苏教版数学高二- 选修2-2学案《瞬时变化率—导数—瞬时速度与瞬时加速度》(二)
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 1.1.4 瞬时变化率 导数(1)
第4课时瞬时变化率——导数(1)教学过程一、数学运用【例1】已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=处的切线斜率.(见学生用书P8)[处理建议]让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率的步骤:(1)求差f(x0+Δx)-f(x0);(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率为k.[规范板书]解==-.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-,所以曲线在x=处的切线斜率是-.[题后反思]本题应注意分子有理化,再用逼近思想处理.变式已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求点A处的切线的斜率与切线方程.[规范板书]解设A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线AB的斜率为k AB==4+2Δx,当Δx无限趋近于0时,k AB无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点A(1,2)处的切线斜率为4,所求切线方程为4x-y-2=0.【例2】物体自由落体的运动方程为S=S(t)=gt2,其中位移S的单位为m,时间t的单位为s,g=9.8 m/s2,求t=3 s时的瞬时速度.(见学生用书P8)[处理建议]瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.[规范板书]解取一小段时间[3,3+Δt],位移改变量ΔS=g(3+Δt)2-g·32=(6+Δt)Δt,平均速度==g(6+Δt),当Δt→0时,g(6+Δt)→3g=29.4,即瞬时速度v=29.4 m/s.[题后反思]若求t=3s时的瞬时加速度呢?变式设一物体在t s内所经过的路程为S m,并且S=4t2+2t-3,试求物体分别在运动开始及第5s末的速度.[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===8t+2+4Δt,当Δt→0时,→8t+2,所以,时刻t s的瞬时速度为8t+2,由题意,物体在第5s末的瞬时速度是42 m/s,在运动开始时的速度为2 m/s.【例3】如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.(见学生用书P8)[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.[规范板书]解设切点坐标为(x,x3+x-10),==3x2+1+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→3x2+1,由题得,3x2+1=4⇒x=1或-1.所以切点坐标为(1,-8),此时切线方程为4x-y-12=0;或切点坐标为(-1,-12),此时切线方程为4x-y-8=0.变式已知曲线y=x2上过某一点的切线分别满足下列条件,求此点:(1)平行于直线y=4x-5;(2)垂直于直线2x-6y+5=0;(3)与x轴成135°的倾斜角.[处理建议]利用导数的概念及两直线的位置关系来求解.[规范板书]解设P(x0,y0)是满足条件的点.==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx→2x0.(1)因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4⇒x0=2,y0=4,即P(2,4).(2)因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1⇒x0=-,即P.(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=-1,即2x0=-1⇒x0=-,即P-,.*【例4】设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),求a,b 的值.[处理建议]利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程来求解.[规范板书]解利用导数的定义可得f'(x)=3x2-6ax+3b,由于函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f'(1)=-12,解得a=1,b=-3.变式已知f(x)=ax4+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求a,b,c.[处理建议]利用导数的几何意义——函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率——来求解.[规范板书]解由题意有解得.二、课堂练习1.借助直尺,用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线:(第1题)解(第1题)2.质点沿x轴运动,设距离为x(m),时间为t(s),x=10+5t2,则当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均速度为10t0+5Δt(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).提示当t0≤t≤t0+Δt时,==10t0+5Δt(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为=10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).3.已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为1.提示将点(2,8)代入切线方程可得a=1.三、课堂小结1.曲线上一点处的切线的求法.2.运动物体的瞬时速度和瞬时加速度,学会用运动学的观点理解和解决实际问题.3.导数的定义及几何意义.。
苏教版高中数学选修(2-2)课件02瞬时变化率——导数.pptx
即
f ' (x) y' y f (x x) f (x) ,当x 0时的值
x
x
f(x0)与f(x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f’(x)在点x0处的函数值
T 切线
P
o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 x 直线PQ就是P点处的切线.
(2)如何求割线的斜率? y=f(x)
Байду номын сангаас
y
Q
o
P
x
kPQ
f (x x) f (x) (x x) x
f (x x) x
f (x)
(3)如何求切线的斜率? y=f(x)
割 线
y
Q
T 切线
o
P
x
f (x x) f (x)
例4:已知 y x , 求y ' ,并求出函数
在x 2处的切线方程. 解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
x
x
x
我们就说函数y f ( x)在点 x0处可导， 并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的 导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' (x0 )
y f (x0 x) f (x0 ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤: (1) 求增量 y f ( x0 x) f ( x0 );
苏教版高二数学选修2-2 1.1.2瞬时变化率——导数 学案
1.1.2 瞬时变化率——导数学习目标 1.理解切线的含义.2.理解瞬时速度与瞬时加速度.3.掌握瞬时变化率——导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数．知识点一 曲线上某一点处的切线如图，P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4，…)，点P 的坐标为(x 0，y 0)．思考1 当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？答案 当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，即曲线上点P 处的切线位置． 思考2 割线PP n 的斜率是什么？它与切线PT 的斜率有何关系． 答案 割线PP n 的斜率k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0；当P n 无限趋近于P 时，k n 无限趋近于点P 处切线的斜率k .梳理 (1)设Q 为曲线C 上的不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线．随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线． (2)若P (x ，f (x ))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ，当Δx →0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx 无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率．知识点二 瞬时速度与瞬时加速度——瞬时变化率 1．平均速度在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率． 3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率． 知识点三 导数 1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)． 2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称为f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．类型一 求曲线上某一点处的切线例1 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A (2，52)，用切线斜率定义求：(1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． 解 (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －(2＋12)＝－Δx 2(2＋Δx )＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx (2＋Δx )＋ΔxΔx ＝－12(2＋Δx )＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.反思与感悟 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．跟踪训练1 (1)已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则点P 坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P 坐标为(x 0，y 0)， 则f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即点P 坐标为(3,30)．(2)已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解 设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx ＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5， 所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 类型二 求瞬时速度例2 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．解 在1到1＋Δt 的时间内，物体的平均速度v ＝Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ，∴当Δt 无限趋近于0时，v 无限趋近于3， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴当Δt →0时，1＋Δt →1，∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t 0时刻的速度为9 m/s. 又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt .∴当Δt →0时，ΔsΔt →2t 0＋1.则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)求瞬时速度的题目的常见错误是不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． ②求平均速度v ＝Δs Δt. ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于的常数v 即为瞬时速度．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度即为函数在t ＝2 s 处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2 s 附近的平均变化率为 Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt ＝4a ＋a Δt ， ∴当Δt →0时，ΔsΔt →4a ＝8，即a ＝2.类型三 求函数在某点处的导数 例3 已知f (x )＝x 2－3. (1)求f (x )在x ＝2处的导数；(2)求f (x )在x ＝a 处的导数． 解 (1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4. (2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤 (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．跟踪训练3 (1)设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 答案 2解析 ∵f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2.