立体几何初步测试题1209
立体几何(初步)测试题
是两个平面，直线 l , l . 若以① l ，② l // ，③ 中两个为 7、已知 、
条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是（ ） （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个 答案:C 8．已知 ， 是平面， m ， n 是直线，给出下列结论： ①若 m ， m ，则 ． ②若 m ， n ， m ∥ ， n ∥ ，则 ∥ ． ③如果 m , n , m 、 n 是异面直线，那么 n与 相交． ④若 m ， n ∥ m ，且 n , n ，则 n ∥ 且 n ∥ ． 其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D.0 答案:B 9．下面给出四个命题： ①若平面 α∥平面 β，AB，CD 是夹在 α，β 间的线段，若 AB∥CD，则 AB＝CD；②若 a，b 是异面直线，b，c 是异面直线，则 a，c 一定是异面直线；③过空间任一点，可以做无数条 直线和已知平面 α 平行； ④平面 α∥平面 β， P∈α， PQ∥β， 则 PQ⊂α.其中正确的命题是( A．①② 答案 D B．①②③ C．①②④ D．①④ )
则 P 到 BC 的距离为( ) A. 5 2 答案: C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上． 13．设 x，y，z 是 空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若 x⊥z，且 y⊥z，则 x∥y”为真命题 的是_________ ． B. 5 3 C.
20、正三棱柱 ABC A B C 的底边长为 a 的正三角
形，
在侧棱 BB 上截取
BD
a 2 ，在侧棱 CC 上截取 CE= a ，
《立体几何初步》练习与答案
5.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是
√A.A1C1⊥BD √B.B1C与BD所成的角为60° √C.二面角A1－BC－D的平面角为45°
D.AC1与平面ABCD所成的角为45°
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
证明 由(1)知AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB， 又PB⊥AE，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF， 又l⊥平面AEF，∴PB∥l.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
证明 连接AE. 因为PA⊥底面ABCD， 所以∠PDA是PD与底面ABCD所成的角， 所以∠PDA＝45°. 所以PA＝DA. 又因为点E是PD的中点，所以AE⊥PD. 因为PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD， 所以PA⊥AB. 因为∠BAD＝90°，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
14. 如 图 ， 在 三 棱 锥 P － ABC 中 ， PA ＝ AC ＝ BC ， PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，O为PB的中点，则 直线CO与平面PAC所成角的余弦值为
6 A. 2
3 C. 3
6
√B. 3
1 D.2
设 PA＝AC＝BC＝2，则 OE＝1，CE＝ 2，OC＝ 3，
∴cos∠OCE＝OCEC＝
《立体几何初步》测试题及答案
《立体几何初步》测试题一、选择题(本大题共10小题,每小题6分,共60分)1、 在空间四点中,无三点共线就是四点共面的就是( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分不必要条件D 、既不充分又不必要条件 2、 若a ∥b ,A c b =⋂,则c a ,的位置关系就是( )A 、异面直线B 、相交直线C 、平行直线D 、相交直线或异面直线3.圆锥的侧面展开图就是直径为a 的半圆面,那么此圆锥的轴截面就是 ( ) A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.顶角为30°的等腰三角形 D.其她等腰三角形4、 已知某几何体的俯视图就是如图所示的矩形,正视图就是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,左视图就是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.则该几何体的体积为( )A 48B 64C 96D 1925、 长方体的一个顶点上三条棱长分别就是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积就是( )A.25πB.50πC.125πD.都不对6、 已知正方体外接球的体积就是323π,那么正方体的棱长等于 ( )A 22 B23 C 423D 437、 若l 、m 、n 就是互不相同的空间直线,α、β就是不重合的平面,则下列命题中为真命题的就是( )A.若//,,l n αβαβ⊂⊂,则//l nB.若,l αβα⊥⊂,则l β⊥ C 、 若,//l l αβ⊥,则αβ⊥ D.若,l n m n ⊥⊥,则//l m8、 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E F G H ，，， 分别为1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点,则异面直线EF 与 GH 所成的角等于( ) Ａ.45° Ｂ.60° Ｃ.90° Ｄ.120°9、 已知两个平面垂直,下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面;④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面、 其中正确的个数就是( ) A 、3 B 、2 C 、1 D 、010、 平面α与平面β平行的条件可以就是( )A 、α内有无穷多条直线与β平行;B 、直线a//α,a//βC 、直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD 、α内的任何直线都与β平行二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)11、 直观图(如右图)中,四边形O ′A ′B ′C ′为 菱形且边长为2cm ,则在xoy 坐标中四边形ABCD 为 _ ____,面积为______cm 2.12、 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=2,BC=3,AA 1=5,则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离就是 .13、 已知直线b//平面α,平面α//平面β,则直线b 与β的位置关系为 、14、 正方体的内切球与外接球的半径之比为＿＿＿＿＿ 15、 如图,△ABC 就是直角三角形,∠ACB=︒90,PA ⊥平面ABC,此图形中有 个直角三角形16、 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C,有如下四个结论:(1)AC ⊥BD; (2)△ACD 就是等边三角形 (3)AB 与平面BCD 所成的角为60°;(4)AB 与CD 所成的角为60°。
高中数学-立体几何初步测试题
高中数学-立体几何初步测试题(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若直线l不平行于平面α,且l?α,则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交解析：依题意,直线l∩α=A(如图),α内的直线若经过点A,则与直线l相交;若不经过点A,则与直线l是异面直线,故选B.答案：B2某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.V半圆柱=π×22×4=8π，V长方体=4×2×2=16.所以所求体积为16+8π.故选 A.答案：A3某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为()A.180B.200C.220D.240解析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱,如图,S上=2×10=20,S下=8×10=80,S前=S后=10×5=50,S左=S右=(2+8)×4=20,所以S表=S上+S下+S前+S后+S左+S右=240,故选D.答案：D4设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若m∥n,m⊥α,则n⊥αD.若m∥α,α⊥β,则m⊥β解析：A选项中,直线m,n可能平行,也可能相交或异面;B选项中,α与β也可能相交,此时直线m 平行于α,β的交线;D选项中,m也可能平行于β．故选C.答案：C5如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是()A.6B.3C.6D.12解析：△OAB是直角三角形,其两条直角边的长分别是4和6,则其面积是12.答案：D6一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均是半径为2的圆,则这个几何体的体积是()A. B.8π C. D.32π解析：由三视图可知该几何体是将一个球切割而得到的几何体,切去的部分是球的,已知该球的半径为2,所以该几何体的体积V==8π,故选B.答案：B7平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为() A.π B.4π C.4π D.6π解析：设球O的半径为R,则R=,故V球=πR3=4π.答案：B8如图是一个多面体的三视图,则其表面积为()A. B.+6C.+6D.+4解析：由几何体的三视图可得,此几何体是平放的三棱柱,底面是正三角形,侧面是正方形,其表面积为S=3×()2+2××()2=6+.故选C.答案：C9已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O 的半径为()A. B.2 C. D.3解析：过C点作AB的平行线,过B点作AC的平行线,交点为D,同理过C1作A1B1的平行线,过B1作A1C1的平行线,交点为D1,连接DD1,则ABCD-A1B1C1D1恰好成为球的一个内接长方体,故球的半径r=.故选C.答案：C10如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D-ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④解析：由题意知,BD⊥平面ADC,则BD⊥AC,①正确;因为AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,所以△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错.故选B.答案：B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a?平面α,b?平面β,则a,b一定是异面直线.上述命题中正确的命题是.(写出所有正确命题的序号)解析：由平行公理知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行、异面,故②错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错;a?α,b?β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④错.答案：①12已知圆锥的底面周长为6π,体积为12π,则该圆锥的侧面积为.解析：设圆锥的底面半径为R,高为h,由已知得2πR=6π,所以R=3.于是12π=π·３2·h,解得h=4,于是母线l==5,所以侧面积S=π×3×5=15π.答案：15π13如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=.解析：由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2,S△ADE∶S△ABC=1∶4.因此V1∶V2==1∶24.答案：1∶2414如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.解析：作FO⊥平面CED,则EO⊥CD,FO与正方体的侧棱平行,所以平面EOF一定与正方体的左、右侧面平行,而与其他四个面相交.答案：415已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.解析：如图所示,在正四棱锥O-ABCD中,V O-ABCD=×Ｓ正方形ABCD·OO1=×()2×OO1=,∴OO1=,AO1=,在Rt△OO1A中,OA=,即R=,∴S球=4πR2=24π.答案：24π三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分8分)某几何体的三视图如图,其中俯视图的内外均为正方形,边长分别为2和4,几何体的高为3,求此几何体的表面积和体积.解由三视图可知该几何体是一个正四棱台.其上、下底面边长分别为2和4,又高为3,所以其斜高h'=,于是其表面积S=(8+16)×+22+42=20+12;其体积V=(22+2×4+42)×3=28.17(本小题满分8分)如图,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=,AD=,点F是PB的中点,点E是边BC上的动点.(1)当点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;(2)求证:无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF.(1)解EF与平面PAC平行.理由如下:当E为BC的中点时,∵F为PB的中点,∴EF∥PC.∵EF?平面PAC,PC?平面PAC,∴EF∥平面PAC.(2)证明∵PA=AB,F为PB的中点,∴AF⊥PB.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.又AF?平面PAB,∴BC⊥AF.又PB∩BC=B,∴AF⊥平面PBC.∵无论点E在边BC的何处,都有PE?平面PBC,∴PE⊥AF.18(本小题满分9分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE.所以ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.19(本小题满分10分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1∥平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.(1)证明连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.由D是AB的中点,连接DF,则BC1∥DF.因为DF?平面A1CD,BC1?平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)解因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,则CD⊥AB.因为AA1∩AB=A,所以CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2,得∠ACB=90°，CD=,A1D=,DE=,A1E=3, 则A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.故=1.20(本小题满分10分)如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现在沿AE将三角形ADE向上折起,在折起的图形中解答下列两问:(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由;(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求证:平面BDE⊥平面ADE.(1)解线段AB上存在一点K,且当AK=AB时,BC∥平面DFK.证明如下:设H为AB的中点,连接EH,则BC∥EH,又∵AK=AB,F为AE的中点,∴KF∥EH,∴KF∥BC.∵KF?平面DFK,BC?平面DFK,∴BC∥平面DFK.(2)证明∵在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1,∴在折起后的图形中,AE=BE=,从而AE2+BE2=4=AB2,∴AE⊥BE.∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,∴BE⊥平面ADE,∵BE?平面BDE,∴平面BDE⊥平面ADE.11。
(典型题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(答案解析)
一、选择题1．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（ ）A ．12sin sin 1θθ+≤B ．12sin sin 1θθ+≥C ．122πθθ+≤D ．122πθθ+≥2．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为（ ） A ．2217B ．22121C ．477D ．47213．现有一个三棱锥形状的工艺品P ABC -，点P 在底面ABC 的投影为Q ，满足12QAB QAC QBC PABPACPBCS S S S S S ===△△△△△△，22222213QA QB QC AB BC CA ++=++，93ABCS =，若要将此工艺品放入一个球形容器（不计此球形容器的厚度）中，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）A ．42πB ．44πC ．48πD ．49π4．如图，四棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为正方形，侧棱AA '⊥底面ABCD ，32AB =，6AA '=，以D 为圆心，DC '为半径在侧面BCC B ''上画弧，当半径的端点完整地划过C E '时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ）A 96B 93C 96D 935．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB BC AA ===，E 是BC 的中点，则直线1ED 与直线BD 所成角的余弦值是（ ） A 7 B ．7C 37D ．377．已知点A ，B ，C 在半径为5的球面上，且214AB AC ==，7BC =，P 为球面上的动点，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ） A ．5673B ．5273C ．4973D ．1478．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π9．如图正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，O 是1AA 中点，P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC ，则直线OP 与平面ABC 所成角正弦值的最大值为（ ）A ．22B 255C 3D 27710．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A ．64B ．48C ．32D ．1611．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -中AC 长为（ ）A ．32B ．3C ．10 D ．212．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．2二、填空题13．圆锥底面半径为1，母线长为4，轴截面为PAB ，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点，则最短绳长为_________．14．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为________．15．已知某空心圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，记该圆锥内半径最大的球为球O ，则球O 与圆锥侧面的交线的长为________cm .16．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为____________.17．