（，0）；（3，0）；．（2）∵点E.点D关于直线y=t对称，∴点E的坐标为（，2t﹣）．当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，，解得：，∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界），∴，解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时，y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时，y=x2﹣x+1．假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣x2+x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，整理，得：m1=，m2=，∴点P的坐标为（，0）或（，0）；②当≤m≤3时，点Q的坐标为（m，x2﹣x+1）（如图2），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，整理，得：11m2﹣28m+12=0，解得：m3=，m4=2，∴点P的坐标为（，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．【变式3】（辽宁省沈阳市）（12.00分）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y 轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）应用待定系数法；（2）把x=t带入函数关系式相减；（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）∴解得：∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）∴AN=t﹣（﹣2）=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0（舍去），t2=1∴t=1②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0，t2=1（舍去）∴t=0故t的值为1或0（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B.O、N三点共线∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）∴点K、P关于直线AN对称设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）∴Q2与点P关于直线AN对称∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP．则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1.Q2关于KN的对称点Q3.Q4也满足∠KNQ=∠BNP．由图形易得Q1（﹣3，3）设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由∵⊙K半径为1∴解得，1同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=∴解得，∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣3，3）、、【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质．解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想．考点2：二次函数与实际应用题的综合运用基础知识归纳：待定系数法求抛物线解析式，配方法求二次函数最值。
中考数学专题复习：二次函数
第三课时 二次函数的综合应用
考点
1.与几何图形有关的线段、周长、面积 的最值问题； 2.特殊三角形、四边形的存在问题； 3.动点产生的角度问题等综合题
教学思路
跨领域复合型综合题涵盖了初中数学几乎所有的数学 思想方法，一般以压轴题的形式出现.在有限的中考复习 时间里，应该做到以下几点，以提升学生的思维高度：
二。抛物线型
例2 (2022·河南)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面 0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系， 并设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高 度．
中考ห้องสมุดไป่ตู้学专题复习
二次函数
第一课时二次函数的图像和性质
二
次
函
第二课时二次函数的实际应用
数
复
习
第三课时二次函数的综合应用
第一课时 二次函数的图像和性质
考点
二次函数的图像与性质通常以选择题或填 空题的形式出现，为历年必考题目。题目设计 主要有同一坐标系中多函数像问题、根据图像 做判断的多结论问题、根据表格形式呈现的多 结论问题等，考查a、b、c的符号、对称轴、最 值、大小比较、与一元二次方程的关系（与x轴、 平行于x轴的直线交点个数）、根据图像解不等 式、图像的平移等。
（1）要加强学生的做题意识，树立必胜的信心，教 师要让学生知道综合题常常是“起点低，坡度缓，尾巴略 翘”，要多鼓励学生大敢作答；
（2）是基础知识和基本技能训练要全面，重点内容 适当分类进行专题训练;
（3）是要教会学生一些常用的解题策略，重视数学 思想和方法的提炼，注意知识的迁移，让学生学会融会贯 通.
二次函数应用(拱桥问题)
教学过程一、复习预习平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。
这节我们就看二次函数解决拱桥问题。
?}—二、知识讲解考点/易错点1 ：二次函数解析式的形式1、一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）2、顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0）顶点坐标（h，k）直线x=h为对称轴，k为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值3、双根式：y=a(x-1x )(x-2x )（a ≠0） (1x ,2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标)￥并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x 轴有交点时才行 4、 顶点在原点：)0(2≠=a ax y 5、过原点：)0(2≠+=a bx ax y 6、 顶点在y 轴：)0(2≠+=a c ax y…考点/易错点2：建立平面直角坐标系1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。
"—"三、例题精析【例题1】【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d 表示为h的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．~【答案】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2，且过点（10，－4）∴-==-4101252a a×，故y x=-1252（2）设水位上升h m时，水面与抛物线交于点（dh24，-）则hd-=-412542×∴d h=-104（3）当d＝18时，18104076=-=h h，.0762276..+=∴当水深超过时会影响过往船只在桥下顺利航行。
二次函数新定义型综合问题 中考数学
抢分秘籍15 二次函数新定义型综合问题（压轴通关） 目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数新定义型综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数新定义型综合问题是数学的基础，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一 新定义型二次函数之共生或伴随抛物线【例1】（新考法，拓视野）（2024·江西九江·一模）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线20.5y x =与22y x =-是共生抛物线，已知抛物线()212:213C y x =-++的顶点是点P ，它的共生抛物线2C 的顶点是Q ；(1)点P 的坐标是 ，点Q 的坐标是_________，抛物线2C 的函数关系式是 ．(2)直线y m =与抛物线1C 、2C 均有两个交点，这些交点从左到右分别是A 、B 、C 、D ．①求m 的取值范围 ；②若AB CD =，求m 的值；【例2】（2023·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，对于函数21y ax bx c =++，其中a 、b 、c 为常数，a c ≠，定义：函数22y cx bx a =++是21y ax bx c =++的衍生函数，点(),M a c 是函数21y ax bx c =++的衍生点，设函数21y ax bx c =++与其衍生函数的图象交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．(1)若函数21y ax bx c =++的图象过点()13C -，、 ()15D -，，其衍生点()1M c ，，求函数21y ax bx c =++的解析式；(2)①若函数21y ax bx c =++的衍生函数为221y x =-，求A 、B 两点的坐标；②函数21y ax bx c =++的图象如图所示，请在图中标出点A 、B 两点的位置；(3)是否存在常数b ，使得无论a 为何值，函数21y ax bx c =++的衍生点M 始终在直线AB 上，若存在，请求出b 的值；若不存在，请说明理由．1．新定义：我们把抛物线2y ax bx c =++（其中0ab ≠与抛物线2y bx ax c =++称为“关联抛物线”，例如，抛物线2231y x x =++的“关联抛物线”为2321y x x =++已知抛物线1C ：2443(0)y ax ax a a =++->的“关联抛物线”为2C ，1C 与y 轴交于点E．本题考查了二次函数的新定义，正确利用二次函数的图像与性质是解决问题的关键．(1)若点E 的坐标为()0,1-，求1C 的解析式；(2)设2C 的顶点为F ，若△OEF 是以OF 为底的等腰三角形，求点E 的坐标；(3)过x 轴上一点P ，作x 轴的垂线分别交抛物线1C ，2C ，于点M ，N ．①当MN =6时，求点P 的坐标；②当42a x a -≤≤-时，2C 的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．2．（2023·广东广州·一模）定义：在平面直角坐标系中，直线()y a x h k =-+称为抛物线()2y a x h k =-+的伴随直线，如直线()12y x =-+-为抛物线()212y x =-+-的伴随直线．(1)求抛物线2245y x x =-+的伴随直线；(2)无论a 取何值，抛物线1G ：()2212y ax a x a =--+-总会经过某定点，抛物线2G ：()()13y m x x m =---的伴随直线经过该定点，求m 的值；(3)顶点在第一象限的抛物线()214y a x a =--+与它的伴随直线交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ，当90BAC ∠=︒时，y 轴上存在点P ，使得APB ∠取得最大值，求此时点P 的坐标．题型二 新定义型二次函数之特殊形状问题【例1】（新考法，拓视野）（23-24九年级上·浙江杭州·期末）定义：由两条与x 轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．【概念理解】（1）抛物线()()1212y x x =--与抛物线2232y x x =-+是否围成“月牙线”？说明理由．【尝试应用】（2）抛物线211(1)22y x =--与抛物线2212y ax bx c a ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭组成一个如图所示的“月牙线”，与x 轴有相同的交点M ，N （点M 在点N 的左侧），与y 轴的交点分别为,A B ．①求::a b c 的值．②已知点()0,P x m 和点()0,Q x n 在“月牙线”上，m n >，且m n -的值始终不大于2，求线段AB 长的取值范围．【例2】二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当1m =时，如图1，抛物线2:2L y x x =-上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B '，O '，C '，A '，D ¢，如下表：…()1,3B -()0,0O ()1,1C -A （___，___）()3,3D ……()5,3B '-()4,0O '()3,1C '()2,0A '()1,3D '-…①补全表格；本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念．②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当2m =-时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当1m =-时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为_______；②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数22y x mx =-的所有“孔像抛物线”L '，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“2y ax bx c =++”或“2y ax bx =+”或“2y ax c =+”或“2y ax =”，其中0abc ≠）；③若二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点，求m 的值．1．（2023·江西赣州·一模）定义：若直线1y =-与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”1L ：2y x =-与直线1y =-相交于P ，Q ．(1)抛物线1L 的“反碟长”PQ =________．(2)抛物线随其顶点沿直线12y x =向上平移，得到抛物线2L ．①当抛物线1L 的顶点平移到点()6,3，抛物线2L 的解析式是________．抛物线2L 的“反碟长”是________．②若抛物线2L 的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是________．（填写所有正确的选项）A ．15B ．16C ．24D ．25③当抛物线2L 的顶点A 和抛物线2L 与直线1y =-的两个交点B ，C 构成一个等边三角形时（点B 在点C 左右），求点A 的坐标．题型三 新定义型二次函数与其他函数的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·湖南长沙·三模）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量x 与函数值y 满足：当()()0x m x n --≤时，()()0y m y n --≤（,m n 为实数，且)m n <，我们称这个函数在m n →上是“民主函数”．比如：函数1y x =-+在12-→上是“民主函数”．理由： 由[(1)](2)0x x ---≤，得12x -≤≤． 1x y =-，112y ∴-≤-≤，解得12y -≤≤，[(1)](2)0y y ∴---≤，∴是“民主函数”．(1)反比例函数6y x=是23→上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：(2)若一次函数y kx b =+在m n →上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含,m n 的代数式表示）；(3)若抛物线2(0,0)y ax bx c a a b =++>+>在13→上是“民主函数”，且在13x ≤≤上的最小值为4a ，设抛物线与直线3y =交于,A B 点，与y 轴相交于C 点．若ABC 的内心为G ，外心为M ，试求MG 的长．