七下数学专题训练：乘法公式的灵活运用
乘法公式的灵活运用
1乘法公式的灵活运用一、复习：(a+b)（a —b)=a 2—b 2（a+b ）2=a 2+2ab+b 2（a-b)2=a 2—2ab+b 2（a+b ）（a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a —b)（a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ,求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992—2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
最新北师版初中七年级数学下册知识应用：活用乘法公式
知识应用：活用乘法公式乘法公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的结构特征，而且能灵活使用它们，才能获得简捷合理的解法．现介绍几种方法，供同学们参考．一、对号a、b，正确运用例1 计算(-2+3x)(-2-3x)．分析：两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用例2 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用例3 计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕=(8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用例4 计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．分析：从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用例5 计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．例6 已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17学生每日提醒励志名言：1、播下一个信念，收获一种行动；播下一个行动，收获一种习惯；播下一个习惯，收获一种性格；播下一个性格，收获一种命运。
北师大版七年级数学下册解题技巧专题：乘法公式的灵活运用
解题技巧专题：乘法公式的灵活运用 ◆类型一 整体应用1．(2017·淄博中考)若a ＋b ＝3，a 2＋b 2＝7，则ab 等于( )A ．2B ．1C ．－2D ．－12．(1)若a 2－b 2＝16，a －b ＝13，则a ＋b 的值为________； (2)若(a ＋b ＋1)(a ＋b －1)＝899，则a ＋b 的值为________．3．计算：(1)(m 2＋mn ＋n 2)2－(m 2－mn ＋n 2)2；(2)(x 2＋2x ＋1)(x 2－2x ＋1)－(x 2＋x ＋1)(x 2－x ＋1)．◆类型二 连续应用4．计算：(1)(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)；(2)(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416)．◆类型三 利用乘法公式进行简便运算5．计算2672－266×268的结果是( )A ．2008B ．1C ．2006D ．－16．利用完全平方公式计算：(1)792; (2)⎝⎛⎭⎫30132.7．利用平方差公式计算：(1)802×798; (2)3913×4023.◆类型四 利用乘法公式的灵活变形解决问题8．已知x ＋y ＝3，xy ＝－7，求：(1)x 2－xy ＋y 2的值；(2)(x －y )2的值．9．★若实数n 满足(n －46)2＋(45－n )2＝2，求代数式(n －46)(45－n )的值．参考答案与解析1．B 2.(1)12 (2)±303．解：(1)原式＝(m 2＋n 2)2＋2mn (m 2＋n 2)＋m 2n 2－(m 2＋n 2)2＋2mn (m 2＋n 2)－m 2n 2＝4mn (m 2＋n 2)＝4m 3n ＋4mn 3.(2)原式＝[(x 2＋1)＋2x ][(x 2＋1)－2x ]－[(x 2＋1)＋x ][(x 2＋1)－x ]＝(x 2＋1)2－4x 2－(x 2＋1)2＋x 2＝－3x 2.4．解：(1)原式＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)＝(a 4－b 4)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)＝(a 8－b 8)(a 8＋b 8)＝a 16－b 16.(2)原式＝115(42－1)(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416)＝115(44－1)(1＋44)(1＋48)(1＋416)＝115(48－1)(1＋48)(1＋416)＝115(416－1)(1＋416)＝432－115. 5．B6．解：(1)原式＝(80－1)2＝802－2×80×1＋12＝6241；(2)原式＝⎝⎛⎭⎫30＋132＝302＋2×30×13＋⎝⎛⎭⎫132＝92019. 7．解：(1)原式＝(800＋2)(800－2)＝8002－22＝640000－4＝639996；(2)原式＝⎝⎛⎭⎫40－23⎝⎛⎭⎫40＋23＝402－⎝⎛⎭⎫232＝1600－49＝159959. 8．解：(1)x 2－xy ＋y 2＝(x ＋y )2－3xy ＝9＋21＝30.(2)(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝9＋28＝37.9．解：∵(n －46)2＋(45－n )2＝2，∴[(n －46)＋(45－n )]2－2(n －46)(45－n )＝2，整理得1－2(n －46)(45－n )＝2，则(n －46)(45－n )＝－12. （赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
翼教版七年级数学下册微专题乘法公式的灵活运用测试题
6．微专题：乘法公式的灵活运用◆类型一乘法公式的灵活运用【方法点拨】在运用平方差公式和完全平方公式进行计算时，注意运用它们的变形式．1.下列算式能用平方差公式计算的是( )A ．(2a ＋b )(2b －a )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1 C ．(3x －y )(－3x ＋y )D ．(－m －n )(－m ＋n )2．已知a ＋b ＝3，ab ＝2，则a 2＋b 2的值为( )A ．4B ．6C ．3D ．53．已知a ＋b ＝5，ab ＝7，求12a 2＋12b 2，a 2－ab ＋b 2的值．4．已知x＋1x＝3，求x2＋1x2和⎝⎛⎭⎪⎫x－1x2的值．◆类型二利用乘法公式进行简便运算5．利用乘法公式进行简便运算：(1)9×11×101×10001；(2)20032.6．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：解：原式＝(2＋1)(2－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＝(28－1)(28＋1)＝216－1.请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下问题：(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＝________；(2)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)＝________；(3)化简：(m＋n)(m2＋n2)(m4＋n4)(m8＋n8)(m16＋n16)．参考答案与解析1．D 2.D3．解：12a 2＋12b 2＝12(a 2＋b 2)＝12(a ＋b )2－ab ，当a ＋b ＝5，ab ＝7时，12a 2＋12b 2＝12×52－7＝112.a 2－ab ＋b 2＝(a ＋b )2－3ab ，当a ＋b ＝5，ab ＝7时，a 2－ab ＋b 2＝52－3×7＝4.4．解：∵x ＋1x ＝3，∴x 2＋1x 2＋2＝9，∴x 2＋1x 2＝7，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＝x 2＋1x 2－2＝7－2＝5. 5．解：(1)原式＝(10－1)(10＋1)(100＋1)(10000＋1)＝(100－1)(100＋1)(10000＋1)＝(10000－1)(10000＋1)＝100000000－1＝99999999.(2)原式＝(2000＋3)2＝20002＋2×2000×3＋32＝4000000＋12000＋9＝4012009.6．解：(1)232－1(2)332－12 解析：原式＝12(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)＝332－12. (3)当m ≠n 时，原式＝1m －n (m －n )(m ＋n )(m 2＋n 2)(m 4＋n 4)(m 8＋n 8)(m 16＋n 16)＝m 32－n 32m －n；当m ＝n 时，原式＝2m ·2m 2·…·2m 16＝32m 31.