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB ==，22AC =M 是BC 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最小值为___18．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是11A B 的中点，过点1A 作与平面1PBC 平行的截面，则此截面的面积是_______________．19．在三棱锥P ABC -中，P 在底面ABC 的射影为ABC 的重心，点M 为棱PA 的中点，记二面角P BC M --的平面角为α，则tan α的最大值为___________. 20．如图，已知正四面体D ABC -，P 为线段AB 上的动点（端点除外），则二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是___________．三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，CB ⊥平面,//PAB AD BC 且22PB BC AD F ===，为PC 中点．（1）求证：//DF 平面PAB ；（2）求直线AB 与平面PDC 所成角的正弦值．22．正四棱台两底面边长分别为3和9，若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积．23．如图所示，已知在三棱锥A BPC -中，,AP PC AC BC ⊥⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形．（Ⅰ）求证：//DM 平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若4,20BC AB ==，求三棱锥D BCM -的体积．24．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，E 、F 分别为PA 、BC 的中点．（1）求证：//EF 面PCD ；（2）若2AB =，1AD PD ==，求三棱锥P BEF -的体积．25．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 是AB 的中点.（1）证明：1//BD 平面1A DE ； （2）证明：11D E A D ⊥；（3）求二面角1D EC D --的正切值.26．如图，在平面四边形A ABC '中，90CAB CA A '∠=∠=，M 在直线AC 上，A A A C ''=，AB AM MC ==，A AC '绕AC 旋转．（1）若A AC '所在平面与ABC 所在平面垂直，求证：A C '⊥平面A AB '． （2）若二面角A AC B '--大小为60，求直线A B '与平面ABM 所成角的正弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】如图，作出1θ和2θ，再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，利用三角函数的单调性判断选项.【详解】设直线l 为直线AB ，m αβ=，AD m ⊥，BC m ⊥，连结BD ，AC ，1ABD θ=∠，2BAC θ=∠，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭，12,2πθθ-都是锐角， 122πθθ∴≤-，即122πθθ+≤故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段AD AC ≤，传递不等式，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 2．A解析：A 【分析】根据题意，将点1B 到平面1A BC 的距离转化为点A 到平面1A BC 的距离，然后再利用等体积法11A A BC A ABC V V --=代入求解点A 到平面1A BC 的距离. 【详解】已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，所以可得1122==A B AC 1A BC 为等腰三角形，所以1A BC 7，由对称性可知，111--=B A BC A A BC V V ，所以点1B 到平面1A BC 的距离等于点A 到平面1A BC 的距离，所以11A A BC A ABC V V --=，又因为112772=⨯=A BC S △12332ABCS =⨯=111233⨯⨯=⨯⨯A BC ABC S h S △△，即2322177h == 故选：A.【点睛】一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.3．D解析：D 【分析】作QM AB ⊥，连接PM ，易证AB PM ⊥，由112122QAB PABAB QMS S AB PM ⨯⨯==⨯⨯△△,得到2PM QM =，再根据12QAB QAC QBC PABPACPBCS S S S S S ===△△△△△△，由对称性得到AB BC AC ==，然后根据22222213QA QB QC AB BC CA ++=++，93ABCS =6,3AB AQ ==，在AOQ△中，由222AO OQ AQ =+求解半径即可.【详解】 如图所示：作QM AB ⊥与M ，连接PM ， 因为PQ ⊥平面ABC ，所以PQ AB ⊥，又QM PQ Q ⋂=， 所以AB ⊥平面PQM ， 所以AB PM ⊥，所以112122QAB PAB AB QM S S AB PM ⨯⨯==⨯⨯△△, 2PM QM =,因为12QAB QAC QBC PABPACPBCS S S S S S ===△△△△△△， 由对称性得AB BC AC ==,又因为22222213QA QB QC AB BC CA ++=++，93ABCS=所以21sin 60932ABCSAB =⨯⨯= 解得6,3AB AQ == 所以3,23,3QM PM PQ ===，设外接球的半径为r ，在AOQ △中，222AO OQ AQ =+，即()(222323r r =-+， 解得72r =， 所以外接球的表面积为2449S r ππ==， 即该球形容器的表面积的最小值为49π. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由12QAB QAC QBC PABPACPBCS S S S S S ===△△△△△△得到三棱锥是正棱锥，从而找到外接球球心的位置而得解..4．A解析：A 【分析】先确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，利用圆锥的侧面积S rl π=即可得出结论. 【详解】由题意 6,CE CC AA BC AB ''=====BE ==，所以45BCE ∠=， 45ECC '∠=， 所以曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，所以圆锥的侧面积 6S rl CC DC πππ'==⨯⨯=⨯⨯=，所以曲面面积为184⨯=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查曲面面积，考查圆锥的侧面积，确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18是关键，考查系数的空间想象力. 5．A解析：A 【分析】证明CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，求出此角后，利用11//B C BC 可得结论， 【详解】∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．【点睛】思路点睛：本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．6．C解析：C 【分析】连接11D B 、1D E 、DE ，先证明四边形11BB D D 为平行四边形，得到11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角，由余弦定理可得答案. 【详解】连接11D B 、1D E 、DE ，因为棱11//BB DD ，11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角11B D E ∠，因为12,3AB AD AA ===,1BE CE ==，所以2211111122B D D C B C =+=213110B E =+=222415ED CE DC +=+==，所以222115914D E ED D D==+=+，由余弦定理得，从而222111111111cos2B D D E B EB D EB D D E+-∠===⨯.故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键点是找到异面直线所成的角，考查空间中线线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．A解析：A【分析】求出球心到平面ABC的距离，由这个距离加上球半径得P到平面ABC距离的最大值，再由体积公式可得P ABC-体积的最大值．【详解】如图，M是ABC的外心，O是球心，OM⊥平面ABC，当P是MO的延长线与球面交点时，P到平面ABC距离最大，由AB AC==，BC=，得cos4ACB∠==，则sin4ACB∠=，28sinABAMCB===∠，4AM=，3OM===，358PM=+=，又11sin224ABCS AC BC ACB=⋅⋅∠=⨯=△所以最大的1833P ABCV-=⨯=．故选：A．【点睛】本题考查求三棱锥的体积，解题关键是确定三棱锥体积最大时P 点在球面上的位置，根据球的性质易得结论．当底面ABC 固定，M 是ABC 外心，当PM ⊥平面ABC ，且球心O 在线段PM 上时，P 到平面ABC 距离最大．8．C解析：C 【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积． 【详解】由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==， 表面积为2414S ππ=⨯=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．9．D解析：D 【分析】先找到与平面11A BC 平行的平面OEFG ,确定点P 在直线FG 上，作出线面角，求出正弦，转化为求AP 的最小值. 【详解】分别取1,,CC BC BA 的中点，连接,,,OE EF FG GO ,并延长FG ，如图，由中位线性质可知11//OE A C , 1//EF BC ,且OE EF E =,故平面11//A BC 平面OGFE ，又P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC 则点P 在直线FG 上，OA ⊥平面ABC ,OPA ∴∠是直线OP 与平面ABC 所成角， sin OAOPA OP∴∠=, OA 为定值，∴当OP 最小时，正弦值最大，而22OP OA AP +所以当AP 最小时，sin OPA ∠最大， 故当AP FG ⊥时，sin OPA ∠最大， 设棱长为2， 则1212AG =⨯=，而30GAP ∠=︒, 3AP ∴=,又1212OA=⨯=,222sin773()12OAOPAOP∴∠===+故选：D【点睛】关键点点睛：由P是ABC所在平面内的一个动点且满足//OP平面11A BC，转化为找过O的平面与平面11A BC平行，P在所找平面与平面ABC的交线上，从而容易确定出线面角，是本题解题的关键所在.10．C解析：C【分析】在长方体中还原三视图后，利用体积公式求体积.【详解】根据三视图还原后可知，该四棱锥为镶嵌在长方体中的四棱锥P-ABCD（补形法）且该长方体的长、宽、高分别为6、4、4，故该四棱锥的体积为1(64)4323V=⨯⨯⨯=.故选C．【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整；(2)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．11．C解析：C【分析】先由正视图、俯视图及题意还原三棱锥，过A作AM⊥BD于点M,连结MC，把AC放在直角三角形AMC 中解AC . 【详解】根据三棱锥A BCD -正视图和俯视图，还原后得到三棱锥的直观图如图示，由图可知：平面ABD ⊥平面CBD ，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ,则AM ⊥平面CBD ， ∴△MCA 为直角三角形. 过C 作CN ⊥BD 于点N ,在直角三角形ABD 中，AB =1，AD 3，∴222BD AB AD =+=所以∠ABD=60°，∠ADB=30°，则在直角三角形ABM 中，AB =1，∠ABM=60°，∴13,22BM AM ==. 同理，在直角三角形CBD 中，13,22DN CN ==. ∴MN =BD -BM -DN =112122--=, ∴222237()122CM CN MN =+=+=在直角三角形AMC 中，22227310()222AC CM AM ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整.(2)立体几何中求线段长度：①、把线段放在特殊三角形中，解三角形；②、用等体积法求线段.12．C解析：C 【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果. 【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD △是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2； 且侧棱AD ⊥底面BCD ，1AD =，所以112=221=323V ⨯⨯⨯⨯， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称； （2）根据三视图还原几何体； （3）利用椎体体积公式求解即可.二、填空题13．【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形利用平面上两点间线段最短可得【详解】由题意所以圆锥侧面展开图中心角为如图则故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题空间几何体表面上两点间的最 解析：2【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短可得． 【详解】由题意1,4r l ==，所以圆锥侧面展开图中心角为2142ππθ⨯==，如图，2APA π'∠=， 则2442AA '==故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题，空间几何体表面上两点间的最短距离问题的解决方法常常是把几何体的表面展开摊平为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短求解．14．【分析】先根据面面垂直取平面的外接圆圆心G 平面的外接圆圆心H 分别过两点作对应平面的垂线找到交点为外接球球心再通过边长关系计算半径代入球的表面积公式即得结果【详解】如图取的中点的中点连在上取点使得取的 解析：643π【分析】先根据面面垂直，取平面PAD 的外接圆圆心G ，平面ABCD 的外接圆圆心H ，分别过两点作对应平面的垂线，找到交点为外接球球心O ，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果. 【详解】如图，取AD 的中点E ，BC 的中点F ，连EF ，PE ，在PE 上取点G ，使得2PG GE =，取EF 的中点H ，分别过点G 、H 作平面PAD 、平面ABCD 的垂线，两垂线相交于点O ，显然点O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，由2AD =，4AB =，可得3PE =33GE OH ==，2222125AH AE EH +=+=则半径22343(5)33r OA ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭，故四棱锥P ABCD -外接球的表面积为2436443ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案为：643π. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.15．【分析】由题可求出底面半径根据三角形相似关系可求出球半径再利用三角形面积关系可求出球O 与圆锥的侧面的交线的半径即可求出交线长【详解】圆锥的轴截图如图所示由题可知圆锥的高母线设的内切圆与圆锥的母线相切 解析：125π【分析】由题可求出底面半径，根据三角形相似关系可求出球半径，再利用三角形面积关系可求出球O 与圆锥的侧面的交线的半径，即可求出交线长. 【详解】圆锥的轴截图如图所示，由题可知，圆锥的高4cm AF =，母线5cm AB AC ==， 设ABC 的内切圆O 与圆锥的母线相切与点E ，则OE AB ⊥， 则该圆锥内半径最大的球即以O 为圆心，OE 为半径的球， 在直角三角形ABF 中，2222543cm BF AB AF =--=，由圆的切线性质可得3cm BE BF ==， 所以532cm AE AB BE =-=-=， 在直角三角形AFB 和直角三角形AEO 中， 因为∠∠EAO BAF =，所以△△AFB AEO ~，所以AE OE AF BF =，则可得3cm 2OE =， 过点E 作ED AF ⊥，D 为垂足， 则球O 与圆锥的侧面的交线是以DE 为半径的圆，354cm 22AO AF OF =-=-=， 因为1122△AEO S AE OE ED AO =⋅=⋅，所以6cm 5ED =， 所以球O 与圆锥的侧面的交线长为6122cm 55ππ⨯=. 故答案为：125π. 【点睛】 本题考查圆锥与球的相切问题，解题的关键是利用轴截面，用平面几何的知识解决. 16．【分析】根据正方体的表面积可得正方体边长然后计算外接球的半径利用球的体积的公式可得结果【详解】设正方体边长正方体外接球的半径为R 由正方体的表面积为24所以则又所以所以外接球的体积为：故答案为：【点睛解析：【分析】根据正方体的表面积，可得正方体边长a ，然后计算外接球的半径R =，利用球的体积的公式，可得结果.【详解】设正方体边长a ，正方体外接球的半径为R ，由正方体的表面积为24，所以2624a =，则2a =，又2R a =，所以R ，所以外接球的体积为：334433R ππ==.故答案为：.【点睛】 方法点睛：求多面体的外接球的表面积和体积问题关键是要求出外接球的半径，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 17．【分析】将三棱锥补成长方体计算出三棱锥的外接球半径计算出球心到过点的截面的距离的最大值可求得截面圆半径的最小值利用圆的面积可求得结果【详解】平面将三棱锥补成长方体则三棱锥的外接球直径为所以设球心为点 解析：π【分析】将三棱锥P ABC -补成长方体ABCD PEFN -，计算出三棱锥P ABC -的外接球半径R ，计算出球心到过点M 的截面的距离d 的最大值，可求得截面圆半径的最小值，利用圆的面积可求得结果.【详解】PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，将三棱锥P ABC -补成长方体ABCD PEFN -，则三棱锥P ABC -的外接球直径为22222223R PC PA AB AD PA AC ==++=+=，所以，3R =设球心为点O ，则O 为PC 的中点，连接OM ， O 、M 分别为PC 、BC 的中点，则//OM PB ，且2211222OM PB PA AB ==+= 设过点M 的平面为α，设球心O 到平面α的距离为d . ①当OM α⊥时，2d OM ==②当OM 不与平面α垂直时，2d OM <=. 综上，2d OM ≤.设过点M 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面圆的半径为r ，则221r R d =-≥，因此，所求截面圆的面积的最小值为2r ππ=.故答案为：π.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 18．【分析】取的中点分别为连接先证明四边形是平行四边形再利用面面平行的判断定理证明平面平面可得平行四边形即为所求的截面再计算其面积即可【详解】取的中点分别为连接因为所以四边形是平行四边形所以因为所以四边 解析：26【分析】取AB ，11D C 的中点分别为,M N ，连接11,,,,A M MC CN A N PM ，先证明四边形1A MCN 是平行四边形，再利用面面平行的判断定理证明平面1//PBC 平面1A MCN ，可得平行四边形1A MCN 即为所求的截面，再计算其面积即可.