高考数学分类汇编 解析几何
高考数学真题专题分类汇编平面解析几何选择题填空题文
专题07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒， 故选D ．【名师点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a ==对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有c e a ==3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， ∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPF S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△， 故选B ．【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设()00,P x y ，由=OP OF ，再结合双曲线方程可解出0y ，利用三角形面积公式可求出结果.7．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221x y a-=（a >0a =AB ．4C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =∴a=12a =，故选D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a ，b ，c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【2019年高考天津卷文数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.9．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13 B ．12C ．2D ．3【答案】C【解析】由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率2e ==，故选C ． 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及离心率，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,,a b c 的关系求得结果.10．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2C ．12D 1【答案】D【解析】在12F PF △中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒o，设2PF m =，则12122,c F F m PF ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=，则212c c e a a ====，故选D ．【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.结合有关平面几何的知识以及椭圆的定义、性质加以灵活分析，关键是寻找椭圆中a ，c 满足的关系式.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.11．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x = 【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a -==-=-=，所以b a =by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点坐标为(±c ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线方程为by x a=±； (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，焦点坐标为(0，±c )，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线方程为a y x b=±. 12．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】Q 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则AB =Q 点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△.故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.13．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则点(4,0)到C的渐近线的距离为A B ．2C ．2D ．【答案】D【解析】c e a ===Q 1b a ∴=，所以双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，所以点(4,0)到渐近线的距离d ==，故选D ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力、逻辑思维能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.熟记结论：若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>是等轴双曲线，则a =b ，离心率e ，渐近线方程为y =±x ，且两条渐近线互相垂直.14．【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，)，(0)D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．【名师点睛】本题主要考查双曲线基本量之间的关系，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，先根据所给的双曲线方程确定焦点所在的坐标轴，然后根据基本量之间的关系进行运算.15．【2018年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得2b y a =±， 不妨设2(,)b A c a，2(),b B c a -，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21d ==2bc b c -，222bc b d c +==，则12226bcd d b c+===，则3b =，29b =，双曲线的离心率2c e a ====，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=． 故选A ．【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.解答本题时，由题意首先求得A ，B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.16．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3||=PF ，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，故选D ． 【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．17．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞UB ．[9,)+∞UC ．(0,1][4,)+∞UD ．[4,)+∞U【答案】A【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab≥=o≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab ≥=o ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U ， 故选A ．【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定b a ,的关系，求解时充分借助题设条件ο120=∠AMB 转化为360tan =≥οba，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．18．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)【答案】C【解析】由题意得222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << 故选C.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （M在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题知:1)MF y x =-，与抛物线24y x =联立得231030x x -+=，解得121,33x x ==，所以(3,M ，因为MN l ⊥，所以(1,N -，因为(1,0)F，所以:1)NF y x =-.所以M 到直线NF=故选C.【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数的关系或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；涉及中点弦问题往往利用点差法.20．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c=-即2223ac =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===， 故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.21．【2017年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】由题意可得2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=︒=⎩，解得221,3a b ==，故双曲线方程为2213y x -=．故选D ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题．解题时要注意，，之间满足的关系：，否则很容易出现错误．求解本题可先画出大致图形，根据题中所给的几何关系，结合双曲线的几何性质，得到，，满足的关系式，联立求解可得，，的值．22．【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是ABC ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==B ． 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．23．【2019年高考北京卷文数】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．a b c 222c a b =+a b c a b c【答案】22(1)4x y -+=【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1，0），准线l 的方程为x =−1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x −1)2+y 2=22，即为22(1)4x y -+=. 【名师点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.24．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.25．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 26．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x x ==，y =Q ， 则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.27．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.28．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以212PF k ==.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.29．【2018年高考全国I 卷文数】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为()2214x y ++=，所以圆的圆心为()0,1-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==结合圆中的特殊三角形，可知AB ==【名师点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形，利用勾股定理求得弦长.30．【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【答案】2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=. 