(2)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h ，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解 当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为 f (6＋Δx )－f (6)Δx＝(6＋Δx )2－7(6＋Δx )＋15－(62－7×6＋15)Δx＝5Δx ＋(Δx )2Δx＝5＋Δx .当Δx →0时，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5 ℃.1．一个做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________． 答案 －1解析 由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2， 所以ΔS Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.2．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为________． 答案 8解析 因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝2(2＋Δx )2－8Δx＝8＋2Δx ，当Δx →0时，8＋2Δx 趋近于8.即k ＝8. 3．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是________．答案 0解析 ∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x ，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则f ′(x 0)的值为________． 答案 a解析 由导数定义，得f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a Δx ＋b (Δx )2Δx＝a ＋b Δx ，故当Δx →0时，其值趋近于a ，故f ′(x 0)＝a .5．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度． 解 当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2，则ΔS Δt ＝S (1＋Δt )－S (1)Δt ＝(1＋Δt )2＋2－3Δt ＝2＋Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56，∴ΔS Δt ＝3(4＋Δt )2－18(4＋Δt )＋56－3×42＋18×4－56Δt ＝3(Δt )2＋6Δt Δt＝3Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.1．平均变化率和瞬时变化率的关系平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 无限趋近于0时，它所趋近于的一个常数就是函数在x ＝x 0处的瞬时变化率．即有：Δx 无限趋近于0是指自变量间隔Δx 越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0.即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致无限趋近于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度．一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率．2．求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度的解题步骤(1)计算Δy .(2)求Δy Δx .(3)当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪个常数．课时作业一、填空题1．函数f (x )＝x 2在x ＝3处的导数等于________． 答案 6解析 Δy Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ，当Δx →0时，得f ′(3)＝6.2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 1解析 Δy Δx ＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝a ＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→a .∵切线x －y ＋1＝0的斜率为1， ∴a ＝1.∵点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________． 答案 45°解析 ∵y ＝12x 2－2，∴Δy Δx ＝12(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx ＝12(Δx )2＋x ·Δx Δx＝x ＋12Δx .故当Δx →0时，其值无限趋近于x ，∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 答案 1解析 Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－aΔx ＝2a ＋a Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →2a ，∴可令2a ＝2，∴a ＝1.5．已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，则该曲线在点P 处切线的斜率为________．答案4解析 由y ＝13x 3，得Δy Δx ＝13(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]， 当Δx →0时，其值无限趋近于x 2. 故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在点P 处切线的斜率为4. 6．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点的坐标为________．答案 (12，14)解析 ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，当Δx →0时，其值趋近于2x . ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12，∴y ＝⎝⎛⎭⎫122＝14，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. 7．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx＝2Δx ＋4x 0＋4，当Δx →0时，其值无限趋近于4＋4x 0. 令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.答案 2解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝k ＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.9．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 由在点M 处的切线方程是y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.10．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________． 答案 4解析 设在点P 处切线的斜率为k ，∵Δy Δx ＝(－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －(6＋c )Δx ＝－5＋Δx ， ∴当Δx →0时，ΔyΔx →－5，∴k ＝－5，∴切线方程为y ＝－5x .∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10， 将P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4. 二、解答题11．已知质点运动方程是s (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)． 解Δs Δt ＝s (4＋Δt )－s (4)Δt＝[12g (4＋Δt )2＋2(4＋Δt )－1]－(12g ·42＋2×4－1)Δt＝12g (Δt )2＋4g ·Δt ＋2Δt Δt＝12g Δt ＋4g ＋2. ∵当Δt →0时，ΔsΔt→4g ＋2，∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，∴质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.12．求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程．解 因为点(1,3)在曲线上，且f (x )在x ＝1处可导，Δy Δx ＝(1＋Δx )3－(1＋Δx )＋3－(1－1＋3)Δx＝(Δx )3＋3(Δx )2＋2Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋2，当Δx →0时，(Δx )2＋3Δx ＋2→2，故f ′(1)＝2.故所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.13．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积．解 (1)Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)Δx＝Δx ＋3，当Δx →0时，Δy Δx→3， ∴直线l 1的斜率k 1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，解得x 0＝－23. ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)， ∴所求三角形的面积为S ＝12×|－52|×(1＋223)＝12512.三、探究与拓展14．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，－12 解析 ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx＝(2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝Δx ＋2x ＋2. 故当Δx →0时，其值无限趋近于2x ＋2.∴可设点P 横坐标为x 0，则曲线C 在点P 处的切线斜率为2x 0＋2.由已知，得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－12. 15．已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2)切线平行于直线4x －y －2＝0.解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，解得x 0＝14， ∴切点坐标为(14，98)． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，解得x 0＝1，∴切点坐标为(1,3)．。
瞬时速度与瞬时加速度-苏教版选修2-2教案
瞬时速度与瞬时加速度-苏教版选修2-2教案教学目标1.学生理解速度和加速度的概念以及它们的区别。
2.学生能够计算瞬时速度和瞬时加速度。
3.学生能够应用瞬时速度和瞬时加速度的概念解决实际问题。
教学重点1.瞬时速度的概念和计算方法2.瞬时加速度的概念和计算方法3.瞬时速度和瞬时加速度的应用教学难点1.瞬时速度和平均速度的区别2.瞬时加速度和平均加速度的区别教学过程导入•导入目的–利用生活实例引起兴趣–引出本节课的学习内容1.引入瞬时速度和瞬时加速度的概念–生活实例：有人坐车经过一个路口时，看到红灯亮了，就决定拉住车速。
–引导学生思考：车速越大怎么样？需要多长时间停下来？2.展示与生活实例有关的公式–速度公式：v=ΔS/Δt–加速度公式：a=Δv/Δt体验•体验目的–让学生更加深入地理解瞬时速度和瞬时加速度的概念–观察和实践运用瞬时速度和瞬时加速度的计算方法1.小组讨论–配置实验器材：计时器、电池、细线和滑轮。
–活动：每个小组成员分别用实验器材记录下小球沿斜面下滑的时间和下落的距离，从而计算出瞬时速度和瞬时加速度。
探究•探究目的–学生独立思考瞬时速度和瞬时加速度的应用–学生运用所学的知识解决实际问题1.解决实际问题–生活实例：物理老师手上拿着一根金属棒，在一个平面上以1 m/s^2 的加速度向前运动。
–学生思考：•金属棒运动的速度是多少？•如果老师停止推动金属棒，金属棒会在多少时间内停止？2.计算问题–瞬时速度公式：v=ΔS/Δt–瞬时加速度公式：a=Δv/Δt–计算过程：•v=at•ΔS=1/2at^2归纳总结•归纳目的–帮助学生加深对本节课内容的理解–帮助学生解决自己的问题1.归纳瞬时速度和瞬时加速度的概念和计算公式。
课堂练习1.一辆汽车的速度上升从100km/h到160km/h，所用时间为8s，这次加速的瞬时加速度大小为多少？2.兔子在百米赛跑中冲过了终点，其路程和时间关系如下：0s 0m、2s 20m、4s 50m、6s 90m、8s 140m，求：在4秒时它的瞬时速度。
高二年级-数学-《瞬时变化率(二)》
2.若曲线y＝f(x)上的某一点有切线，是否函数在这个自变量处可导？
例如f (x) 3 x, 在(0, 0)处
y 3 0 x 3 0 1 ，
x
x
(3 x )2
当x 0时，y ，不可导.
x
解题感悟 1.求曲线的切线方程，首先判断给出的点P是否是切点，明确求的 是在点P处的切线还是过点P的切线.
在不引起混淆时，导函数 f (x) 也简称为 f (x)的导数 ．
数学应用
例 1(3) 求函数f(x)=3x2-2x的导数.
解：因为 y 3(x x)2 2(x x) (3x2 2x) 6xx 3(x)2 2x，
所以 y 6xx 3(x)2 2x 6x 2 3x,
x
x
记作 f ( x0 )．
概念理解 1．函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． 2．在导数的定义中，Δx趋近于0，Δx可正、可负，但不为0，而Δy可能为0.
y
3. x 是函数y＝f(x)对自变量 x在 x 范围内的平均变化率，它的几何意义 是过曲线y＝f(x)上点 (x0 , f (x0 )) 及点 (x0 x, f (x0 x)) 的割线斜率.
4.导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与Δx 无关.