【详解】取AB ，11D C 的中点分别为,M N ，连接11,,,,A M MC CN A N PM ，因为11A P NC ，所以四边形11A PC N 是平行四边形，所以11A N PC ， 因为1PM CC 所以四边形1PMCC 是平行四边形，所以1MC PC ，所以1A N MC ，所以四边形1A MCN 是平行四边形，因为11//PC A N ，1PC ⊄平面1A MCN ，1A N ⊂平面1A MCN ，所以1//PC 平面1A MCN ，同理可证//PB 平面1A MCN ，因为1PC PB P ⋂=，所以平面1//PBC 平面1A MCN ，因此过点1A 作与平面1PBC 平行的截面，即是平行四边形1A MCN ，连接MN ，作1A H MN ⊥于点H ，由115AM A N ==，22MN =可得()()221523A H =-=， 所以1111223622A MN S MN A H =⨯⨯=⨯⨯=， 所以平行四边形1A MCN 的面积为1226A MN S=，故答案为：26【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是找出过点1A 与平面1PBC 平行的截面，所以想到作平行线，利用面面平行的判断定理证明所求的截面即是平行四边形1A MCN ，先求四边形一半的面积，乘以2即可得所求平行四边形的面积，也可以直接求菱形的面积.19．【分析】取中点为过分别作底面的垂线根据题中条件得到；过分别作的垂线连接由二面角的定义结合线面垂直的判定定理及性质得到为二面角的平面角；为二面角的平面角得出令进而可求出最值【详解】取中点为过分别作底面解析：34【分析】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，根据题中条件，得到AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，由二面角的定义，结合线面垂直的判定定理及性质，得到MHN ∠为二面角M BC A --的平面角；PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，得出tan 4tan PGO MHN ∠=∠，()23tan tan tan 14tan MHN PGO MHN MHNα∠=∠-∠=+∠，令tan 0x MHN =∠>，进而可求出最值.【详解】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，则O 为ABC 的重心，MN ⊥平面ABC ；PO ⊥平面ABC ；由于点M 为棱PA 的中点，所以有AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，因为BC ⊂平面ABC ，所以MN BC ⊥，同理PO BC ⊥；又MN NH N ⋂=，MN ⊂平面MNH ，NH ⊂平面MNH ，所以BC ⊥平面MNH ；因为MH ⊂平面MNH ，所以BC MH ⊥，所以MHN ∠为二面角M BC A --的平面角；同理BC PG ⊥，所以PGO ∠为二面角A BC P --的平面角， 所以tan PO PGO OG ∠=，tan MN MHN HN∠=， 因为NO OE =，//OG NH ，所以12OG NH =； 因此2tan 4tan 12PO MN PGO MHN OG HN ∠===∠， 所以()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 14tan PGO MHN MHN PGO MHN PGO MHN MHN α∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+∠， 令tan 0x MHN =∠>，则2333tan 1444x x x x α=≤=+， 当且仅当214x =，即12x =时，等号成立. 故答案为：34. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于确定二面角M BC A --、A BC P --以及P BC M --三者之间的关系，由题中条件得出二面角A BC P --是二面角M BC A --的4倍，进而可求得结果. 20．【分析】当点从点运动到点时二面角的平面角逐渐增大二面角的平面角最小趋于二面角的平面角最大趋于二面角的平面角的补角求出二面角的平面角和二面角的平面角即可【详解】当点从点运动到点时二面角的平面角逐渐增大 解析：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当点P 从点A 运动到点B 时，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋于二面角D AC B --的平面角，最大趋于二面角D BC A --的平面角的补角，求出二面角D AC B --的平面角和二面角D BC A --的平面角即可.【详解】当点P 从点A 运动到点B 时，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋于D AC B --的平面角，最大趋于二面角D BC A --的平面角的补角，设正四面体的棱长为2a ，如图所示，取AC 的中点E ，连接DE 、BE ，易知DEB ∠为二面角D AC B --的平面角，3DE BE a ==，所以((()()()2223321cos 3233a a a DEB a a +-∠==⨯⨯， 同理可得：二面角D BC A --的平面角的补角的余弦值为13-，故二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的求解，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）24 【分析】（1）取PB 边的中点E ，即可证明四边形AEFD 为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；（2）取BC 边的中点G ，由//DG AB ，即可得到直线AB 与平面PDC 所成角即为DG 与平面PDC 所成角，再由等体积法求得22G PCD d -=，即可求得直线AB 与平面PDC 所成角的正弦值．【详解】解：（1）如图所示：取PB 边的中点E ，连,AE FE ，则三角形中位线可知：//EF BC 且12EF BC =， 由题可知：//AD BC 且12AD BC =， //AD EF ∴且AD EF =，即四边形AEFD 为平行四边形，//DF AE ∴又DF ⊄平面,PAB AE ⊂平面PAB ，故//DF 平面PAB ；（2）取BC 边的中点G ，则//DG AB ，且2DG AB ==，直线AB 与平面PDC 所成角即为DG 与平面PDC 所成角，又1CDG S =，且易得DC PD =,所以11223622CDP S PC DF =⋅=⨯=由等体积法，1113633P CDG G PCD G PCD V V d ---==⨯=，得22G PCD d -=， DG ∴与平面PDC 所成角的正弦值为22224=， 故直线AB 与平面PDC 所成角的正弦值为24． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等体积法求出G 点到平面PCD 的距离.22．723S =侧.【分析】过1C 作1C E AC ⊥于E ， 过E 作EF BC ⊥于F ，得到1C F 为正四棱台的斜高， 可得答案.【详解】如图，设1O 、O 分别为上、下底面的中心，则1O O ⊥平面ABCD ，过1C 作1C E AC ⊥于E ，所以11//C E O O ，所以1C E ⊥平面ABCD ，1C E BC ⊥，过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，且1C EEF E =，所以BC ⊥平面1EFC ，1C F BC ⊥，则1C F 为正四棱台的斜高，由题意知145C CO ∠=， ()1129332CE CO EO CO C O =-=-=⨯-=， 又2sin 45323EF CE =⋅=⨯=， ∴高()22231132333C F C E EF =+=+=， ∴()1393347232S =⨯+⨯⨯=侧．【点睛】本题考查了正四棱台侧面积的求法，关键点是作出正四棱台的斜高，考查了学生的空间想象力和计算能力.23．（1）见详解；（2）见详解；（3）7【分析】(1)先证DM AP ∥，可证//DM 平面APC .(2)先证AP ⊥平面PBC ，得⊥AP BC ，结合AC BC ⊥可证得BC ⊥平面APC .(3)等积转换，由D BCM M DBC V V --＝，可求得体积.【详解】证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，所以MD 是ABP △的中位线，MD AP . 又MD平面APC ，AP ⊂平面APC ， 所以MD平面APC . （2）证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥. 又MD AP ，所以AP PB ⊥.又因为AP PC ⊥，PB PC P ＝，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以⊥AP BC .又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝，所以BC ⊥平面APC .(3)因为AP ⊥平面PBC ，MD AP ，所以MD ⊥平面PBC ，即MD 是三棱锥M DBC -的高.因为20AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形， 所以310,53PB MB MD ==== 由BC ⊥平面APC ，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由104PB BC ＝，＝，可得221PC ＝ 于是1114221221222BCD BCP S S ⨯⨯⨯=△△＝＝ 112215310733D BCM M DBC BCD V V S MD --⨯=△＝＝＝【点睛】关键点睛：三棱锥的体积直接求不便时，常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.24．（1）证明见解析；（2）112. 【分析】（1）取PD 的中点M ，连接EM 、CM ，证明四边形CMEF 为平行四边形，可得出//EF CM ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）连接AF ，取AD 的中点N ，连接EN ，由题意可知点P 、A 到平面BEF 的距离相等，并推导出EN ⊥平面ABCD ，可得出P BEF A BEF E ABF V V V ---==，利用锥体的体积公式可求得三棱锥P BEF -的体积．。
高一立体几何初步测试题及答案.doc
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？
《立体几何初步》测试题参考答案
1-5 DDABB 6-10 DCBCD
11.矩形 8 12.
13.平行或在平面内；
14.正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，
设棱长是
15. 416. （1）（2）（4）
3．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（ ）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．顶角为30°的等腰三角形D．其他等腰三角形
4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是
一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边
长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）
21.证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.
又
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF 平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.
(1)求证：AE∥平面PBC；
(2)求证：AE⊥平面PDC.
20.（14分）如图， 为 所在平面外一点， 平面 ， ， 于 ， 于
求证：（1） 平面 ；
（2） 平面 ；
（3） 平面 ．
21.（14分）已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，
∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且
(2)因为AB⊥平面PBC，AB∥CD,所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM.由(1)得,BM⊥PC,所以BM⊥平面PDC，又AE∥BM,所以AE⊥平面PDC.
(好题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)
一、选择题1．如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是平面11ADD A 的中心，M 、N 、F 分别是11B C 、1CC 、AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．12MN EF =，且MN 与EF 平行B ．12MN EF ≠，且MN 与EF 平行 C ．12MN EF =，且MN 与EF 异面 D ．12MN EF ≠，且MN 与EF 异面 2．如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为25，则此圆锥的表面积为（ ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π 3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．24B ．30C ．47D ．67 4．已知点A ，B ，C 在半径为5的球面上，且214AB AC ==，27BC =，P 为球面上的动点，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ）A ．567B ．527C ．497D ．14735．如图为某几何体的三视图，正视图、左视图和俯视图均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积是（ ）A ．23+B ．223+C ．63D ．66．三棱锥P ABC -中，6AB =，8AC =，90BAC ∠=︒，若52PA PB PC ===则点B 到平面PAC 的距离为（ ）A ．32B 3041C 1534D ．67．已知四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60，且2AB =，4CD =，120CBD ∠=，则四面体ABCD 体积的最大值是（ ）A ．439B ．239C ．83D ．438．如下图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①//BM平面ADE ；②DE BM ⊥；③平面//BDM 平面AFN ；④AM ⊥平面BDE ．以上四个命题中，真命题的序号是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④ 9．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为43，则正方体外接球的体积为（ ）A ．43πB ．6πC ．323πD ．86π10．已知直线a 、b 都不在平面α内，则下列命题错误的是（ ）A ．若//a b ，//a α，则//b αB ．若//a b ，a α⊥，则b α⊥C ．若a b ⊥，//a α，则b α⊥D ．若a b ⊥，a α⊥，则//b α11．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B ，和1BB 的中点．，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．25B ．1010C ．35D ．3212．已知在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，14,42AB BD ==60BAD ︒∠=，则异面直线1B C 与1AD 所成的角为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒二、填空题13．已知直三棱柱111ABC A B C -，14AB BC AA ===，42AC =，若点P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π，则此时点P 构成的图形面积为________．14．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，22AB =，3BC =，4PA =，4ABC π∠=，则该三棱锥的外接球体积为___________.15．如图在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=，E 为AB 中点，将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90，则空间A '、C 两点的距离为________；16．如图，已知ABC 的顶点C ∈平面α，点,A B 在平面α的同一侧，且||23,||2AC BC ==．若,AC BC 与平面α所成的角分别为5,124ππ，则ABC 面积的取值范围是_____17．在三棱锥-P ABC 中，侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形，若3PA =，则侧棱PA 与底面ABC 所成的角的大小是___________．18．已知扇形的面积为56π，圆心角为63π，则由该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为_________． 19．有一个半径为4的球是用橡皮泥制作的,现要将该球所用的橡皮泥重新制作成一个圆柱和一个圆锥,使得圆柱和圆锥有相等的底面半径和相等的高,若它们的高为8,则它们的底面圆的半径是___________．20．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =，7SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题21．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60,BCD PD AD ∠=︒⊥，点E 是BC 边的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）若二面角P AD C --的大小等于60︒，且834,3AB PD ==①点P 到平面ABCD 的距离；②求直线PB 与平面ABCD 所成角的大小．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面ACM ；（2）求三棱锥P ACM -的体积.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，32,3,PB PD PA AD ====点,E F 分别为线段,PD BC 的中点.（1）求证://EF 平面ABP ;（2）求证:平面AEF ⊥平面PCD ;（3）求三棱锥C AEF -的体积24．如图，四棱锥P ABCD -中，2PC PD DC AD ===，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，O ､E 分别是棱CD ､PA 的中点.（1）求证：//OE 平面PBC ；（2）求二面角P AB C 的大小.25．在三棱锥P ABC -中，AE BC ⊥于点,E CF AB ⊥于点F ，且AE CF O ⋂=，若点P 在平面ABC 上的射影为点O ．（1）证明：AC PB ⊥；（2）若ABC 是正三角形，点,G H 分别为,PA PC 的中点．证明：四边形EFGH 是矩形．26．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为23.（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，利用正方体性质可求得2MN =，3EF =知12MN EF ≠，再利用三角形中位线性质知1//MN B C ，从而//MN ED ，又EF 与ED 相交，可知MN 与EF 异面，即可选出答案.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则22112MN MC C N =+=作E 点在平面ABCD 的投影点G ，即EG ⊥平面ABCD ，连接,EG GF ，在直角EGF △中，1EG =，222GF AG AF =+=2222123EF EG GF =+=+=以12MN EF ≠，故排除A 、C连接DE ，由E 是平面11ADD A 的中心，得112DE A D = 又M N 、分别是11B C 、1CC 的中点，所以1//MN B C又11//A D B C ，所以//MN ED ，又EF ED E ⋂=，所以MN 与EF 异面故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查正方体中的线面关系，线线平行的关系，及判断异面直线，解题的关键是熟记正方体的性质，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.2．