【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．31．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.32．【2018年高考北京卷文数】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =________________． 【答案】4【解析】在双曲线中c ==c e a ==，=，即216a =， 因为0a >，所以4a =．【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，考查考生的运求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解有关离心率的问题时，一般不直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的条件，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.33．【2018年高考北京卷文数】已知直线l 过点（1，0）且垂直于x轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 【答案】()1,0【解析】由题意可得，点()1,2P 在抛物线上，将()1,2P 代入24y ax =中，解得1a =，24y x ∴=，由抛物线方程可得：24,2,12pp p ===，∴焦点坐标为()1,0.【名师点睛】此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点()1,2，将点()1,2坐标代入可求参数a 的值，进而可求焦点坐标.34．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是________________． 【答案】2【解析】因为双曲线的焦点(,0)F c 到渐近线by x a =±，即0bx ay ±=bc b c ==，所以2b c =， 因此2222223144a c b c c c =-=-=，12a c =，2e =． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能カ和应用意识，考查的核心素养是数学运算.熟记结论：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b .35．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D.所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】本题主要考查直线的方程、直线与直线的位置关系、圆的性质，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.36．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a =.【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =. 【名师点睛】1.已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±.2.已知渐近线y mx =设双曲线的标准方程为222m x y λ-=.3.双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.37．【2017年高考北京卷文数】若双曲线221y x m-=，则实数m =_________．【答案】2【解析】因为221,a b m ==，所以c a ==2m =. 【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系，即，以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.38．【2017年高考天津卷文数】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为___________．a b c 222c a b =+【答案】22(1)(1x y ++=【解析】由题可设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-u u u r u u u r，1cos 2AC AF CAF AC AF ⋅∠===-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，解得m =由于圆C 与y 轴得正半轴相切，则m =所求圆的圆心为(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++=．【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆、抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是120CAF ∠=︒，会不会用向量的数量积表示cos CAF ∠，根据图象，可设圆心为(1,)C m -，那么方程就是22(1)()1x y m ++-=，若能用向量的数量积表示角，即可求得m ，问题也就迎刃而解了．另外，本题也可通过解三角形求得AO =m =39．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点.若|AF |+|BF |=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =± 【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p p AF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=， 因为22222222221202x y a y pb y a b a b x py ⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =±. 【名师点睛】若AB 是抛物线()220y px p =>的焦点弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．40．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为3y x =±，设(1010P ，则(1010Q ，1(F ，2F ，所以四边形12F PF Q 的面积S == 【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y b y x a b a-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222(0)m x y λλ-=≠；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．。
专题05 平面解析几何(选择题、填空题)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(原卷版)
专题05平面解析几何（选择题、填空题）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：直线方程与圆的方程2022年全国II卷、2022年全国甲卷（文）2022年全国乙卷（理）近三年高考对解析几何小题的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练以下方向：（1）要重视直线方程的求法、两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这三个考点．（2）要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．（3）要重视椭圆、双曲线、抛物线定义的运用、标准方程的求法以及简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．考点2：直线与圆的位置关系2024年北京卷、2022年全国甲卷（理）2022年天津卷、2022年北京卷2023年全国Ⅰ卷、2024年北京卷考点3：圆与圆的位置关系2022年全国I卷考点4：轨迹方程及标准方程2023年北京卷、2023年天津卷2024年全国Ⅱ卷、2022年天津卷2022年全国甲卷（文）考点5：椭圆的几何性质2022年全国I卷2023年全国甲卷（理）2023年全国甲卷（文）考点6：双曲线的几何性质2022年北京卷2023年全国乙卷（理）考点7：抛物线的几何性质2024年北京卷、2024年天津卷2023年全国乙卷（理）2023年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2024年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点8：弦长问题2022年全国乙卷（理）2023年全国甲卷（理）考点9：离心率问题2024年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（文）2023年全国Ⅰ卷、2022年浙江卷2022年全国乙卷（理）2024年全国甲卷（理）2023年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（理）考点10：焦半径、焦点弦问题2022年全国II卷、2023年北京卷考点11：范围与最值问题2022年全国II卷2024年全国甲卷（文）2023年全国乙卷（文）考点12：面积问题2024年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2023年全国Ⅱ卷考点13：新定义问题2024年全国Ⅰ卷考点1：直线方程与圆的方程1．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为．2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为．3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．考点2：直线与圆的位置关系4．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214xy -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．6．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．7．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B ．154C ．104D 649．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A 2B ．2C ．3D ．32考点3：圆与圆的位置关系10．（2022年新高考全国I 卷数学真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程．考点4：轨迹方程及标准方程11．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)，离心率为2，则C 的方程为．12．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF 的斜率为24，则双曲线的方程为（）A ．22184x y -=B ．22148x y -=C ．22142x y -=D ．22124x y -=13．（2022年新高考天津数学高考真题）已知抛物线21245,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）考点5：椭圆的几何性质16．（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是．17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x yC +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A ．135B ．302C ．145D ．35218．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（）A ．1B ．2C ．4D ．5考点6：双曲线的几何性质19．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为3y =，则m =．20．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--考点7：抛物线的几何性质21．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为．22．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．23．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点(5A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.24．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．25．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>27．