易错专题：求二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的取值范围求最值1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为________．2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法12】( )A ．3B ．2C ．1D ．－13．函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．在二次函数y ＝x 2－2x －3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是【方法12】() A ．0，－4 B ．0，－3 C ．－3，－4 D ．0，05．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1( )A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值6．已知二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－5≤x ≤0时，它的最大值与最小值分别是( )A ．1，－29B ．3，－29C ．3，1D ．1，－37．已知0≤x ≤12，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是________．◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围8．从y ＝2x 2－3的图像上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是( )A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤19．(贵阳中考)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是( )A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜310．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图像如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m11．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是______________．◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值12．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为( )A．－2 B．1 C．2 D．913．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )A．3 B．－1 C．4 D．4或－114．已知y＝－x2＋(a－3)x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤515．已知a≥4，当1≤x≤3时，函数y＝2x2－3ax＋4的最小值是－23，则a＝________.16．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图像关于直线x＝－2对称，已知当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____________.参考答案与解析1．5 2.C3．解：∵y ＝x (2－3x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋13，∴该抛物线的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.∵－3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，∴当x ＝13时，该函数有最大值，最大值是13. 4．A 5.C6．B 解析：首先看自变量的取值范围－5≤x ≤0是否包含了顶点的横坐标．由于y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x ＋1)2＋3，其图像的顶点坐标为(－1，3)，所以在－5≤x ≤0范围内，当x ＝－1时，y 取最大值，最大值为3；当x ＝－5时，y 取最小值，最小值为y ＝－2×(－5)2－4×(－5)＋1＝－29.故选B.7．－2.5 解析：∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，当x ＜2，y随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤12，∴当x ＝12时，y 取最大值，y 最大＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22＋2＝－2.5. 8．C9．B 解析：当x ＝2时，y ＝－4＋4＋3＝3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ≥2时，y 的取值范围是y ≤3.故选B.10．C 解析：当x ＝a 时，y ＜0，则a 的范围是x 1＜a ＜x 2，又对称轴是直线x ＝12，所以a －1＜0.当x ＜12时，y 随x 的增大而减小，当x ＝0时函数值是m .因此当x ＝a －1＜0时，函数值y 一定大于m . 11．－72≤y ≤21 解析：二次函数y ＝2x 2－6x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝32.在0≤x ≤5范围内，当x ＝32时，y 取最小值，y 最小＝－72；当x ＝5时，y 取最大值，y 最大＝21.所以当0≤x ≤5时，y 的取值范围是－72≤y ≤21.12．A13．C 解析：∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a ＝4a （a －1）－424a ＝2，整理得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C.14．D 解析：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x ≤5内时，∵在1≤x ≤5时，y 在x ＝1时取得最大值，∴对称轴一定在1≤x ≤5的左边，∴对称轴直线x ＝a －32＜1，即a ＜5；第二种情况：当对称轴在1≤x ≤5内时，∵－1<0，∴对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为直线x ＝1，∴a －32＝1，即a ＝5.综上所述，a≤5.故选D.15．5 解析：抛物线的对称轴为直线x＝3a4.∵a≥4，∴x＝3a4≥3.∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴当1≤x≤3时，函数取最小值－23时，x＝3.把x＝3代入y＝2x2－3ax＋4中，得18－9a＋4＝－23，解得a＝5.16．－4≤m≤－2 解析：∵二次函数图像关于直线x＝－2对称，∴－a2×1＝－2，∴a＝4，∴y＝x2＋4x ＋5＝(x＋2)2＋1.当y＝1时，x＝－2；当y＝5时，x＝0或－4.∵当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，∴－4≤m≤－2.。
如何灵活运用乘法公式
如何灵活运用乘法公式同学们学习过乘法公式以后，基本上能够记住它们的特点，能够直接运用它们了。
但是，有些问题并不能直接运用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，然后才能运用公式，下面就来介绍几种常用的方法。
一、分组、结合法例1. 计算：()()z y x z y x -+++。
分析：本题看做多项式乘多项式来解比较烦琐，但如果适当分组，就能运用平方差公式了，把每个括号中的前两项当成一组就行了。
解：原式()[]()[]()22222z y xy 2x z y x z y x z y x -++=-+=-+++=。
例2. 计算：()()d c b a d c b a ++-+-+。
分析：本题每个括号里面有4项，看上去不好直接运用公式，但把它们进行分组、结合，就可以用平方差公式了。
解：原式=()()[]()()[]()()222222c bc 2bd ad 2a c b d a c b d a c b d a -+-++=--+=--+-++二、拆项、添项法例3. 计算：()()()()1171717176842+++++。
分析：本题直接计算比较烦琐，但如果利用拆项的方法把6拆成71-，就可以用平方差公式了。