B解析：B【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段25MB =计算底面圆半径即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由母线长4l ，可知侧面展开图扇形的圆心角为22r r l ππα==， 将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，最短距离为BM ； 如图，在ABM 中，25,2,4MB AM AB ===，所以222AM AB MB +=,所以2MAB π∠=,故22r ππα==，解得1r =，所以圆锥的表面积为25S rl r πππ=+=,故选：B【点睛】关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为2r l πα=，其次从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，绳子的最短距离即为展开图中线段MB 的长，解三角即可求解底面圆半径r ，利用圆锥表面积公式求解. 3．D解析：D【分析】先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解.【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -，由题得22437AD =-7所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅=. 故选：D【点睛】方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 4．A解析：A【分析】求出球心到平面ABC 的距离，由这个距离加上球半径得P 到平面ABC 距离的最大值，再由体积公式可得P ABC -体积的最大值．【详解】如图，M 是ABC 的外心，O 是球心，OM ⊥平面ABC ，当P 是MO 的延长线与球面交点时，P 到平面ABC 距离最大， 由214AB AC ==，27BC =，得72cos 214ACB ∠==，则14sin 4ACB ∠=， 21428sin 144AB AM CB ===∠，4AM =， 2222543OM OA AM =-=-=，358PM =+=，又1114sin 2142777224ABC S AC BC ACB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△， 所以最大的15677783P ABC V -=⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查求三棱锥的体积，解题关键是确定三棱锥体积最大时P 点在球面上的位置，根据球的性质易得结论．当底面ABC 固定，M 是ABC 外心，当PM ⊥平面ABC ，且球心O 在线段PM 上时，P 到平面ABC 距离最大．5．A解析：A【分析】由三视图可知原几何体是三棱锥，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ≅底面是等腰直角三角形，底为2AC =，高为1BE =，ABD BCD ≅是边长为2的等边三角形，计算四个三角形面积之和即可求解.【详解】由三视图可知原几何体是三棱锥：底面ACB △是等腰直角三角形，底2AC =，高1BE =，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ≅，由三视图知ACB △中，2AC =，ACB △是等腰直角三角形，所以2AB BC ==ACD △是等腰直角三角形，2AD CD ==，2AC =，222BD BE DE =+=所以等腰直角三角形ACB △的面积为12112⨯⨯=， 等腰直角三角形ACD △的面积为12112⨯⨯=， 等边ABD △的面积为233242=， 等边BCD △的面积为233242=， 所以该几何体的表面积是331123++=+， 故选：A.6．C解析：C 【分析】取BC 中点为O ，连接OP ，OA ，根据题中条件，由线面垂直的判断定理，证明PO ⊥平面ABC ；求出三棱锥P ABC -的体积；以及PAC △的面积，设点B 到平面PAC 的距离为d ，根据等体积法，由P ABC B PAC V V --=，即可求出结果. 【详解】取BC 中点为O ，连接OP ，OA ，因为6AB =，8AC =，90BAC ∠=︒，所以226810BC =+=，则152AO BC ==； 又52PA PB PC ===222100PB PC BC +==，则PB BC ⊥，152PO BC ==， 所以22250PO OA PA +==，所以PO AO ⊥； 因为PB PC =，O 为BC 中点，所以PO BC ⊥，又BC AO O ⋂=，BC ⊂平面ABC ，AO ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ； 此时三棱锥P ABC -的体积为11168540332P ABC ABCV S PO -=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 因为在PAC △中，52PA PC ==，8AC =，所以PAC △的面积为221843422PACAC SPA ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 设点B 到平面PAC 的距离为d ， 由P ABC B PAC V V --=可得1403PACS d =⋅，所以153417434d ==. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：求解空间中点P 到面α的距离的常用方法：（1）等体积法：先设所求点到面的距离，根据几何体中的垂直关系，由同一几何体的不同的侧面（或底面）当作底，利用体积公式列出方程，即可求解；（2）空间向量法：先建立适当的空间直角坐标系，求出平面α的一个法向量m ，以及平面α的一条斜线PA 所对应的向量PA ，则点P 到面α的距离即为PA m d m⋅=.7．D解析：D 【分析】在BCD △中，利用余弦定理和基本不等式可得163BC BD ⋅≤，由三角形的面积公式可得BCDS≤，由二面角A BC D --的大小为60，可得A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==ABCD 体积的最大值.【详解】在BCD △中，由余弦定理可得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅因为222BC BD BC BD +≥，所以23CD BC BD ≥⋅， 所以163BC BD ⋅≤，当且仅当BC BD =时等号成立，1116sin120223BCDSBC BD =⋅≤⨯= 因为二面角A BC D --的大小为60，所以点A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==所以114333A BCD BCDV S h -=⋅≤=， 所以四面体ABCD 体积的最大值是43， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用余弦定理和基本不等式、三角形面积公式求出BCD S △最大值，再由二面角求出高的最大值.8．A解析：A 【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ，得出BM ∥平面ADNE ，判断①正确；由连接AN ，则AN ∥BM ，又ED AN ⊥，判断②正确；由BD ∥FN ，得出BD ∥平面AFN ，同理BM ∥平面AFN ，证明平面BDM ∥平面AFN ，判断③正确；由MC BD ⊥，ED ⊥AM ，根据线面垂直的判定，判断④正确．【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ，如图1所示； 对于①，平面BCMF ∥平面ADNE ，BM ⊂平面BCMF ， ∴BM ∥平面ADNE ，①正确；对于②，如图2所示，连接AN ，则AN ∥BM ，又ED AN ⊥，所以DE BM ⊥，②正确； 对于③，如图2所示，BD ∥FN ，BD ⊄平面AFN ，FN ⊂平面AFN ，∴BD ∥平面AFN ；同理BM ∥平面AFN ，且BD ∩BM ＝B ，∴平面BDM ∥平面AFN ，③正确； 对于④，如图3所示，连接AC ，则BD AC ⊥，又MC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以MC BD ⊥，又AC MC C ，所以BD ⊥平面ACM ，所以BD ⊥AM ， 同理得ED ⊥AM ，ED BD D =，所以AM ⊥平面BDE ，∴④正确．故选：A ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于展开空间想象，将正方体的平面展开图还原，再由空间的线线，线面，面面关系及平行，垂直的判定定理去判断命题的正确性．9．B解析：B 【分析】根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果． 【详解】解：设正方体的棱长为a ，则1111112B D AC AB AD B C D C a ======， 由于三棱锥11A B CD -的表面积为3 所以)12133442242AB CS S a==⨯⨯=所以2a =()()()2222226++=， 所以正方体的外接球的体积为34663ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ． 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.10．C解析：C 【分析】利用线面平行的性质和判定定理可判断A 选项的正误；由线面垂直的定义可判断B 选项的正误；根据已知条件判断b 与α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断b 与α的位置关系，可判断D 选项的正误. 【详解】由于直线a 、b 都不在平面α内.在A 中，若//a α，过直线a 的平面β与α的交线m 与a 平行，因为//a b ，可得//b m ，b α⊄，m α⊂，所以，//b α，A 选项正确；在B 中，若a α⊥，则a 垂直于平面α内所有直线，//a b ，则b 垂直于平面α内所有直线，故b α⊥，B 选项正确； 在C 中，若a b ⊥，//a α，则b 与α相交或平行，C 选项错误；在D 中，若a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，b α⊄，//b α∴，D 选项正确.故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．11．A解析：A 【分析】作出异面直线AM 和CN 所成的角，然后解三角形求出两条异面直线所成角的余弦值. 【详解】设,E F 分别是1,AB CC 的中点，由于,M N 分别是111,A B BB 的中点，结合正方体的性质可知11//,//B E AM B F CN ，所以1EB F ∠是异面直线AM 和CN 所成的角或其补角， 设异面直线AM 和CN 所成的角为θ，设正方体的边长为2，2211125B E B F ==+=，2221216EF =++=，则1cos cos EB F θ=∠=55625255+-=⨯⨯.故选：A.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．12．A解析：A 【分析】把1AD 平移到1BC ，把异面直线所成的角转化为相交直线的夹角． 【详解】连接1,BD BC ，∵四边形ABCD 为菱形， 60,4BAD AB ︒∠==，4BD ∴=.又1BDD 为直角三角形，22211BD BD DD ∴=+，得14DD =，∴四边形11BCC B 为正方形.连接1BC 交1B C 于点O 11//BC AD ，BOC ∴∠（或其补角)为异面直线1B C 与1AD 所成的角，由于11BCC B 为正方形， 90BOC ︒∴∠=，故异面直线1B C 与1AD 所成的角为90°. 故选：A. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面 解析：4π【分析】确定ABC 是等腰直角三角形，11,AC A C 的中点1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直棱柱性质得P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，求出1PD 可得面积． 【详解】4,2AB BC AC ===90ABC ∠=︒，设1,D D 分别是11,AC A C 的中点，则1,D D分别是ABC 和111A B C △的外心，由直三棱柱的性质得1DD ⊥平面ABC ， 所以P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，如图，24()41OA ππ=，则412OP OA ==，2222413(22)22OD OA AD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以11135422OD DD OD AA OD =-=-=-=， 222211415222PD OP OD ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P ABC -的外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，其面积为224S ππ=⨯=． 故答案为：4π．【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．14．【分析】利用余弦定理求得利用正弦定理计算出的外接圆直径可计算出三棱锥的外接球半径然后利用球体体积公式可求得结果【详解】如下图所示圆柱的底面圆直径为圆柱的母线长为则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等 1326π【分析】利用余弦定理求得AC ，利用正弦定理计算出ABC 的外接圆直径2r ，可计算出三棱锥P ABC -的外接球半径R ，然后利用球体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，圆柱12O O 的底面圆直径为2r ，圆柱的母线长为h ，则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等， 所以，圆柱12O O 的外接球直径为()2222R r h =+.本题中，作出ABC 的外接圆2O ，由于PA ⊥平面ABC ，可将三棱锥P ABC -放在圆柱12O O 中，在ABC 中，22AB =3BC =，4ABC π∠=，由余弦定理可得222cos 5AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠=，由正弦定理可知，ABC 的外接圆直径为5210sin 2ACr ABC===∠ 则三棱锥P ABC -的外接球直径为()222226R PA r =+=26R =， 因此，三棱锥P ABC -的外接球的体积为334426132633V R ππ==⨯=⎝⎭. 故答案为：13263. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.15．【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为：【点睛】对于翻折问题解题时要认解析：22. 【分析】由二面角A ED C '--的大小为90，可得平面A ED '⊥平面EDCB ，得到A E '⊥平面EDCB ，由勾股定理可得答案. 【详解】连接DB CE 、，2AB AD ==，60A ∠=，所以ABD △、CBD 是等边三角形， 所以2AD BD CD ===，因为E 为AB 中点，1AE A E '==， 所以DE AB ⊥，DE A E ⊥'，3DE =，30EDB ∠=，所以90EDC ∠=，即DE CD ⊥，所以222347EC ED CD =+=+=，因为平面A ED '⊥平面EDCB ，DE A E ⊥'，平面A ED'平面EDCB DE =，所以A E '⊥平面EDCB ，EC ⊂平面EDCB ，所以A E EC '⊥， 所以221722A C A E EC ''=+=+=.故答案为：22.【点睛】对于翻折问题，解题时要认真分析图形，确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了，哪些量没有变，根据线线、线面、面面关系正确作出判断，考查了学生的空间想象力..16．【分析】由题意可得AB 的轨迹得到当ACBC 与轴l 共面时∠ACB 取到最大值和最小值求得sin ∠ACB 的范围代入三角形面积公式得答案【详解】∵ACBC 与平面α所成的角分别为且|AC|＝2|BC|＝2则A 解析：[3,3]【分析】由题意可得A ，B 的轨迹，得到当AC 、BC 与轴l 共面时，∠ACB 取到最大值和最小值，求得sin ∠ACB 的范围，代入三角形面积公式得答案．【详解】∵AC ，BC 与平面α所成的角分别为512π，4π，且|AC |＝23，|BC |＝2， 则A ，B 分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线AC ，BC 与轴l 在同一平面内时，∠ACB 取到最大值和最小值，于是，有63ACB ππ≤∠≤， ∴sin 6π≤sin ∠ACB ≤sin 3π，即12≤sin ∠ACB ≤3 而ABC 的面积S ＝12|AC |⋅|BC |⋅sin ∠ACB ＝3∠ACB ． ∴33S ≤≤．故答案为：[3,3]【点睛】关键点睛：根据题意得到A ，B 的轨迹，利用几何直观和空间想象进行分析是解题的关键. 17．【分析】先画出直观图证明平面平面然后侧棱与底面ABC 所成的角即为根据题目中的数据算出即可【详解】如图作的中点连结因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而为的中点所以又所以平面同时平面所以平 解析：o 60.【分析】先画出直观图，证明平面PAD ⊥平面ABC ，然后侧棱PA 与底面ABC 所成的角即为PAD ∠，根据题目中的数据算出即可.【详解】如图，作BC 的中点D ，连结AD 、PD因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而D 为BC 的中点，所以BC PD ⊥，BC AD ⊥，又PD AD D ⋂=，所以BC ⊥平面PAD ，同时BC ⊂平面ABC所以平面PAD ⊥平面ABC ，所以PAD ∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成的角由侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形得3AD PD ==3PA =所以PAD ∆为等边三角形，则=PAD ∠o 60即侧棱PA 与底面ABC 所成的角为o 60故答案为：o 60【点睛】本题主要考查空间直线与平面所成角的计算，较简单.18．【分析】由扇形的面积及圆心角可得扇形的半径再由扇形的弧长等于圆锥的底面周长可得底面半径再由外接球的半径与圆锥的高和底面半径的关系求出外接球的半径进而求出球的表面积【详解】设扇形的长为l 半径为R 则解得 解析：36π【分析】由扇形的面积及圆心角可得扇形的半径，再由扇形的弧长等于圆锥的底面周长可得底面半径，再由外接球的半径与圆锥的高和底面半径的关系求出外接球的半径，进而求出球的表面积.【详解】设扇形的长为l ，半径为R ，则22111656222S lR R παπ====，解得30R =l 为锥底面周长2r π，∴底面的半径5r =∴225R r -=．设外接球的半径为1R ，∴()222115(5)R R =-+，解得13R =，∴该外接球的表面积为21436R ππ=，故答案为：36π.本题考查扇形的弧长与圆锥的底面周长的关系及外接球的半径和圆锥的高及底面半径的关系，和球的表面积公式的应用，属于中档题.19．【详解】设它们的底面圆的半径为()依题意得化简得所以故答案为： 解析：22 【详解】 设它们的底面圆的半径为r (0r >)． 依题意得3443V π=⨯球V V =+圆柱圆锥221(+)83r r ππ=⨯, 化简得28r =,所以22r =． 故答案为：22.20．【详解】取的中点由题意可得：所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以解析：494π 【详解】取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=，所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC. 所以球心在直线SD 上，所以()2232R R =+-，得74R =， 所以24944S R ππ==． 三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）①4，②3π.（Ⅰ）连接BD ，点E 是BC 边的中点，得出DE BC ⊥，DE AD ⊥再由DP AD ⊥，得出结果；（Ⅱ）DE AD ⊥，PD AD ⊥，PDE ∠为二面角P AD C --的平面角，60PDE ∠=︒，过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ，易证PK ⊥面ABCD ，PK 为点到面的距离，PBK ∠即为线面角.