数字信号处理习题答案

由于
x(n)*δ(n)=x(n) x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k) 故 y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)］ =2x(n)+x(n－1)+x(n－2) 将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2) +4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)
（2） 写出 x ˆ a (t ) 和x(n)的表达式； （3） 分别求出 x ˆ a (t ) 的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。
解:(1)
X a ( j) xa (t )e


j t
dt 2 cos(0t )e jt dt


上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变
解： （1） 将题中差分方程中的x(n)用δ(n)代替， 得到该滤波器的单位脉
冲响应， 即
第1章 时域离散信号与时域离散系统
1 h(n) [ (n) δ(n 1) δ(n 2) δ(n 3) δ(n 4)] 5
（2） 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为
X 2 (e )
j
n


x2 (n)e jn
1 j 1 e 1 e j 2 2
1 j 1 (e e j ) 1 cos 2
8． 设x(n)=R4(n)， 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)， 并分别用图表示。 解： xe (n)
数字信号处理
习题解答
第1章 时域离散信号与时域离散系统
2． 给定信号： 2n+5 －4≤n≤－1 0≤n≤4 x(n)= 6 0 其它 (1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； （3） 令x1(n)=2x(n－2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2－n)， 试画出x3(n)波形。 解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)
题2解图（一）
题2解图（二）
第1章 时域离散信号与时域离散系统
题2解图（三）
题2解图（四）
3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 3 (1) x(n) A cos πn A是常数 8 7 3 2π 14 , 这是有理数， 因此是周 解： （1） 因为ω= π, 所以 3 7 期序列， 周期T=14
第1章 时域离散信号与时域离散系统
(3) y(n)=x(n)*h(n) = =0.5n
m
R (m)0.5
5

n－mu(n－m)
m


R5(m)0.5－mu(n－m)
y（n）对于m 的非零区间为 0≤m≤4, ① n<0时， y(n)=0 ② 0≤n≤4时， m≤n
n
y (n) 0.5
第1章 时域离散信号与时域离散系统
6． 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并 说明理由。 （2） y(n)=x(n)+x(n+1) 解： 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（（n+1） 时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此 系统是稳定系统。 7． 设线性时不变系统的单位脉 冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7 图所示， 要求画出y(n)输出的波 形。
y ( n)
表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时， 表 中x(k)不动， h(k)反转后变成h(－k)， h(n－k)则随着n 的加大向右滑动， 每滑动一次， 将h(n－k)和x(k)对 应相乘， 再相加和平均， 得到相应的y(n)。 “滑动 平均”清楚地表明了这种计算过程。 最后得到的输
第1章 时域离散信号与时域离散系统
因为
y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］ =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ a T［x1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) bT［x2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2) 所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是线性系统。
第1章 时域离散信号与时域离散系统
题13解图
14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为
1 y (n) ( x(n) x(n 1) x(n 2) x(n 3) x(n 4)) 5
（1） 求出该滤波器的单位脉冲响应； （2） 如果输入信号波形如题14图所示，试求出y(n)并画出它的波形。
m 0 3
1=n+1
1=8－n
n
mn4
题8解图（1）
题8解图（2）
最后结果为 0 n<0或n>7 y(n)= n+1 0≤n≤3 8－n 4≤n≤7 y(n)的波形如题8解图（1）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2) = 2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］ y(n)的波形如题8解图（2）所示
第1章 时域离散信号与时域离散系统
8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=
1 ( R4 (n) R4 (n)) 2
1 xo (n) ( R4 (n) R4 (n)) 2
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。
题8解图
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
13． 已知xa(t)=2 cos(2πf0t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行 采样， 得到采样信号 x(n)， 试完成下面各题： ˆ a (t和时域离散信号 x ) （1） 写出 xa (t ) 的傅里叶变换表示式Xa(jΩ)；
m


R4(m)R5(n－m)
先确定求和域。 由R4(m)和R5(n－m)确定y（n）对于m的非零区间如下: 0≤m≤3 n－4≤m≤n 根据非零区间， 将n分成四种情况求解：
第1章 时域离散信号与时域离散系统
① n<0时， y(n)=0
② 0≤n≤3时， y(n)=
③ 4≤n≤7时， y(n)= ④ n>7时， y(n)=0
ˆa (t ) （2） x
n
T
cos(2πfnT j ) (t nT ) cos(40πnT j )δ(t nT )
2π 5 ， 因而周期N=5， 所以 2
n
1 0.05 s f

（3） x(n)的数字频率ω=0.8π， 故 x(n)=cos(0.8πn+π/2) 画出其波形如题13解图所示。
Hale Waihona Puke Baidu[e j0t e j0t ]e jt dt
换可以表示成：
X a ( j ) 2π[δ( 0 ) δ( 0 )]
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
（2）
ˆ a (t ) x
n
x (t )δ(t nT ) 2 cos( nT )δ(t nT )
最后写成统一表达式：
y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5)
第1章 时域离散信号与时域离散系统
13． 有一连续信号xa(t)=cos(2πft+j)， 式中， f=20 Hz, j=π/2。 （1） 求出xa(t)的周期； ˆ a (t )的表达式； （2） 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样， 试写出采样信号x ˆ a (t )的时域离散信号（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 （3） 画出对应x 解： （1） xa(t)的周期为
第1章 时域离散信号与时域离散系统
5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和 输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2)
解： （1） 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n) 故该系统是非时变系统
题7图
第1章 时域离散信号与时域离散系统
解： 解法（一）采用列表法。
y(n)=x(n)*h(n) =
m
x(m)h(n－m)

第1章 时域离散信号与时域离散系统
y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} 解法（二） 采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为 x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3) h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)
m 0
0.5
n
m
1 0.5 n 1 1 0.51
=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n
第1章 时域离散信号与时域离散系统
③ n≥5时
y(n) 0.5
n
m 0
0.5
4
m
1 0.55 n n 0 . 5 31 0 . 5 1 0.51
a 0 n


x(n) 2 cos(0 nT)
0 2 πf 0 200π rad
（3）
- n
T 1 2.5 ms fs
1 ˆ ( j ) X X a ( j jk s ) a T k

2π [δ( 0 k s ) δ( 0 k s )] T k
n
1 ( x(n) x(n)) 2
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。
题15解图
6． 试求如下序列的傅里叶变换：
1 1 x2 (n) δ(n 1) δ(n) δ(n 1) 2 2
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
解：(2)
第1章 时域离散信号与时域离散系统
（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2， 画出图形如题2解图 （二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2， 画出图形如题2解图 （三）所示。 (5) 画x3(n)时， 先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转 180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。
X (e j0 )
题15图
(4) 确定并画出傅里叶变换实部Re［X(ejω)］的时间序列xa(n)； 解 (1)
X (e )
j0
n 3
x ( n) 6
x (n)e
e jn
7
（4） 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分， 即
Re [ X (e )]
j
xe (n)
k
x ( k ) h( n k )

出波形如前面图1.3.2所示。 该图清楚地说明滑动平
均滤波器可以消除信号中的快速变化， 使波形变化 缓慢。
题14图
第1章 时域离散信号与时域离散系统
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示， 不直接求出X(ejω)， 完成下列运算或工作： （1)