概念建构
二.导数 f (x0 ) 的几何意义： 曲线y=f(x)在点 P(x0, f (x0 ))处的切线的斜率，如下图
P x0
三.用导数定义求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤：
（1）求函数值的改变量 y f ( x0 x) f (x0 )
(1)求在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程的步骤：
(2)求过点 P(m, n)处的切线方程的步骤：
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 1.1.5 瞬时变化率 导数(2)
第5课时瞬时变化率——导数(2)教学过程一、问题情境跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定运动员在某个时刻t0的瞬时速度.如果将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?二、数学建构问题1高台跳水运动中,运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示?解如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移h(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题2将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?解如果当Δx无限趋近于0时,函数y=f(x)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为函数在x=x0处的瞬时变化率.概念生成设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0).[1]巩固概念问题3导数f'(x0)的几何意义是什么?解导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.问题4通过概念中导数的形式能否概括出求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤?解①求Δy;②求;③当Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则常数A即为f(x)在x=x0处的导数.问题5f'(x)是不是一个函数?解若函数y=f(x)在区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f'(x).在不引起混淆时,导函数f'(x)也称为f(x)的导数.问题6运动物体的位移S(t)对于时间t的导数是什么?运动物体的速度v(t)对于时间t的导数是什么?解瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数,瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数.问题7如何理解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)?解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是函数f'(x)在x=x0处的函数值,而不是f(x0)的导数.三、数学运用【例1】(教材第13页例3)已知f(x)=x2+2.(见学生用书P9)(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a处的导数.[处理建议]本题要求学生表述格式规范化.[规范板书]解(1)因为===2+Δx,当Δx→0时,2+Δx→2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为===2a+Δx,当Δx→0时,2a+Δx→2a,所以f(x)在x=a处的导数等于2a.[题后反思]巩固强化导数的内涵,使学生理解导数概念的本质.通过此例,我们由函数f(x)在x=x0处的导数引出函数在区间(a,b)上的导函数的概念.变式求函数y=在x=2处的导数.[规范板书]解因为===-,当Δx→0时,-→-,所以f(x)在x=2处的导数等于-.【例2】在曲线y=x3上一点P处作切线,使该切线与直线y=--5垂直,求此切线的方程.(见学生用书P10)[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值,本题结合两垂直直线的斜率关系进行解题.[规范板书]解设点P(x,x3),===3x2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+3xΔx+(Δx)2→3x2,所以f(x)在点P处的导数等于3x2.由题可知,3x2=3⇒x=1或-1,所以切线方程为3x-y-2=0或3x-y+2=0.[题后反思]本题应利用导数的几何意义解题.【例3】已知f(x)=x3-2x+1,求f'(x)及f'(2).(见学生用书P10)[处理建议]学生学习一种新的记号需要一个理解适应的过程,因此,对于本题,给予学生时间思考.[规范板书]解因为==3x2-2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2-2+3xΔx+(Δx)2→3x2-2,所以f'(x)=3x2-2,f'(2)=10.[题后反思]f(x)在x=2处的导数f'(2)就是函数f'(x)在x=2处的函数值.变式已知成本c与产量q的函数关系式为c(q)=3q+4q2,则当产量q=6时,求边际成本c'(6).[规范板书]解==3+8q+4Δq,当Δq→0时,3+8q+4Δq→3+8q,即c'(q)=3+8q,c'(6)=51.[题后反思]c(x)在x=a处的导数c'(a)称为生产规模为a时的边际成本值.*【例4】已知f(-x)=f(x)对任意实数x都成立,且f'(-x0)=-k(k≠0),求f'(x0).[处理建议]本题利用导数的概念进行推导.[规范板书]解=.当Δx→0时,上式无限逼近于-f'(x0),所以f'(x0)=k.变式已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,求f'(1).[规范板书]解=2x+1,当x→0时,2x+1→1,所以f'(1)=1.四、课堂练习1.设f(x)=ax2+3,若f'(1)=2,则a=1.提示f'(x)=2ax,由f'(1)=2得a=1.2.函数f(x)=2x2+3x的导数为f'(x)=4x+3.提示因为==4x+3+2Δx.当Δx→0时,4x+3+2Δx→4x+3,即f'(x)=4x+3.3.若函数y=f(x)在点x∈(-1,1)内的导函数为f'(x),则下列说法正确的是④.(填序号)①在x=x0处的导数为f'(x0);②在x=1处的导数为f'(1);③在x=-1处的导数为f'(-1);④在x=0处的导数为f'(0).五、课堂小结1.导数的几何意义.2.导数的物理意义.3.由定义求导数的步骤.。
2020-2021学年苏教版选修2-2 1.1.2 瞬时变化率——导数(二) 学案
1．1.2 瞬时变化率——导数(二)1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义，并掌握导数的几何意义． 2．理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义．1．函数在点x ＝x 0处的导数定义设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导．并称常数A 为函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，是一个数值．2．导函数定义若函数f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的一个函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．即f ′(x 0)＝f ′(x )|x ＝x 0.3．导数f ′(x 0)的几何意义曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率． 4．导数的物理意义瞬时速度是运动物体的位移S (t )对于时间t 的导数，即v (t )＝S ′(t )． 瞬时加速度是运动物体的速度v (t )对于时间t 的导数，即a (t )＝v ′(t )．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )在区间(a ，b )内可导就是f (x )对于任意x 0∈(a ，b )都有f ′(x 0)存在．( ) (2)f ′(x 0)表示函数f (x )在x ＝x 0处的导数，是对一个点x 0而言的，它是一个确定的值．( ) 答案：(1)√ (2)√2.如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f ′(4)＝( )A ．12B ．3C ．4D ．5解析：选A ．根据导数的几何意义知f ′(4)是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线的斜率k ，注意到k ＝5－34－0＝12，所以f ′(4)＝12.3．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率为________．解析：f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx＝－⎝⎛⎭⎫32＋Δx 2＋10－⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫322＋10Δx＝－3－Δx ，所以当Δx →0时，f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx →－3，即f ′⎝⎛⎭⎫32＝－3. 答案：－34．质点按s (t )＝3t －t 2做直线运动，当其瞬时速度为0时，t ＝________． 解析：根据导数的定义可求得s ′(t )＝3－2t . 令s ′(t )＝3－2t ＝0，得t ＝32.答案：32求函数f (x )在点x ＝x 0处的导数(1)f (x )＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋ΔxD ．1(2)已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2【解析】 (1)lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 1＋2Δx ＋(Δx )2－1Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. (2)因为Δy Δx ＝f (m ＋Δx )－f (m )Δx ＝2m ＋Δx－2m Δx ＝－2m (m ＋Δx )，所以f ′(m )＝lim Δx →0 －2m (m ＋Δx )＝－2m 2，所以－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2. 【答案】 (1)B (2)D求函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的步骤(1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；(3)求导数，当Δx →0时，ΔyΔx →A ，则f ′(x 0)＝A .1.求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．解：Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ，所以Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4，当Δx →0时，ΔyΔx→4，所以f ′(1)＝4.利用定义求函数的导函数求函数f (x )＝－x 2＋3x 的导函数．【解】 因为Δy Δx ＝－(x ＋Δx )2＋3(x ＋Δx )－(－x 2＋3x )Δx＝3－2x －Δx ，所以当Δx →0时，3－2x －Δx →3－2x ， 故函数f (x )＝－x 2＋3x 的导函数为f ′(x )＝3－2x .求函数f (x )的导函数f ′(x )与求在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的步骤一样，只是把具体的x 0用一般的x 代替即可．2.求函数f (x )＝x －1x 的导函数．解：因为Δy ＝(x ＋Δx )－1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x －1x ＝Δx ＋Δx x (x ＋Δx )，所以Δy Δx ＝1＋1x (x ＋Δx )，所以当Δx →0时，1＋1x (x ＋Δx )→1＋1x 2，所以函数f (x )的导函数为f ′(x )＝1＋1x2.导数的几何意义(1)求曲线y ＝f (x )＝x 3＋2x －1在点P (1，2)处的切线方程． (2)求曲线y ＝2x 2－7过点P (3，9)的切线方程． 【解】 (1)易证得点P (1，2)在曲线上， 由y ＝x 3＋2x －1得Δy ＝(x ＋Δx )3＋2(x ＋Δx )－1－x 3－2x ＋1 ＝(3x 2＋2)Δx ＋3x ·(Δx )2＋(Δx )3， ΔyΔx＝3x 2＋2＋3x ·Δx ＋(Δx )2.当Δx →0时， ΔyΔx＝3x 2＋2＋3x ·Δx ＋(Δx )2→3x 2＋2， 即f ′(x )＝3x 2＋2，所以f ′(1)＝5. 故点P 处的切线斜率为k ＝5.所以点P 处的切线方程为y －2＝5(x －1)， 即5x －y －3＝0.(2)由于点P (3，9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)． 将P (3，9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)． 解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2，1)或(4，25)． 从而所求切线方程为8x －y －15＝0和16x －y －39＝0.