苏教版数学高二- 选修2-2学案《瞬时变化率—导数—瞬时速度与瞬时加速度》(二)

1.1.3 瞬时变化率导数瞬时速度与瞬时加速度学案（二）

一、学习目标

（1）理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义；理解△x无限趋近于0的含义；

（2）运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.

二、学习重点、难点

重点：瞬时速度和瞬时加速的定义

难点：求瞬时速度和瞬时加速的的方法.

三、学习过程

【复习回顾】

1. 曲线上一点处的切线斜率：设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点P(x,y)

k=

及邻近的一点Q(x +∆x, f(x+ ∆x))，过P、Q两点作割线，,则割线PQ的斜率为

PQ

. 当∆x→0时，动点Q将沿曲线趋向于定点P，从而割线PQ也将随之变动而趋向于切线PT的斜率，当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，即K为.在△x→0时的极限值.

练习：曲线的方程为y=x2+1，求曲线在点P(1,2)处的切线方程.

【问题情境1】

平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度.平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度.那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？

【问题情境2】

跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t 秒后运动员相对于水面的高度为()24.9 6.510H t t t =-++，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？

我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况.

问题：1.你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？ 关于这些数据，下面的判断对吗？

2．当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /.

3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度；

5． -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1s m /. 分析:

【构建数学】

瞬时速度和瞬时加速度

(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度. (2) 位移的平均变化率：

(3)瞬时速度：当t ∆无限趋近于0时， 限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的瞬时速度.“逼近”思想和以直代曲思想；

如何得到求瞬时速度的步骤？

a 、先求时间改变量t ∆和位置改变量

b 、再求平均速度

c 、后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，t s

∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度.

(4)速度的平均变化率：

(5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时， 无限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的瞬时加速度

注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率，感受速度的平均变化率与加速度的关系，以及加速度与瞬时加速度的“逼近”关系.

三、例题分析

例1:物体作自由落体运动,运动方程为：

其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s 2.求：

(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；(3) 物体在t =2(s)时的瞬时速度.

2

21

gt s =

例2 设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设()t s 时的速度为

2

()3v t t =+，求0()

t t s =时轿车的加速度.

例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需对原油进行冷却和加热.如果在第x h 时原油的温度)(C

为157)(2

+-=x x x f )80(≤≤x .计算第2 h 和第6 h 时，原油的瞬时变化率，并说明意义.

四、课堂练习

1.质点沿x 轴运动，设距离为()x m ，时间为()t s 时，2

105x t =+，则当

00t t t t

≤≤+∆时，质点的平均速度为 ；当0

t t =时，质点的瞬时速度

为 ；当

00t t t t

≤≤+∆时，质点的平均加速度为 ；当

t t =时，质点的瞬时加速度为 .

2.一质点的运动方程为2

10s t =+（位移单位：m ，时间单位：s ），试求该质点在3t s =的瞬时速度.

3.自由落体运动的位移()s m 与时间()t s 的关系为212s gt =

（g 为常数）.

（1）求

0()

t t s =时的瞬时速度；

（2）分别求1,2,3t s =时的瞬时速度.

五、课堂小结

本节课主要学习了物体运动的瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.充分理解由平均速度的“逼近”转化成瞬时速度与瞬时加速度的过程，培养学生解决实际问题的能力，学会用运动学的观点理解和解决实际问题.充分感受到学习数学的乐趣，体会到数学的研究方法和内在美.

六、课后作业

1．已知物体做自由落体运动的方程为2

1(),2

s s t gt ==

若t 无限趋近于0时，(1)(1)

s t s t

+∆-∆无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ）

A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的速度

B ．9.8/m s 是在1～（1+t ）s 这段时间内的速度

C ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的速度

D ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ∆）s 这段时间内的平均速度.

2．如果质点M 按规律2

3S t =+运动，则在一小段时间中相应的平均速度等于（ ） A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3

3．如果某物体的运动方程是2

2(1)s t =-，则在 1.2t =秒时的瞬时速度是（ ） A ．4 B ．4- C ．4.8 D ．0.8

4．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且3

2

423s t t t =+-，则物体在运动开始的速度为（ ）