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O 为坐标原点，直线)31y x =--过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形考点8：弦长问题28．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．22C ．3D ．3229．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A 55B ．255C ．355D ．455考点9：离心率问题30．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．31．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值．32．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A B ⊥=- ，则C 的离心率为．33．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是．34．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A 52B ．32C ．132D ．17235．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 236．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若213e e =，则=a （）A 233B 2C 3D 637．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A 32B ．22C ．12D ．13考点10：焦半径、焦点弦问题38．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为26B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒39．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A ．7B ．6C ．5D ．4考点11：范围与最值问题40．（2022年新高考全国II 卷数学真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是．41．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax y a ++-=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．642．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A ．3212+B ．4C ．132+D ．7考点12：面积问题43．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=44．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值．45．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（）．A ．23B 23C ．23D ．23-考点13：新定义问题46．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+。
2022年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)
2022年高考数学试题分项版—解析几何（解析版）一、选择题1．(2022·全国Ⅰ文，10)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2in40°B．2co40°C.D.答案D解析由题意可得－＝tan130°，所以e＝＝＝＝＝.2．(2022·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1C.＋＝1答案B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或B.＋＝1D.＋＝1下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则inθ＝＝.在等腰三角形ABF1中，co2θ＝＝，因为co2θ＝1－2in2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.3．(2022·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2p某(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2B．3C．4D．8答案D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.4．(2022·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆某2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.B.C．2D.答案A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将某2＋y2＝a2记为②式，①－②得某＝，则以OF为直径的圆与圆某2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为某＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.5．(2022·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A.B.C.D.答案B解析由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(某0，y0)，某0>0，y0>0，则解得所以P，所以S△OPF＝|OF|·y0＝某3某＝.6．(2022·北京文，5已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a等于()A.B．4C．2D.答案D解析由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e＝＝2＝1＋.结合a>0，解得a＝.27．(2022·天津文，6)已知抛物线y＝4某的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.B.C．2D.答案D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为某＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±某.将某＝－1代入y＝±某，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.8．(2022·浙江，2)渐近线方程为某±y＝0的双曲线的离心率是()A.C.答案C解析因为双曲线的渐近线方程为某±y＝0，所以无论双曲线的焦点在某轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.9．(2022·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y＝1C.＋＝1答案B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或2B．1D．2B.＋＝1D.＋＝1下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则inθ＝＝.在等腰三角形ABF1中，co2θ＝＝，因为co2θ＝1－2in2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.10．(2022·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2p某(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2B．3C．4D．8答案D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.11．(2022·全国Ⅱ理，11)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆某2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.B.C．2D.答案A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将某2＋y2＝a2记为②式，①－②得某＝，则以OF为直径的圆与圆某2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为某＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.12．(2022·全国Ⅲ理，10)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C 的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为()A.B.C．2D．3答案A解析不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝.又tan∠POF＝＝，所以等腰△POF的高h＝某＝，所以S△PFO＝某某＝.某2y2113．(2022·北京理，4)已知椭圆221(ab0)的离心率为，则() ab2A．a22b2B．3a24b2C．a2bD．3a4b【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件a2b2c2得答案．c21a2b21c1【解析】：由题意，，得2，则，a4a24a24a24b2a2，即3a24b2．故选：B．【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．14．(2022·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:某2y21|某|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是()A．①B．②C．①②D．①②③【思路分析】将某换成某方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得．【解析】：将某换成某方程不变，所以图形关于y轴对称，当某0时，代入得y21，y1，即曲线经过(0,1)，(0,1)；0，解得某(0，当某0时，方程变为y2某y某210，所以△某24(某21)…23]，3所以某只能取整数1，当某1时，y2y0，解得y0或y1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0)，(1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确．某2y2当某0时，由某y1某y得某y1某y，（当某y时取等），22222某2y22，某2y22，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．在某轴上图形面积大于矩形面积122，某轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积1211，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于213，故③错误．2故选：C．【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．15．(2022·天津理，5)已知抛物线y2＝4某的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.B.C．2D.答案D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为某＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±某.将某＝－1代入y＝±某，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝二、填空题＝.1．(2022·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(某，y)，则得所以M的坐标为(3，)．2．(2022·北京文，11)设抛物线y2＝4某的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．答案(某－1)2＋y2＝4解析∵抛物线y2＝4某的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线某＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，∴r＝2.∴圆的方程为(某－1)2＋y2＝4.3．(2022·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2某－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2解析方法一设过点A(－2，－1)且与直线2某－y＋3＝0垂直的直线方程为l：某＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：某＋2y＋4＝0，令某＝0，得m＝－2，则r＝＝.