(1)利用导数的几何意义求曲线在点x ＝x 0处的切线方程的步骤：①求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；②根据直线的点斜式方程，得切线为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(其中y 0＝f (x 0))． (2)利用导数的几何意义求过点P (m ，n )所作的曲线y ＝f (x )的切线方程的步骤： ①设切点坐标为Q (x 0，y 0)，求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)． ②根据直线的点斜式方程写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．③将点P (m ，n )代入切线方程并整理成关于x 0的方程，解此方程求得x 0的值． ④由x 0的值，求出y 0＝f (x 0)及斜率k ＝f ′(x 0)，进而写出切线方程．3.已知曲线y ＝2x 2上的点(1，2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．解：Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →4，所以f ′(1)＝4.所以所求直线的斜率为k ＝－14.所以所求直线方程为y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0.1．曲线上某点处的导数与切线的关系(1)函数f (x )在x 0处有导数，则在该点处函数f (x )表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率．(2)函数f (x )表示的曲线在点(x 0，f (x 0))处有切线，但函数f (x )在该点处不一定可导，如f (x )＝3x 在x ＝0处有切线，但不可导．2．“函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)”“导函数f ′(x )”“导数”之间的区别与联系 (1)函数在一点处的导数f ′(x 0)，就是在该点处函数值的改变量与自变量的改变量之比的无限趋近值，它是一个常数，不是变数．(2)函数的导数是对某一区间内任意点x 而言的，就是函数f (x )的导函数f ′(x )． (3)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．这也是求函数在点x 0处的导数的方法之一．经过点(2，0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程为________．【解析】 可以验证点(2，0)不在曲线y ＝1x 上，设切点为P (x 0，y 0)，因为Δy ＝1x 0＋Δx －1x 0＝－Δxx 0(x 0＋Δx )，所以Δy Δx ＝－1x 0(x 0＋Δx )，当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 趋近于－1x 20，所以曲线y ＝1x 在x ＝x 0处的切线的斜率为－1x 20.故所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2，0)在所求的直线上， 得x 20·y 0＝2－x 0，①再由P (x 0，y 0)在曲线y ＝1x 上，得x 0y 0＝1，②联立①②可解得x 0＝1，y 0＝1， 所以所求直线方程为x ＋y －2＝0. 【答案】 x ＋y －2＝0(1)误认为所给点即切点，直接求曲线在给定点处的斜率而致误，因此求曲线的切线方程时要先判断所给点是否在曲线上，明确求的是在点x ＝x 0处的切线还是过点(x 0，y 0)的切线．(2)意识到给定点不在曲线上，而设出切点坐标后，无所适从，不知如何求切点坐标．实质上这里用的是待定系数法，将已知点代入含切点坐标的切线方程中解关于x 0的方程获得切点坐标．1．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3解析：选C ．因为Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →a ，所以f ′(1)＝a .因为f ′(1)＝3，所以a ＝3.故选C ．2．设曲线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________． 答案：⎝⎛⎭⎫32，943．若函数f (x )在点A (1，2)处的导数是－1，那么过点A 的切线方程是________． 答案：x ＋y －3＝04．已知函数y ＝f (x )在点(2，1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则f ′(2)＝________． 解析：因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知f ′(2)＝3. 答案：3[A 基础达标]1．设函数y ＝f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b解析：选C ．因为Δy Δx ＝a Δx ＋b (Δx )2Δx ＝a ＋b Δx ，当Δx →0时，a ＋b Δx →a ，所以f ′(x 0)＝a .2．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12C ．－12D ．－1解析：选A ．因为Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝2a Δx ＋a (Δx )2Δx＝(2a ＋a Δx )，当Δx →0时，2a＋a Δx →2a ，所以2a ＝2，所以a ＝1.3．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2解析：选D ．因为Δy Δx ＝f (m ＋Δx)－f (m )Δx ＝2m ＋Δx－2m Δx ＝－2m (m ＋Δx )，当Δx →0时，－2m (m ＋Δx )→－2m 2，所以f ′(m )＝－2m 2，所以－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.4．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A ．设切点为(x 0，y 0)，因为Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ＋Δx .当Δx →0时，2x ＋Δx →2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，所以x 0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A ．5.已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________．(填序号)①f ′(x A )>f ′(x B )； ②f ′(x A )<f ′(x B )； ③f ′(x A )＝f ′(x B )； ④不能确定．解析：由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是曲线在点A 、B 处切线的斜率，过A 、B 两点作出曲线的切线，可以看出点A 处、B 处的切线的倾斜角α、β均为钝角，且π2<β<α<π.所以tan α>tan β，即f ′(x A )>f ′(x B )．答案：①6．已知函数y ＝f (x )在点(2，3)处切线方程为y ＝kx －1，则f ′(2)＝________． 解析：由点(2，3)在直线y ＝kx －1上得3＝k ×2－1，所以k ＝2 2. 根据导数的几何意义f ′(2)＝2 2. 答案：2 27．若函数y ＝f (x )的图象在点P (4，f (4))处的切线方程是y ＝－2x ＋9，则f (4)＋f ′(4)＝________．解析：由导数的几何意义知，f ′(4)＝－2，又点P 在切线上，则f (4)＝－2×4＋9＝1，故f (4)＋f ′(4)＝－1.答案：－18．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 解：因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx 1＋Δx ·(1＋1＋Δx )， 所以Δy Δx＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， 所以当Δx →0时，－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )→－12，所以f ′(1)＝－12.9．已知曲线y ＝4x 在点(1，4)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离等于17，求直线l的方程．解：Δy Δx ＝41＋Δx －41Δx ＝－41＋Δx.当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于－4.所以曲线在点(1，4)处的切线的斜率为－4. 故切线方程为y －4＝－4(x －1)， 即4x ＋y －8＝0.设直线l 的方程为4x ＋y ＋c ＝0， 由题意有|c ＋8|17＝17.所以c 1＝9，c 2＝－25，所以直线l 的方程为： 4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0.[B 能力提升]1．曲线y ＝x ＋1x 上任意一点P 处的切线斜率为k ，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选C ．因为ΔyΔx＝(x 0＋Δx )＋1x 0＋Δx －⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0Δx＝1－1x 20＋x 0Δx ，当Δx →0时，1－1x 20＋x 0Δx→1－1x 20<1.即k <1.2．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )在区间[a ，b ]上是增函数，即在区间[a ，b ]上各点处切线的斜率k 是递增的．由图知，①符合条件，注意③中f ′(x )＝k 为常数．答案：①3．试求过点P (3，5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程．解：Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于2x ，所以，f ′(x )＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0)， 因为点A 在曲线y ＝x 2上，所以y 0＝x 20，又因为A 是切点，所以过点A 的切线斜率k ＝2x 0， 因为所求切线过P (3，5)和A (x 0，y 0)两点， 所以其斜率又为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3，所以2x 0＝x 20－5x 0－3，解之得x 0＝1或x 0＝5. 从而切点A 的坐标为(1，1)或(5，25)．当切点为(1，1)时，切线斜率k 1＝2x 0＝2；当切点为(5，25)时，切线斜率k 2＝2x 0＝10.所以所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.4．(选做题)设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解：因为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，所以Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx →0时，Δy Δx→3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.所以f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0) 取最小值－9－a 23. 因为斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，所以该切线斜率为－12.所以－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，所以a ＝－3.。
2019-2020学年苏教版选修2-2 瞬时变化率——导数 教案