解：原式=()()()()()11717171717842+++++-()()()()1171717178422++++-= ()()()1171717844+++-= ()()1171788++-==11716+-167=。
例4. 已知多项式()()()()()11x 1x 1x 1x 1x 16842++++++，求当2x =时多项式的值。
分析：把2x =代入后可仿例1解，也可以在多项式()()()()()1x 1x 1x 1x 1x 16842+++++前面添上一项1x -，再除以这项，这样就可以用平方差公式求解。
解：原式()()()()()()11x 1x ...11x 1x 1x 1x 1x 1x 1x 3216842+--==+-+++++-=，当2x =时，原式322=。
第7讲 解题技巧专题：乘法公式的灵活运用(5类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册
第07讲解题技巧专题：乘法公式的灵活运用(5类热点题型讲练)目录【考点一项的位置变换】 (1)【考点二项数的变换】 (1)【考点三简便运算变换】 (2)【考点四连续相乘应用】 (3)【考点五整体代换应用】 (4)【考点一项的位置变换】【考点二项数的变换】例题：（2023上·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考阶段练习）用乘法公式计算：()()33x y x y +++-．【变式训练】1．（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算(1)2()x y z ++(2)()()2323x y x y -+-+2．（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）运用乘法公式计算：(1)()(1)1x y x y +++-(2)2(21)a b +-3．（2023上·全国·八年级专题练习）计算题：(1)2(23)a b c --；(2)2()())2(2x y z x y z x y z +----+-．【考点三简便运算变换】例题：（2023上·全国·八年级专题练习）用简便方法计算下列各题．(1)197203⨯；(2)2998．【变式训练】【考点四连续相乘应用】(1)上述操作能验证的等式是：______(2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题：①已知2293639a b a b -=+=，，则②计算：22111111234⎛⎫⎛⎫⎛-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝（1）()()11x x -+=____________；（2）()()211x x x -++=____________；（3）()()3211x x x x -+++=____________；【复杂问题】化简（4）()()20232022202111x xx x x -+++++= ____________；【总结规律】（5）观察以上各式，可以得到：()()1211n n x x x x ---++++=L ____________；【方法应用】（6）利用上述规律，计算20232022202122221+++++ ，并求出该结果个位上的数字．【考点五整体代换应用】例题：（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）阅读理解：已知5a b +=，3ab =，求22a b +的值．解：∵5a b +=，∴()225a b +=，即22225a ab b ++=，∵3ab =，∴222()219a b a b ab +=+-=，参考上述过程解答：(1)若3x y -=-，2xy =-．①22x y +=___________；②求()2x y +的值；(2)已知7x y +=，2225x y +=，求()2x y -的值．【变式训练】1．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知5a b +=，3ab =，求22a b +的值．【例题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法：。
七年级数学下册乘法公式6种解题方法
七年级数学下册乘法公式6种解题方法一、对号a、b，正确运用【例题】计算(-2+3x)(-2-3x)．【分析】两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用【例题】计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．【分析】两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用【例题】计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．【分析】前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕=(8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用【例题】计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．【分析】从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用【例题】计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2【分析】若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．【例题】已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17。
七年级数学下册专题复习乘法公式的灵活运用课件冀教版0327343精品
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类型二：利用乘法公式的变式求值 已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2 和(a－b)2
七年级下知识点提优训练专题提优
专题提优乘法公式的灵活运用运用乘法公式简便计算①逆用公式法1. 用乘法公式进行简便运算：（1）1 0032；（2）899×901＋1；（3）101×99－99.52.2. 计算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－1.②分组或结合法3. 计算：（1）（a－2b＋3）（a＋2b＋3）；（2）（x＋2y＋1）（x－2y＋1）－（x－2y＋1）2；（3）（a＋b－c＋d）（a－b＋c＋d）.③拆项或添项法 4. 计算：（1）6（7＋1）（72＋1）（74＋1）（78＋1）＋1；（2）3＋（38＋1）（34＋1）（32＋1）（3＋1）.求代数式的值5. 已知（2 020＋m ）（2 018＋m ）＝n ，则（2 020＋m ）2＋（2 018＋m ）2的值为（ ）A. 2nB. 2n ＋2C. 2n ＋4D. 2（n ＋1）2 6. （1）已知a 2＋b 2＝13，ab ＝6，求（a ＋b ）2，（a －b ）2的值； （2）已知（a ＋b ）2＝7，（a －b ）2＝4，求a 2＋b 2，ab 的值； （3）已知a （a －1）－（a 2－b ）＝2，求a 2＋b 22－ab 的值.7. 已知（x －2 017）2＋（x －2 019）2＝34，求（x －2 018）2的值.专题提优图形面积与乘法公式的简单拓展完全平方公式与图形面积1. 如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的式子是（）A. （a＋b）（a－b）＝a2－b2B. （a＋b）2－（a－b）2＝2abC. （a＋b）2－（a－b）2＝4abD. （a－b）2＋2ab＝a2＋b22. 如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都为正方形，其面积之和比其余面积（阴影部分）多2.25平方米，则主卧与客卧的周长差为（）A. 12米B. 10米C. 8米D. 6米3. 有若干张面积分别为a2，b2，ab的正方形和长方形纸片，小明从中抽取了1张面积为b2的正方形纸片，6张面积为ab的长方形纸片.若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为a2的正方形纸片（）A. 4张B. 8张C. 9张D. 10张4. 如图，点M是AB的中点，点P在MB上.分别以AP，PB为边，作正方形APCD 和正方形PBEF，连接MD和ME.设AP＝a，BP＝b，且a＋b＝10，ab＝20.则图中阴影部分的面积为Ｗ.5. （2019春·江阴期中）【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.请解答下列问题：（1）图②中阴影部分的正方形的边长是；（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：；方法2：；（3）观察图②，请你写出（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的等量关系：；（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若x＋y＝6，xy＝114，则（x－y）2＝Ｗ.