【详解】（Ⅰ）连接BD ，底面ABCD 是菱形，∠BDC =60°，∴△BCD 是正三角形．∵点E 是BC 边的中点，∴DE ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴DE ⊥AD ．∵DP ⊥AD ，DP ∩AD =D ，∴AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）①∵DE ⊥AD ，PD ⊥AD ，∴PDE ∠为二面角P -AD -C 的平面角，∴60PDE ∠=︒，过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ，由（Ⅰ）易AD PK ⊥．∴PK ⊥面ABCD ． ∵83PD =∴43DK =，4PK =， 即点P 到平面ABCD 的距离是4． ②AB =4，∴23DE =∴23DK DE =，∴K 为BCD △重心． 连接BK ，∵BCD △为正三角形，所以BK 为BP 在面ABCD 内的射影．∴PB ⊥AB ，PBK ∠为直线PB 与平面ABCD 所成角，RT PKB △中，tan 3PK PK PKB KB DK ∠===3PKB π∠=， 直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为3π. 【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．22．（1）证明见解析；（2）23． 【分析】 （1）连接BD 交AC 于点O ，由中位线定理得//OM PB ，从而得证线面平行； （2）由M 是PD 中点，得12M ACD P ACD V V --=，求出三棱锥P ACD -的体积后可得． 【详解】（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，则O 是BD 中点，又M 是PD 中点， ∴//OM PB ，又PB ⊄平面ACM ，OM ⊂平面ACM ，所以//PB 平面ACM ；（2）由已知12222ACD S =⨯⨯=，11422333P ACD ACD V S PA -=⋅=⨯⨯=△， 又M 是PD 中点，所以1223M ACD P ACD V V --==， 所以23P ACM P ACD M ACD V V V ---=-=．【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）98. 【分析】（1）取PA 的中点G ，连接,BG EG ，证明四边形EFBG 为平行四边形，得出//EF BG ，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）先证明PA ⊥平面ABCD ，从而得出PA CD ⊥，再由等腰三角形的性质得出AE PD ⊥，最后由面面垂直的判定定理证明即可；（3）以AFC △为底，12PA 为高，由棱锥的体积公式得出答案.【详解】（1）如图，取PA 的中点G ，连接,BG EG .因为点,E G 分别为,PD PA 的中点，所以1//,2EG AD EG AD = 又因为F 是BC 的中点，四边形ABCD 是正方形，所以//BF EG 且BF EG = 故四边形EFBG 为平行四边形，所以//EF BG因为BG ⊂平面,ABP EF 不在平面ABP 内，所以//EF 平面ABP .（2）由条件知32,3PB PD PA AD AB =====，所以PAB △和PAD △都是等腰直角三角形，,PA AB PA AD ⊥⊥又因为,,AB AD A AB AD =⊂平面,ABCD 所以PA ⊥平面ABCD因为CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥又因为,,AD CD PA AD A ⊥⋂=所以CD ⊥平面PAD ，所以CD AE ⊥因为E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥又因为,,PD CD D PD CD ⋂=⊂平面PCD ，所以AE ⊥平面PCD因为AE ⊂平面,AEF 所以平面AEF ⊥平面PCD .（3）由图可知C AEF E ACF V V --=，1111319333232228E ACF ACF V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=△， 即三棱锥C AEF -的体积为98【点睛】关键点睛：在证明线线平行时，关键是证明四边形EFBG 为平行四边形，从而得出//EF BG .24．（1）证明见解析；（2）3π． 【分析】（1）取PB 中点F ，连接,EF FC ，证明EFCO 是平行四边形，得线线平行后可证得线面平行；（2）取AB 中点G ，连接,,OG PG OP ，可证PGO ∠（或其补角）是二面角PAB C 的平面角．然后在PGO △中求解．【详解】（1）取PB 中点F ，连接,EF FC ， 因为E 是PA 中点，∴//EF AB ，且12EF AB =， 又ABCD 是矩形，//,AB CD AB CD =，O 是CD 中点，∴//,EF OC EF OC =，∴EFCO 是平行四边形，∴//OE CF ，而OE ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，∴//OE 平面PBC ．（2）取AB 中点G ，连接,,OG PG OP ，ABCD 是矩形，O 是CD 中点，则OG AB ⊥，又PA PC CD ==，∴PO CD ⊥，而平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵,OG AB ⊂平面ABCD ，∴PO AB ⊥，PO OG ⊥． PO OG O =，,PO OG ⊂平面POG ，∴AB ⊥平面POG ，而PG ⊂平面POG ， ∴AB PG ⊥，∴PGO ∠（或其补角）是二面角PAB C 的平面角． 设1AD =，则1OG =，2CD =，3PO =，∴3tan 3PO PGO OG ∠===，[0,]PGO π∠∈，∴3PGO π∠=． ∴二面角P AB C 的大小为3π．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查求二面角．求二面角的方法：（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角，然后通过解三角形得解；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角得二面角．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据三角形垂心的特征，以及点在面上的射影的定义，再结合线面垂直的判定定理和性质，证得结果；（2）利用平行四边形的邻边垂直，证得结果.【详解】证明：（1）连接BO 并延长交AC 于点M ，因为,AE BC CF AB ⊥⊥，所以O 为ABC 的垂心所以BM AC ⊥ 又因为P 在平面ABC 的射影为O ，所以PO ⊥平面ABC所以PO AC ⊥又因为PO BM O ⋂=，所以AC ⊥平面PBM所以AC PB ⊥（2）分别连接,,,EF EH GF GH因为,,AE BC CF AB ABC ⊥⊥为正三角形所以,E F 分别为,BC BA 的中点所以//EF AC又由（1）AC PB ⊥，所以EF PB ⊥因为,E H 分别为,BC PC 的中点，所以EH 平行等于1PB 2，又因为,F G 分别为,AB PA 的中点，所以GF 平行等于1PB 2，所以EH 平行等于GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形又//,EH PB EF PB ⊥，所以EH EF ⊥，所以四边形EFGH 为矩形.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下：（1）利用三角形的垂心的特征，结合点在面上射影的定义，得到相应的垂直关系，结合线面垂直的判定定理和性质证得结果；（2）根据正三角形的有关特征，结合题中所得到的平行关系，到的四边形EFGH 为平行四边形；（3）根据题中所给的垂直关系，得到EH EF ⊥，从而证得结果.。
立体几何初步训练题
立体几何初步训练题一、选择题1．构成多面体的面最少是（ ）A ．三个B ． 四个C ． 五个D ． 六个 2．将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是（ ） A ．圆锥 B ．圆柱 C ．圆台 D ．上均不正确 3．下面条件中, 能判定直线α平面⊥ 的一个是（ ） A ． 与平面α内的两条直线垂直 B ． 与平面α内的无数条直线垂直C ． 与平面α内的某一条直线垂直D ． 与平面α内的任意一条直线垂直 4．下面命题正确的是 （ ）A ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面没有公共点B ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点C ．若一条直线与一个平面有公共点，直线与这相交D ．直线在平面外，则直线与平面相交或平行5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ） A ．3条 B ． 4条 C ． 6条 D ． 8条 6． 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ）A ．0B ．1C ．1或4D ． 无法确定 7．A 、B 为球面上相异两点, 则通过A 、B 可作球的大圆有（ ） A ．一个 B ．无穷多个 C ．零个 D ．一个或无穷多个 8．如果,,,,B b A a b a =⋂=⋂⊂⊂ αα那么下列关系成立的是（ ） A ．α⊂ B ．α∉ C ．A =⋂α D ．B =⋂α 9．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．10． 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ） A ． 4或6或7个部分 B ． 4或6或7或8个部分 C ． 4或7或8个部分 D ． 6或7或8个部分11．对于直线m 、n 和平面α、β, 下列能判断α⊥β的一个条件是（ ）A ．,||,||m n m n αβ⊥B ．,,m n m n αβα⊥⋂=⊂C ．||,,m n n m βα⊥⊂D ．||,,m n m n αβ⊥⊥12．已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,有下面四个命题: ①m l ⊥⇒βα//②m l //⇒⊥βα③βα⊥⇒m l //④βα//⇒⊥m l 其中正确的两个命题是（ ）A ．①与②B ．③与④C ．②与④D ．①与③13．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的AB=3，AD=2，CC 1=1，一条绳子从A 沿着表面拉到点C 1，绳子的最短长度是（ ）A +1B D 14．三棱锥P —ABC 中，3条侧棱两两垂直，PA=a ，PB=b ，PC=c ，△ABC 的面积为S ，则P 到平面ABC 的距离为 A ．abc SB ．2abc SC ．3abc SD ．6abc S15．∆ABC 所在平面外一点P, 分别连结PA 、PB 、PC, 则这四个三角形中直角三角形最多有（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个 二、填空题 16．如果一个几何体的视图之一是三角形, 那么这个几何体可能有 ___________________(写出两个几何体即可)17．直线a 、b 不在平面α内，a 、b 在平面α内的射影是两条平行直线，则a 、b 的位置关系是_______________________． 18．∆ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2cm 、3cm 、4cm ,且它们在平面α的同一侧, 则∆ABC 的重心到平面α的距离为________________． 19．斜二测画法所得的直观图的多边形面积为a , 那么原图多边形面积是_____________．20．设平面α与平面β交于直线 , 直线α⊂a , 直线β⊂b ,M b a =⋂, 则M_______ ．21．如图, 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1与过A 1、D 、C 1的平面交于点M ，则BM ：MD 1=________________．22．把直角三角形ABC沿斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B后, 互相垂直的平面有______对．23．半径为R的球的外切圆柱的表面积是______________．24．已知异面直线a与b所成的角是500，空间有一定点P，则过点P与a，b所成的角都是300的直线有________条．25．正n棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围是____________．三、解答题26．画出如图的三视图(单位:mm)．27．证明梯形是平面图形．28.如图,在四面体S-ABC中, SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC, 且分别交AC、SC于D、E. 又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱, 以BDE与BDC为面的二面角的度数．29．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点．求证：（1）EG∥平面BB1D1 D；（2）平面BDF∥平面B1D1 H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C．30．圆锥轴截面为顶角等于1200的等腰三角形, 且过顶点的最大截面面积为8, 求这圆锥的全面积S和体积V．31．A、B、C是球面上三点，已知弦AB=18cm，BC=24cm，AC=30cm，平面ABC与球心O32．如图,AB 是圆O 的直径,PA 垂直于圆O 所在的平面,C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点．求证:平面PAC 垂直于平面PBC ．33.直角∆ABC 所在平面外一点S ，且⑴求证：点S 与斜边中点D 的 连线SD ⊥面⑵若直角边BA=BC ，求证：BD ⊥面SAC ．参考答案选择题1B 2D 3D 4D 5C 6C 7D 8A 9B 10B 11C 12D 13C 14B 15A 填空题16 三棱锥、三棱柱、圆锥 17平行或异面 18 3 19 20 ∈ 21 2:1 22 3 23 26R π 24 2 25。
高中数学立体几何初步综合检测题
高中数学立体几何初步综合检测题第一章立体几何初步(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2019东莞高一检测)如图1为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为()图1A．圆锥 B．三棱锥C．三棱柱 D．三棱台【解析】由三视图易知其图形为所以为三棱柱．【答案】 C2．过平面外两点与这个平面平行的平面()A．只有一个 B．至少有一个C．可能没有 D．有无数个【解析】过这两点的直线若与已知平面平行，则有且只有一个，若与已知平面相交，则不存在．故选C.【答案】 C3．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图2所示的直观图，其中BO＝CO＝1，AO＝32，那么原△ABC的面积是()图2A.3 B．22C.32 D．34【解析】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，S△ABC＝12BCOA＝1223＝3，故选A.【答案】 A4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1l2，l2l3l1∥l3B．l1l2，l2∥l3l1l3C．l1∥l2∥l3l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【解析】当l1l2，l2l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1l2，l2∥l3l1l3，B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．故选B.【答案】 B5．如图3，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()图3A．AC B．BDC．A1D D．A1D1【解析】∵BDAC，BDAA1，BD平面AA1C1C又CE?平面AA1C1C，CEBD.【答案】 B6．一个几何体的三视图如图4，该几何体的表面积为()图4A．280 B．292C．360 D．372【解析】由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．下面长方体的表面积为8102＋282＋1022＝232，上面长方体的表面积为862＋622＋822＝152，又由于两个长方体的表面积重叠一部分，所以该几何体的表面积为232＋152－262＝360，应选C.【答案】 C7．(2019哈师大附中检测)如图5是底面积为3，体积为3的正三棱锥的主视图(等腰三角形)和左视图(等边三角形)，此正三棱锥的侧视图的面积为()图5A.332 B．3C.3 D．32【解析】由题意知左视图是一个三角形，其底边长就是正三棱锥的底面正三角形的高，高就是正三棱锥的高．根据已知条件可得正三棱锥的底面边长是2，高为3，故侧视图的面积是1233＝332.【答案】 A8．(2019吉林高一检测)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为() A.316 B．916C.38 D．932【解析】如图所示，设球的半径为R，由题意知OO＝R2，OF＝R，r＝32R.S截面＝r2＝(32R)2＝34R2.又S球＝4R2，S截面S球＝3R2＝316.【答案】 A9．如图6是一建筑物的三视图(单位：米)，现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆a千克，则共需油漆的质量为()图6A．(48＋36)a千克 B．(39＋24)a千克C．(36＋36)a千克 D．(36＋30)a千克【解析】此建筑物是直四棱柱与圆锥的组合体，其外壁的面积S＝32－33＋35＋344＝39＋24(平方米)，因此共需油漆的质量为(39＋24)a千克．【答案】 B10．如图7(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图7(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为()图7A．(1＋22)a2 B．(2＋2)a2C．(3－22)a2 D．(4＋2)a2【解析】由题意知新的几何体为平行六面体且共顶点的三条棱长分别为22a，22a和a，表面积为2(22a)2＋2(22a)2＋222aa＝(2＋2)a2.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．如图8是一个四边形的直观图，则原图的面积为______．图8【解析】由四边形的直观图可知，原四边形是一个直角梯形，其上、下底边长分别为2、3，高为6，面积为2＋326＝15.【答案】1512．(2019常熟高一检测)若圆锥的母线长为2 cm，底面圆的周长为2 cm，则圆锥的表面积为________．【解析】设圆锥的底面半径为r，则2r＝2，r＝1，圆锥的表面积S＝122＋r2＝3.【答案】 313．如图9，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是______cm.图9【解析】侧面展开，可得最短路程为2＋22＋12＝17. 【答案】1714．在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1CB1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可)【解析】由直四棱柱可知CC1面A1B1C1D1，所以CC1B1D1，要使B1D1A1C，只要B1D1平面A1CC1，所以只要B1D1A1C1，还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，正方形等条件．【答案】B1D1A1C1(答案不唯一)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题12分)如图10是一个几何体的主视图和俯视图，(1)试判断这个几何体是什么几何体；图10(2)请画出它的左视图，并求该左视图的面积．【解】(1)由题图中的主视图和俯视图知该几何体是正六棱锥．(2)该几何体的左视图如图所示．其中两腰为斜高，底边长为3a，三角形的高即为正六棱锥的高，且长为3a，所以该左视图的面积为123a3a＝32a2.16．(本小题12分)如图11，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.求证：图11(1)AF∥平面BDE；(2)CF平面BDE.【证明】(1)设AC与BD交于点G. w因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1.所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.因为EG?平面BDE.AF 平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)连接FG，EG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCD＝AC.所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEG＝G，所以CF平面BDE.17．(本小题12分)如图12所示是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．图12【解】此几何体是一个组合体(如图)，下半部分是直四棱柱，上半部分是半圆柱，其轴截面的大小与四棱柱的上底面大小一致．表面积S＝862＋642＋84＋22＋28＝176＋20(cm2)则体积V＝864＋12228＝192＋16(cm3)．所以几何体的表面积为(176＋20)cm2，体积为(192＋16)cm3.18．(本小题14分)如图13，四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA＝SC，SABD.图13(1)求证：SO平面ABCD；(2)设BAD＝60，AB＝SD＝2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥APCD的体积．【解】(1)证明：∵底面ABCD是菱形，ACBD. 又∵BDSA，SAAC＝A，BD平面SAC.又∵SO?平面SAC.BDSO.∵SA＝SC，AO＝OC，SOAC.又∵ACBD＝O，SO平面ABCD.(2)连接OP，∵SB∥平面APC，SB?平面SBD，平面SBD平面APC＝OP，SB∥OP.又∵O是BD的中点，P是SD的中点．由题意知△ABD为正三角形．OD＝1.由(1)知SO平面ABCD，SOOD.又∵SD＝2，在Rt△SOD中，SO＝3.P到面ABCD的距离为32，VAPCD＝VPACD＝13(1222sin 120)32＝12.。