2019-2020学年苏教版选修2-2 瞬时变化率——导数教案教学重点：理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法．教学难点：用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率．教学过程：一、问题情境1．问题情境．如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线．如果将点P附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，该直线l是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线．因此，在点P附近我们可以用这条直线l来代替曲线，也就是说，点P附近，曲线可以看出直线（即在很小的范围内以直代曲）．2．探究活动．如图所示，直线l 1，l 2为经过曲线上一点P 的两条直线，（1） 试判断哪一条直线在点P 附近更加逼近曲线；（2） 在点P 附近能作出一条比l 1，l 2更加逼近曲线的直线l 3吗？（3） 在点P 附近能作出一条比l 1，l 2，l 3更加逼近曲线的直线吗？二、建构数学切线定义: 如图，设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，直线PQ 称为曲线的割线． 随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近逼近曲线C ，当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为经过点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线．这种方法叫割线逼近切线．思考：如上图，P 为已知曲线C 上的一点，如何求出点P 处的切线方程？三、数学运用例1 试求2()f x x ＝在点(2，4)处的切线斜率．解法一 分析：设P (2，4)，Q (x Q ，f (x Q ))，则割线PQ 的斜率为：2()44222Q Q PQ Q Q Q f x x k x x x －－＝＝＝＋－－当Q 沿曲线逼近点P 时，割线PQ 逼近点P 处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率；当Q 点横坐标无限趋近于P 点横坐标时，即x Q 无限趋近于2时，k PQ 无限趋近于常数4．从而曲线f (x )＝x 2在点(2，4)处的切线斜率为4．解法二 设P (2，4)，Q (x Q ，x Q 2)，则割线PQ 的斜率为：22(2)444∆∆∆∆∆∆PQ x k x x x x x＋－＝＋＝＝＋ 当∆x 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于常数4，从而曲线f (x )＝x 2，在点(2，4)处的切线斜率为4．练习 试求2()1f x x ＝＋在x ＝1处的切线斜率．解：设P (1，2)，Q (1＋Δx ，(1＋Δx )2＋1)，则割线PQ 的斜率为：22[(1)1]222∆∆∆∆∆∆PQ x k xx x xx＋＋－＝＋＝＝＋ 当∆x 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于常数2，从而曲线f (x )＝x 2＋1在x ＝1处的切线斜率为2．小结 求曲线()y f x ＝上一点处的切线斜率的一般步骤：（1）找到定点P 的坐标，设出动点Q 的坐标；（2）求出割线PQ 的斜率；（3）当∞→∆x 时，割线逼近切线，那么割线斜率逼近切线斜率．思考 如上图，P 为已知曲线C 上的一点，如何求出点P 处的切线方程？ 解 设0000(())(())∆∆P x f x Q x x f x x ，，＋，＋000000()()()()()∆∆∆∆PQ f x x f x f x x f x k x x x x＋－＋－∴＝＝＋－ 所以，当x ∆无限趋近于0时，00()()∆∆f x x f x x－－无限趋近于点00(())P x f x ，处的切线的斜率．变式训练 1．已知2()f x x ＝，求曲线()y f x ＝在1x ＝－处的切线斜率和切线方程；2．已知1()f x x －＝，求曲线()y f x ＝在1x ＝－处的切线斜率和切线方程；3．已知()f x ，求曲线()y f x ＝在12x ＝处的切线斜率和切线方程． 课堂练习已知()f x 求曲线()y f x ＝在12x ＝处的切线斜率和切线方程． 四、回顾小结1．曲线上一点P 处的切线是过点P 的所有直线中最接近P 点附近曲线的直线，则P 点处的变化趋势可以由该点处的切线反映（局部以直代曲）．2．根据定义，利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程．五、课外作业。
苏教版高中数学选修2-2《瞬时变化率—导数：曲线上一点处的切线》教学教案
1.1.2《瞬时变化率-导数》教案（一）曲线上一点处的切线一、教学目标1.理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；2.掌握用割线逼近切线的方法；3.会求曲线在一点处的切线的斜率与切线方程.二、教学重点、难点重点：理解曲线在一点处的切线和切线的斜率的定义，掌握曲线在一点处切线斜率的求法难点：理解曲线在一点处的切线的定义，特别是对“无限逼近”、“局部以直代曲”的理解三、教学过程【问题情景】导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马（Fermat）为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）分别在研究力学与几何学过程中建立的.微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学. 所以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析【学生活动，建构数学】（一）点P 附近的曲线1．平均变化率：函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为 ． 即曲线上两点的连线（割线）的斜率。
显然平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势。
2．如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P 附近的曲线的研究）（从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲，微观上直”，“曲绝对，直相对”的初步感受，后提出“放大图形”的朴素方法．）C1C2（1）观察“点P 附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？曲线有点像直线（2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了直线 这种思维方式就叫做“逼近思想”。
苏教版数学高二学案 瞬时变化率 导数(二)
1.1.2瞬时变化率——导数(二)[学习目标] 1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.3.会求曲线在某点处的切线方程.4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.知识点一曲线的切线如图所示，当点P n沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.(1)曲线y＝f(x)在某点处的切线与该点的位置有关；(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个.思考有同学认为曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)只有一个交点，你认为正确吗？答案不正确.曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示.知识点二导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率.思考(1)曲线的割线与切线有什么关系？(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？答案(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.(2)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率.函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x在x＝0处有切线，但不可导.题型一 求曲线的切线方程1.求曲线在某点处的切线方程例1 求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程. 解 因为点(1,3)在曲线上，且f (x )在x ＝1处可导，因为Δy Δx ＝(1＋Δx )3－(1＋Δx )＋3－(1－1＋3)Δx＝(Δx )3＋3(Δx )2＋2Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋2，当Δx →0时，(Δx )2＋3Δx ＋2→2，故f ′(1)＝2. 故所求切线方程为y －3＝2(x －1)， 即2x －y ＋1＝0.反思与感悟 若求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程，其切线只有一条，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，且是切点，其切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 跟踪训练1 (1)曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处切线的倾斜角为________.(2)曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线斜率为3，则点P 的坐标为____________. 答案 (1)34π (2)(－1，－1)或(1,1)解析 (1)设切线的倾斜角为α， ∵Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝13(1＋Δx )3－(1＋Δx )2＋5－(13－1＋5)Δx＝13(Δx )3－Δx Δx＝13(Δx )2－1. 当Δx →0时，13(Δx )2－1→－1，由导数几何意义得tan α＝－1. ∵α∈[0，π)， ∴α＝34π.∴切线的倾斜角为34π.(2)设点P 的坐标为(x 0，x 30)， ∵f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2.∵当Δx →0时，3x 20＋3x 0·Δx ＋(Δx )2→3x 20.∴3x 20＝3，解得x 0＝±1.∴点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1). 2.求曲线过某点的切线方程例2 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程.解 ∵Δy Δx ＝2(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝2－3x 2－3x Δx －(Δx )2， 当Δx →0时，其值趋近于2－3x 2. 设切点的坐标为(x 0,2x 0－x 30)，∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0).又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点的坐标为(0,0)或(－32，38).当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ；当切点为(－32，38)时，切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0.反思与感悟 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 跟踪训练2 求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程.解 由题意知Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x2Δx.当Δx →0时，其值趋近于2x . 设所求切线的切点为A (x 0，y 0). ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20. 又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率002.x x y'|x == ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点， ∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即2x －y －1＝0和10x －y －25＝0. 题型二 求导函数例3 求函数f (x )＝x 2＋1的导函数. 解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1＝2x Δx ＋(Δx )2(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1，∴Δy Δx＝2x ＋Δx (x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1，当Δx →0时，2x ＋Δx (x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1→xx 2＋1，故f ′(x )＝xx 2＋1.反思与感悟 求解f ′(x )时，结合导数的定义，首先计算Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ).然后，再求解ΔyΔx ，最后得到f ′(x ).跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－1，求f ′(x )及f ′(－1). 解 因Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝(x ＋Δx )2－1－(x 2－1) ＝2Δx ·x ＋(Δx )2，Δy Δx ＝2Δx ·x ＋(Δx )2Δx＝2x ＋Δx ， 故当Δx →0时，其值趋近于2x . 得f ′(x )＝2x ，f ′(－1)＝－2. 题型三 导数几何意义的综合应用例4 设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值.解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )3＋a (x ＋Δx )2－9(x ＋Δx )－1－(x 3＋ax 2－9x －1)＝(3x 2＋2ax－9)Δx ＋(3x ＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴ΔyΔx＝3x 2＋2ax －9＋(3x ＋a )Δx ＋(Δx )2， ∴当Δx →0时，Δy Δx →3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a 3)2－9－a 23≥－9－a 23.由题意知f ′(x )最小值是－12， ∴－9－a 23＝－12，a 2＝9，∵a ＜0，∴a ＝－3.反思与感悟 与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.跟踪训练4 (1)已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为______________.(请用“＞”连接)(2)曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是__________.答案 (1)k 1＞k 3＞k 2 (2)34解析 (1)结合导数的几何意义知，k 1就是曲线在点A 处切线的斜率，k 2则为在点B 处切线的斜率，而k 3则为割线AB 的斜率，由图易知它们的大小关系. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故交点坐标为(1,1).