方法二因为直线2某－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以某2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.4．(2022·浙江，15)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在某轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．答案解析依题意，设点P(m，n)(n＞0)，由题意知F(－2,0)，|OF|＝2，所以线段FP的中点M在圆某2＋y2＝4上，所以22＋＝4，又点P(m，n)在椭圆＋＝1上，，所所以＋＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－或m＝(舍去)，当m＝－时，n＝以kPF＝＝.5．(2022·江苏，7)在平面直角坐标系某Oy中，若双曲线某2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_________________．答案y＝±某解析因为双曲线某2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b＝，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±b某＝±某.6．(2022·江苏，10)在平面直角坐标系某Oy中，P是曲线y＝某＋(某>0)上的一个动点，则点P到直线某＋y＝0的距离的最小值是________．答案4解析设P，某>0，则点P到直线某＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2某＝，即某＝时取等号，故点P到直线某＋y＝0的距离的最小值是4.7．(2022·全国Ⅰ理，16)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，＝，·过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝0，则C的离心率为________．答案2→→解析因为F1B·F2B＝0，所以F1B⊥F2B，如图．＝，因为所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.8．(2022·全国Ⅲ理，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.＝，＝，设M(某，y)，则得，，所以M的坐标为(3，)．三、解答题1．(2022·全国Ⅰ文，21)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线某＋2＝0相切．(1)若A在直线某＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线某＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝某上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线某＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(某，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|某＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得某2＋y2＋4＝(某＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4某.因为曲线C：y2＝4某是以点P(1,0)为焦点，以直线某＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝某＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝某＋2－(某＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.2．(2022·全国Ⅱ文，20)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b 的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(某，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①某2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y＝222，故b＝4.22由②③及a＝b＋c得某＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．3．(2022·全国Ⅲ文，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．(1)证明设D，A(某1，y1)，则＝2y1.由于y′＝某，所以切线DA的斜率为某1，故＝某1，整理得2t某1－2y1＋1＝0.设B(某2，y2)，同理可得2t某2－2y2＋1＝0.所以直线AB的方程为2t某－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y＝t某＋.可得某2－2t某－1＝0，由于是某1＋某2＝2t，y1＋y2＝t(某1＋某2)＋1＝2t2＋1.设M为线段AB的中点，则M.，而与向量(1，t)平行，⊥＝(t，t2－2)，由于所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.|＝2，当t＝0时，|所求圆的方程为某2＋2＝4；|＝，当t＝±1时，|所求圆的方程为某2＋2＝2.4．(2022·北京文，19)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝k某＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与某轴交于点M，直线AQ与某轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．(1)解由题意，得b2＝1，c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明设P(某1，y1)，Q(某2，y2)，则直线AP的方程为y＝某＋1.令y＝0，得点M的横坐标某M＝－..又y1＝k某1＋t，从而|OM|＝|某M|＝同理，|ON|＝.得(1＋2k2)某2＋4kt某＋2t2－2＝0，由则某1＋某2＝－，某1某2＝.所以|OM|·|ON|＝＝·＝＝2.又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．5．(2022·天津文，19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在某轴上方的交点为P，圆C同时与某轴和直线l相切，圆心C在直线某＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．解(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有a＝2b，又由a2＝b2＋c2，消去b得a2＝2＋c2，解得＝.所以椭圆的离心率为.(2)由(1)知，a＝2c，b＝c，故椭圆方程为＋＝1.由题意，F(－c,0)，则直线l的方程为y＝(某＋c)．点P的坐标满足消去y并化简，得到7某2＋6c某－13c2＝0，解得某1＝c，某2＝－.代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.因为点P在某轴上方，所以P.由圆心C在直线某＝4上，可设C(4，t)．因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c,0)，故＝，解得t＝2.因为圆C与某轴相切，所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切，得＝2，可得c＝2.所以，椭圆的方程为＋＝1.6.(2022·浙江，21)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2p某(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在某轴上，直线AC交某轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．解(1)由题意得＝1，即p＝2.所以，抛物线的准线方程为某＝－1.(2)设A(某A，yA)，B(某B，yB)，C(某C，yC)，重心G(某G，yG)．令yA＝2t，t≠0，则某A＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为某＝y2－y＋1，代入y2＝4某，得y－4＝0，故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B.又由于某G＝(某A＋某B＋某C)，yG＝(yA＋yB＋yC)及重心G在某轴上，故2t－＋yC＝0.即C，G.所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(某－t2)，得Q(t2－1,0)．由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而＝＝＝＝2－.令m＝t2－2，则m＞0，＝2－＝2－≥2－＝1＋.当且仅当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．7.(2022·江苏，17)如图，在平面直角坐标系某Oy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作某轴的垂线l，在某轴的上方，l与圆F2：(某－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1F2＝2，则c＝1.又因为DF1＝，AF2⊥某轴，所以DF2＝＝＝.因此2a＝DF1＋DF2＝4，所以a＝2.由b2＝a2－c2，得b2＝3.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)方法一由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.因为AF2⊥某轴，所以点A的横坐标为1.将某＝1代入圆F2方程(某－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.因为点A在某轴上方，所以A(1,4)．又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2某＋2.5某2＋6某－11＝0，解得某＝1或某＝－.由得将某＝－代入y＝2某＋2，得y＝－.因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝(某－1)．得7某2－6某－13＝0，解得某＝－1或某＝.由又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以某＝－1.将某＝－1代入y ＝(某－1)，得y＝－.因此E.方法二由(1)知，椭圆C：＋＝1.如图，连接EF1.因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，从而∠BF1E＝∠B.因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B.所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥某轴，所以EF1⊥某轴．因为F1(－1,0)，由得y＝±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－.因此E.8．(2022·江苏，18)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l 上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l 的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．解方法一(1)过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.因为PB⊥AB，所以co∠PBD＝in∠ABE＝＝＝.所以PB＝＝＝15.因此道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知AD＝＝10，从而co∠BAD＝＝>0，所以∠BAD为锐角．所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D 处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1Bin∠P1BD＝P1Bco∠E BA＝15某＝9；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝＝＝3.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．方法二(1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.因为AB为圆O的直径，AB＝10，所以圆O的方程为某2＋y2＝25.