【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式.（5）根据图③，写出一个代数恒等式：；（6）已知a＋b＝3，ab＝1，利用上面的规律求a3＋b3的值.平方差公式与图形面积6. （2019春·冠县期末）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图②），利用这两幅图形的面积，可以验证的公式是（）A. a2＋b2＝（a＋b）（a－b）B. a2－b2＝（a＋b）（a－b）C. （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2D. （a－b）2＝a2－2ab＋b27. （2019春·乳山期末）如图，在边长为x的正方形纸片中间剪去一个边长为（a＋2）的小正方形，将剩余部分剪开拼成一个不重叠，且无缝隙的平行四边形.若平行四边形的面积为3a2－4a－4，则原正方形纸片的边长x为（）A. 2aB. 3aC. 4aD. 5a8. 如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成了一个长方形（如图②），则这个长方形的面积为Ｗ.9. （1）如图①，已知正方形ABCD 的边长为a ，正方形FGCH 的边长为b ，长方形ABGE 和EFHD 为阴影部分，则阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）；（2）将图①中的长方形ABGE 和EFHD 剪下来，拼成图②所示的长方形，则长方形FEGB 的面积是 （写成多项式相乘的形式）；（3）比较图①与图②的阴影部分的面积，可得乘法公式 ；（4）利用所得公式计算：2⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122·⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1214.10. （2018春·无锡新区期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如图①可以得到（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，基于此，请解答下列问题： （1）根据图②，写出一个代数恒等式： ；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a ＋b ＋c ＝10，ab ＋ac ＋bc ＝35，则a 2＋b 2＋c 2＝ ；（3）小明同学用图③中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a ，b 的长方形纸片拼出一个面积为（2a ＋b ）（a ＋2b ）的长方形，则x ＋y ＋z ＝ Ｗ.【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图④表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图④中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： Ｗ.因式分解的其他方法拓展分组分解法1. 先阅读下面的材料，再分解因式.要把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a，把它的后两项分成一组，并提出b，从而得am＋an＋bm＋bn＝a（m＋n）＋b（m＋n）.这时，由于a（m＋n）＋b（m＋n）中又有公因式（m＋n），于是可提公因式（m＋n），从而得到（m＋n）（a＋b），因此有am＋an＋bm＋bn＝（am＋an）＋（bm＋bn）＝a（m＋n）＋b（m＋n）＝（m＋n）（a＋b）.这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解.请用上面材料中提供的方法因式分解：（1）m2－mn＋mx－nx；（2）x5－x3＋x2－x；（3）4a2＋4b－1－4b2.十字相乘法2. 计算（ax＋b）（cx＋d）＝acx2＋adx＋bcx＋bd＝acx2＋（ad＋bc）x＋bd，倒过来写可得：acx2＋（ad＋bc）x＋bd＝（ax＋b）·（cx＋d）.我们就得到一个关于x的二次三项式的因式分解的一个新的公式.我们观察公式左边二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果.这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法.如图①所示.示例：因式分解：12x2－5x－2.解：由图②可知：12x2－5x－2＝（3x－2）（4x＋1）.请根据示例，对下列多项式因式分解：（1）y2－7y＋12；（2）11x－x2－18；（3）x2－xy－6y2；（4）（x2＋x）2－8（x2＋x）＋12.配方法3. 题目：“分解因式：x2－120x＋3 456.”分析：由于常数项数值较大，则常采用将x2－120x变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行.解：x2－120x＋3 456＝x2－2×60x＋602－602＋3 456＝（x－60）2－144＝（x－60）2－122＝（x－60＋12）（x－60－12）＝（x－48）（x－72）.通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：（1）x2－140x＋4 875；（2）4x2－4x－575.拆项或添项法4. 阅读下面的材料，然后解决问题：苏菲·热门，19世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深.下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解x4＋4时，因为该式只有两项，而且都属于平方和的形式，即（x2）2＋22，所以要使用公式就必须添加一项4x2，同时减去4x2，即x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝（x2＋2）2－（2x）2＝（x2＋2x＋2）（x2－2x＋2）.人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”.请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解：（1）x4＋4y4；（2）x2－2ax－b2－2ab；（3）x3＋2x2－5x－6.换元法5. （2019春·太仓期中）你会对多项式（x2＋5x＋2）·（x2＋5x＋3）－12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），能使复杂的问题简单化、明朗化.从换元的个数看，有一元代换、二元代换等.对于（x2＋5x＋2）（x2＋5x＋3）－12.解法1：设x2＋5x＝y，则原式＝（y＋2）（y＋3）－12＝y2＋5y－6＝（y＋6）（y－1）＝（x2＋5x＋6）（x2＋5x －1）＝（x＋2）（x＋3）（x2＋5x－1）.解法2：设x2＋5x＋2＝y，则原式＝y（y＋1）－12＝y2＋y－12＝（y＋4）（y－3）＝（x2＋5x＋6）（x2＋5x－1）＝（x＋2）（x＋3）（x2＋5x－1）.解法3：设x2＋2＝m，5x＝n，则原式＝（m＋n）（m＋n＋1）－12＝（m＋n）2＋（m＋n）－12＝（m＋n＋4）（m＋n －3）＝（x2＋5x＋6）（x2＋5x－1）＝（x＋2）（x＋3）（x2＋5x－1）.按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：（1）（x2＋x－4）（x2＋x＋3）＋10；（2）（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋6）＋x2；（3）（x＋y－2xy）（x＋y－2）＋（xy－1）2.因式定理法6. 阅读下面的材料，然后解决问题：分解因式：x3－19x－30.当x＝－2时，x3－19x－30＝－8＋38－30＝0.表明x3－19x－30有因式（x＋2）.因此x3－19x－30＝（x3＋8）－19（x＋2）＝（x＋2）（x2－2x＋4－19）＝（x＋2）（x－5）（x ＋3）.上面的这种因式分解的方法叫做因式定理法，即如果x＝a时多项式f（x）的值为零，即f（a）＝0，则f（x）能被（x－a）整除（除含有x－a的因式）.如多项式f（x）＝3x2－5x－2，当x＝2时，f（2）＝0，即f（x）含有因式（x－2），事实上f（x）＝3x2－5x－2＝（3x＋1）（x－2）.通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：x3－9x＋8.专题提优解方程组的常用技巧消元法1. （2018·上饶县期末）解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝5，4x ＋y ＝3.2. 