曲线y ＝1x 在点(1,1)处切线方程为l 1：x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 2在点(1,1)处切线方程为l 2：2x －y －1＝0. 从而得S ＝12×⎪⎪⎪⎪2－12×1＝34. 例5 已知曲线y ＝f (x )＝x 3上一点Q (1,1)，求过点Q 的切线方程.错解 因y ′＝3x 2，f ′(1)＝3. 故切线方程为3x －y －2＝0.错因分析 上述求解过程中，忽略了当点Q 不是切点这一情形，导致漏解. 正解 当Q (1,1)为切点时，可求得切线方程为y ＝3x －2. 当Q (1,1)不是切点时，设切点为P (x 0，x 30)， 则由导数的定义，在x ＝x 0处，y ′＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)， 将点(1,1)代入，得1－x 30＝3x 20(1－x 0)， 即2x 30－3x 20＋1＝0，所以(x 0－1)2·(2x 0＋1)＝0， 所以x 0＝－12，或x 0＝1(舍)，故切点为⎝⎛⎭⎫－12，－18， 故切线方程为y ＝34x ＋14.综上，所求切线的方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0.防范措施 解题前，养成认真审题的习惯，其次，弄清“在某点处的切线”与“过某点的切线”，点Q (1,1)尽管在所给曲线上，但它可能是切点，也可能不是切点.1.下列说法中正确的有________.①和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线； ②和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线； ③曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点； ④曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点. 答案 ④解析 y ＝sin x ，x ∈R 在点(π2，1)处的切线与y ＝sin x 有无数个公共点.2.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为________. 答案 8解析 因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝2(2＋Δx )2－8Δx ＝8＋2Δx ，当Δx →0时，其值趋近于8.即k ＝8.3.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 1解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1.4.已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________. 答案 45°解析 ∵y ＝12x 2－2，∴Δy Δx ＝12(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx ＝12(Δx )2＋x ·Δx Δx＝x ＋12Δx .故当Δx →0时，其值趋近于x ，∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 5.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________. 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx＝2Δx ＋4x 0＋4，当Δx →0时，其值趋近于4＋4x 0.令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即f(x0＋Δx)－f(x0)Δx→f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导函数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.。
高中数学瞬时变化率—导数苏教版选修2-2 教案
瞬时变化率—导数教学目的：知识与技能：掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义.过程与方法：会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 情感、态度与价值观：理解足够小、足够短的含义教学重点：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度.教学难点：理解物体的瞬时速度的意义教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
教学过程：学生探究过程： 我们物理中学习直线运动的速度时，已经学习了物体的瞬时速度的有关知识，现在我们从数学的角度重新来认识一下瞬时速度一、复习引入：１．曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x 的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线y=f(x)β∆x ∆yQM Px O y00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即tan α=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x 0x∆ 二、讲解新课：1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.2. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s =s (t )，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs =s (t 0+Δt )－s (t 0)(Δt 称时间增量) 平均速度tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度 瞬时速度tt s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(lim lim 0000 所以当Δt →0时，平均速度的极限就是瞬时速度三、讲解X 例：例1物体自由落体的运动方程s =s (t )=21gt 2，其中位移单位m ，时间单位s ，g =9.8 m/s 2. 求t =3这一时段的速度. 解：取一小段时间［3，3+Δt ］，位置改变量Δs =21g (3+Δt )2－21g ·32=2g (6+Δt )Δt ，平均速度21=∆∆=t s v g (6+Δt )瞬时速度m/s 4.293)(21lim lim 00==∆+==→∆→∆g t t g v v t t 由匀变速直线运动的速度公式得v =v 0+at =gt =g ·3=3g =29.4 m/s例2已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求ts ∆∆.(2)当t =2，Δt =0.001时，求ts ∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度.分析：Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，ts ∆∆即平均速度，当Δt 越小，求出的ts ∆∆越接近某时刻的速度. 解：∵tt t t t t s t t s t s ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)32(3)(2)()(22=4t +2Δt ∴(1)当t =2，Δt =0.01时，ts ∆∆=4×2+2×0.01=8.02 cm/s (2)当t =2，Δt =0.001时，ts ∆∆=4×2+2×0.001=8.002 cm/s (3)v =00lim lim →∆→∆=∆∆t t t s (4t +2Δt )=4t =4×2=8 cm/s 四、巩固练习：1.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s =s (t )=t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在t =5时的瞬时速度解：瞬时速度v =2200(5)(5)(5)5lim lim t t s t s t t t∆→∆→+∆-+∆-=∆∆lim t ∆→=(10+Δt )=10 m/s. ∴瞬时速度v =2t =2×5=10 m/s.M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，求质点M 在t =2时的瞬时速度.解：瞬时速度v =tt t s t s t t ∆+⋅-+∆+=∆-∆+→∆→∆)322(3)2(2lim )2()2(lim 2200 =0lim →∆t (8+2Δt )=8 cm/s. 点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容五、教学反思 ：这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式瞬时速度v =tt ∆→∆lim。
高中数学 瞬时变化率 导数导学案 苏教版选修22
瞬时变化率—导数 NO.2【教学目标】(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想【重点难点】导数概念的理解，以及运用导数解决问题的能力。
一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？二、新课讲解设曲线C 上一点P(x ，f(x))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q （x x +∆，()f x x +∆）则割线PQ 的斜率为()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 1、曲线上一点处的切线斜率当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l,从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当△x 无限趋近于0时，()()f x x f x x+∆-∆无限趋近点P(x ，f(x))处的切线的斜率。
()()f x x f x k x+∆-=∆，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x ，f(x))处切线的斜率。
2．瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2)位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当t ∆无限趋近于0 时，运动物体的位移S( t)的平均变化率tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为物体在t=t 0时的瞬时速度，也就是位移对时间的瞬时变化率求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆= 3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，t s ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率3．导数：函数在某点的瞬时变化率)0()()(00→∆→∆-∆+=∆∆x A xx f x x f x y 记作)(0x f ' 三、数学应用例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。
苏教版高中数学选修(2-2)-1.1《瞬时变化率—导数：瞬时速度与瞬时加速度》导学案
1.1.2《瞬时变化率——导数》导学案（二）瞬时速度与瞬时加速度一、学习目标1.理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义；理解△x无限趋近于0的含义；2.运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.二、学习重点、难点重点：瞬时速度和瞬时加速的定义难点：求瞬时速度和瞬时加速的的方法.三、学习过程【复习回顾】1. 曲线上一点处的切线斜率：设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点P(x,y)及邻近的一点Q(x +∆x, f(x+ ∆x))，过P、Q两点作割线，,则割线PQ的斜率k=. 当∆x→0时，动点Q将沿曲线趋向为PQ于定点P，从而割线PQ也将随之变动而趋向于切线PT的斜率，当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，即K为.在△x→0时的极限值.练习：曲线的方程为y=x2+1，求曲线在点P(1,2)处的切线方程.【问题情境1】平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度.平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度.那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？【问题情境2】跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t 秒后运动员相对于水面的高度为()24.9 6.510H t t t =-++，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？ 问题：2秒时的瞬时速度是多少？我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况.问题：1.你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？关于这些数据，下面的判断对吗？2.当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /.3.靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度；4.靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度；。