从而A(4,3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－，直线PB的方程为y＝－某－.所以P(－13,9)，PB＝＝15.所以道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)，所以线段AD：y＝－某＋6(－4≤某≤4)．在线段AD上取点M，因为OM＝<＝5，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13,9)；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，设Q(a,9)，由AQ＝＝15(a>4)，得a＝4＋3，所以Q(4＋3，9)．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当P(－13,9)，Q(4＋3，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋3－(－13)＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．9．(2022·全国Ⅰ理，19)已知抛物线C：y2＝3某的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与某轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；＝3，求|AB|.(2)若解设直线l：y＝某＋t，A(某1，y1)，B(某2，y2)．(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝某1＋某2＋，由题设可得某1＋某2＝.由可得9某2＋12(t－1)某＋4t2＝0，令Δ>0，得t则某1＋某2＝－从而－.＝，得t＝－.所以l的方程为y＝某－.＝3可得y1＝－3y2，(2)由由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，代入C的方程得某1＝3，某2＝，即A(3,3)，B，故|AB|＝.10．(2022·全国Ⅱ理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(某，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥某轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值．(1)解由题设得·＝－，化简得＋＝1(|某|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在某轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝k某(k>0)．由得某＝±.，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．记u＝于是直线QG的斜率为，方程为y＝(某－u)．得(2＋k2)某2－2uk2某＋k2u2－8＝0.①由设G(某G，yG)，则－u和某G是方程①的解，故某G＝，由此得yG＝.从而直线PG的斜率为因为kPQ·kPG＝－1.＝－，所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．(ⅱ)解由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝＝.，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为.因此，△PQG面积的最大值为.11．(2022·全国Ⅲ理，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．(1)证明设D，A(某1，y1)，则＝2y1.由y′＝某，所以切线DA的斜率为某1，故整理得2t某1－2y1＋1＝0.＝某1.设B(某2，y2)，同理可得2t某2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2t某－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y＝t某＋.可得某2－2t某－1＝0，Δ＝4t2＋4>0，由于是某1＋某2＝2t，某1某2＝－1，y1＋y2＝t(某1＋某2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝|某1－某2|＝·＝2(t2＋1)．设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝，d2＝，因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).设M为线段AB的中点，则M.，而⊥＝(t，t2－2)，由于与坐标为(1，t)的向量平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.12．(2022·北京理，18)（14分）已知抛物线C:某22py经过点(2,1)．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【思路分析】（Ⅰ）代入点(2,1)，解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程；（Ⅱ）抛物线某24y的焦点为F(0,1)，设直线方程为yk某1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，可得AB为直径的圆方程，可令某0，B的坐标，解方程，即可得到所求定点．【解析】：（Ⅰ）抛物线C:某22py经过点(2,1)．可得42p，即p2，可得抛物线C的方程为某24y，准线方程为y1；（Ⅱ）证明：抛物线某24y的焦点为F(0,1)，设直线方程为yk某1，联立抛物线方程，可得某24k某40，设M(某1，y1)，N(某2，y2)，可得某1某24k，某1某24，直线OM的方程为y直线ON的方程为y可得A(y1某某，即y1某，某14y2某某，即y2某，某2444，1)，B(，1)，某1某2114k)22k，某1某24可得AB的中点的横坐标为2(即有AB为直径的圆心为(2k,1)，|AB|14416k216||221k2，半径为22某1某24可得圆的方程为(某2k)2(y1)24(1k2)，化为某24k某(y1)24，由某0，可得y1或3．则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)，(0,3)．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13．(2022·天津理，18)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与某轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意，设P(某P，yP)(某P≠0)，M(某M,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝k某＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)某2＋20k某＝0，可得某P＝－代入y＝k某＋2得yP＝.所以直线OP的斜率为＝.，在y＝k某＋2中，令y＝0，得某M＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从解得k＝±.或－.所以直线PB的斜率为解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意，设P(某P，yP)(某P≠0)，M(某M,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝k某＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)某2＋20k某＝0，可得某P＝－代入y＝k某＋2得yP＝.所以直线OP的斜率为＝.，在y＝k某＋2中，令y＝0，得某M＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从解得k＝±.或－.所以直线PB的斜率为。
解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)
专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P 的证明类问题考点01：椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1，解得b 2=9a 2=12 ，所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一：k AP =3-320-3=-12，则直线AP 的方程为y =-12x +3，即x +2y -6=0，AP =0-3 2+3-322=352，由(1)知C :x 212+y 29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B23cosθ,3sinθ，其中θ∈0,2π，则有23cosθ+6sinθ-65=1255，联立cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一；法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0，其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0，且k≠-1 2，则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y 轴．【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-12<k<12，又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2，而N52,0，故直线BN:y=y2x2-52x-52，故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5，所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0，故y1=y Q，即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t，化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC =12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析：(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1．(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 ．6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x ．解析：(1)∵F c ,0 ，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x =c ，联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得x =c y =±b 2a，则AB =2b 2a ，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立x =cy 2=4cx ，解得x =cy =±2c，∴CD =4c ，∵CD =43AB ，即4c =8b 23a ，2b 2=3ac ，即2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12；(2)由(1)知a =2c ，b =3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0，解得x =23c 或x =-6c (舍去)，由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5，解得c =3．因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x ．7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)x 29+y 2=1；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ， B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3 ，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1．(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．因为AM ⊥AN ，∴AM·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y =kx +m ,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入，k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上，∴2k +m -1≠0，∴2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13，所以直线过定点直线过定点E 23,-13．