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝11，5x ＋2y ＝8.整体代入法3. 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，2y ＋3（x －y ）＝11.4. 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －2＝0，2x －3y ＋57＋2y ＝9.整体加减法5. 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧8 359x ＋1 641y ＝28 359， ①1 641x ＋8 359y ＝21 641. ②6. 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＋2z ＝4，x ＋3y ＋z ＝2，求x ＋y ＋z 的值.换元法7. 解方程组：⎩⎨⎧2x ＋3y 2＝3x ＋2y 5＋2，3（2x ＋3y ）2＝2（3x ＋2y ）5＋6.8. 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＝z ＋x 3＝y ＋z 4，x ＋y ＋z ＝27.专题提优“含字母系数”的二元一次方程（组）1. （2019春·遵义期末）已知x ＝1，y ＝3与x ＝－1，y ＝1都是方程y ＝mx ＋n 的解，则m ，n 的值分别为（ ）A. m ＝2，n ＝1B. m ＝1，n ＝2C. m ＝－2，n ＝1D. m ＝1，n ＝－22. 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝9m ，x －y ＝5m的解满足x ＋3y ＝13，则m 的值等于（ ）A. 1B. 2C. －1D. －23. 关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1－m ，x －3y ＝5＋3m 中，m 与方程组的解中的x 或y 相等，则m 的值为（ ）A. 3或13B. 2或－13C. 3或12D. 2或－124. （2019春·衡阳蒸湘区校级月考）已知二元一次方程2x －3y －5＝0的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ，则6b －4a ＋3＝ Ｗ.5. （2019春·杭州期末）已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3－a ，x ＋2y ＝5a （a 为实数），若方程组的解始终满足y ＝a ＋1，则a ＝ Ｗ.6. 二元一次方程组有可能无解.例如方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1， ①2x ＋4y ＝3 ②无解，原因是：将①×2得2x ＋4y ＝2，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＝b ，2x ＋3y ＝4无解，求a ，b 须满足的条件.7. 关于x ，y 的方程组：⎩⎨⎧14b （x ＋y ）－2a （x －y ）＝－215，32a （x ＋y ）－56b （x －y ）＝－43，其中x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ＝43，x －y ＝65，试求这个方程组的解及a ，b 的值.8. 已知m 是正整数，方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋2y ＝10，3x －2y ＝0有整数解，求m 的值.9. 若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3ay ＝4＋b ，4x －（2a －1）y ＝18有无数组解，试确定a ，b 的值.专题提优二元一次方程组的实际应用数字问题1. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2 178，求这两个两位数.几何图形问题2. （2019春·绍兴越城区月考）某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器.（加工时接缝材料不计）（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片张，正方形铁片张.（2）现有长方形铁片2 017张，正方形铁片1 178张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？（3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片.若充分利用这些铁板加工成铁盒，则最多可以加工成多少个铁盒？浓度问题3. 现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50 kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？方案选择问题4. 一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3 520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3 480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策.（可用（1）（2）问的条件及结论）专题提优含字母的不等式（组）利用不等式的性质求解用不等式的性质进行求解时，要关注不等号的方向是否改变，如果不等号方向不变，那么一次项系数为正数，反之，一次项系数为负数.1. 如果不等式（a ＋1）x ＜a ＋1的解集为x ＞1，那么a 的取值范围是（ ）A. a ＜1B. a ＜－1C. a ＞1D. a ＞－12. 已知关于x 的不等式2（a －b ）x ＋a －5b ＞0的解集为x ＜1，求关于x 的不等式ax ＞b 的解集.通过对照解集求解解集对照法中，最关键的在于“对”，即在含字母的代数式与给出的解集之间建立对应关系，从而确定字母的值或取值范围.3. 已知关于x 的不等式4x －a ≥－5的解集如图所示，则a 的值是（ ）A. －3B. －2C. －1D. 04. （重庆中考题）如果关于x 的不等式（a －1）x ＜a ＋5和2x ＜4的解集相同，那么a 的值为 Ｗ.5. （2019春·成都温江区期末）已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a<－1，1－x3≤1的解集如图所示（原点没标出，每格表示1个单位长度），则a 的值为 Ｗ.6. （2019·合肥瑶海区校级一模）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2m ＋1，x ＞m ＋2的解集为x ＞－1，则m 的值为 Ｗ.7. 关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3b ≥2a ，23a ＋x ≤2b 的解集为－5≤x ≤2，求a ，b 的值.8. 关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜x ＜a ＋2，3＜x ＜5的解集为3＜x ＜a ＋2，求a 的取值范围.利用数轴分析法求解借助数轴，把已知或能算出的解表示在数轴上，让带字母的解在数轴上移动，观察分析何时满足题目的要求，尤其要注意临界点能否取到.9. 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≥0，－2x ＞－4有解，则a 的取值范围为（ ）A. a ＞－2B. a ≥－2C. a ＜2D. a ≥210. （2019春·肥城期末）若关于x 的不等式3x －2m ≥0的负整数解为－1，－2，则m 的取值范围是（ ）A. －6≤m ＜－92B. －6＜m ≤－92C. －92≤m ＜－3D. －92＜m ≤－311. （2018·湖北）若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧6－3（x ＋1）<x －9，x －m>－1的解集是x ＞3，则m 的取值范围是（ ）A. m ＞4B. m ≥4C. m ＜4D. m ≤412. （恩施州中考题）关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＜0，3x －1＞2（x －1）无解，那么m 的取值范围为（ ）A. m ≤－1B. m ＜－1C. －1＜m ≤0D. －1≤m ＜013. （2019·铜仁）如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x<3a ＋2，x<a －4的解集是x ＜a －4，则a 的取值范围是Ｗ.14. （达州中考题）对于任意实数m ，n ，定义一种运算m※n ＝mn －m －n ＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x ＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是 Ｗ.15. （1）已知关于x 的方程32（2x －4）－m ＝2的解为正数，求m 的取值范围；（2）已知关于x 的不等式32（2x －4）－m ≤2的正整数解是1，2，3，求m 的取值范围.16. 