1.1.2 瞬时变化率——导数 学案(苏教版高中数学选修2-2)
1.1.2 瞬时变化率——导数学案（苏教版高中数学选修2-2）112瞬时变化率瞬时变化率导数导数学习目标1.了解切线的含义.2.理解瞬时速度与瞬时加速度.3.掌握瞬时变化率导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数知识点一曲线上某一点处的切线如图，Pn的坐标为xn，fxnn1,2,3,4，，点P的坐标为x0，y0思考1当点Pn点P时，试想割线PPn如何变化答案当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，即曲线上点P处的切线位置思考2割线PPn的斜率是什么它与切线PT的斜率有何关系答案割线PPn的斜率knfxnfx0xnx0；当Pn无限趋近于P时，kn无限趋近于点P处切线的斜率k.梳理1设Q为曲线C上的不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P 附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线2若Px，fx，过点P的一条割线交曲线C于另一点Qxx，fxx，则割线PQ的斜率为kPQfxxfxx，当x0时，fxxfxx无限趋近于点Px，fx处的切线的斜率知识点二瞬时速度与瞬时加速度瞬时变化率1平均速度在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度2瞬时速度一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体位移St的平均变化率St0tSt0t无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率3瞬时加速度一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体速度vt的平均变化率vt0tvt0t无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率知识点三导数1导数设函数yfx在区间a，b上有定义，x0a，b，若x 无限趋近于0时，比值yxfx0xfx0x无限趋近于一个常数A，则称fx在xx0处可导，并称该常数A为函数fx在xx0处的导数，记作fx02导数的几何意义导数fx0的几何意义就是曲线yfx在点Px0，fx0处的切线的斜率3导函数1若fx对于区间a，b内任一点都可导，则fx在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为fx的导函数，记作fx在不引起混淆时，导函数fx也简称为fx的导数2fx在xx0处的导数fx0就是导函数fx在xx0处的函数值1曲线上给定一点P，过点P 可以作该曲线的无数条割线2有的曲线过它上面的某一点可作两条切线3函数fx在区间a，b内可导就是fx对于任意x0a，b都有fx0存在4fx0表示函数fx在xx0处的导数，是对一个点x0而言的，它是一个确定的值类型一求曲线上某一点处的切线例1已知曲线yfxx1x上的一点A2，52，用切线斜率定义求1点A处的切线的斜率；2点A处的切线方程解1yf2xf22x12x212x22xx，yxx2x2xxx122x1.当x无限趋近于零时，yx无限趋近于34，即点A处的切线的斜率是34.2切线方程为y5234x2，即3x4y40.反思与感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，x无限趋近于0时，yx无限趋近的常数跟踪训练11已知曲线yfx2x24x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为________答案3,30解析设点P坐标为x0，y0，则fx0xfx0x0xx02x24x0x4xx4x042x.当x 无限趋近于0时，4x042x无限趋近于4x04，因此4x0416，即x03，所以y023*******30.即点P坐标为3,302已知曲线y3x2x，求曲线上一点A1,2处的切线的斜率及切线方程解设A1,2，B1x，31x21x，则kAB31x21x3121x53x，当x无限趋近于0时，53x无限趋近于5，所以曲线y3x2x在点A1,2处的切线斜率是5.切线方程为y25x1，即5xy30.类型二求瞬时速度例2某物体的运动路程s单位m与时间t单位s 的关系可用函数stt2t1表示，求物体在t1s时的瞬时速度解在1到1t的时间内，物体的平均速度vsts1ts1t1t21t11211t3t，当t 无限趋近于0时，v无限趋近于3，物体在t1处的瞬时变化率为3.即物体在t1s时的瞬时速度为3m/s.引申探究1若本例中的条件不变，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度sts0ts0t0t20t11t1t，当t0时，1t1，物体在t0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解设物体在t0时刻的速度为9m/s.又stst0tst0t2t01t.当t0时，st2t01.则2t019，t04.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.反思与感悟1求瞬时速度的题目的常见错误是不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率2求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量t和位移改变量sst0tst0求平均速度vst.求瞬时速度，当t无限趋近于0时，st无限趋近于的常数v即为瞬时速度跟踪训练2有一做直线运动的物体，其速度v单位m/s与时间t单位s 的关系是v3tt2，求此物体在t2s时的瞬时加速度解因为v2tv232t2t232223t4tt2tt2，所以v2tv2t1t，所以当t趋于0时，1t无限趋近于1.所以该物体在t2s时的瞬时加速度为1m/s2.类型三求函数在某点处的导数例3已知fxx23.1求fx在x2处的导数；2求fx在xa处的导数解1因为yxf2xf2x2x23223x4x，当x无限趋近于0时，4x无限趋近于4，所以fx在x2处的导数等于4.2因为yxfaxfaxax23a23x2ax，当x无限趋近于0时，2ax 无限趋近于2a，所以fx在xa处的导数等于2a.反思与感悟求一个函数yfx在xx0处的导数的步骤1求函数值的改变量yfx0xfx02求平均变化率yxfx0xfx0x.3令x无限趋近于0，求得导数跟踪训练31设fxax4，若f12，则a________.答案2解析f1xf1xa1x4a4xa，f1a，即a2.2将原油精炼为汽油.柴油.塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh原油的温度单位为fxx27x150x8求函数yfx在x6处的导数f6，并解释它的实际意义解当x从6变到6x时，函数值从f6变到f6x，函数值y关于x的平均变化率为f6xf6x6x276x15627615x5xx2x5x.当x0时，5x趋近于5，所以f65，导数f65表示当x6时原油温度大约以5/h的速度上升1设函数fx可导，则当x0时，f13xf13x趋近于________答案f1解析当x0时，f13xf13xf12若函数fx在点A1,2处的导数是1，那么过点A的切线方程是________________答案xy30解析kf11，切线方程是y2x1，即xy30.3已知函数yfx在点2,1处的切线与直线3xy20平行，则f2________.答案3解析因为直线3xy20的斜率为3，所以由导数的几何意义可知f23.4已知曲线yfx2x2上一点A2,8，则点A处的切线斜率为________答案8解析因为yxf2xf2x22x28x82x，当x0时，82x趋近于8.即k8.5函数yfxx1x在x1处的导数是________答案0解析函数yfxx1x，yf1xf11x11x11x21x，yxx1x，当x0时，yx0，即yfxx1x 在x1处的导数为0.1平均变化率和瞬时变化率的关系平均变化率yxfx0xfx0x，当x无限趋近于0时，它所趋近于的一个常数就是函数在xx0处的瞬时变化率即有x无限趋近于0是指自变量间隔x 越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0.即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致无限趋近于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率2求切线的斜率.瞬时速度和瞬时加速度的解题步骤1计算y.2求yx.3当x0时，yx无限趋近于一个常数4常数即为所求值.。
数学：1.1.2《瞬时变化率-导数》教案(苏教版选修2-2)
1。
1。
2瞬时变化率-导数(三）导数的概念一、教学目标1.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2. 会求函数在某点的导数。
二、例题讲解例 1（1)以初速度为)0(00>v v做竖直上抛运动的物体,t 秒时的高度为2021)(gt t v t s -=,求物体在时刻0t 处的瞬时速度。
（2）求122+=xy 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率. (3)设2)(x x f =+1,求)('x f，)1('-f ，)2('f例2、函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+x f x f 2)1()1( （2）=-+xf x f )1()21( 变式:设f （x)在x=x 0处可导，（3）x x f x xf ∆-∆+)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________ （4）xx f x x f ∆-∆-)()4(00无限趋近于1,则)(0x f '=________________ (5)当△x 无限趋近于0，xx x f x xf ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系. 例3．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.（2）求函数f (x ）=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例4：已知函数x x f =)(，求)(x f 在2=x 处的切线.例 5.某工厂每日产品的总成本C 是日产量x 的函数，即2571000)(x x x C ++=，试求：（1）当日产量为100时的平均成本；(2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；（3）当日产量为100时的边际成本.三、课堂练习1．函数xx y 1+=， 在1=x 处的导数是 2．将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ )AR R ∆π8 B ()248R R R ∆+∆ππ C ()244R R R ∆+∆ππ D ()24R ∆π 3． 在曲线12+=xy 的图象上取一点（1，2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1,则x y ∆∆为（ ） A 21+∆+∆x x B 21-∆-∆x x C 2+∆x D xx ∆-∆+12 四、课后作业1．函数)(x f y =在0x x =处的导数)(0/x f 的几何意义是（ ） A 在点0x x =处的函数值 B 在点))(,(00x f x 处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C 曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率D 点))(,(00x f x 与点（0，0）连线的斜率2．已知曲线3x y =上过点（2,8）的切线方程为01612=--ax x ，则实数a 的值为（ )3．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值( ）4．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=,则物体的初速度是（ ）5、求下列函数在相应位置的导数（1）1)(2+=xx f ，2=x （2）12)(-=x x f ,2=x （3)3)(=x f ，2=x6．已知曲线331x y =上的一点)38,2(P ,求(1）点P 处切线的斜率；（2）点P 处的切线方程.变式：已知曲线331x y =，求与直线084=++y x 垂直，并与该曲线相切的直线方程。
高二数学瞬时变化率 导数教案 苏教版
高二数学瞬时变化率 导数教案教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：xx f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。
3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆= 3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，t s ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率三、数学应用例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 瞬时速度与瞬时加速度