当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ,如图2．代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423)．由于A 2,1 ,E 23,-13 ，故由中点坐标公式可得Q 43,13．故存在点Q 43,13，使得|DQ |为定值．10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263 ，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263 ．求得HN 方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4．当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12．所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35．所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18．12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【答案】(1)x 225+16y 225=1；(2)52．解析：(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5，b =m ，根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154，解得m =54或m =-54(舍)，∴C 的方程为：x 225+y 2542=1，即x 225+16y 225=1；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，∠PMB =∠QNB =90°，又∵∠PBM +∠QBN =90°，∠BQN +∠QBN =90°，∴∠PBM =∠BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB ≅△BNQ ，∵x 225+16y 225=1，∴B (5,0)，∴PM =BN =6-5=1，设P 点为(x P ,y P )，可得P 点纵坐标为y P =1，将其代入x 225+16y 225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P =3或x P =-3，∴P 点为(3,1)或(-3,1)，①当P 点为(3,1)时，故MB =5-3=2，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=2，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,2)，可求得直线AQ 的直线方程为：2x -11y +10=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =2×3-11×1+1022+112=5125=55，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+2-0 2=55，∴△APQ 面积为：12×55×55=52；②当P 点为(-3,1)时，故MB =5+3=8，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=8，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,8)，可求得直线AQ 的直线方程为：8x -11y +40=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+8-0 2=185，∴△APQ 面积为：12×185×5185=52，综上所述，△APQ 面积为：52．1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，|AC |=4．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y =-2交于点N ．求证：MN ⎳CD ．【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析：(1)依题意，得e =c a =53，则c =53a ，又A ,C 分别为椭圆上下顶点，AC =4，所以2b =4，即b =2，所以a 2-c 2=b 2=4，即a 2-59a 2=49a 2=4，则a 2=9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ，因为P 为第一象限E 上的动点，设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2-3-0=-23，则直线BC 的方程为y =-23x -2，k PD =n -0m -3=n m -3，则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ，联立y =-23x -2y =n m -3x -3，解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6，即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6，而k PA =n -2m -0=n -2m ，则直线PA 的方程为y =n -2mx +2，令y =-2，则-2=n -2m x +2，解得x =-4m n -2，即N -4mn -2,-2 ，又m 29+n 24=1，则m 2=9-9n 24，8m 2=72-18n 2，所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23，又k CD =0+23-0=23，即k MN =k CD ，显然，MN 与CD 不重合，所以MN ⎳CD ．14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2，右焦点为F ，已知A 1F =3,A 2F =1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍，求直线A 2P 的方程．【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =12．(2)y =±62x -2 ．解析：(1)如图，由题意得a +c =3a -c =1，解得a =2,c =1，所以b =22-12=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12．(2)由题意得，直线A 2P 斜率存在，由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ，设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ，联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2，消去y 整理得：3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0，由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2，所以x P =8k 2-63+4k 2，所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2，Q 0,-2k ．所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ，所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ，所以2y Q =3y P ，即2-2k =3-12k3+4k 2，解得k =±62，所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 ．15(2022高考北京卷)已知椭圆：E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】解析:(1)依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2-b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ，设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ，不妨令-2≤x 1<x 2≤2，由y -1=k x +2x 24+y 2=1，消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0，所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0，解得k <0，所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2，直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11-y 1，直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21-y 2，所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2，所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ，即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ，解得k =-416(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q 0,12 在线段AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411，当且仅当sin θ=-111时取等号，故|PQ |的最大值是121111．(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ，因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1．则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655，当且仅当k =316时取等号，故CD 的最小值为655．17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【答案】(1)x 25+y 24=1；(2)[-3,-1)∪(1,3]．解析：(1)因为椭圆过A 0,-2 ，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b =45，即a =5，故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1．(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ， 因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB :y =y 1+2x 1x -2，令y =-3，则x M =-x1y 1+2，同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3，由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0，故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0，解得k <-1或k >1．又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3，综上，-3≤k<-1或1<k≤3．考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...：过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上．【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析．解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1．(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动．3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x1,y1,Q x2,y2在C上，且．x1>x2>0,y1>0．过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0)，∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ，∴ba=3，∴b =3a ，∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4，∴a =1，∴b =3．∴C 的方程为：x 2-y 23=1；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而x 1=x 2，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上，等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ；两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得：k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得：x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0，2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3；由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中，得：y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标：x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。