已知关于x 的不等式x ＋5＜2x ＋a 只有3个负整数解，求a 的取值范围.17. （凉山州中考题）已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2>3（x ＋a ），2x>3（x －2）＋5仅有三个整数解，求a 的取值范围.18. （2019春·南京期末）若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋12＋3>－1，x<m 的所有整数解的和是－9，求m 的取值范围.答案专题提优5 乘法公式的灵活运用1. (1)原式＝(1 000＋3)2＝1 0002＋2×1 000×3＋32 ＝1 000 000＋6 000＋9＝1 006 009.(2)原式＝(900－1)×(900＋1)＋1＝810 000－1＋1＝810 000. (3)原式＝(100＋1)×(100－1)－⎝⎛⎭⎫100－122＝1002－12－⎝⎛⎭⎫1002－100＋14 ＝1002－1－1002＋100－14＝9834.2. 原式＝(100＋99)(100－99)＋(98＋97)(98－97)＋(96＋95)(96－95)＋…＋(2＋1)(2－1)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝(100＋1)×100÷2＝5 050.3. (1)原式＝(a ＋3－2b)(a ＋3＋2b) ＝(a ＋3)2－(2b)2 ＝a 2＋6a ＋9－4b 2.(2)原式＝(x ＋1)2－4y 2－(x －2y ＋1)2＝(x ＋1)2－4y 2－[(x ＋1)2－4y(x ＋1)＋4y 2] ＝－8y 2＋4xy ＋4y.(3)原式＝[(a ＋d)＋(b －c)][(a ＋d)－(b －c)] ＝(a ＋d)2－(b －c)2＝a 2＋2ad ＋d 2－b 2＋2bc －c 2.4. (1)原式＝(7－1)(7＋1)(72＋1)(74＋1)(78＋1)＋1 ＝(72－1)(72＋1)(74＋1)(78＋1)＋1 ＝(74－1)(74＋1)(78＋1)＋1 ＝(78－1)(78＋1)＋1 ＝716－1＋1＝716.(2)原式＝3＋（38＋1）（34＋1）（32＋1）（3＋1）（3－1）2＝3＋（38＋1）（34＋1）（32＋1）（32－1）2＝3＋（38＋1）（34＋1）（34－1）2＝3＋（38＋1）（38－1）2＝3＋（316－1）2＝52＋3162. 5. C 解析：因为(2 020＋m )(2 018＋m )＝n ，所以(2 020＋m )2＋(2 018＋m )2＝[(2 020＋m )－(2 018＋m )]2＋2(2 020＋m )(2 018＋m )＝4＋2n ，故选C.6. (1)因为a 2＋b 2＝13，ab ＝6，所以(a ＋b)2＝a 2＋b 2＋2ab ＝13＋2×6＝25， (a －b)2＝a 2＋b 2－2ab ＝13－2×6＝1. (2)因为(a ＋b)2＝7，(a －b)2＝4， 所以a 2＋2ab ＋b 2＝7， ① a 2－2ab ＋b 2＝4， ②①＋②得2(a 2＋b 2)＝11，即a 2＋b 2＝112，①－②得4ab ＝3，即ab ＝34.(3)由a(a －1)－(a 2－b)＝2，得a －b ＝－2.所以a 2＋b 22－ab ＝12(a 2＋b 2－2ab)＝12(a －b)2＝12×(－2)2＝2.7. 因为(x －2 017)2＋(x －2 019)2＝34，所以(x －2 018＋1)2＋(x －2 018－1)2＝34，所以(x －2 018)2＋2(x －2 018)＋1＋(x －2 018)2－2(x －2 018)＋1＝34， 所以2(x －2 018)2＋2＝34，所以2(x －2 018)2＝32， 所以(x －2 018)2＝16.专题提优6 图形面积与乘法公式的简单拓展1. C2. D 解析：设主卧的边长为a 米，客卧边长为b 米，根据题意，得(a 2＋b 2)－[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)]＝2.25，解得(a －b )2＝2.25.又因为1.52＝2.25，所以a －b ＝1.5，所以主卧与客卧的周长差为4(a －b )＝6(米)，故选D.3. C 解析：要拼成正方形，则b 2＋6ab ＋ka 2是完全平方式， 则(b ＋3a )2＝b 2＋6ab ＋9a 2，故还需面积为a 2的正方形纸片9张．故选C.4. 35 解析：因为AP ＝a ，BP ＝b ，点M 是AB 的中点，所以AM ＝BM ＝a ＋b2，所以S 阴影＝S 正方形APCD ＋S 正方形BEFP －S △ADM －S △BEM ＝a 2＋b 2－12a ×a ＋b 2－12b ×a ＋b 2＝a 2＋b 2－14(a ＋b)2＝(a ＋b)2－2ab －14(a ＋b)2＝100－40－25＝35.5. (1)a －b (2)(a －b)2 (a ＋b)2－4ab (3)(a ＋b)2－4ab ＝(a －b)2(4)25 解析：由(a ＋b)2－4ab ＝(a －b)2，可得(x －y)2＋4xy ＝(x ＋y)2，∵x ＋y ＝6，xy ＝114，∴(x －y)2＋4×114＝62，∴(x －y)2＝25.(5)(a ＋b)3＝a 3＋b 3＋3a 2b ＋3ab 2(6)(a ＋b)3＝a 3＋b 3＋3a 2b ＋3ab 2，将a ＋b ＝3，ab ＝1，代入得a 3＋b 3＝18. 6. B7. A 解析：根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式得x 2－(a ＋2)2＝3a 2－4a －4，整理得x 2＝4a 2，∴x ＝2a ，故选A.8. a 2－4b 29. (1)a 2－b 2 (2)(a ＋b)(a －b) (3)(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2(4)原式＝4 ⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1214 ＝4⎝⎛⎭⎫1－122⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1214 ＝4⎝⎛⎭⎫1－124⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1214 ＝4⎝⎛⎭⎫1－128⎝⎛⎭⎫1＋128＋1214 ＝4⎝⎛⎭⎫1－1216＋1214 ＝4－1214＋1214＝4.10. (1)(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc(2)30 解析：因为(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ，a ＋b ＋c ＝10，ab ＋ac ＋bc ＝35，所以102＝a 2＋b 2＋c 2＋2×35，所以a 2＋b 2＋c 2＝100－70＝30.(3)9 解析：由题意，得(2a ＋b)(a ＋2b)＝xa 2＋yb 2＋zab ，所以2a 2＋5ab ＋2b 2＝xa 2＋yb 2＋zab ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，z ＝5，所以x ＋y ＋z ＝9.(4)x 3－x ＝(x ＋1)(x －1)x.专题提优7 因式分解的其他方法拓展1. (1)原式＝m(m －n)＋x(m －n)＝(m ＋x)(m －n)．(2)原式＝(x 5－x 3)＋(x 2－x)＝x 3(x 2－1)＋x(x －1)＝x(x －1)(x 3＋x 2＋1)． (3)原式＝4a 2－(1－4b ＋4b 2)＝4a 2－(1－2b)2＝(2a ＋2b －1)(2a －2b ＋1)．2. (1)12可以分解为(－3)×(－4)，并且(－3)＋(－4)＝－7，因此y 2－7y ＋12＝(y －3)(y －4)．(2)先把11x －x 2－18写成－x 2＋11x －18，首项系数为－1，应当提取出来，变成首项系数为＋1，因此11x －x 2－18＝－(x 2－11x ＋18)，根据十字相乘法得11x －x 2－18＝－(x 2－11x ＋18)＝－(x －2)(x －9)．(3)把x 2－xy －6y 2看成关于x 的二次三项式，这时常数项是－6y 2，一次项系数是－y ，把－6y 2分解成－3y 与2y 的积，而－3y ＋2y ＝－y ，正好是一次项系数．因此x 2－xy －6y 2＝(x －3y)(x ＋2y)．(4)把x2＋x整体看成一个字母a，运用十字相乘法，分解二次三项式a2－8a＋12＝(a－2)(a－6)，再把a＝x2＋x代入，继续完成分解．(x2＋x)2－8(x2＋x)＋12＝(x2＋x－2)(x2＋x－6)＝(x＋2)(x－1)(x＋3)·(x－2)．3. (1)原式＝x2－2×70x＋702－702＋4 875＝(x－70)2－25＝(x－70)2－52＝(x－70＋5)(x－70－5)＝(x－65)(x－75)．