【例2】（2023·江苏南通·一模）定义：若函数图象上存在点()1M m n ，，()21M m n '＋，，且满足21n n t -=，则称t 为该函数的“域差值”．例如：函数23y x =+，当x m =时，123n m =+；当1x m =+时，221252n m n n =+-=，则函数23y x =+的“域差值”为2(1)点12'1M m n M m n +（，），（，）在4y x =的图象上，“域差值”4t =-，求m的值；本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出的顶点坐标是解题的关键．ABC(2)已知函数220y x x =-（＞），求证该函数的“域差值”2t <-；(3)点A a b （，）为函数22y x =-图象上的一点，将函数22y x x a =-≥（）的图象记为W 1，将函数22y x x a =-≤（）的图象沿直线y b =翻折后的图象记为2W 当12W W ，两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”1t ≤时，求a 的取值范围．1．（2023·江苏南通·一模）定义：若函数1G 的图象上至少存在一个点，该点关于x 轴的对称点落在函数2G 的图象上，则称函数1G ，2G 为关联函数，这两个点称为函数1G ，2G 的一对关联点．例如，函数2y x =与函数3y x =-为关联函数，点()1,2和点()1,2-是这两个函数的一对关联点．(1)判断函数2y x =+与函数y =-3x是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；(2)若对于任意实数k ，函数2y x b =+与5y kx k =++始终为关联函数，求b 的值；(3)若函数21y x mx =-+与函数224n y x =-(m ，n 为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，求2226m n m -+的取值范围．2．（2024·浙江湖州·一模）定义：对于y 关于x 的函数，函数在 ()1212x x x x x ≤≤<范围内的最大值，记作 []12,M x x 如函数2y x =，在13x -≤≤范围内，该函数的最大值是6， 即，[]1,36M -=．请根据以上信息，完成以下问题：已知函数 ()22141y a x x a =--+-（a 为常数）(1)若2a =．①直接写出该函数的表达式，并求 []1,4M 的值；②已知 5,32M p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求p 的值．(2)若该函数的图象经过点()0,0， 且[]3,M k k -=， 求k 的值．题型四 新定义型二次函数与几何图形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2023·江苏南通·二模）定义：在平面直角坐标系中，点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线:(0)l y kx b k =+≠满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+（或满足11y kx b ≥+且22y kx b ≤+），则称直线:(0)l y kx b k =+≠是图形1G 与2G 的“界线”．例如：直线4y x =-+是函数4(0)y x x=>的图象与抛物线2y x =-的一条“界线”．已知点(,2),(,2),(4,2),(4,2)A m B m C m D m -+-+．(1)若2m =-，在直线①3y x =+，②4y x =-+，③27y x =-+中，是函数6(0)y x x=>的图象与正方形ABCD 的“界线”的有______（填序号）；(2)若点E 的坐标是(0,4),E的半径为E 与正方形ABCD 的“界线”有且只有一条，求“界线”l 的函数关系式；(3)若存在直线2y x b =+是函数223(22)y x x x =++-≤≤的图象与正方形ABCD 的“界线”，求m 的取值范围．【例2】（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy 中，P 、Q为平面内不重合的两个点，其本题考查二次函数的图象及性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清“界线”的定义与图形之间的关系，数形结合、分类讨论是解题的关键．中1122(,),(,)P x y Q x y ．若：1122x y x y +=+，则称点Q 为点P 的“等和点”．(1)如图1，已知点()21P ，，求点P 在直线1y x =+上“等和点”的坐标；(2)如图2，A 的半径为1，圆心A 坐标为()20，．若点()0P m ，在A 上有且只有一个“等和点”，求m 的值；(3)若函数()22y x x m =-+≤的图像记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图像记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图像上恰有点()0P m ，的两个“等和点”，请直接写出m 的取值范围．1．（2023·江苏扬州·一模）对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠的图象顶点为P （不与坐标原点重合），以OP 为边构造正方形OPMN ，则称正方形OPMN 为二次函数2y ax bx c =++的关联正方形，称二次函数2y ax bx c =++为正方形OPMN 的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．(1)如图，直接写出二次函数2(1)2y x =+-的关联正方形OPMN 顶点N 的坐标___,并验证点N 是否为伴随点___（填“是”或“否”）：(2)当二次函数24y x x c =-++的关联正方形OPMN 的顶点P 与N 位于x 轴的两侧时，请解答下列问题：①若关联正方形OPMN 的顶点M 、N 在x 轴的异侧时，求c 的取值范围：②当关联正方形OPMN 的顶点M 是伴随点时，求关联函数24y x x c =-++的解析式；③关联正方形OPMN 被二次函数24y x x c =-++图象的对称轴分成的两部分的面积分别为1S 与2S ，若1213S S ≤，请直接写出c 的取值范围．2．（2024·江西九江·一模）定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线y ax a =-为抛物线2y ax bx c =++的“衍生直线”．如图1，抛物线2y x bx c =-++与其“衍生直线”交于A ，B 两点（点B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点()3,0C -．(1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A 的坐标；(2)如图2，抛物线2y x bx c =-++的“衍生直线”与y 轴交于点1D ，依次作正方形111DEFO ，正方形2221D E F F ，…，正方形1n n n n D E F F -（为正整数），使得点1D ，2D ，3D ，…，n D 在“衍生直线”上，点1F ，2F ，3F ，…，n F 在x 轴负半轴上．①直接写出下列点的坐标：1E ______，2E ______，3E ______，n E ______；②试判断点1E ，2E ，…，n E 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．3．（2023·江西新余·一模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴的交点坐标为()0,c ，那么我们把经过点()0,c 且平行于x 轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】(1)抛物线221y x x =++的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．【深入探究】(2)经过点()2,0A -和(),0(2)B x x >-的抛物线21142y x mx n =-++与y 轴交于点C ，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D ，请用含m 的代数式表示点D 的坐标．【拓展运用】(3)在（2）的条件下，设抛物线21142y x mx n =-++的顶点为P ，直线EF 垂直平分OC ，垂足为E ，交该抛物线的对称轴于点F ．①当45CDF ∠=︒时，求点P 的坐标．②若直线EF 与直线MN 关于极限分割线对称，是否存在使点P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等的m 的值？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．抢分秘籍15 二次函数新定义型综合问题（压轴通关） 目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数新定义型综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
初中复习方略数学第十三讲 二次函数的应用
第十三讲 二次函数的应用知识清单·熟掌握抛物线型问题应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路1．建立平面直角坐标系：根据题意，建立适当的坐标系，建系的原则一般是把顶点作为坐标原点．2．设函数解析式：根据所建立的坐标系，设出解析式．3．求解析式：将题中所给的数据转化为点的坐标，代入函数解析式，求出待定系数，确定函数解析式．4．解决实际问题：把问题转化为已知抛物线上点的横坐标(或纵坐标)，求其纵坐标(或横坐标)，再转化为线段的长，解决实际问题．1．飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间t(单位：s)的函数关系式满足y ＝－65 t 2＋60t ，则飞机着陆至停下来滑行的距离是25 m ．(×) 2．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y ＝－112 x 2＋23 x ＋53，则小强此次成绩为10米．(√)利润最大化问题应用二次函数性质解决最优化问题的思路1．分析题中数量关系，确定变量．2．根据等量关系，构建二次函数模型．3．根据函数性质，确定最值．在实际问题中二次函数的最值不一定是顶点的纵坐标，要注意自变量的取值的限制对最值的影响．考点一应用二次函数解决抛物线型实际问题类型一：隧道和拱桥问题【典例1】(2021·衢州中考)如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．(1)求桥拱顶部O离水面的距离．(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【思路点拨】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解即可．【自主解答】(1)根据题意可知点F 的坐标为(6，－1.5)，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y 1＝a 1x 2.将F(6，－1.5)代入y 1＝a 1x 2有：－1.5＝36a 1，求得a 1＝－124 ， ∴y 1＝－124x 2， 当x ＝12时，y 1＝－124×122＝－6， ∴桥拱顶部离水面高度为6 m.(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6，1)，可设其表达式为y 2＝a 2(x －6)2＋1，将H(0，4)代入其表达式有：4＝a 2(0－6)2＋1，求得a 2＝112 ， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y ＝112(x －6)2＋1， ②设彩带的长度为L m ，则L ＝y 2－y 1＝112 (x －6)2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x 2 ＝18 x 2－x ＋4＝18 (x －4)2＋2， ∴当x ＝4时，L 最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2 m ．类型二：运动轨迹问题【典例2】(2021·北部湾中考)2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C 1：y ＝－112 x 2＋76x ＋1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 运动． (1)当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C 2的函数解析式(不要求写出自变量x 的取值范围).(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．【思路点拨】(1)根据题意将点(0，4)和(4，8)代入C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 求出b ，c 的值即可写出C 2的函数解析式；(2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：－18 m 2＋32 m ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－112m 2＋76m ＋1 ＝1，解出m 即可； (3)求出山坡的顶点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7，6112 ，根据题意即－18 ×72＋7b ＋4＞3＋6112，再解出b 的取值范围即可． 【自主解答】(1)由题意可知抛物线C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 过点(0，4)和(4，8)，将其代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝c 8＝－18×42＋4b ＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32c ＝4 ，∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝－18 x 2＋32 x ＋4. (2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：－18 m 2＋32 m ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－112m 2＋76m ＋1 ＝1， 整理得：(m －12)(m ＋4)＝0，解得：m 1＝12，m 2＝－4(舍去)，故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．(3)C 1：y ＝－112 x 2＋76 x ＋1＝－112 (x －7)2＋6112， 当x ＝7时，运动员到达坡顶，即－18 ×72＋7b ＋4＞3＋6112， 解得：b ＞3524.此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．最高点为抛物线的顶点，抛出点为抛物线中的c 值，落地点为抛物线与x 轴的交点，落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值．(1)投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上；(2)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方；(3)判断船是否能通过拱桥即判断船的高度是否比船自身的宽度对应的y 值小；(4)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高低．(2021·台州中考)以初速度v(单位：m/s)从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t (单位：s)之间的关系式是h＝vt－4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1(如图1)；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2(如图2).若h1＝2h2, 则t1∶t2＝__ 2 __．