高考数学试题分类汇编大全——解析几何精编版
解得
于是 直线AC的斜率为
（3）解法一：
将直线PA的方程 代入
则
故直线AB的斜率为
其方程为
解得 .
于是直线PB的斜率
因此
解法二：
设 .
设直线PB，AB的斜率分别为 因为C在直线AB上，所以
从而
因此
27.（安徽理21）设 ，点 的坐标为（1,1），点 在抛物线 上运动，点 满足 ，经过 点与 轴垂直的直线交抛物线于点 ，点 满足 ,求点 的轨迹方程。
当 时，
由 ，
可得
令 ，
则由 ，
从而 ，
于是由 ，
可得
综上可得：
当 时，在C1上，存在点N，使得
当 时，在C1上，存在点N，使得
当 时，在C1上，不存在满足条件的点N。
32.（湖南理21）
如图7，椭圆 的离心率为 ，x轴被曲线 截得的线段长等于C1的长半轴长。
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线 与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．
（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为 解得
则点A的坐标为 .
又直线MB的斜率为 ，
同理可得点B的坐标为
于是
由 得
解得
则点D的坐标为
又直线ME的斜率为 ，同理可得点E的坐标为
于是 .
因此
由题意知，
又由点A、B的坐标可知，
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为
33.（辽宁理20）
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
2021年高考数学分类汇解析几何 及答案详解
2021年高考数学分类汇解析几何及答案详解2021年高考数学分类汇解析几何及答案详解2022高考数学分类的解析几何1、（2021年高考全国卷1文科）4．（5分）已知椭圆c：则c的离心率为（）+=1的一个焦点为（2，0），a、不列颠哥伦比亚省。
【解答】解：椭圆c：∵c=2，+=1的一个焦点为（2，0），可得a24=4，解得a=2，∴e==故选：c．=．2、（2021年高考全国卷1文科）20．（12分）设抛物线c：y2=2x，点a（2，0），b（2，0），过点a的直线l与c交于m，n两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线bm的方程；（2）证明：∠abm=∠abn．【解】解：（1）当l垂直于x轴，x=2时，将其代入抛物线解，得到y=±2，所以m （2,2）或m（2,2），直线bm的方程：y=x+1，或：y=x1．（2）证明了直线l的方程为l:x=ty+2，m（x1，Y1），n（X2，Y2），联立直线l与抛物线方程得即y1+y2=2t，y1y2=4，，消去X，得到y22ty4=0，则有kbn+kbm=+===0，因此，直线BN和BM的倾角是互补的∠ ABM=∠ 荷兰银行3、（2021年高考全国卷1理科）8．（5分）设抛物线c：y2=4x的焦点为f，过点（2，0）且斜率为的直线与c交于m，n两点，则=（）a、 5b.6c.7d.8【解答】解：抛物线c：y2=4x的焦点为f（1，0），过点（2，0）且斜率为的直线为：3y=2x+4，同时直线和抛物线C:y2=4x，消去x得到：y26y+8=0，解为Y1=2，y2=4，m（1,2），n（4,4），然后=（0，2）? （3，4）=8．，．故选：d．4.（2022年全国高考第一卷科学）11。
（5点）已知双曲线C：y2=1，o为坐标原点，f为C的右焦点、通过F的直线的交点和C的两条渐近线是m，N△ omn是一个直角三角形，然后|Mn |=（）a.b.3c．2d、四,y2=1的渐近线方程为：y=，，渐近线的夹角为：60°，不解决方案：双曲线C：妨设过f（2，0）的直线为：y=那么：解是m（，），解得：n（），那么| Mn |=因此：B=3．5.（2022年全国高考第一卷科学）19。
三年高考(2019-2021)数学(文)真题分类汇编——平面解析几何(解答题)(原卷版)
平面解析几何（解答题） 专题汇编1．【2021年全国高考甲卷数学（文）】抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M的位置关系，并说明理由．2．【2021年全国高考乙卷数学（文）】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.3．【2021年全国新高考Ⅰ卷数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.4．【2021年全国新高考II 卷数学】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =5．【2021年北京市高考数学】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．6．【2021年天津高考数学】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为25，且5BF =． （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．7．【2021年浙江省高考数学】如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RNPN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.8．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.9．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．10．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为15，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．11．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 12．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．13．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．15．【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.16．【2020年高考天津】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．17．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由．18．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．19．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．20．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点． 21．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知3||2||OA OB =（O 为原点）. （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.22．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．23．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．。
2024年高考真题分类专项(解析几何)(学生版)
2024年高考真题分类专项（解析几何）一、单选题1．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2C ．3D ．2．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ） A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax by a b +-+=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3C ．2D6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c 与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D．二、多选题7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ = C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题9．（2024年上海夏季高考数学真题）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．10．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为 ．11．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．12．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为 ．四、解答题14．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．15．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ． (1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．16．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．17．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．18．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．。
高考数学分类-解析几何
1(2020A 卷2)在椭圆Γ中,A 为长轴一个端点,B 为短轴一个端点,F 1,F 2为两个焦点,若−−→AF 1·−−→AF 2+−−→BF 1·−−→BF 2=0,则|AB ||F 1F 2|的值为.2(2020A 卷11)在平面直角坐标系中,点A ,B ,C 在双曲线xy =1上,满足△ABC 为等腰直角三角形.求△ABC 的面积的最小值.3(2020B 卷2)在平面直角坐标系xOy 中,圆Ω经过点(0,0),(2,4),(3,3),则圆Ω上的点到原点的距离的最大值为.4(2020B 卷9)在椭圆Γ中,A 为长轴一个端点,B 为短轴一个端点,F 1,F 2为两个焦点,若−−→AF 1·−−→AF 2+−−→BF 1·−−→BF 2=0,求tan ∠ABF 1·tan ∠ABF 2的值.5(2020C 卷7)设A ,B 为平面直角坐标系xOy 中的曲线xy =1(x,y >0)上的两点,向量−→m =(1,|OA |),则数量积−→m ·−−→OB 的最小值为.6(2020C 卷11)在平面直角坐标系中,椭圆Γ:x 24+y 23=1,点P 在椭圆Γ的内部,且在直线y =x 上移动.点K ,L 在Γ上,满足−−→P K ,−→P L 的方向分别为x 轴正方向与y 轴正方向.点Q 使得P KQL 为矩形.是否存在平面上两点A ,B ,使得当矩形P KQL 变化时,|QA |−|QB |为非零常数?若存在,求出线段AB 的所有可能的长度;若不存在,请说明理由.7(2019A 卷4)设A ,B 为椭圆Γ的长轴顶点,E ,F 为Γ的两个焦点,|AB |=4,|AF |=2+√3,P 为Γ上一点,满足|P E |·|P F |=2,则△P EF 的面积为.8(2019A 卷10)在平面直角坐标系xOy 中,圆Ω与抛物线Γ:y 2=4x 恰有一个公共点,且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点F ,求圆Ω的半径.9(2019B 卷7)在平面直角坐标系中,若以(r +1,0)为圆心,r 为半径的圆上存在一点(a,b )满足b 2≥4a ,则r 的最小值为.10(2019B 卷9)在椭圆Γ中,F 为一个焦点,A ,B 为两个顶点,若|F A |=3,|F B |=2,求|AB |的所有可能值.11(2018A 卷4)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别是F 1,F 2,椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴,且相交于点P .