第3课时瞬时速度与瞬时加速度教学过程一、问题情境在物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度,它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度,那么,如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢?先看实例.跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定t=2s时运动员的速度.[1]二、数学建构问题1求出运动员在2s到2.1s(即t∈[2,2.1])的平均速度.解==-13.59(m/s).问题2:利用计算器,请分组算出更短的时间内的平均速度.解t∈[2,2.01],=-13.149;t∈[2,2.001],=-13.1049;t∈[2,2.0001],=-13.10049;t∈[1.9,2] ,=-12.61;t∈[1.99,2],=-13.051;t∈[1.999,2],=-13.0951.问题3观察所得的数据,你能发现当Δt无限逼近于0时,平均速度无限逼近于什么?[2]解-13.1.概念生成一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题4类比瞬时速度的概念,你能否概括出瞬时加速度的概念?解一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率.[3]三、数学运用【例1】(教材第12页例2)已知一辆轿车在公路上作加速直线运动,假设t s时的速度为v(t)=t2+3,求当t=t0 s时轿车的瞬时加速度a.(见学生用书P5)[处理建议]利用瞬时加速度的定义,先求平均加速度.[规范板书]解在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均加速度为====2t0+Δt,当Δt→0时,→2t0,即a=2t0.所以,当t=t0 s时轿车的瞬时加速度为2t0.变式物体运动的速度v与时间t的关系是v(t)=t2+4t,求t=2时物体的瞬时加速度.解在2到2+Δt的时间内,轿车的平均加速度为===8+Δt,当Δt→0时,→8,即a=8.所以,当t=2时轿车的瞬时加速度为8.【例2】一作直线运动的物体,其位移S与时间t的关系式是S=3t-t2.(见学生用书P6)(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;(3)求t=0到t=2的平均速度.[处理建议]初速度是t=0时的瞬时速度,本题需先求出平均速度,然后利用瞬时速度的定义进行求解.[规范板书]解在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均速度为===(3-2t0)-Δt,当Δt→0时,→3-2t0.所以,当t=t0时轿车的瞬时速度为3-2t0.(1)v(0)=3.(2)v(2)=-1.(3)==-2.[题后反思]本题应注意瞬时速度与平均速度的区别.变式一质点沿直线运动,运动方程为S=10+8t-4t2,其中t单位为s,S单位是m.(1)计算[t,t+Δt]内的平均速度;(2)求当t=0,1,2,3时刻的速度.[规范板书]解(1)在t到t+Δt的时间内,轿车的平均速度为===8-8t-4Δt.(2)由(1)知,当Δt→0时,→8-8t,所以t s时轿车的瞬时速度为8-8t(m/s).t=0s时的速度为8 m/s,t=1 s时的速度为0 m/s,t=2 s 时的速度为-8 m/s,t=3 s时的速度为-16 m/s.【例3】某容器里装有1 L纯酒精,现以每秒L的速度往容器里注水,求酒精浓度在某时刻t的变化率.(见学生用书P6)[处理建议]本题应找出浓度的瞬时变化率与瞬时速度的共同点,为导数的形式化定义作铺垫.[规范板书]解酒精浓度随时间变化的表达式为c(t)==,在t到t+Δt的时间内,酒精的平均浓度为===,当Δt→0时,→.所以,当t s时酒精的瞬时变化率为.[题后反思]通过本题的讲解,进一步让学生体会瞬时变化率的本质,更好地理解概念.变式设电量Q与时间t的函数关系为Q=2t2+3t+1,其中Q的单位为C,t的单位为s,求t=3s时的电流强度.[处理建议]赋予不同的实际背景,某时刻的电流强度即为电量的瞬时变化率.[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,电量的平均变化率为===2Δt+4t+3.当Δt→0时,→4t+3.所以3s时的电流强度为15A.*【例4】若一物体的运动方程是S=5t+t2(位移单位:m;时间单位:s),则下述结论中正确的是①②④.(填序号)①物体在时间段[0,1]内的平均速度是m/s;②物体在t=1s时的瞬时速度是8 m/s;③物体在时间段[0,1]内经过的位移是8m;④物体在时间段[0,1]内经过的位移是m.[处理建议]本题需注意平均速度与瞬时速度是两个不同的概念.变式若作直线运动的物体的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系为v(t)=t2,则在前3 s内的平均加速度是3 m/s2,在t=3 s的瞬时加速度是6 m/s2.提示前3s内的平均加速度是=3(m/s2).在t到t+Δt的时间内,物体的平均加速度为===2t+Δt,当Δt→0时,→2t.所以3s时的瞬时加速度为6 m/s2.[题后反思]易误以为前3 s内的平均加速度是=(m/s2).四、课堂练习1.若一质点沿直线运动的方程为y=-2x2+1(x表示时间,y表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为-6.提示==-6.2.已知一物体的运动方程是S=t3+2t(t(s)表示时间,S(m)表示位移),那么瞬时速度为14 m/s 的时刻是2s.提示在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===3tΔt+3t2+2.当Δt→0时,→3t2+2,所以,时刻t s的瞬时速度为3t2+2.由题意得3t2+2=14,t=2 s.3.若某物体的运动方程为S=t4-3(t(s)表示时间,S(m)表示位移),则t=5 s时该物体的瞬时速度为125 m/s.提示在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===t3+(Δt)3+t(Δt)2+t2Δt,当Δt→0时,→t3.所以,时刻t s的瞬时速度为t3,由题意,当t=5s时,瞬时速度为125 m/s.五、课堂小结1.平均速度的定义.2.瞬时速度的定义.3.求瞬时速度和瞬时加速度的方法和过程.[4]。
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1.1.3 瞬时变化率导数瞬时速度与瞬时加速度学案（二）
一、学习目标
（1）理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义；理解△x无限趋近于0的含义；
（2）运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.
二、学习重点、难点
重点：瞬时速度和瞬时加速的定义
难点：求瞬时速度和瞬时加速的的方法.
三、学习过程
【复习回顾】
1. 曲线上一点处的切线斜率：设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点P(x,y)
k=
及邻近的一点Q(x +∆x, f(x+ ∆x))，过P、Q两点作割线，,则割线PQ的斜率为
PQ
. 当∆x→0时，动点Q将沿曲线趋向于定点P，从而割线PQ也将随之变动而趋向于切线PT的斜率，当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，即K为.在△x→0时的极限值.
练习：曲线的方程为y=x2+1，求曲线在点P(1,2)处的切线方程.
【问题情境1】
平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度.平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度.那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？
【问题情境2】
跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t 秒后运动员相对于水面的高度为()24.9 6.510H t t t =-++，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？
我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况.
问题：1.你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？ 关于这些数据，下面的判断对吗？
2．当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /.
3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度；
5． -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1s m /. 分析:
【构建数学】
瞬时速度和瞬时加速度
(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度. (2) 位移的平均变化率：
(3)瞬时速度：当t ∆无限趋近于0时， 限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的瞬时速度.“逼近”思想和以直代曲思想；
如何得到求瞬时速度的步骤？
a 、先求时间改变量t ∆和位置改变量
b 、再求平均速度
c 、后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，t s
∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度.
(4)速度的平均变化率：
(5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时， 无限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的瞬时加速度
注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率，感受速度的平均变化率与加速度的关系，以及加速度与瞬时加速度的“逼近”关系.
三、例题分析
例1:物体作自由落体运动,运动方程为：
其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s 2.求：
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；(3) 物体在t =2(s)时的瞬时速度.
2
21
gt s =
例2 设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设()t s 时的速度为
2
()3v t t =+，求0()
t t s =时轿车的加速度.
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需对原油进行冷却和加热.如果在第x h 时原油的温度)(C
为157)(2
+-=x x x f )80(≤≤x .计算第2 h 和第6 h 时，原油的瞬时变化率，并说明意义.
四、课堂练习
1.质点沿x 轴运动，设距离为()x m ，时间为()t s 时，2
105x t =+，则当
00t t t t
≤≤+∆时，质点的平均速度为 ；当0
t t =时，质点的瞬时速度
为 ；当
00t t t t
≤≤+∆时，质点的平均加速度为 ；当
t t =时，质点的瞬时加速度为 .
2.一质点的运动方程为2
10s t =+（位移单位：m ，时间单位：s ），试求该质点在3t s =的瞬时速度.
3.自由落体运动的位移()s m 与时间()t s 的关系为212s gt =
（g 为常数）.
（1）求
0()
t t s =时的瞬时速度；
（2）分别求1,2,3t s =时的瞬时速度.
五、课堂小结
本节课主要学习了物体运动的瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.充分理解由平均速度的“逼近”转化成瞬时速度与瞬时加速度的过程，培养学生解决实际问题的能力，学会用运动学的观点理解和解决实际问题.充分感受到学习数学的乐趣，体会到数学的研究方法和内在美.
六、课后作业
1．已知物体做自由落体运动的方程为2
1(),2
s s t gt ==
若t 无限趋近于0时，(1)(1)
s t s t
+∆-∆无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ）
A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的速度
B ．9.8/m s 是在1～（1+t ）s 这段时间内的速度
C ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的速度
D ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ∆）s 这段时间内的平均速度.
2．如果质点M 按规律2
3S t =+运动，则在一小段时间中相应的平均速度等于（ ） A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3
3．如果某物体的运动方程是2
2(1)s t =-，则在 1.2t =秒时的瞬时速度是（ ） A ．4 B ．4- C ．4.8 D ．0.8
4．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且3
2
423s t t t =+-，则物体在运动开始的速度为（ ）
A ．3/m s
B ．－3/m s
C ．0/m s
D ．2/m s
5．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是2
3t t s -=，则物体的初速度是（ ）
A. 0
B.3
C.－2
D.t 23-
6．枪弹在枪筒中可以看成是匀加速运动，如果它的加速度是5
2
5.010/m s ⨯.枪弹从枪筒弹出的时间为3
1.610s -⨯，求枪弹弹出枪口时的瞬时速度.（位移公式是2
12
s at =，其中a 是加速度，t 是时间）
7．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且3242
-+=t t s ，试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度.
8、一块岩石在月球表面上以
24m
s 的速度垂直上抛，()t s 时达到的高度为
2240.8h t t =-（单位：m ）.
（1）求岩石在()t s 时的速度、加速度； （2）多少时间后岩石达到最高点.
9．一作直线运动的物体其位移s 与时间t 的关系是2
3s t t =-. （1）求此物体的初速度；（2）求此物体在t=2秒时的瞬时速度； （3）求t=0到t=2时的平均速度.。