数学立体几何测试题
数学立体几何测试题测试题一：立体图形的表示1. 画出一个正方体，并标注出各个面、边和顶点。
测试题二：计算立体图形的性质2. 一个立方体的棱长为10cm，求它的表面积和体积。
3. 一个正方体的对角线长为12cm，求它的棱长。
4. 一个正方体的棱长为8cm，求它的对角线长。
测试题三：计算截面图形的面积5. 一个圆柱体的底面半径为6cm，高为10cm，求它的体积。
6. 一个球的半径为5cm，求它的表面积。
7. 一个锥体的高为12cm，底面半径为8cm，求它的体积。
测试题四：判断立体图形的性质8. 判断以下说法是否正确：a) 一个正方体的每个面都是正方形。
b) 一个棱柱的底面和顶面都是正多边形。
9. 判断以下说法是否正确：a) 一个正方体的对角线长度等于它的体对角线的两倍。
b) 一个圆柱的高等于它的侧面积除以底面积。
10. 判断以下说法是否正确：a) 一个棱锥的底面是一个正多边形。
b) 一个正球的体积等于它的表面积乘以π倍。
测试题五：运用立体几何解决实际问题11. 一张纸片的形状是一个以边长为6cm的正方形，若将这张纸片折叠成一个正立方体，则每个小正方体的体积是多少？12. 一个长方体箱子的长、宽、高分别为8cm、6cm、10cm，请问这个箱子的体积是多少立方厘米？13. 一个蜡烛用圆柱体塑料包装，如果塑料包装的高度是12cm，底面直径为4cm，蜡烛的高度为10cm，并且蜡烛剩余部分的直径与底面直径相等，求蜡烛的剩余部分的高度。
测试题六：解答题14. 已知一个棱长为a的正方体，将它的每个面都截去边长为b的正方形，最后剩下的多面体的体积是多少？15. 一个高度为h的圆锥的底面半径为r，切一个与底面平行的截面得到一个半径为R的圆，若R>r，则这个圆锥的高度能使得截面圆的面积最大吗？为什么？答案测试题一：立体图形的表示1. 略。
测试题二：计算立体图形的性质2. 表面积 = 6 * 边长² = 6 * 10² = 600 cm²体积 = 边长³ = 10³ = 1000 cm³3. 对角线长 = 边长* √3 = 10 * √3 cm4. 对角线长 = 边长* √3 = 8 * √3 cm测试题三：计算截面图形的面积5. 体积= π * 半径² * 高度= π * 6² * 10 = 360π cm³6. 表面积= 4π * 半径² = 4π * 5² = 100π cm²7. 体积= (1/3) * π * 半径² * 高度= (1/3) * π * 8² * 12 = 256π cm³测试题四：判断立体图形的性质8. a) 正确b) 正确9. a) 错误，它们相等。
《立体几何初步》测试题及答案2.doc
6 .B. 50兀32已知正方体外接球的体积是兰疋,3A. 25兀C.125”D.都不对那么正方体的棱长等于7. 是若/、m、n是互不相同的空间直线,（）a、B是不重合的平面，则下列命题中为真命A.若a II 0,1 ua,n u 0 ,贝!j / // HC.若/丄a,III0 ,则a丄0&如图，在正方体ABCD — AgDi中, B.若a 丄0,1 ua ,贝！丄0D.若/丄丄"，贝ij I//mF, G, H 分别为AB , BB, , B.Q立体几何初步一、选择题1.下列命题正确的是（）A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C .四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2.若a // b , boc = A,则a,c的位置关系是（A.异面直线B.相交直线C.平行直线D.相交直线或异面直线3.圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.顶角为30。
的等腰三角形D.其他等腰三角形4.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.则该几何体的体积为（）A 48B 64C 96D 1925.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A 2V2的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°9.已知两个平面垂直，下列命题%1一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线;%1一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；%1一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；%1过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（）A.3 B.2 C. 1 D.010.平面a与平面0平行的条件可以是（）A. a内有无穷多条直线与0平行；B.直线a//a,a//0C.直线aua,直线bu 0,且a//0,b//aD. a内的任何直线都与〃平行二、填空题11.直观图（如右图）中，四边形O' A' B' C'为菱形且边长为2cm,则在xoy坐标中四边形ABCD 为, 面积为C7/72.12.长方体ABCD—AiBiCiDi中，AB=2, BC=3, AAj=5,则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到Ci点的最短距离是________ .13.______________________________________________________________________ 已知直线b//平面a,平面a//平面0,则直线b与0的位置关系为_____________________________ .14.正方体的內切球和外接球的半径之比为___________15.如图，AABC是直角三角形，ZACB=90° , PA丄平面ABC, 此图形中有—个直角三角形B16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论：(1) AC丄BD；(2) AACD是等边三角形(3) AB与平面BCD所成的角为60°；(4) AB与CD所成的角为60其中正确结论的序号为 ________ 三、解答题17.如图，PA丄平面ABC,平面PAB丄平面PBC 求证：AB丄BC18.在长方体ABCD - AidGDi中，□知DA = DC = 4, DD X =3,求异面直线A.B与B&所成角的余弦值。
立体几何初部能力提升自测题(含解析)
立体几何初部能力提升自测题（含解析） 本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则 四棱锥A 1﹣BB 1D 1D 的体积为（ ） A ．B ．C ．D ．2．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中 的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中不相交的 线段的对数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．已知点E ，F 分别是正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱AB ，AA 1的中点，点M ，N 分别是线段D 1E 与C 1F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条4．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为1cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为（ ）cm ． A ．12 B ．13 C ． D ．155．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．20π C ．24π D ．32π6.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R ，圆柱的高为43R．设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则12V V 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3D. 47.母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为（ ）A ．16πB ．8πC ．D ．8．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，若A 1A ＝AB ＝4，当阳马B ﹣A 1ACC 1体积最大时，则堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为（ ） A ．B ．16C ．16D ．32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设l 、m 、n 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，下列四个命题中正确的命题为（ ）A.若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α；B.若α⊥β，m ∥α，n ⊥β，则m ⊥n ；C.若l ∥α，且m ∥α，则l ∥m ；D.若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β． 10. 如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ） A ．AE ∥CD B ．CH ∥BEC ．DG ⊥BHD ．BG ⊥DE11． 如图，已知六棱锥P —ABCDEF 的底面是 正六边形，PA ⊥平面ABC ，则下列结论不正确 的是 ( )A ．PB ⊥ADB ．平面PAB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面PAED ．直线CD ⊥平面PAC12.已知四边形ABCD 是等腰梯形（如图1），3AB =，1DC =，45BAD ∠=︒，DE AB ⊥．将ADE 沿DE 折起，使得AE EB ⊥（如图2），连结AC ，AB ，设M 是AB 的中点.下列结论中正确的是（ ） A. BC AD ⊥ B. 点E 到平面AMC 的距离为63C. //EM 平面ACDD. 四面体ABCE 的外接球表面积为5π 三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知m ，n 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的 条件．14.如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm ，盆底直径为15cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观.需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要 毫升油漆23.141)cm π（取，精确到15.如图所示的正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ， 则三棱锥111A AB D -的高= ．16.阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上 著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球(指与圆柱的两个底面 及侧面都相切的球)的体积与圆柱的体积之比等于它们的表 面积之比，可证明该定理推广到圆锥也成立，即：圆锥的内 切球(与圆锥的底面及侧面都相切的球)的体积与圆锥的体积 之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝ι． （1）求证：ι∥BC ．（2）MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥，AB=PB ，E,F 分别是PA ，AC 的中点．求证：（1）EF ∥平面PBC ； （2）平面BEF ⊥平面PAB ．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PBD △为等边三角形，E 为PC 中点，平面EBD ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若2AB =，求三棱锥P BED -的体积．20. （12分）如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1中点 （1）求证：BC 1∥平面AB 1D 1 （2）求证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD ．21．（12分）如图，在空间几何体A ﹣BCDE 中，底面BCDE 是梯形，且CD ∥BE ，CD ＝2BE ＝4，∠CDE ＝60°，△ADE 是边长为2的等边三角形．（1）若F 为AC 的中点，求证：BF ∥平面ADE ； （2）若AC ＝4，求证：平面ADE ⊥平面BCDE ．22. （12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，M是SB的中点，AB∥CD，BC⊥CD，且AB＝BC＝2，CD＝SD＝1，又SD⊥面SAB．（1）证明：CD⊥SD；（2）证明：CM∥面SAD；（3）求四棱锥S﹣ABCD的体积．立体几何部分能力提升自测题答案及解析1.A【解析】如图，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为V，三棱锥A1﹣ABD的体积为，∴四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为V．故选A．2.C【解析】平面展开图还原成正方体：G点与C点重合，B 点与F重合．观察正方体中的线段不难发现：GH与EF，GH 与AF，CD与AF，CD与EF均不相交．∴在正方体中不相交的线段有4对．故选C．3.B【解析】如图，设D1E与平面AA1C1C相交于点M，在平面AA1C1C内过点M作MN∥AA1交C1F于点N，连接MN，由C1F与D1E为异面直线知MN唯一，且MN⊥平面ABCD，故选B.4.C【解析】如图所示，把侧面展开两周可得对角线最短：AA1cm．故选C．5．B【解析】将三棱锥P ABC放入长方体中，如图，三棱锥P ABC -的外接球就是长方体的外接球．因为2PA AB ==，4AC =，ABC △为直角三角形，所以23BC =，设外接球的半径为R ，依题意可得2(2)441220R =++=，故25R =，则球O 的表面积为24π20πS R ==，故选B ．6.B 【解析】由题意3124433R V R R ππ=⋅=，332142233R V R ππ=⨯=， 所以313243322R VV Rππ==. 故选B.7.A 【解析】母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，所以侧面展开图的弧长为：l ＝58π，由弧长＝底面周长，即8π＝2πr，r ＝4，所以圆锥的高为h 3，所以圆锥体积Vπ×r 2×hπ×42×3＝16π．故选A ．8.B 【解析】设AC ＝x ，BC ＝y ，由题意得x ＞0，y ＞0，x 2+y 2＝16，阳马B ﹣A 1ACC 1体积V4x ×yxy ，∵xy8，当且仅当x ＝y ＝2时，取等号，∴当阳马B ﹣A 1ACC 1体积最大时，AC ＝BC ，此时堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝S ABC •AA 116，故选：B ．二、多项选择题：9.AB 【解析】对于A ：根据线面平行的性质知，若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α正确，故A 正确；对于B ：根据面面垂直的性质知，若α⊥β，m ∥α，n ⊥β，则m ⊥n 正确，故B 正确；对于C ：若l ∥α，且m ∥α，则l ∥m 不一定正确，有可能相交，也有可能异面，故C 错误；D 若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β不一定成立，有可能相交．故D 错误，故正确的是AB,故选AB ．10.BCD 【解析】还原正方体直观图如图，可知AE 与CD 为异面直线，故选项A不正确；由EH BC ，可得CH ∥BE ，故选项B 正确；正方形中易得DG ⊥平面BCH ，所以有DG ⊥BH ，故选项C 正确；因为BG ∥AH ，且DE ⊥AH ，所以BG ⊥DE ，故选项D 正确．故选BCD ．11．ABC 【解析】因为AD 与PB 在平面ABC 内的射影AB 不垂直，所以A 中结论不正确；过点A 作PB 的垂线，垂足为H ，若平面PAB ⊥平面PBC ，则AH ⊥平面PBC ，所以AH ⊥PBC ，又PA ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，则BC ⊥AB ，这与底面是正六边形不符，所以B 中结论不正确；若直线BC ∥平面PAE ，则BC ∥AE ，但BC 与AE 相交，所以C 中结论不正确；因为底面是正六边形，所以∠ABC=∠BCD=1200，AB=BC,所以∠BCA=300，所以∠ACD=900，所以DC ⊥AC ，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥DC ，又AC ∩PA=A ，所以CD ⊥平面PAC ，所以D 中结论正确．故选ABC ． 12.BD 【解析】因为DE AB ⊥，45BAD ∠=︒，所以ADE 为等腰直角三角形，过C 做CF AB ⊥，交AB 于F ，如图所示：所以ADE BCF ≌，即AE=BF ，又3AB =，1DC =，所以1AE EF FB DE CF =====，则=2AD BC =，对于A ：因为AE EB ⊥，AE DE ⊥，,BE DE ⊂平面BCDE ，所以AE ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，所以AE BC ⊥，若BC AD ⊥，且,AE AD ⊂平面ADE ，则BC ⊥平面ADE ，所以BC ⊥DE.与已知矛盾，所以BC 与AD 不垂直，故A 错误；对于B ：连接MC ，如图所示，在DEC Rt △中，DE=DC=1，所以2EC ==2BC ，EB=2，所以222EC BC EB +=，所以EC BC ⊥，又因为AE BC ⊥，,AE EC ⊂平面AEC ，所以BC ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，所以BC AC ⊥，即ABC 为直角三角形，在Rt AEC 中，1,2AE EC ==，所以3AC =M 是AB 的中点，所以AMC 的面积为Rt ABC 面积的一半，所以11632224AMCS=⨯=，因为,DE AE DE EB ⊥⊥，所以DE 即为两平行线CD 、EB 间的距离，因为E AMC C AEMV V --=，设点E 到平面AMC 的距离为h ，则1133AME AMC S DE S h ⨯⨯=⨯⨯，即111111323h ⨯⨯⨯⨯=，所以h =，所以点E 到平面AMC 的距离为，故B 正确；对于C ：因为//EB DC ，EB ⊄平面ADC ，DC ⊂平面ADC ，所以//EB 平面ADC ，若//EM 平面ACD ，且,,EB EM E EB EM ⋂=⊂平面AEB ，所以平面ACD //平面AEB ，与已知矛盾，故C 错误.