2.2.1《椭圆及其标准方程(1)》导学案

高二数学
§2.2.1《椭圆及其标准方程(1)》导学案
【学习目标】
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 【重点难点】
重点：椭圆的定义的理解 难点：椭圆的标准方程的求解 【知识链接】
（预习教材理P 38~ P 40，文P 32~ P 34找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．
复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．
【学习过程】
取一条定长的细绳，
把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．
新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ；
当122a F F <时，其轨迹为 ．
试试：
已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．
小结：应用椭圆的定义注意两点：
①分清动点和定点；
②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()22
2210x y a b a b +=>> 其中222b a c =-
若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，
则椭圆的标准方程是 ．
知识点一：椭圆的标准方程的求解
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；
⑵4,a c ==y 轴上；
⑶10,a b c +==．
变式：方程214x y
m
+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．
小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．
例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，求它的标准方
程 ．
变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．
小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．
练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2
213
x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的
另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）．
A ．
B ．6
C ．
D ．12
练2 ．方程219x y
m
-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．
【基础达标】
1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）． A ．椭圆 B ．圆
C ．无轨迹
D ．椭圆或线段或无轨迹
2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）． A ．(0,)+∞ B ．(0,2) C ．(1,)+∞ D ．(0,1)
3．如果椭圆22
110036
x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距
离是（ ）．
A ．4
B ．14
C ．12
D ．8
4．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程
是 ．
5．如果点(,)M x y 在运动过程中，10=，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．
【课堂小结】
1. 椭圆的定义：
2. 椭圆的标准方程：
【当堂检测】
1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P-；
⑵焦点坐标分别为()()
0,4,0,4
-，5
a=；
⑶10,4
a c a c
+=-=．
2. 椭圆
22
1
4
x y
n
+=的焦距为2，求n的值．
【课后反思】
本节课我最大的收获是
我还存有的疑惑
高二数学编号：SX-12-XX1-1-O9
§2.2.1《椭圆及其标准方程(2)》导学案
撰稿：陈建军审核：陈刚明编写时间：2012.12.25
姓名：——班级：——组别：——组名：——【学习目标】
1．掌握点的轨迹的求法；
2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．
【重点难点】
重点：椭圆的定义及标准方程
难点：点的轨迹的求法
【知识链接】
（预习教材理P41~ P42，文P34~ P36找出疑惑之处）
复习1：椭圆上
22
1
259
x y
+=一点P到椭圆的左焦点
1
F的距离为3，则P到椭圆右焦点
2
F的距
离
是．
复习2：在椭圆的标准方程中,6
a=,b则椭
圆的标准方程是．
【学习过程】
问题：圆22650
x y x
+++=的圆心和半径分别是什么?
问题：圆上的所有点到(圆心)的距离都等于(半径) ；
反之,到点(3,0)
-的距离等于2的所有点都在
圆上．
知识点一：求点的轨迹及方程
例1在圆224
x y
+=上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？
变式：若点M在DP的延长线上，且
3
2
DM
DP
=，则点M的轨迹又是什么？
小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．
例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积
是4
9-，求点M 的轨迹方程 ．
变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线
BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？
练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程．
练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．
【基础达标】
1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．
A ．221259x y +=
B ．221259y x += (0)y ≠
C ．22
1169x y +=(0)y ≠
D ．22
1259
x y +=(0)y ≠
3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124
(0)PF PF m m m
+=+>，则点P 的轨
迹是（ ）．
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存有
D ．椭圆或线段
4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 ．
5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ．
【课堂小结】
①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；
②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．
【当堂检测】
1．已知三角形ABC的一边长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．
2．点M与定点(0,2)
y 的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，F的距离和它到定直线8
并说明轨迹是什么图形．
【课后反思】
本节课我最大的收获是
我还存有的疑惑。