考点二利润最大化问题类型一：顶点处取最值【典例3】(2021·达州中考)渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．(1)写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？(3)若工厂每天的利润要达到9 750元，并让利于民，则定价应为多少元？【解析】(1)由题意得：W＝(48－30－x)(500＋50x)＝－50x2＋400x＋9 000，x＝2时，W＝(48－30－2)(500＋50×2)＝9 600(元)，答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝－50x2＋400x ＋9 000，当降价2元时，工厂每天的利润为9 600元；(2)由(1)得：W＝－50x2＋400x＋9 000＝－50(x－4)2＋9 800，∵－50＜0，∴x＝4时，W最大为9 800，即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9 800元．(3)－50x2＋400x＋9 000＝9 750，解得：x1＝3，x2＝5，∵让利于民，∴x1＝3不合题意，舍去，∴定价应为48－5＝43(元)，答：定价应为43元．类型二：不在顶点处取最值【典例4】(2021·鄂州中考)为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.(1)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围).(2)受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2 160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？(每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴)【思路点拨】(1)根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可．(2)根据题意写出利润关于种植面积的解析式，然后根据x≤240和二次函数的性质求出利润的最大值．【自主解答】(1)设y 与x 之间的函数关系式y ＝kx ＋b(k≠0)，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧840＝160k ＋b 960＝190k ＋b ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4b ＝200 ， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝4x ＋200；(2)设老张明年种植该作物的总利润为W 元，依题意得： W ＝[2 160－(4x ＋200)＋120]·x＝－4x 2＋2 080x ＝－4(x －260)2＋270 400，∵－4<0，∴当x<260时，W 随x 的增大而增大，由题意知： x≤240，∴当x ＝240时，W 最大，最大值为－4(240－260)2＋270 400＝268 800(元)， 答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268 800元． 类型三：在自变量不同取值范围上求最值【典例5】(2020·荆门中考)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x 天(x 为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x(天)的函数关系式为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧25x ＋4（0<x≤20）－15x ＋12（20<x≤30） ，销售量y(千克)与x 之间的关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)当月第几天，该农产品的销售额最大？最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售价格)【思路点拨】(1)根据函数图象中的数据，可以得到y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)根据题意和(1)中的结果，可以得到利润与x 之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．【解析】(1)当0＜x≤20时，设y 与x 的函数关系式为y ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8020a ＋b ＝40 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝80 ， 即当0＜x≤20时，y 与x 的函数关系式为y ＝－2x ＋80，当20＜x≤30时，设y 与x 的函数关系式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧20m ＋n ＝4030m ＋n ＝80 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝－40 ， 即当20＜x≤30时，y 与x 的函数关系式为y ＝4x －40，由上可得，y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋80（0<x≤20）4x －40（20<x≤30） . (2)设当月第x 天的销售额为w 元，当0＜x≤20时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋4 ×(－2x ＋80) ＝－45(x －15)2＋500，∴当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500，当20＜x≤30时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15x ＋12 ×(4x－40)＝－45 (x －35)2＋500， ∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时w ＝480，由上可得，当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500.答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．1．求关于利润的二次函数解析式的两种思路(1)若题目给出销售量与单价之间的函数解析式，以及销售单价与进价之间的关系时，则可直接根据：销售利润＝销售总额－成本＝销售量×销售价－销售量×进价＝销售量×(销售价－进价)来解决；(2)若题目中未给出销售量与单价之间的函数解析式，则要先求出销售量与单价之间的函数解析式，解析式一般是一次函数关系，再根据销售利润＝销售量×(销售价－进价)来解决．2．求二次函数的最值的两种方法(1)可直接利用公式法求顶点的纵坐标，即y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为4ac －b 24a (a ＜0)或最小值为4ac －b 24a(a ＞0). (2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值．1．(2021·连云港中考)某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是__1__264__元．2．(2021·南充中考)超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．(1)求苹果的进价；(2)如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系式；(3)超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z(元/千克)与一天销售数量x(千克)的关系为z＝－1100 x＋12.在(2)的条件下，要使超市销售苹果利润w(元)最大，求一天购进苹果数量．(利润＝销售收入－购进支出)【解析】(1)设苹果的进价为x元/千克，根据题意得：300x＋2＝200x－2，解得：x＝10，经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克．(2)当0≤x≤100时，y＝10x；当x ＞100时，y ＝10×100＋(x －100)(10－2)＝8x ＋200；∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x （0≤x≤100）8x ＋200（x ＞100）. (3)当0≤x≤100时，w ＝(z －10)x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－10 x ＝－1100(x －100)2＋100， ∴当x ＝100时，w 有最大值为100；当100＜x≤300时，w ＝(z －10)×100＋(z －8)(x －100)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－10 ×100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－8 (x －100) ＝－1100x 2＋4x －200 ＝－1100(x －200)2＋200， ∴当x ＝200时，w 有最大值为200；∵200＞100，∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大，为200元． 答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大． 考点三 几何图形面积问题【典例6】 (2020·孝义市质检)如图所示，正方形区域ABCD 是某公园健身广场示意图，公园管理处想在其四个角的三角形区域内种植草皮加以绿化(阴影部分)，剩余部分安装健身器材作为市民健身活动场所(四边形EFGH)，其中AB＝100米，且AE＝AH＝CF＝CG.则当AE的长度为多少时，市民健身活动场所的面积达到最大？【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.∵AE＝AH＝CF＝CG，∴BE＝BF＝DG＝DH，∴△AHE，△BEF，△CGF，△DGH都是等腰直角三角形；设AE＝x米，则BE＝(100－x)米．设四边形EFGH的面积为S，则S＝100×100－2×12 x2－2×12(100－x)2＝－2x2＋200x(0＜x＜100).∵S＝－2(x－50)2＋5 000.∵－2＜0，∴当x＝50时，S有最大值为5 000.答：当AE＝50米时，市民健身活动场所的面积达到最大．解决此类问题一般是根据几何图形的性质，先找变量，再确定变量与该图形周长或面积之间的关系，用变量表示出其他边的长，从而确定二次函数的解析式，再根据题意及二次函数的性质解题即可．(2019·连云港中考)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是(C)A ．18 m 2B ．18 3 m 2C ．24 3 m 2D ．4532 m 2人教版九年级下册 P29 练习 T2某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？【思路点拨】设出每间房的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论．【自主解答】设房价为(180＋10x)元，则定价增加了10x 元，此时空闲的房间为x ，由题意得，y ＝(180＋10x)(50－x)－(50－x)×20＝－10x 2＋340x ＋8000＝－10(x －17)2＋10890故可得当x ＝17，即房间定价为180＋170＝350元的时候利润最大． 答：房间定价为350元时，利润最大．(变换条件与问法)(2021·济宁中考)某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？(2)甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)设甲种商品每箱盈利x 元，则乙种商品每箱盈利(x －5)元， 根据题意得：900x ＋400x －5＝100， 整理得：x 2－18x ＋45＝0，解得：x ＝15或x ＝3(舍去)，经检验，x ＝15是原分式方程的解，符合实际，∴x －5＝15－5＝10(元)，答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元．(2)设甲种商品降价a 元，则每天可多卖出20a 箱，利润为w 元，由题意得：w ＝(15－a)(100＋20a)＝－20a 2＋200a ＋1 500＝－20(a －5)2＋2 000，∵－20<0，∴当a ＝5时，函数有最大值，最大值是2 000元．答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2 000元.(变换条件与问法)(2021·黄冈中考)红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x(单位：元/件)，月销售量为y(单位：万件).(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．【解析】(1)由题知，y＝5－(x－50)×0.1，整理得y＝10－0.1x(40≤x≤100)；(2)设月销售利润为z，由题知，z＝(x－40)y＝(x－40)(10－0.1x)＝－0.1x2＋14x－400＝－0.1(x－70)2＋90，∴当x＝70时，z有最大值为90，即当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元；(3)由(2)知，当月销售单价是70元时，月销售利润最大，即(70－40－a)×(10－0.1×70)＝78，解得a＝4，∴a的值为4.。
初三数学 二次函数与平行四边形的综合问题教案
教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。
主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。
此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。
就本节二次函数与平行四边形的点存在性问题，主要考查了学生能否将平行四边形的性质与判定融入到二次函数，在函数图像中构造题意所需图形的能力。
二、复习预习平行四边形的判定与性质1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2. 性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形两组对边分别相等；③平行四边形两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分；3. 判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 探究平行四边形的一般思路在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：（1）假设结论成立；（2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。
人教版初中数学九年级二次函数(经典例题含答案)