对于D ：因为EC BC ⊥，所以△BCE 的外接圆圆心为EB 的中点，又因为AE EB ⊥，所以ABE △的外接圆圆心为AB 的中点M ，根据球的几何性质可得：四面体ABCE 的外接球心为M ，又E 为球上一点，在ABE △中，12EM AB ==，所以外接球半径R ME ==,所以四面体ABCE 的外接球表面积ππ542==R s ，故D 正确. 故选BD三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 必要不充分条件【解析】若//m n ，则由m α⊥，可知n α⊥，又n β⊂，故αβ⊥，若,m n αβ⊥⊂，αβ⊥，则m ，n 位置关系不确定.所以“αβ⊥”是“//m n ”的必要不充分条件.14.1000【解析】由圆台的表面积公式得花盆的表面积：22151520 1.522()1515()1000()0.1()2222S cm m ππ⎡⎤=+⨯+⨯-≈=⎢⎥⎣⎦,涂100个花盆需要油漆：0.1×100×100=1000（毫升）.答案：1000．15.3a 【解析】设三棱锥111A AB D -的高为h ，则)111221346A AB D hV h -=⨯=．又1111113211326A AB D B AA D a V V a a --==⨯=，所以36a =，所以h =，所以三棱锥111A AB D -． 16.1/2 【解析】如图为圆锥及其内切球的正视图，不失一般性，设圆锥底面圆半径为1， 母线长为L ，内切球半径为R ，由相似关系，,1SO RL = ()221L R R L-+∴=，经整理得：211L R L -=+，故内切 球表面积为211441L S R L ππ-==⋅+，圆锥的表面积为()21212S L L πππ=+⋅=+,()()()122414414821141L S S L L L -∴==≤=+-++-. 当且仅当L=3时取等.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.【解析】（1）证明：因为BC ∥AD ，BC ⊄平面PAD ．AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ．又因为平面PBC ∩平面PAD ＝ι， 所以BC ∥ι （6分）（2）平行．如图，取PD 的中点E ，连接AE 、NE ， ∵N 是PC 的中点，E 是PD 的中点 ∴NE ∥CD ，且NE，∵CD ∥AB ，M 是AB 的中点∴NE ∥AM 且NE ＝AM ．所以四边形AMNE 为平行四边形，所以MN ∥AE ．又MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以MN ∥平面PAD ．（10分）18.【解析】证明：⑴在APC ∆中，因为,E F 分别是,PA AC 的中点，所以EF ∥PC ，又PC ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ， 所以EF ∥平面PBC ；⑵ 因为AB PB =，且点E 是PA 的中点，所以PA ⊥BE ； 又PA PC ⊥，EF ∥PC ，所以PA EF ⊥， 为BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，BE EF E ⋂=，PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面BEF .19.【解析】（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接PO 、EO ， 因为PBD △为等边三角形，所以PO BD ⊥， 因为底面ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥， 因为AC PO O =，所以BD ⊥平面PAC ， 所以BD OE ⊥，因为平面EBD ⊥平面ABCD ， 所以EO ⊥平面ABCD ，因为E 为PC 中点，所以PA OE ∥，则PA ⊥平面ABCD ．（Ⅱ）因为2AB =，所以22BD =，22PD =， 由（Ⅰ）知PA AB ⊥，得2AB AD PA ===， 所以11142223323P ABD ABDV SPA -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 又E 为PC 的中点，所以11122223P BED E BPD C BPD P BCD P ABD V V V V V -----==⨯=⨯=⨯=． 20.【解析】证明：（1）连结A 1B ，交AB 1于O ，连结OD 1， ∵在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1 是A 1C 1中点，∴OD 1∥BC 1，∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1．（2）∵在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1中点， ∴BD ∥B 1D 1，∵BD ⊂平面AB 1D 1，B 1D 1⊂平面AB 1D 1， ∴BD ∥平面AB 1D 1，又BC 1∥平面AB 1D 1，BD ∩BC 1＝B ， BD 、BC 1⊂平面C 1BD ， ∴平面AB 1D 1∥平面C 1BD ．21.【解析】证明：（1）如图所示，取DA 的中点G ，连接FG ，GE ．∵F 为AC 的中点，∴GF ∥DC ，且GFDC ．又DC ∥BE ，CD ＝2BE ＝4，∴EB ∥GF ，且EB ＝GF ， ∴四边形BFGE 是平行四边形，∴BF ∥EG ． ∵EG ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，∴BF ∥平面ADE ．（2）取DE 的中点H ，连接AH ，CH ．∵△ADE 是边长为2的等边三角形， ∴AH ⊥DE ，且AH．在△DHC 中，DH ＝1，DC ＝4，∠HDC ＝60°根据余弦定理可得HC 2＝DH 2+DC 2﹣2DH •DCcos60°＝12+42﹣2×1×413，即HC．在△AHC 中，AH，HC，AC ＝4．所以AC 2＝AH 2+HC 2，即AH⊥HC ．因为AH ⊥DE ，AH ⊥HC ，且DE ⊂平面BCDE ，HC ⊂平面BCDE ，DE ∩HC ＝H ， ∴AH ⊥平面BCDE ．又AH ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCDE ． 22【解析】（1）证明：由SD ⊥面SAB ，AB ⊂面SAB ，11 所以SD ⊥AB ，又AB ∥CD ，所以CD ⊥SD ；（2）取SA 中点N ，连接ND ，NM ，则NM ∥AB ，且MN 12AB DC ==，AB ∥CD ，所以NMCD 是平行四边形，ND ∥MC ，且ND ⊂平面SAD ，MC ⊄平面SAD ，所以CM ∥面SAD ；（3）V S ﹣ABCD ：V S ﹣ABD ＝S ABCD ：S △ABD ＝3：2，过D 作DH ⊥AB ，交于H ，由题意得，BD ＝AD 2125+=在Rt △DSA ，Rt △DSB 中，SA ＝SB ()251=-=2．所以，133S ABD D SAB ABS V V DS S --==⋅⋅=，四棱锥S ﹣ABCD 的体积为：3332=．。
必修二(立体几何初步)测试题--含答案
立体几何初步测试题一、选择题1.棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A B . C . D . 2.正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A .1:3B ．2:3C ．3:2D ．3:3 3.在空间内，可以确定一个平面的条件是 ( )A.三个点B.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点C. 直线与一点D.两条直线4.若直线l // 平面α，直线α⊂a ，则l 与a 的位置关系是 ( )A .a l //B .l 与a 异面C .l 与a 相交D .l 与a 没有公共点 5.一平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的半径为（ ） A. 132 B. 5 C. 52 D. 46.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定7.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A ．324R B ．38R C ．324R D ．38R 8.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为2，则原梯形的面积为A ．2B ．2C ． 4D ．229. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题：①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③10. 一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )．A ．π18200+B ．π9200+C ．π18140+D ．π9140+ 11.如图所示，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上不同于AB 的一点， 且AC PA =，则二面角A BC P --的大小为 （ ）A. ︒90 B. ︒60 C. ︒45 D.︒3012.已知正方形321P P AP 的边长为4，点C B ,为边3221,P P P P 的中点，沿CA BC AB ,,折叠成一个三棱锥ABC P -（使321P P P 重合于点P ），则三棱锥ABC P -的外接球表面积为（ ）A . π24B . π12C . π8D . π4 二、填空题13.下图中的三个直角三角形是一个体积为20 3cm 的几何体的三视图，则h ＝_______cm .14.两条不重合的直线b a ,，若α面//,//a b a ，则b 与面α的位置关系为 15. 如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将 ABC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. 则 几何体D ABC -的体积为16. 若C B A S ,,,是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，1==AB SA ,2=BC ,则球O 的体积等于三、解答题第11题第13题第10题图 1图2第15题第12题17. 如图所示，四棱锥ABCD P -的正视图是腰长为4的等腰直角三角形,俯视图为一个正方形与它的一条对角线.（1）根据画三视图的要求，画出该几何体的侧视图。
最新《立体几何初步》测试题及答案
《立体几何初步》测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件 2. 若a ∥b ，A c b =⋂，则c a ,的位置关系是（ ）A.异面直线B.相交直线C.平行直线D.相交直线或异面直线3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为30°的等腰三角形D ．其他等腰三角形4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）A 48B 64C 96D 1925. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对6. 已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ）A C 37. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与 GH 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°9. 已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.010. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11. 直观图（如右图）中，四边形O ′A ′B ′C ′为 菱形且边长为2cm ，则在xoy 坐标中四边形ABCD 为 _ ____，面积为______cm 2．12. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 ．13. 已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 .14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿15. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=︒90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：（1）AC ⊥BD ； （2）△ACD 是等边三角形（3）AB 与平面BCD 所成的角为60°；（4）AB 与CD 所成的角为60°。
立体几何初步检测考试试题含答案高一数学A
本章达标测评(总分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中正确的是( )①三角形一定是平面图形;②若四边形的两条对角线相交于一点,则该四边形是平面图形;③圆心和圆上两点可确定一个平面;④三条平行线最多可确定三个平面.A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③2.如下图所示,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( )A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC3.一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍,则该圆锥的母线与轴线所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.75°4.下面说法正确的是( )A.若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥αB.若直线a在平面α外,则a∥αC.若直线a∥b,直线b⫋α,则a∥αD.与两条异面直线都平行的平面有无穷多个5.若平面α内不共线的三点到平面β的距离都相等,则平面α与平面β的位置关系是( )A.平行B.相交且不垂直C.垂直D.以上三种情况都有可能6.在正三棱锥P-ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,有下列三个论断:①AC⊥PB;②AC∥平面PDE;③AB⊥平面PDE.其中正确的是( )A.①②③B.①③C.①②D.②③7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,AD=4,则从A出发,沿长方体的表面到C1的最短距离是( ) A.5 B.7C.√29D.√378.在如下图所示的三棱锥A-BCD中,VA-BPQ =2,VC-APQ=6,VC-DPQ=12,则VA-BCD等于( )A.20B.24C.28D.569.如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱AA1、CC1的中点,则在空间中与直线A1D1、EF、CD都相交的直线( )A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条10.如下图所示,在空间四边形ABCD中,E、F分别为AB、AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H、G分别为BC、CD的中点,则( )A.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形B.E F∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)11.若球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径是.12.如下图所示,梯形A1B1C1D1是水平放置的平面图形ABCD的直观图,若A 1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1=23C1D1=2,A1D1=1,则四边形ABCD的面积是.13.一个几何体的三视图(单位:cm)如下图所示,则该几何体的表面积是cm2.14.在△ABC中,∠BAC=90°,P为△ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,则平面PBC与平面ABC的位置关系是.15.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,过体对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,得四边形BFD1E,给出下列结论:①四边形BFD1E有可能为梯形;②四边形BFD1E有可能为菱形;③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形;④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D.其中正确的是(请写出所有正确结论的序号).三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)一几何体按比例绘制的三视图如图(单位:m):(1)试画出它的直观图;(2)求它的表面积和体积.17.(12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.18.(12分)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M、N分别是AF、BC的中点).(1)求证:MN∥平面CDEF;(2)求多面体A-CDEF的体积.19.(13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC 的中点,PA=AD.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:平面PMC⊥平面PCD.20.(14分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的对角线的交点,求证:(1)C1O∥平面AB1D1;(2)A1C⊥平面AB1D1.21.(14分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A⊥底面ABC,点E、F分别是棱CC1、BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2.问:当点M在什么位置时,BM∥平面AEF?附加题(2012上海理,14,4分,★★☆)如下图所示,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2.若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是.一、选择题1.C 过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面,所以三角形一定是平面图形,所以①对;两条对角线相交于一点的四边形一定是平面图形,所以②对;三条平行线可确定一个或三个平面,所以④对;可以有无数个平面经过圆的一条直径,③错.故选C.2.C D∈l,l⫋β,∴D∈β,又C∈β,∴CD⫋β.同理,CD⫋平面ABC,∴平面ABC∩平面β=直线CD.3.A 设圆锥的母线长为L,底面圆的半径为r,则由题意得πrL=2πr2,∴L=2r,∴圆锥的母线与轴线所成的角为30°.4.D 对于A,当l⫋α时,平面α内也有无数条直线与l平行;对于B,a在平面α外有a与α相交,a∥α两种情况;对于C,a∥b,b⫋α,则a⫋α或a∥α;对于D,平移异面直线中的一条,使之与另一条相交,两相交直线可确定一个平面α,则与平面α平行的无穷多个平面都与这两条异面直线平行.5.D 三点若在平面β的一侧,则α∥β,三点若在β的两侧,则α与β可能相交且不垂直,也有可能垂直.6.C 画图形(图略),可得①②正确.7.A 两点之间,线段最短,在长方体展开图中,由A到C1的路线有三条,如下图,三条路线长分别为l1=√12+(2+4)2=√37,l2=√42+(1+2)2=5,l3=√22+(1+4)2=√29,所以最短距离为5.8.B 由V A-BPQV C-APQ =26=13,得V P-BDQV P-CDQ=13,所以VP-BDQ=13VP-CDQ=4,所以VA-BCD=2+6+12+4=24.9.D 在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN 与这三条异面直线都有交点,故选D.10.B 由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EF 15BD,∴EF∥平面BCD.