(2)原式＝(2x)2－2×2x×1＋12－12－575＝(2x－1)2－576＝(2x－1)2－242＝(2x－1＋24)(2x－1－24)＝(2x＋23)(2x－25)．4. (1)原式＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2＝(x2＋2y2)2－(2xy)2＝(x2＋2y2＋2xy)(x2＋2y2－2xy)．(2)原式＝x2－2ax＋a2－a2－b2－2ab＝(x－a)2－(a＋b)2＝(x－a＋a＋b)(x－a－a－b)＝(x＋b)(x－2a－b)．(3)解法1(拆二次项)：原式＝(x3＋x2)＋(x2－5x－6)＝x2(x＋1)＋(x＋1)(x－6)＝(x＋1)(x2＋x－6)＝(x＋1)(x－2)(x＋3)．解法2(拆一次项)：原式＝(x3＋2x2－8x)＋(3x－6)＝x(x2＋2x－8)＋3(x－2)＝x(x－2)(x ＋4)＋3(x－2)＝(x－2)(x2＋4x＋3)＝(x－2)(x＋1)(x＋3)．解法3(拆常数项)：原式＝(x3＋1)＋(2x2－5x－7)＝(x＋1)(x2－x＋1)＋(x＋1)(2x－7)＝(x ＋1)(x2－x＋1＋2x－7)＝(x＋1)(x2＋x－6)＝(x＋1)(x－2)(x＋3)．解法4(拆二次项与一次项)：原式＝(x3＋x2)＋(x2＋x)－(6x＋6)＝x2(x＋1)＋x(x＋1)－6(x ＋1)＝(x＋1)(x2＋x－6)＝(x＋1)(x－2)(x＋3)．5. (1)设x2＋x＝y，原式＝(y－4)(y＋3)＋10＝y2－y－2＝(y－2)(y＋1)＝(x2＋x－2)(x2＋x＋1)＝(x＋2)(x－1)(x2＋x＋1)．(2)设x2＋6＝m，原式＝(x2＋6＋7x)(x2＋6＋5x)＋x2＝(m＋7x)(m＋5x)＋x2＝m2＋12xm＋35x2＋x2＝m2＋12xm＋36x2＝(m＋6x)2＝(x 2＋6x ＋6)2.(3)设x ＋y ＝m ，xy ＝n ，原式＝(m －2n)(m －2)＋(n －1)2 ＝m 2－2m －2mn ＋4n ＋n 2－2n ＋1 ＝m 2－2m －2mn ＋n 2＋2n ＋1 ＝m 2－2m(1＋n)＋(n ＋1)2 ＝(m －n －1)2 ＝(x ＋y －xy －1)2 ＝(y －1)2(1－x)2.6. 当x ＝1时，原式为0，因此原式有因式(x －1)， 分解结果为(x －1)(x 2＋x －8)．专题提优8 解方程组的常用技巧1. ⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝5， ①4x ＋y ＝3， ② ①＋②×3，得14x ＝14，解得x ＝1， 把x ＝1代入②，得y ＝－1， 则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.2. ⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝11， ①5x ＋2y ＝8， ② ①×5，得15x －25y ＝55， ③ ②×3，得15x ＋6y ＝24， ④ ④－③，得31y ＝－31， 解得y ＝－1，将y ＝－1代入①，得x ＝2，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.3. ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3， ①2y ＋3（x －y ）＝11. ② 将①代入②，得2y ＋3×3＝11，解得y ＝1， 把y ＝1代入①中，得x ＝4，所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.4. ⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －2＝0， ①2x －3y ＋57＋2y ＝9， ②由①得2x －3y ＝2， ③把③代入②，得2＋57＋2y ＝9，解得y ＝4.把y ＝4代入①，得2x －3×4－2＝0，解得x ＝7.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝4.5. 由①－②，得6 718x －6 718y ＝6 718，即x －y ＝1.由①＋②，得10 000x ＋10 000y ＝50 000， 即x ＋y ＝5.将它们组成新方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2. 所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.6. ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＋2z ＝4， ①x ＋3y ＋z ＝2. ② 由①－②，得x ＋2y ＋z ＝2， ③ 由②－③，得y ＝0， 则x ＋y ＋z ＝x ＋z ＝2.7. 将2x ＋3y 2，3x ＋2y 5分别看做一个整体，分别设为u ，v ，得⎩⎪⎨⎪⎧u ＝v ＋2， ①3u ＝2v ＋6， ② 解得⎩⎪⎨⎪⎧u ＝2，v ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝4，3x ＋2y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－85，y ＝125.8. 设x ＋y 2＝z ＋x 3＝y ＋z 4＝k ，则有x ＋y ＝2k ，z ＋x ＝3k ，y ＋z ＝4k ，三式相加，得x ＋y ＋z ＝92k ，所以92k ＝27，所以k ＝6.将k ＝6代入上面三个等式中，得方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，z ＋x ＝18，y ＋z ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝9，z ＝15.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝9，z ＝15.专题提优9 “含字母系数”的二元一次方程(组)1. B2. A 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝9m ， ①x －y ＝5m ， ②①＋②，得2x ＝14m ，解得x ＝7m ，把x ＝7m 代入①，得y ＝2m ，把x ＝7m ，y ＝2m 代入x ＋3y ＝13中得7m ＋6m ＝13，解得m ＝1. 3. D 解析：分两种情况：m ＝x 与m ＝y ，分别确定出m 的值即可．4. －7 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 是二元一次方程2x －3y －5＝0的解，∴2a －3b －5＝0，即2a－3b ＝5，∴6b －4a ＋3＝－2(2a －3b)＋3＝－2×5＋3＝－10＋3＝－7.5. 2 解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3－a ， ①x ＋2y ＝5a ， ②②－①，得3y ＝6a －3，即y ＝2a －1，把y ＝2a －1代入y ＝a ＋1中得2a －1＝a ＋1，解得a ＝2.6. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＝b ， ①2x ＋3y ＝4， ② ①×2，得2x ＋2ay ＝2b ， 由题意知2a ＝3且2b ≠4， 解得a ＝32且b ≠2.7. 解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝43，x －y ＝65， 得⎩⎨⎧x ＝1915，y ＝115，即原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝1915，y ＝115.将⎩⎨⎧x ＋y ＝43，x －y ＝65代入原方程组，得⎩⎨⎧13b －125a ＝－215，2a －b ＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2.8. 将两方程相加，得(m ＋3)x ＝10，故x ＝10m ＋3， 将x ＝10m ＋3代入第二个方程中，得y ＝15m ＋3. 要使x ＝10m ＋3为整数，且m 为正整数，则m 只能取2或7；要使y ＝15m ＋3为整数，且m 为正整数，则m 只能取2或12. 故m ＝2.9. 将方程2x －3ay ＝4＋b 两边同乘2后与第二个方程相减， 得(－4a －1)y ＝2b －10，方程组有无数组解，则有－4a －1＝0，2b －10＝0， 所以a ＝－14，b ＝5.【难点突破】探索方程组的解的情况时，可将方程组进行整理，相应的未知数的系数的比满足不同的数量关系时，其解的情形也不同．这类问题也可通过消元法消去一个未知数，将方程组转化为一元方程，结合一元方程的解的情形讨论．一般地，对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2，当a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2时，该方程组有无数组解；当a 1a 2＝b 1b 2≠c 1c 2时，该方程组没有解；当a 1a 2≠b 1b 2时，该方程组有唯一解． 