二次函数经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、二次函数（一）二次函数的定义（共4小题，每题3分，共计12分）例 1.下列函数：①225y xz =++；②258y x x =-+-；③2y ax bx c =++；④()()2324312y x x x =+--；⑤2y mx x =+；⑥21y bx =+（b 为常数，0b ≠）；⑦220y x kx =++，其中y 是x 的二次函数的有②⑥.例1.变式1.函数24233y x x =--中，a =3-，b =34，c =2-.例1.变式2.若()232my m x -=-是二次函数，且2m >，则m 等于（B）A.C. D.5例1.变式3.已知函数()22346mm y m m x -+=+-是二次函数，求m 的值.2122342:1,2602,31m m m m m m m m m -+===+-≠∴≠≠-∴ 解：由题意得：解得的值为（二）列二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例2.一台机器原价60万元，每次降价的百分率均为x ,那么连续两次降价后的价格y (万元)为（C ）A.()601y x =-B.()601y x =+ C.()2601y x =- D.()2601y x =+例2.变式1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表:写出用t 表示s 的函数关系式:22t s =.例2.变式2.矩形的长为x cm，宽比长少2cm，请你写出矩形的面积y (2cm )与x (cm)之间的关系式xx y 22-=.时间t (秒)1234…距离s (米)281832…例2.变式3.某商场将进价为每套40元的某种服装按每套50元出售时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装销售单价每提高1元，销量就减少5套.如果商场将销售单价定为x 元,请你写出每天销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式.[]2200075055)50(300)40(2-+-=⨯---=x x y x x y 即解：由题意得：二、二次函数的图象和性质（一）形如2y ax =和2y ax c =+的二次函数的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例3.对于二次函数2y x =-的图象，在y 轴的右边，y 随x 的增大而减小.例3.变式1.二次函数2y ax =的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.（1）22y x =如图（D ）；（2）212y x =如图（C ）；（3）2y x =-如图（A）；（4）213y x =-如图（B）；（5）219y x =如图（F）；（6）219y x =-如图（E）.例3.变式2.与抛物线222y x =-+开口方向相同,只是位置不同的是（D）A.22y x =B.2211y x =- C.221y x =+ D.221y x =--例3.变式3.坐标平面上有一函数22448y x =-的图象,其顶点坐标为（C ）A.()0,2- B.()1,24- C.()0,48- D.()2,48（二）二次函数()2y a x h =-与()2y a x h k =-+的图像和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例4.将抛物线2y x =-向左平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式是(A )A.()22y x =-+ B.22y x =-+ C.()22y x =-- D.22y x =--例4.变式1.二次函数()221y x =-，当x 1<时,y 随着x 的增大而减小，当x 1>时,y 随着x 的增大而增大.例4.变式2.已知二次函数()2231y x =-+.有下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线3x =-；③其图象顶点坐标为(3，-1)；④当3x <时,y 随着x 的增大而减小.则其中说法正确的有（A ）A.1个B.2个C.3个D.4个例4.变式3.将抛物线21y x =+先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，那么所得抛物线的表达式是（B ）A.()222y x =++ B.()222y x =+- C.()222y x =-+ D.()222y x =--（三）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例5.二次函数225y x x =+-有(D)A.最大值为-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6例5.变式1.如图是二次函数224y x x =-++的图象，使1y ≤成立的x 的取值范围是（D ）A.13x -≤≤B.1x ≤-C.1x ≥ D.13x x ≤-≥或例5.变式2.抛物线2y x bx c =++向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的表达式为223y x x =--，求b ，c 的值.,2234)21(:32324)1(3222222==∴+=+-+-=--=--=--=c b x x x y x x y x x x y 得个单位个单位，再向上平移向左平移将抛物线解：例5.变式3.如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列4个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->，其中正确结论的有（B）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、确定二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例6.已知二次函数的图象的顶点坐标是（-2，-3），且经过点（0,5），求这个函数表达式.5823)2(22:53)20()5,0(3)2()3,2(),0()(22222++=-+=∴==-+∴-+=∴--≠++=x x x y a a x a y a k h x a y 解得此二次函数图象经过点又坐标为此二次函数图象的顶点达式为解：设此二次函数的表 例6.变式1.已知抛物线与y 轴交点的纵坐标为52-，且还经过（1，-6）和（-1,0）两点，求抛物线的表达式.22(0)5(0,),(1,6),(1,0)251226305215322y ax bx c a c a a b c b a b c c y x x =++≠---⎧⎧=-=-⎪⎪⎪⎪++=-=-⎨⎨⎪⎪-+=⎪⎪=-⎩⎩∴=---解：设抛物线表达式为将代入得：解得：抛物线表达式为：例6.变式2.已知，一抛物线与x 轴的交点是A（-2,0），B（1,0），且经过点C（2,8）.（1）求该抛物线的函数表达式；4224228240024)8,2(),0,1(),0,2()0(22-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+--≠++=x x y c b a c b a c b a c b a C a c bx ax y 抛物线表达式为：解得：代入得：将解：设抛物线表达式为（2）求该抛物线的顶点坐标.)29,21(2921(242222---+=-+=顶点坐标为：x x x y 例6.变式3.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A(-1,0),B(3,0),C (0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴.（1）求抛物线的函数表达式;321)3,0()1)(3(2++-=∴-=+-=x x y a C x x a y 抛物线表达式为：代入，解得：将点线表达式为：解：由题意得：设抛物（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标.:,(2,3,,(1,0),(2,30123111,2(1,2)l C C C AC l P PAC AC y kx m A C k m k k m m AC y x x y P ''∴'∆''=+--+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩'∴=+==解过直线作点的对称点）连接交直线于点此时的周长最小设直线表达式为将）代入得：解得：直线表达式为：令则点的坐标为：四、二次函数的应用（一）利用二次函数解决“面积最大问题”（共4小题，每题3分，共计12分）例7.小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是（A）A.24cm B.28cm C.216cm D.232cm 例7.变式1.在Rt ABC ∆中，∠A=90°，AB=4,AC=3，D 在BC 上运动(不与B,C 重合),过点D 分别向AB,AC 作垂线,垂足分别为E,F,则矩形AEDF 的面积最大值为3.例7.变式2.如图,正方形ABCD 的边长为2cm,E,F,G,H 分别从A,B,C,D 向B,C,D,A 同时以0.5cm/s的速度移动,设运动时间为t(s).(1)求证:△HAE≌△EBF；)90,,:SAS EBF HAE B A EB HA BF AE （由题意得：解∆≅∆∴=∠=∠==(2)设四边形EFGH 的面积为S(2cm ),求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；)40(4221)5.02()5.0(901,5.02,5.0222222222≤≤+-=-+=+==∴∴=∠+∠∆≅∆+=∆-===t t t t t AE AH HE S HEFG AHE DHG EBF HAE AE AH HE AEH Rt t AH t AE DH 是正方形四边形可得）又由（中则解：由题意得 (3)t 为何值时,S 最小？最小是多少？222)2(21422122最小，最小为时，当S t t t t S =∴+-=+-=例7.变式3.在青岛市开展的创建活动中，某小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长度为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园BC 边的长为x m ，花园的面积为y 2m .(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；）（解：由题意得：15020212402≤<+-=-⋅=x x x x x y (2)满足条件的花园面积能达到2002m 吗?若能，求出此时的x 的值；若不能，请说明理由；.20015020,2002m x x x y 到此时花园的面积不能达的取值范围是而，时当∴≤<==(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？.5.18715150,20202122m y x x y x x x x y 有最大值，最大值为时，当的增大而增大随范围内，在对称轴为直线线图象是开口向下的抛物=∴≤<=+-=（二）二次函数的综合运用（共4小题，每题3分，共计12分）例8.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（A）A.5元B.10元C.0元D.3600元例8.变式1.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（B ）A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m例8.变式2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元?元租金高，每张床收费则为使租出的床位少且时，时，为整数，则又因为有最大值时，当则有元元，每天收入为个解：设每张床位提高1602031001120031120025.22100001000200)10100)(20100(202=⨯+======-=++-=-+=y x y x x y abx x x x x y y x 例8.变式3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)3200242525048)(20002400(2++-=+--=x x x x y 由题意得：（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?元即每台冰箱应降价降价越多越好要使百姓得到实惠，则解得：得：代入将200200200,1004800320024252,30002425248002122=∴===++-++-==x x x x x x x y y (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？元。
中考数学专题复习：二次函数图象综合应用
图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2bx a=-（或x h =）． 顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点① 与y 轴的交点：()0c ，； ② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点． ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()a c ，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 例题精讲典题精练A ．B ．C ．D ．⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为()02，-，则下列结论中，正确的是（ ）A ．k a b +=2B ．k b a +=C ．0＞＞b aD ．0＞＞k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B ．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线2y ax bx c =++，OA OC =，下列关系中正确的是（）A ．1ac b +=B ．1ab c +=C ．1bc a +=D ．1ac b+= ）⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为 ．【解析】 ⑴ A ．提示：把()0c -，代入2y ax bx c =++即可．⑵ 12-．提示：先把B ()0c ，代入2y ax bx c =++，得1ac b =--，再把()0c ，代入()()2y a x c x c =+-即可．【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示，有以下结论：①ac b 42-＞0；②01=++c b ；③063=++c b ；④当1＜x＜3时，()012＜c x b x +-+．其中正确的为．⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C ．对称轴在y 轴的右边得0ab <（由开口向下得0a <，故0b >），抛物线与y 轴交于正半轴得0c >，∴0abc <，①不正确；当1x =-时，函数值为0a b c -+<，②不正确； 当2x =时，函数值420a b c ++>，③正确；其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等，函数值相等得42a b c c ++=，∴2b a =-代入0a b c -+<，32bc <，即23c b <，④正确；当1x =，∵1m ≠，2max y a b c am bm c =++>++，可知⑤正确；由对称轴12ba-=得20a b +=，故⑥正确；抛物线与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故⑦不正确；0a b c ++>，0a b c -+<，故()220a c b +-<，故⑧不正确．对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--,如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；b 思路导航例题精讲题型二：二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，则代数式6822+-k k 的最小值 为 ．⑵ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑶当12x ≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，∴m 、n 、k 最小为0，当n =0时，k 最大为：21；∴210≤≤k ，故最小值为2.5．⑵ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例5】 如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ，两点．⑴ 求a 值； ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点()0Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C D ，两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，∴1191428a a -++=，解得12a =．