又H 、G 分别为BC 、CD 的中点,∴HG12BD,∴EF∥HG 且EF≠HG,∴四边形EFGH 是梯形,故选B. 二、填空题 11.答案 3解析 设球的半径为R,由题意知4πR 2=43πR 3,∴R=3. 12.答案 5解析 还原图形,如下图所示.CD=C 1D 1=3,AD=2A 1D 1=2, AB=A 1B 1=2,∠ADC=90°, 所以S 梯形ABCD =12×(2+3)×2=5. 13.答案 (4π+12)解析 由三视图知该几何体为一个四棱柱、一个半圆柱和一个半球的组合体,其中四棱柱上底面与半球重合部分之外的面积为1×2-12×π×12=(2-π2)cm 2,四棱柱中不重合的表面积为2-π2+1×2×2+2×2+1×2=(12-π2)cm 2,半圆柱中不重合的表面积为12×2π×2+12π=52π cm 2,半球的表面积为12×4π×12=2π cm 2,所以该几何体的表面积为(4π+12)cm 2. 14.答案 垂直解析 如下图所示,取BC 的中点O,连接AO,PO.∵PB=PC,∴PO⊥BC.又△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形,∴OA=OB,又PA=PB, ∴△POA≌△POB,∴∠POA=∠POB=90°,即PO⊥OA, 而OA∩BC=O,∴PO⊥平面ABC,而PO ⫋平面PBC, ∴平面PBC⊥平面ABC. 15.答案 ②③④解析 因为正方体中对面互相平行,所以截面与对面的交线互相平行,所以一定是平行四边形,①不对;当E 、F 分别是所在棱的中点时,四边形BFD 1E 为菱形,②对;根据投影知识知③对;当E 、F 分别是所在棱中点时,EF⊥平面BB 1D 1D,④对. 三、解答题16.解析 (1)直观图如图①.(2)解法一:由三视图可知该几何体是由长方体截去一个角而得到的,且该几何体的体积是以A 1A,A 1D 1,A 1B 1为棱的长方体的体积的34,在直角梯形AA 1B 1B 中,作BE⊥A 1B 1于E,如图②,则四边形AA 1EB 是正方形, ∴AA 1=BE=1 m.在Rt△BEB 1中,BE=1 m,EB 1=1 m, ∴BB 1=√2 m.∴几何体的表面积S=S 正方形AA 1D 1D +2S 梯形AA 1B 1B +S 矩形BB 1C 1C +S正方形ABCD+S 矩形A 1B 1C 1D 1=1+2×12×(1+2)×1+1×√2+1+1×2=(7+√2)m 2,几何体的体积V=34×1×2×1=32 m 3.∴该几何体的表面积为(7+√2)m 2,体积为32 m 3.解法二:该几何体可看成以四边形AA 1B 1B 为底面的直四棱柱,其表面积求法同解法一, V 直四棱柱D 1C 1CD -A 1B 1BA =Sh=12×(1+2)×1×1=32 m 3. ∴该几何体的表面积为(7+√2)m 2,体积为32 m 3.17.证明 如图,连接AB 1交A 1B 于点E, 则E 为AB 1的中点,连接ED 1.∵E 为AB 1的中点,D 1是B 1C 1的中点, ∴ED 1为△B 1AC 1的中位线, ∴ED 1∥AC 1.∵ED 1⊈平面AC 1D,AC 1⫋平面AC 1D, ∴ED 1∥平面AC 1D,又∵A 1B∥平面AC 1D,且ED 1∩A 1B=E, ∴平面A 1BD 1∥平面AC 1D. 18.解析 由题图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,AB=BC=BF=2,DE=CF=2√2,∠CBF=90°. (1)证明:取BF 的中点G,连接MG 、NG. 由M 、N 分别为AF 、BC 的中点,可得NG∥CF,MG∥AB∥EF,又MG∩NG=G,EF∩CF=F ⇒平面MNG∥平面CDEF ⇒MN∥平面CDEF.(2)取DE 的中点H,连接AH. 因为AD=AE,所以AH⊥DE. 在直三棱柱ADE-BCF 中, 平面ADE⊥平面CDEF, 平面ADE∩平面CDEF=DE, 所以AH⊥平面CDEF,所以多面体A-CDEF 是以AH 为高,矩形CDEF 为底面的棱锥. AH=√2,S 矩形CDEF =DE·EF=4√2,所以棱锥A-CDEF 的体积V=13S 矩形CDEF ·AH=83. 19.证明 (1)取PD 的中点E,连接EN,AE. ∵N 是PC 的中点,∴EN12DC.又∵AM12DC,∴EN AM,∴四边形AENM是平行四边形, ∴AE∥MN.又∵AE⫋平面PAD,MN⊈平面PAD, ∴MN∥平面PAD.(2)∵PA=AD,E是PD的中点,∴AE⊥PD.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.又AD⊥CD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.∵AE⫋平面PAD,∴AE⊥CD.∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD. 又∵AE∥MN,∴MN⊥平面PCD.∵MN⫋平面PMC,∴平面PMC⊥平面PCD.20.证明(1)连接A1C1,设A1C1∩B1D1=O1,连接AO1.∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴四边形A 1ACC 1是平行四边形, ∴A 1C 1∥AC,且A 1C 1=AC. 又O 1,O 分别是A 1C 1,AC 的中点, ∴O 1C 1∥AO,且O 1C 1=AO,∴AOC 1O 1是平行四边形,∴C 1O∥AO 1, 又AO 1⫋平面AB 1D 1, C 1O ⊈平面AB 1D 1, ∴C 1O∥平面AB 1D 1. (2)∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1, ∴CC 1⊥B 1D 1.又A 1C 1⊥B 1D 1,CC 1∩A 1C 1=C 1, ∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C,∴A 1C⊥B 1D 1. 同理可证A 1C⊥AB 1, 又D 1B 1∩AB 1=B 1, ∴A 1C⊥平面AB 1D 1.21.解析 如图,取AE 的中点O,连接OF,过点O 作OM⊥AC 于点M,连接MB.因为侧棱A 1A⊥底面ABC,所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC,所以OM⊥底面ABC.则OM 12EC,又因为EC=2FB=2,所以OMFB,所以四边形OMBF 为矩形,所以BM∥OF. 又因为BM ⊈平面AEF,OF ⫋平面AEF, 故BM∥平面AEF,此时点M 为AC 的中点.附加题答案 23c √a 2-c 2-1解析 过点D 作DE⊥BC 于点E,连接AE,则BE⊥平面ADE.作△ADE 的边AD 上的高EF,则EF为最大值时,该几何体体积最大,则当BA=BD=CA=CD=a,且EF为AD和BC的公垂线段,F为AD的中点时,该几何体体积V最大,Vmax =13S△AED·BC=13×12AD·EF·BC=2c3√a2-c2-1.。
(完整版)《立体几何初步》测试题和答案
《立体几何初步》测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件 2. 若a ∥b ，A c b =⋂，则c a ,的位置关系是（ ）A.异面直线B.相交直线C.平行直线D.相交直线或异面直线3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为30°的等腰三角形D ．其他等腰三角形4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）A 48B 64C 96D 1925. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对6. 已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ）A 22 B233 C 423D 4337. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与 GH 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°9. 已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.010. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11. 直观图（如右图）中，四边形O ′A ′B ′C ′为 菱形且边长为2cm ，则在xoy 坐标中四边形ABCD 为 _ ____，面积为______cm 2．12. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 ．13. 已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 .14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿15. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=︒90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：（1）AC ⊥BD ； （2）△ACD 是等边三角形（3）AB 与平面BCD 所成的角为60°；（4）AB 与CD 所成的角为60°。
立体几何测试题(共10篇)
立体几何测试题(共10篇)立体几何测试题（一）: 立体几何问题立体几何试题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点,则P、Q、R三点共线.1.EF平行于B1D1,B1D1平行于BD,所以EF平行于BD,EFBD四点共面2.F,D,A,C1属于平面A1ACC1,且AC1与PQ不平行,所以AC1与PQ相交A1C交平面DBFE于R点,又因为PQ属于平面DBFE,所以AC1与PQ相交于R 所以R属于PQ,PQR共线立体几何测试题（二）: 几个书后练习题立体几何1.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.是否正确2.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.为什么不对谢不对,因为a有可能在经过b的面上,不是平行关系立体几何测试题（三）: 一道数学基本的立体几何的题目~在正方形ABCD-A"B"C"D"中,P、Q分别为A"B"、BB"的中点.（1）求直线AP与CQ所成的角的大小（2）求直线AP与BD所成的角的大小我还没学过空间向量,1.取DC中点E,连EC,证明EC平行AP,用余弦定理算2.取AB中点F,连接FB,用余弦定理算【立体几何测试题】立体几何测试题（四）: 求大量立体几何难题!立体几何综合试题（自己画图）1、已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都相等,D、E分别为AC1,BB1的中点.（1）求证：DE‖平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小.2、已知直三棱柱ABC—A1B1C1,AB＝AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1＝2∶1,BF ＝BC＝2a.（I）若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1；（II）试问：若AB＝2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么证明你的结论3、在底面是直角梯形的四棱锥中,AD‖BC,∠ABC＝90°,且 ,又PA⊥平面ABCD,AD＝3AB＝3PA＝3a.（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求点A到平面PBC的距离.4、在直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F分别是BA、BC的中点,G是AA1上一点,且AC1⊥EG.（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.5、已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是菱形,平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值6.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P 在棱CC1上,且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.7、在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点,作交PB于点F.(I)证明平面；(II)证明平面EFD；(III)求二面角的大小.8、已知在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D 1E⊥平面AB1F时,求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.9、直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB‖CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P、Q分别是CC1、C1D1的中点.点P到直线AD1的距离为⑴求证：AC‖平面BPQ⑵求二面角B-PQ-D的大小10、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分别为AD和CC1的中点,O1为下底面正方形的中心.（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；这些题应该还可以!你来试试吧!题不要求多就精就可以了!不懂的或不会做的,我来帮你解答!立体几何测试题（五）: 立体几何初步练习题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱B1C1,C1D1,A1B1,D1A1的中点,求证（1）MN平行于DEF,(2)平面AMN平行于平面CEF(1)连接B1D1因为MN、EF为三角形A1B1D1、B1C1D1的中位线,所以MN平行于EF因为MN不属于面DEF,EF属于面DEF所以MN平行于面DEF(2)这题题目错了吧,应该是DEF吧立体几何测试题（六）: 解析几何基础知识练习题靠!一楼的那么多废话那么多选择题：集合,函数（图像）,立体几何,圆锥一、数学命题原则 1．普通高等学校招生数学科的考试,按照“考查基础知识的【立体几何测试题】立体几何测试题（七）: 高一必修二立体几何习题1-7的题仓库的房顶呈正四棱锥形,量的地面的边长为2.6m,侧棱长2.1m,先要在房顶上铺一层油毡纸,问：需要油毡纸的面积多少运用海伦公式房顶为4个相同的三角形海伦公式a=2.6 b=2.1 c=2.1 p=a+b+c/2=3.4S=根号下p*(p-a)*(p-b)*(p-c)=2.1444S=2.144*4=8.576平方米立体几何测试题（八）: 怎么根据题目画数学的立体几何图形搞懂了题目的要求,就照那意思去画,立体几何记住透视很重要.立体几何测试题（九）: 求立体几何判断题的解题方法.①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直⑤……等等,诸如此类.见到很多这样的题目,但是却总找不到解题的方法,概念定理也经常记混.本人感激不尽!记一些模型,例如墙角模型什么的这个很重要.遇见不熟悉的题,用书本和笔（手指也可以）比划一下.这种题目主要是找反例!想象力也很重要啦……立体几何测试题（十）: 一道高中立体几何的题目.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,O1是底面A1B1C1D1的中心.E 是CO1上的点,设CE等于X,四棱锥E-ABCD的体积为y,求y关于X的函数关系式..图只有自己画一下了,做EF垂直于平面ABCD 垂足为F易得出CEF相似于O1CC1因为C1O1=根号2 CC1=4 得CO1=3根号2CE/CO1=EF/CC1 得出EF=4X/3根号2Y=底面积*EF/3=4*4X/9根号2Y=8根号2*X/9职高立体几何测试题空间立体几何测试题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精品文档15周周末自主测试高一第立体几何初步测试题（一）
分，在每小题给出的四个选项中，只分，共6012小题，每小题5一、选择题：（本题共有一项是符合题目要求的））1、有一个几何体的三视图如下图
所示，这个几何体应是一个（
俯视图左视图主视图
、都不对 D C、棱柱B、棱锥A、棱台）2、已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是（D、都不对、16或64 C、64 B A、16 ）3、下面表述正确的是（
B、分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面A、空间任意三点确定一个平面
D、不共线的四点确定一个平面、直线上的两点和直线外的一点确定一个平面 C ）4、两条异面直线是指（
B、分别位于两个不同平面内的两条直线A、在空间内不相交的两条直线
D、不同在任一平面内的两条直线C、某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
下列命题中：①平行于同一直线的两平面平行②平行于同一平面的两平面平行③垂直5、）于同一直线的两平面平行④与同一直线成等角的两平面平行；正确的命题是（
、②③④ D C、③④A、①②B、②③
）6、下列命题中正确命题的个数是（
①一条直线和另一条直线平行，那么它和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。
3
、D C、2 A、0 B、1
、一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是7 ）（A'C'、不确定 D C B、相交、平行、异
面A B'P分别在侧棱QPV的体积为CB—直三棱柱、如图8:ABCA，点、111QCA精
品文档B．
精品文档
‘P=CQ，则四棱锥B—APQC的体积为（和CC上，A ） AA111VVVV B、
C、 D、A、5234?，3，圆台的侧面积为9、圆台的一个
底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为84 ）则圆台较小底面的半径为
（
3
D、、5 C6 B、7 A、
个顶点都在同一球面上，则，且它的83、4、510、长方体的一个顶点上三条棱
长分别是）这个球的表面积是（
???、都不对 D B、C、A、1252550、
如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位
置11 ）关系一定是（
D、无法确定C、平行或相交B、相交A、平行
3ACEF与面，EF=，ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB12．多面体ABCDEF中，已
知面2）2，则该多面体的体积为（的距离为915． BA．．5 C．6 D22
二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）
13、三条两两相交的直线可确定个平面。
14、在中，，将三角形绕直角边旋转一周所形成的几5AC??3,BC?4,AB ABC?RtAB
何体的体积为。
15、若三个球的表面积之比是，则它们的体积之比是。
2:31:
16、如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD—ABCD
1
111D BC于桌面上，再将内灌注一些水，固定容器底面一边1）水的部分始终呈
容器倾斜度的不同，有下列命题：（CA ）（3的面积不会改变；棱柱形；（2）水
面四边形EFGHB ）当容器倾斜如图4A棱D始终与水面EFGH平行；（11D 所
示时，BE·BF是定值，其中所有正确命题的序号。
是
F C
A E
B
精品文档．
精品文档
高一第15周周末自主测试
立体几何初步测试题（一）
班级姓名学号成绩
13、14、15、16、
三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、已知圆锥的母线长为，高为，求这个圆锥的体积。
（12分）cm5cm4
精品文档．
精品文档求证：的中点，分别是边18、已知四边形是空间四边形，
DA,,CDF,G,HAB,BCE,ABCD分）四边形是平行四边形。
（12EFGH A
E H
D
B
G F
C
ABCDO. 是底，19、已知正方体对角线的交点DBCABCD A1111∥面；求证：（１）CO DAB111DAB 12∥面BDC（分）．2 （）面111
D1C1B1A1
D C O BA
精品文档．
精品文档
20、有一个正四棱台形状的油槽，可以装油，假如它的两底面边长分别等于和cm190L60，求它的深度为多少？（12分）cm cm40
21、（12分）
精品文档．精品文档
22、（14分）精品文档．。