专题提优10 二元一次方程组的实际应用1. 设较大的两位数为x ，较小的两位数为y.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝68，（100x ＋y ）－（100y ＋x ）＝2 178，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝23，故这两个两位数分别为45，23.2. (1)7 3(2)设可加工竖式铁容器x 个，横式铁容器y 个，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝2 017，x ＋2y ＝1 178，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝539.答：可加工竖式铁容器100个，横式铁容器539个．(3)设做长方形铁片的铁板为m 块，做正方形铁片的铁板为n 块，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝35，3m ＝2×4n ，解得 ⎩⎨⎧m ＝25511，n ＝9611.∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75(张)，9块做正方形铁片可做9×4＝36(张)，剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片，∴共做长方形铁片75＋1＝76(张)，正方形铁片36＋2＝38(张)， ∴可做铁盒76÷4＝19(个)． 即最多可以加工成19个铁盒．3. 解法1：设甲、乙两种酒精溶液分别取x kg ，y kg. 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，310x ＋45y ＝35×50，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝30， 故甲种酒精溶液取20 kg ，乙种酒精溶液取30 kg.解法2：设甲、乙两种酒精溶液分别取10x kg 和5y kg ， 则甲种酒精溶液含水7x kg ，乙种酒精溶液含水y kg ， 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋5y ＝50，7x ＋y ＝25×50，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝6， 所以10x ＝20，5y ＝30.故甲种酒精溶液取20 kg ，乙种酒精溶液取30 kg.4. (1)设甲组工作一天商店应付x 元，乙组工作一天商店应付y 元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋8y ＝3 520，6x ＋12y ＝3 480，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300，y ＝140. 即甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．(2)单独请甲组需要的费用：300×12＝3 600(元)． 单独请乙组需要的费用：24×140＝3 360(元)． 即单独请乙组需要的费用少． (3)请两组同时装修，理由如下：甲单独做，需费用3 600元，少赢利200×12＝2 400(元)，相当于损失6 000元； 乙单独做，需费用3 360元，少赢利200×24＝4 800(元)，相当于损失8 160元； 甲、乙合作，需费用3 520元，少赢利200×8＝1 600(元)，相当于损失5 120元． 因为5 120＜6 000＜8 160，所以甲、乙合作损失费用最少． 即甲、乙合作施工更有利于商店．专题提优11 含字母的不等式(组)1. B2. 不等式移项得2(a －b)x ＞5b －a ， 由不等式的解集为x ＜1，得到a －b ＜0，且5b －a2（a －b ）＝1，整理得a ＜b ，且3a ＝7b ，即b ＝37a ，所以由a －b ＜0，得47a ＜0，所以a ＜0，则不等式ax ＞b 变形得x ＜b a ＝37.3. A 解析：由数轴上关于x 的不等式的解集可知x ≥－2，解不等式4x －a ≥－5，得x ≥a －54，故a －54＝－2，解得a ＝－3.故选A.4. 7 解析：由2x ＜4，得x ＜2.由(a －1)x ＜a ＋5，得x ＜a ＋5a －1(a －1＞0)或x ＞a ＋5a －1(a －1＜0)．由于解集相同，所以a －1＞0且a ＋5a －1＝2，即a ＋5＝2a －2，解得a ＝7.5. 2 解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＜－1，1－x 3≤1 的解集为－2≤x ＜a －1，观察题图可知不等式组的解集为－2≤x ＜1，所以a －1＝1，a ＝2.6. －3 解析：若2m ＋1＝－1，则m ＝－1；若m ＋2＝－1，则m ＝－3.当m ＝－1时，原不等式组就是⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＞1，解集为x ＞1，不合题意；当m ＝－3时，原不等式组就是⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－5，x ＞－1，解集为x ＞－1，所以m ＝－3.7. 将原不等式组化简后，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2a －3b ，x ≤2b －23a ，即不等式组的解集为2a －3b ≤x ≤2b －23a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －3b ＝－5，2b －23a ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝13.8. 由原不等式组得以下两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a －1，x ＞3 和⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ＋2，x ＜5，因为原不等式组的解集为3＜x ＜a ＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，a ＋2≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，a ≤3， 得a ≤3. 又有3＜a ＋2，得a ＞1，所以1＜a ≤3.9. C 解析：由x －a ≥0得x ≥a ，由－2x ＞－4得x ＜2，因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≥0，－2x ＞－4有解，所以它的解集为a ≤x ＜2，所以a 的取值范围为a ＜2.故选C.10. D 解析：解不等式3x －2m ≥0，得x ≥23m .因为不等式的负整数解只有－1，－2，所以－3＜23m ≤－2，所以－92＜m ≤－3.故选D.11. D 解析：⎩⎪⎨⎪⎧6－3（x ＋1）＜x －9 ①，x －m ＞－1 ②，解不等式①得x ＞3，解不等式②得x ＞m －1.又因为该不等式组的解集是x ＞3，所以m －1≤3，解得m ≤4，故选D.12. A 解析：解不等式x －m ＜0，得x ＜m ；解不等式3x －1＞2(x －1)，得x ＞－1.因为不等式组无解，所以m ≤－1，故选A.13. a ≥－3 解析：解这个不等式组得x ＜a －4，则3a ＋2≥a －4，解这个不等式得a ≥－3.14. 4≤a ＜5 解析：根据题意得2※x ＝2x －2－x ＋3＝x ＋1，因为a ＜x ＋1＜7，即a －1＜x ＜6中有两个整数解，所以3≤a －1＜4，得a 的取值范围为4≤a ＜5.15. (1)解方程32(2x －4)－m ＝2得x ＝m ＋83，根据题意得m ＋83＞0，解得m ＞－8.(2)解不等式32(2x －4)－m ≤2得x ≤m ＋83，因为不等式的正整数解是1，2，3， 所以3≤m ＋83＜4，解得1≤m ＜4.16. 由x ＋5＜2x ＋a ，解得x ＞5－a ，因为不等式只有3个负整数解，则它们一定是－1，－2，－3. 则－4≤5－a ＜－3，解得8＜a ≤9.17. 由4x ＋2＞3x ＋3a ，解得x ＞3a －2； 由2x ＞3(x －2)＋5，解得x ＜1.由关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2>3（x ＋a ），2x>3（x －2）＋5仅有三个整数解，得－3≤3a －2＜－2， 解得－13≤a ＜0.18. ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋12＋3>－1， ①x<m ， ②由①得x ＞－92，由②得x ＜m ，故原不等式组的解集为－92＜x ＜m.又因为不等式组的所有整数解的和是－9，所以当m ＜0时，整数解一定是－4，－3，－2，由此可以得到－2＜m ≤－1； 当m ＞0时，整数解一定是－4，－3，－2，－1，0，1，则1＜m ≤2. 故m 的取值范围是－2＜m ≤－1或1＜m ≤2.。