⑵ 由⑴知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．∵点M 在点N 的左边，∴2M x =-，1N x =． 当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． ∵点E 在点F 的左边，∴1E x =-，2F x =．∵0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于y 轴对称，点N 与点E 关于y 轴对称． ⑶ ∵102a =>．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． 根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消y可解得12x x ==，则当0x =时，CD 的最大值为2．【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)， 则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，∵0a <，据图象得对称轴在y 轴左侧，∴0b <∴()10a -+<，∴1a >-于是有10a -<<． ⑵ 由图象可知0a >．又顶点在y 轴的右侧，在x 轴的下方，则：02ba->，2404ac b a -<，∴0b <． 又∵当0x =时，1y c =-=当0y =时，1x =-，∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<．∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<，即20a b c -<++<．精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于a b c ，，的等式． ⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．例. 2y ax bx c =++的图象如图所示．设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--， 则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0分析：依题意得0a >，012ba<-<，∴0b <，20a b +>，20a b ->， 又当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+>，故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<，故选C ．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求2()22f x x ax =-+在[24]，上的最大值和最小值． 分析： 先求最小值．因为()f x 的对称轴是x a =，可分以下三种情况：⑴ 当2a <时，()f x 在[24]，上为增函数，所以min ()(2)64f x f a ==-； ⑵ 当24a ≤≤时，()f a 为最小值，2min ()2f x a =-；⑶ 当4a >时，()f x 在[24]，上为减函数，所以min ()(4)188f x f a ==-．综上所述：2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者：(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+，（1）当3a ≥时，(2)(4)f f ≥，则max ()(2)64f x f a ==-； （2）当3a <时，(2)(4)f f <，则max ()(4)188f x f a ==-．故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f 与 (4)f 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两 种情况． 3、轴定区间动：例．若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ，求函数()g t 当[32]t ∈-，时的最值． 分析：2()(1)1f x x =-+，按直线1x =与区间[1]t t +，的不同位置关系分类讨论：若1t >，则2min ()()(1)1f x f t t ==-+；若11t t +≤≤，即01t ≤≤，则min ()(1)1f x f ==； 若11t +<，即0t <，则2min ()(1)1f x f t t =+=+．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1)+∞，内是增函数，又(3)(2)g g ->，故在区间[32]-，内，min ()1g t =（当01t ≤≤时取得），max ()(3)10g t g =-=．小结：（i ）解此类问题时，心中要有图象；（ii ）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标．因此， 可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x ＜，ac b 42-=∆，方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f ．1．当方程有一根大于m ，另一根小于m 时，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ；2．当方程两根均大于m 时，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， m ab2-，()0＞m af ； 3．当方程两根均在区间()n m ，内，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， n abm ＜＜2-，()0＞m af ，()0＞n af ； 4．当两根中仅有一根在区间()n m ，内，对应函数()x f 的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ()()0＜n f m f ⋅；5．当两根在区间[]n m ，之外时：对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ，()0＜n af ；6．当两根分别在区间()n m ，、()t s ，内，且s n ≤，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＞m af ，()0＜n af ，()0＜s af ， ()0＞t af ．小结： 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式ac b 42-=∆的符号；②对称轴abx 2-=的位置分布；③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号．例．若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2，求实数m 的取值范围． 分析：令()1222+-+=m mx x x f ，如图得充要条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422＞＞m m m f m m ，解得4316-≤-m ．训练1. 已知：a b c >>，且0a b c ++=，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的（ ）A B C D【解析】 B ．由a b c >>，且0a b c ++=，可得0a >， 0c <，且过()10，点，由a b c >>，且a b c ++=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：a b a b >>--，∴112ba -<<， ∴11224b a -<-<．另一方法：∵a b >，∴330a b ->，330a b a b c -+++>，从而得到420a b c -+>．训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <，则对于下列结论：⑴ 当2x =-时，1y =；⑵ 当2x x >时，0y >；⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ；⑷11x <-，21x >-；⑸21x x -=确的结论是______.（只需填写序号）【解析】 ⑴⑶⑷．当2x =-时，代入得1y =，故⑴正确；因为k 的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2x x >时，0y >，故⑵不正确；联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=，抛物线与x 轴有两个交点，即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根．当1x =-时，y k =-，若0k >，0y k =-<，若0k <，0y k =->，故⑷正确．21x x -=.训练3. 如图所示，二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ，交y 轴于C ，当线段AB 最短时，求线段OC 的长．【解析】 设1(A x ，0)，2(B x ，0)，思维拓展训练(选讲)则1x ，2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根，则12AB x x =-=== 当4a =时，AB 取最小值，即最短，此时，抛物线为221y x x =--， 可求得C 的纵坐标为1-，即线段OC 的长是1．训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象，先取自变量x 的7个值满足：213276x x x x x x d -=-==-= ，再分别算出对应的y 值，列出表1：表1：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-，232m y y =-，343m y y =-，454m y y =-，…； 121s m m =-，232s m m =-，343s m m =-，… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系；⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”，列出表2：表2：x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变，判断1s 、2s 、3s 之间关系，并说明理由；⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，列出表3： 表3： x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心，表3中有一个y 值算错了，请指出算错的y 值（直接写答案）．【解析】 ⑴ 123s s s ==；⑵ 123s s s ==．证明：()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=，23432s m m ad =-=． ∴123s s s ==．⑶ 表中的420改为410．题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 ⑴ A ．⑵ D ．【练习2】 如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经点()12-，和()10，且与y 轴交于负半轴．⑴ 下列四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=， 其中正确的结论的序号是 ． ⑵给出下列四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >．其中正确的结论的序号是 ．【解析】 ⑴图象开口向上得0a >；对称轴02ba->可得0b <；当0x =时，0y <，即0c <；由1x =时，0y =，即0a b c ++=．故①④．⑵由⑴可知0abc >；对称轴12ba-<，∴20a b +>；∵点()12-，和()10，在抛物线上，代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=，得1a c =-，∵0c <，∴11c ->，即1a >．A BCD复习巩固故②③④．【练习3】 如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（ ）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【解析】 B ．【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示，⑴判别a ，b ，c 和24b ac -的符号，并说明理由； ⑵如果OA OC =，求证：10ac b ++=【解析】 ⑴ 解：因为抛物线开口向上，0a >．因为抛物线与y 轴交于负半轴，0c <．又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧，02ba->，即a ，b 异号，由0a >，得0b <． 因为抛物线与x 轴有两个交点，所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，所以其判别式240b ac ->．⑵ 证明：由于C 点坐标为()0c ，，而OA OC =，所以A 点坐标为()0c ，，把()0A c ，代入2y ax bx c =++，得20ac bc c =++． 因为0c ≠，所以10ac b ++=．题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥， ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=， ∴ a m =.当2x =时，222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-，22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =，得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2，m B =1.∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断：24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【解析】由图像可知0a >，102ba-<<，2404ac b a -<，2000a b c ⋅+⋅+<，0a b c -+=，0a b c ++>，于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->，，，，，．【测试2】 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =． ∵当0x =时，20011y =⨯-+=当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．课后测。
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2（附答案）1．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（）A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．10s3．某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m4．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A．0.55米B．1130米C．1330米D．0.4米5．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A ．2.5米B ．3米C ．3.5米D ．4米6．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()236042y x x x =-+≤≤，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ）A ．1米B ．2米C ．5米D ．6米 7．同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A 下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且a ＝﹣118．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD ．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH ＝12cm ，喷嘴位置点B 距台面的距离为16cm ，且B 、D 、H 三点共线．小王在距离台面15.5cm 处接洗手液时，手心Q 到直线DH 的水平距离为3cm ，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是（ ）cm ．A ．3B ．2C ．3D ．2 8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米9．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h (单位：m)与水流运动时间t (单位:s)之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( ) A ．6 s B ．4 s C ．3 s D ．2 s10．某公园一喷水池喷水时水流的路线呈抛物线（如图）．若喷水时水流的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y=﹣x 2+2x+1.25，则水池在喷水过程中水流的最大高度为（ ）A ．1.25米B ．2.25米C ．2.5米D ．3米11．市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分．则水喷出的最大高度是____米．12．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取A 点为坐标原点时的抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为______，水管AB 的长为______m ．13．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头(喷水头高度忽略不计)，各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA 的顶端A 处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O________米以内．14．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h （单位：m ）与水流喷出时间t （单位：s ）之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是__________s ．15．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA ＝1.25m ，A 处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O ，直径为线段CB ．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x 轴的距离为2.25m ，到y 轴的距离为1m ，则水落地后形成的圆的直径CB ＝_____m ．16．如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据：水柱上的点C,D 到地面的距离都是1.6米，即 1.6BC OD ==米，1AB =米，5AO =米，则水柱的最大高度是______米.17．消防员的水枪喷出的水流可以用抛物线212y x bx =-+来描述，已知水流的最大高度为20m ，则b 的值为________． 18．某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB 表示落点B 离点O 最远的一条水流(如图②)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y ＝－x 2＋4x ＋94，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流不落在水池外．19．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y ＝﹣x 2+4x （单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是_____米．20．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A 处透过窗户E 发现乙楼F 处出现火灾，此时A ,E ,F 在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D 处喷出，水流正好经过E ,F . 若点B 和点E 、点C 和F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m ，再向左后退了____m ，恰好把水喷到F 处进行灭火．21．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离中心3m．（1）在给定的坐标系中画出示意图；（2）求出水管的长度．22．如图1，已知水龙头喷水的初始速度v0可以分解为横向初始速度v x和纵向初始速度v y，θ是水龙头的仰角，且v02=v x2+v y2．图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图，水龙头的喷射点A在山坡的坡顶上（喷射点离地面高度忽略不计），坡顶的铅直高度OA为15米，山坡的坡比为13．离开水龙头后的水（看成点）获得初始速度v0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线，点M是运动过程中的某一位置．忽略空气阻力，实验表明：M与A的高度之差d（米）与喷出时间t（秒）的关系为d=v y t-5t2；M与A 的水平距离为v x t米．已知该水流的初始速度v0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°．（1）求水流的横向初始速度v x和纵向初始速度v y；（2）用含t的代数式表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x 的取值范围）；（3）水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是多少米？若要使水流恰好喷射到坡脚B处的小树，在相同仰角下，则需要把喷射点A沿坡面AB方向移动多少米？（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）23．如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y=3+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y =13-x 2+bx +c 表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB 的最大高度；（3）在斜坡上距离A 点2米的C 处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？ 24．游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段PA 表示距离水面（x 轴）高度为5m 的平台（点P 在y 轴上）.滑道AB 可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD 可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B 为二次函数BCD 的顶点，且点B 到水面的距离2BE m =，点B 到y 轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C 时，与水面的距离3m 2CG =，与点B 的水平距离2m CF =.（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；（2）求整条滑道ABCD 的水平距离；（3）若小明站在平台上相距y 轴1m 的点M 处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N 距离平台3m 2，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p ，若水流最终落在滑道BCD 上（包括B 、D 两点），直接写出p 的取值范围.25．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ．高度为3m ．水柱落地点D 离池中心A 处3m ．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；（2）求水管AB 的长．26．某小区有一半径为8m 的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线．在距水池中心3m 处达到最高，高度为5m ，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m 的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？27．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，点O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任意平面上，水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++.请完成下列问题：（1）将2y x 2x 3=-++化为()2y a x h k =-+的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；（2）写出左边那条抛物线的表达式；（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？ 28．现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3 m 处达到最高，高度为1 m ．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为16 m 的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）29．某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y （m ）与喷出水流喷嘴的水平距离x （m ）之间满足2122y x x =-+ （l ）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？30．图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面，1tan 2α=．斜坡顶端B 与地面的距离BC 为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A ，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y （单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A 的水平距离为x （单位：米），y 与x 之间近似满足函数关系2y ax bx =+（a ，b 是常数，0a ≠），图2记录了x 与y 的相关数据．（1）求y关于x的函数关系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A 喷出的水珠能否越过这棵树．参考答案1．D【解析】【分析】设抛物线的解析式为y= a(x-1)2+3(0≤x≤3)，将(3，0)代入求得a值，则x=0时得的y值即为水管的长．【详解】解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)，代入(3，0)得，0=a×(3-1)2+3，求得：a=34．将a值代入得到抛物线的解析式为：y=-34(x-1)2+3(0≤x≤3)，令x=0，则y=94=2.25．则水管长为2.25m，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．2．C【解析】【分析】将h关于t的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论．【详解】解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，∴当t＝5时，礼炮升到最高点．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可．3．B【解析】【分析】以OB为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，A点坐标为（0，10），M点的坐标为（1，403），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解．【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+403，把点A（0，10）代入a(x﹣1)2+403，得a(0﹣1)2+403＝10，解得a＝﹣103，因此抛物线解析式为y＝﹣103(x﹣1)2+403，当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；即OB＝3米．故选B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．4．B【解析】【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），设解析式为y＝ax2+bx+c，∴9305240.8a b cbac++=⎧⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩，解得：8154345abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以解析式为：y＝815-x2+43x+45，当x＝2.75时，y＝13 30，∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣1330＝1130，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键5．B【解析】【分析】由题意可以知道M（1，3），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，把A（0，2.25）代入，得2.25=a+3，a=-0.75．∴抛物线的解析式为：y=-0.75（x-1）2+3．当y=0时，0=-0.75（x-1）2+3，解得：x1=-1（舍去），x2=3．OB=3米．故选：B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式．6．B【解析】【分析】先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值．【详解】解：∵y=-32x2+6x=-32（x2-4x）=-32[（x-2）2-4]=-32（x-2）2+6，∴当x=2时，y有最大值，∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．7．B【解析】【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．【详解】解：如图：根据题意，得Q （9，15.5），B （6，16），OH ＝6，设抛物线解析式为y ＝﹣118x 2+bx +c ， 12×81915.5,,183114.×36616,18b c b c b c ⎧-++=⎧⎪=⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-++=⎩⎪⎩解得， 所以抛物线解析式为y ＝﹣118x 2+23x +14． 当y ＝0时，即0＝﹣118x 2+23x +14， 解得：x ＝2（负值舍去），又OH=6， 所以洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是2cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．8．A【解析】）∵y=－x 2＋4x=2x-24-+（），∴当x=2时，y 有最大值4，∴最大高度为4m9．A【解析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h =0代入h =30t -5t 2即可求出t ，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．解：水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h =0代入h =30t −5t 2得：5t 2−30t =0，解得：t 1=0(舍去),t 2=6.故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.故选A.10．B【解析】试题分析：直接利用二次函数解析式得出水流离地面的最大高度．解：∵y=﹣x 2+2x+1.25=﹣（x ﹣1）2+2.25，∴水池在喷水过程中水流的最大高度为2.25米．故选B ．考点：二次函数的应用．11．4【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案.【详解】水在空中划出的曲线是抛物线24y x x =-+， ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标， ∴()22424y x x x =-+=--+，∴顶点坐标为：()2,4， ∴喷水的最大高度为4米.故答案为：4.【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题.12．()()2323304y x x =-++-≤≤ 2.25． 【解析】【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案，再由题意可得，3x =-时得到的y 值即为水管的长．【详解】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系． 抛物线的解析式为：()23134y x =--+， 当选取点D 为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位， 故平移后的抛物线表达式为：()()2323304y x x =-++-≤≤； 令3x =-，则33 2.254y =-+=． 故水管AB 的长为2.25m ． 故答案为：()()2323304y x x =-++-≤≤；2.25． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．13．7【解析】【分析】根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a 值，求出函数解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x 的值，由此即可得出结论；【详解】设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a （x －3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a （x －3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=－15，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=－15（x－3）2+5（0＜x＜8）．当y=1.8时，有－15（x－3）2+5=1.8，解得：x1=－1（舍去），x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．故答案为：7【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据点的坐标，用利用待定系数法求出二次函数表达式并利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值．14．6【解析】【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．【详解】水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2得：5t2-30t=0，解得：t1=0（舍去），t2=6．故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s．故答案为：6【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实际判断所得出的解．15．5【解析】【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.25，将A（0，1.25）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B 坐标，从而可得CB 的长．【详解】解：设y 轴右侧的抛物线解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+2.25∵点A （0，1.25）在抛物线上∴1.25＝a （0﹣1）2+2.25解得：a ＝﹣1∴抛物线的解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+2.25令y ＝0得：0＝﹣（x ﹣1）2+2.25解得：x ＝2.5或x ＝﹣0.5（舍去）∴点B 坐标为（﹣2.5，0）∴OB ＝OC ＝2.5∴CB ＝5故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键．16．7225【解析】【分析】设解析式为2y ax bx c =++，由题意可知点D 为（0，1.6），点C 为（4，1.6），点A 为（5，0），代入后得到三元一次方程组，解方程组即可求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．【详解】解：设解析式为2y ax bx c =++，由题意可知点D 为（0，1.6），点C 为（4，1.6），点A 为（5，0）， ∴ 1.6164 1.62550c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得825322585a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩， ∴解析式为：2832825255y x x =-++， ∴当3225282()25x =-=⨯-时，y 有最大值为7225. ∴水柱的最大高度是7225米. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题关键． 17．±【解析】【分析】利用二次函数的性质列出关于b 的方程，求出方程的解即可得到b 的值．【详解】解：抛物线y =12-x 2+bx ， 根据题意得： 2b a - =122b -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=b ，当x =b 时，取得最大值为20，21202b b b -+=， 12b 2=20， b =±． 故答案为：b =±． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的性质． 18．92【解析】【详解】当y=0时，即-x2+4x+94=0，解得x1=92，x2=-12（舍去）．答：水池的半径至少92米时，才能使喷出的水流不落在水池外．故答案是：92．19．4米【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，故选A．【点睛】考点：二次函数的应用．理解二次函数性质是关键.2010【解析】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.把E（20,9.2）代入得，20k+21.2=9.2,∴k=-0.6,∴y =-0.6x +21.2. 把y =6.2代入得， -0.6x +21.2=6.2， ∴x =25, ∴F (25,6.2).设抛物线解析式为：y=ax 2+bx +1.2, 把E （20,9.2）, F (25,6.2)代入得，40020 1.29.262525 1.2 6.2a b a b ++=⎧⎨++=⎩解之得0.041.2a b =-⎧⎨=⎩ ， ∴y =-0.04x 2+1.2x +1.2，设向上平移0.4m ，向左后退了h m, 恰好把水喷到F 处进行灭火由题意得 y =-0.04(x +h )2+1.2(x+h )+1.2+0.4, 把F (25,6.2)代入得，6.2=-0.04×(25+h )2+1.2(25+h )+1.2+0.4， 整理得 h 2+20h -10=0, 解之得110x =-,210x =-（舍去）.∴向后退了10)m点睛：本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，设直线AE 的解析式为:y =kx +21.2. 把E （20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F 的坐标.把E （20,9.2）, F (25,6.2)代入y=ax 2+bx +1.2求出二次函数解析式.设向左平移了h m ，表示出平移后的解析式，把点F 的坐标代入可求出k 的值.21．（1）详见解析；（2）水管长为2.25m ． 【解析】 【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系； （2）设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长． 【详解】解：（1）建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系；（2）由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ， 则设抛物线的解析式为： y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 代入（3，0）求得：a ＝﹣34． 将a 值代入得到抛物线的解析式为： y ＝﹣34（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 令x ＝0，则y ＝94＝2.25． 故水管长为2.25m ．【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形建立合适的直角坐标系. 22．（1）水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒；（2）y=-2581x +43x+15；（3）水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动610 【解析】【分析】（1）根据题意利用θ的正弦和余弦定义可得结论；（2）由（1）的表示出v x 表示出x ，OA 已知，利用y=d+OA ，代入OA 的值和d 与t 的函数关系式，可以得解；（3）先求得点A 和点B 的坐标，进而写出其直线解析式，再将其与（2）中抛物线解析式联立，从而求得落点C 的坐标，再利用平移知识及勾股定理可以求解． 【详解】解：（1）∵v 0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°，∴cosθ=0xv v ，sinθ=0y v v ，∴v x =15cos53°=15×35=9，v y =15sin53°=15×45=12；答：水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒； （2）x=v x t=9t ， ∴t=9x ， 又M 与A 的高度之差d （米）与喷出时间t （秒）的关系为d=v y t-5t 2∴y=d+OA=12t-5t 2+15=-5×2()9x +12×9x +15=-2581x +43x+15；∴y 与x 的关系式为：y=-2581x +43x+15．（3）∵坡顶的铅直高度OA 为15米，山坡的坡比为13，∴OB=45米，点A （0，15）点B （45，0）∴直线AB 的解析式为：y=13x -+15，将其与抛物线解析式联立得：254158131153y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得015x y =⎧⎨=⎩（舍）或276x y =⎧⎨=⎩，∴水流在山坡上的落点C 坐标为（27，6），喷射点A 沿坡面AB 方向移动的距离等于BC 的距离，而答：水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及坡度问题和解直角三角形的应用等知识，正确构造出直角三角形是解题关键． 23．（1）y =-13x 2+3x +5；（2）当x=2时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）水柱能越过树，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出A,B 的坐标，再把其代入解析式即可 （2）由（1）即可解答（3）过点C 作CD ⊥OA 于点D ，求出ODOD 代入解析式即可 【详解】（1）∵AB =10、∠OAB =30°， ∴OB =12AB =5、OA则A （0）、B （0，5），将A 、B 坐标代入y =-13x 2+bx +c，得：175035c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：5b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y =-13x 2+5； （2）水柱离坡面的距离d =-13x 2+3x +5-（-3x +5）=-13x 2+533x =-13（x 2-53x ） =-13（x -532）2+254， ∴当x =532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254； （3）如图，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，∵AC =2、∠OAB =30°， ∴CD =1、AD 3 则OD 3， 当x 3时，y =-13×（32+33×3＞1+3.5， 所以水柱能越过树． 【点睛】此题考查二次函数的应用，解题关键在于求出A,B 的坐标 24．（1）10y x=，25x ≤≤；（2）7m ；（3）91332128p -≤≤-. 【解析】 【分析】（1）在题中，BE=2，B 到y 轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k ；（2）根据B ，C 的坐标求出二次函数解析式，得到点D 坐标，即OD 长度再减去AP 长度，可得滑道ABCD 的水平距离；（3）由题意可知点N 为抛物线的顶点，设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+，通过计算水流分别落到点B 和点D 可以得出p 的取值范围.。
中考复习之二次函数中问题综合-几何旋转问题[1]
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最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：mmABmAB mnmn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：n mAnnnm（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m n Am nm nmmmmA m（1）点A 、B 在直线m 同侧：（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点， P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知， B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则 PB PE +的最小值是___________；2.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）A ．B ．C ．3 DBAm A B E CBD 图1A D EPB C二次函数常见压轴y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大 在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，求出P 坐标 或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．因动点产生的三角形相似问题例1.（2013•南平）如图，已知点A（0，4），B（2，0）．（1）求直线AB的函数解析式；（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m）2+n与线段OA交于点C．①求线段AC的长；（用含m的式子表示）②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．例2．如图，直线3y x=-+与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B C，两点的抛物线2y ax bx c=++与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线2x=．（1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P B Q，，为顶点的三角形与ABC△相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习：如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线23y x bx=++与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，tan∠ACO=31．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线:(0)l y kx k=≠与线段BC交于点D（不与点B C，重合），则是否存在这样的直线l，使得以B O D，，为顶点的三角形与BAC△相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由.A BCPOxy2x=AOBCxy和最小差最大如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD 于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.面积问题：例题1：如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．yxBA FPx＝1CO例题2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．例3：已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．讨论直角三角例1：已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝21x2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．例2：如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数中四边形存在问题研究一、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）例1.【08湖北十堰】已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．解：1.如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线221+=x y 交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为)27 3(，. 点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F . （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.PEOFCDBAxyOCDBA 备用图yx二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）例1．【09福建莆田】已知，如图抛物线23(0)=++>与y轴交于C点，与x轴交于A、By ax ax c a两点，A点在B点左侧。
初中数学九年级下册第二章 二次函数二次函数的实际应用
二次函数的实际应用1．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？2．某超市销售一种商品，其成本是每千克40元，并且规定每千克的售价不得低于成本价，且不高于100元经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克的售价x（元）满足一次函数关系，其中部分数据如表：售价x（元/千克）405060销售量y（千克）180150120（1）求y与x之间的函数表达式．（2）设该商品每天的总利润为W（元），求W与x 之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本），并指出每千克的售价为多少元时可获得最大利润？最大利润是多少？3．如图，小明用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形ABCD的边AD长为x米，矩形的面积为S 平方米．（1）写出S与x的函数关系式；（2）如果要围成192平方米的场地，AD的长是6米或16米．（3）当x取何值时，S有最大值？并求出最大值．4．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？5．某商店销售一种成本为20元的商品，经调研，当该商品每件售价为30元时，每天可销售200件：当每件的售价每增加1元，每天的销量将减少5件．（1）求销量y（件）与售价x（元）之间的函数表达式；（2）如果每天的销量不低于150件，那么，当售价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该商店老板热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出100元给希望工程，为保证捐款后每天剩余利润不低于2900元，请直接写出该商品售价的范围．6．某企业接到一批酸奶生产任务，按要求在16天内完成，规定这批酸奶的出厂价为每瓶8元，为按时完成任务，该企业招收了新工人小孙，设小孙第x 天生产的酸奶数量为y瓶，y与x满足下列关系式：y＝（1）小孙第几天生产的酸奶数量为520瓶？（2）如图，设第x天每瓶酸奶的成本是p元，已知p与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画．写出p与x的函数关系式．（3）若小孙第x天创造的利润为w元，求w与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝出厂价一成本）7．某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20m长的篱笆围成一个矩形ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm时，花园的面积为ym2．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是12m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积y的最大值．8．金秋时节，硕果飘香，某精准扶贫项目果园上市一种有机生态水果．为帮助果园拓宽销路，欣欣超市对这种水果进行代销，进价为5元/千克，售价为6元/千克时，当天的销售量为100千克；在销售过程中发现：销售单价每上涨元，当天的销售量就减少5千克．设当天销售单价统一为x元/千克（x≥6，且x是按元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若该种水果每千克的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每千克售价为多少元？并求出最大利润．9．合肥某商场购进一批新型网红玩具．已知这种玩具进价为17元/件，且该玩具的月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是月销售量与销售单价的几组对应关系：销售单价x/元20253035月销售量y/件3300280023001800（1）求y关于x的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？10．某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：p＝，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示．（1）求日销售量y与时间t的函数解析式；（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．。
初中数学精品课件： 二次函数的图象和性质的综合运用
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图Z7－5
备用图
解：(1)∵二次函数 y＝ax2＋bx－4(a≠0)的图象与 x 轴交于 A(－2，0)，C(8，0)两点， ∴46a4－ a＋2b8－ b－4＝ 4＝0， 0，解得ab＝ ＝－ 14，32， ∴该二次函数的解析式为 y＝14x2－32x－4；
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图Z7－8 解：(1)设此抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将A(－4， 0)，B(0，－4)，C(2，0)三点代入函数解析式，
得1c4＝6aa＋－－244b，b＋＋c＝c＝00，，解得bca＝＝＝－112，，4，
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∴此函数解析式为 y＝12x2＋x－4； (2)∵M 点的横坐标为 m，且点 M 在这条抛物线上，
∵抛物线的对称轴在 y 轴右侧， ∴－2ba＞0， ∴b＞0，所以②正确； ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， ∴c＞0，所以③错误； ∵抛物线与 x 轴有 2 个交点， ∴Δ＝b2－4ac＞0，所以④正确．
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2．[2015·潍坊]已知二次函数y＝ax2＋bx＋
c＋2的图象如图Z7－2所示，顶点为
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解：(1)∵A 点为直线 y＝x＋1 与 x 轴的交点， ∴A(－1，0)， 又∵B 点横坐标为 2，代入 y＝x＋1 可求得 y＝3， ∴B(2，3)， ∵抛物线顶点在 y 轴上， ∴可设抛物线解析式为 y＝ax2＋c， 把 A，B 两点坐标代入可得a4＋ a＋c＝c＝0， 3，解得ac＝＝－1，1， ∴抛物线解析式为 y＝x2－1；
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7．[2015·衡阳]如图Z7－7，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝ x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2， 连结AM，BM. (1)求抛物线的函数关系式； (2)判断△ABM的形状，并说明理由； (3)把抛物线与直线y＝x的交点称为抛 物线的不动点．若将(1)中抛物线平移， 使其顶点为(m，2m)，当m满足什么 条件时，平移后的抛物线总有不动点． 图Z7－7
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经典例题
1、已知，在平面直角坐标系xoy 中，二次函数y= -1/3x 2+bx+c 的图像经过点A （-1,1）和点B （2,2），该函数图像的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D. （1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴 （2）求证： = （3）如果点P 在直线AB 上，且△POB 与△BCD 相似，求点P 的坐标
2、如图，一次函数y= -
1
2
x+2分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点，抛物线y=-x 2+bx+c 过A 、B 两点． （1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x 轴的直线x=t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．
CBO
∠ABO ∠
3、已知二次函数y=mx 2+5x-4，它的图像开口向下，且与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其顶点为D 。
（1）求m 的取值范围；
（2）如果△ABC 的面积为6，试求m 的值；
（3）若直线x=k 将第（2）题中的四边形ACBD 的面积平分，则直线x=k 截四边形ACBD 所得的线段的长为多少？
4、已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线1
2y x
=上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y= -abx 2+（a+b ）x 的最值情况是（ ）
A ．有最大值，最大值为92-
B ．有最大值，最大值为92
C ．有最小值，最小值为92
D ．有最小值，最小值为9
2
-
课堂练习
1、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线2
(0y ax bx a =+>）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，
AO OB == 2，0
120AOB ∠=．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结OM ，求AOM ∠的大小；
（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． M
A
B O
x
y
图1
2、如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．
3、若关于x 的一元二次方程（x-2）（x-3）=m 有实数根x 1、x 2，且x 1≠x 2，有下列结论：①x 1=2，x 2=3；②m ＞1
4
-
；③二次函数y=（x-x 1）（x-x 2）+m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过原点O ，交x 轴于点A ，其顶点B 的坐标为（3，3-）． （1）求抛物线的函数解析式及点A 的坐标； （2）在抛物线上求点P ，使S △POA =2S △AOB ；
（3）在抛物线上是否存在点Q ，使△AQO 与△AOB 相似？如果存在，请求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由．
A
B C O
x
y
5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫－9
4，0，点C (0,3)，点B 是x 轴上的一点(位于点A 右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过点C .
(1)求∠ACB 的度数；
(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点，求抛物线的解析式；
(3)线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
6、如图，抛物线y ＝x 2－2x ＋c 的顶点A 在直线l ∶y ＝x －5上．
(1)求抛物线顶点A 的坐标；
(2)设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，D (点C 在点D 的左侧)，试判断△ABD 的形状；
(3)在直线l 上是否存在一点P ，使以点P ，A ，B ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。