已知线段P U ,P S ,P V ,P T 的长分别为1,2,3,6,则△P F 1F 2的面积为.12(2018A卷11)在平面直角坐标系xOy中,设AB是抛物线y2=4x的过点F(1,0)的弦,△AOB 的外接圆交抛物线于点P(不同于点O,A,B).若P F平分∠AP B,求|P F|的所有可能值.13(2018B卷6)设抛物线C:y2=2x的准线与x轴交于点A,过点B(−1,0)作一条直线l与抛物线C相切于点K.过点A作l的平行线,与抛物线C交于点M,N,则△KMN的面积为.14(2018B卷11)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A,B与C,D分别是椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点与上下顶点,设P,Q是Γ上且位于第一象限的两点,满足OQ∥AP,M是线段AP的中点,射线OM与椭圆交于点R.证明:线段OQ,OR,BC能构成一个直角三角形.15(2017A卷3)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为x29+y210=1,F为C的上焦点,A为C的右顶点,P是C上位于第一象限内的动点,则四边形OAP F的面积的最大值为.16(2017B卷7)设a为非零实数,在平面直角坐标系xOy中,二次曲线x2+ay2+a2=0的焦距为4,则a的值为.17(2017B卷11)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:y2=4x,曲线C2:(x−4)2+y2=8,经过C1上一点P作一条倾斜角为45◦的直线l,与C2交于两个不同的点Q,R,求|P Q|·|P R|的取值范围.18(2016A卷7)双曲线C的方程为x2−y23=1,左右焦点分别为F1,F2,过点F2作直线与双曲线C的右半支交于点P,Q,使得∠F1P Q=90◦,则△F1P Q的内切圆半径为.19(2016A卷11)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,F是x轴正半轴上的一个动点,以F为焦点,O为顶点作抛物线C,设P是第一象限内C上的一点,Q是x轴负半轴上一点,使得P Q为C的切线,且|P Q|=2.圆C1,C2均与直线OP相切于点P,且均与轴相切.求点F的坐标,使圆C1与C2的面积之和取到最小值.20(2016B卷2)设A={a|−1≤a≤2},则平面点集B={(x,y)|x,y∈A,x+y≥0}的面积为.21(2016B卷6)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2−a=0关于直线l对称的圆为C2: x2+y2+2x−2ay+3=0,则直线l的方程为.22(2016B卷11)值平面直角坐标系xOy中,双曲线C的方程为x2−y2=1.求符合以下要求的所有大于1的实数a:过点(a,0)任意作两条互相垂直的直线l1和l2,若l1与双曲线C交于P,Q两点,l2与C交于R,S 两点,则总有|P Q|=|RS|成立.。
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编12 解析几何【含答案】
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十二、解析几何一、单选题1．（2021·全国（文））点(3,0)到双曲线x216−y29=1的一条渐近线的距离为（）A．95B．85C．65D．452．（2021·全国（文））设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）A．52B．√6C．√5D．23．（2021·全国）已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为（）A．13 B．12 C．9 D．6 4．（2021·浙江）已知a,b∈R,ab>0，函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s−t),f(s),f(s+ t)成等比数列，则平面上点(s,t)的轨迹是（）A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线5．（2021·全国（理））已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2= 60°,|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（）A B．√132C．√7D．√136．（2021·全国（理））设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（）A．√22,1)B．12,1)C．0,√22D．0,127．（2020·天津）设双曲线C的方程为22221(0,0)x ya ba b-=>>，过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）A．x24−y24=1B．x2−y24=1C．2214xy-=D．221x y-=8．（2020·北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP9．（2020·北京）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4B ．5C ．6D ．710．（2020·浙江）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =3√4−x 2图像上的点，则|OP |=（ ） A ．√222B ．4√105C ．√7D ．√1011．（2020·全国（文））设F 1,F 2是双曲线C:x 2−y 23=1的两个焦点，O 为坐标原点，点P在C 上且|OP|=2，则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．72B ．3C ．52D ．212．（2020·全国（理））若直线l 与曲线y =√x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +1213．（2020·全国（理））设双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．814．（2020·全国（文））点(0，﹣1)到直线y =k (x +1)距离的最大值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．215．（2020·全国（文））设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px(p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A ．(14,0)B ．(12,0)C ．(1,0)D ．(2,0)16．（2020·全国（文））在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则点C 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线17．（2020·全国（文））已知圆x 2+y 2−6x =0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．418．（2020·全国（理））已知⊙M ：x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线l ：2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA,PB ，切点为A,B ，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为（ ） A ．2x −y −1=0B ．2x +y −1=0C ．2x −y +1=0D ．2x +y +1=019．（2020·全国（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．920．（2020·全国（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x −y −3=0的距离为（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√5521．（2020·全国（理））设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于D,E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．3222．（2019·北京（文））已知双曲线x 2a 2−y 2=1（a ＞0）的离心率是√5 则a =A ．√6B ．4C ．2D ．1223．（2019·全国（文））已知F 是双曲线C:x 24−y 25=1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若|OP |=|OF |，则△OPF 的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．9224．（2019·北京（理））已知直线l 的参数方程为{x =1+3t,y =2+4t （t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．6525．（2019·全国（理））双曲线C ：x 24−y 22=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |=|PF |，则△PFO 的面积为 A ．3√24B ．3√22C ．2√2D ．3√226．（2019·天津（文））已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF （O 为原点），则双曲线的离心率为 A ．√2B ．√3C ．2D ．√527．（2019·全国（文））设F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A．√2B．√3C．2 D．√528．（2019·全国（文））已知椭圆C的焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若│AF2│=2│F2B│，│AB│=│BF1│，则C的方程为A．2212xy+=B．x23+y22=1C．x24+y23=1D．x25+y24=129．（2019·全国（文））双曲线C:22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A．2sin40°B．2cos40°C．1sin50°D．1cos50°30．（2019·上海）以(a1,0),(a2,0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y轴正半轴分别交于(0,y1),(0,y2)，且满足ln y1+ln y2=0，则点(1a1,1a2)的轨迹是A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线31．（2018·北京（理））在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x−my−2= 0的距离，当θ、m变化时，d的最大值为A．1B．2C．3D．432．（2018·全国（理））设F1,F2是双曲线2222:1x yCa b-=（）的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PF1|=√6|OP|，则C的离心率为A．√5B．√3C．2D．√2 33．（2018·全国（理））直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x−2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是A．[2 ， 6]B．[4 ， 8]C．[√2 ， 3√2]D．[2√2 ， 3√2] 34．（2018·全国（文））已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为A．1−√32B．2−√3C．√3−12D．√3−135．（2018·全国（理））已知F1，F2是椭圆C： x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为√36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．1436．（2017·全国（理））已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的一条渐近线方程为y =√52x ，且与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．x 28−y 210=1 B ．x 24−y 25=1 C ．x 25−y 24=1 D ．x 24−y 23=137．（2017·全国（文））过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A ．√5 B ．2√2 C ．2√3 D ．3√3二、多选题38．（2021·全国）在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AA 1=1，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则（ ） A ．当λ=1时，△AB 1P 的周长为定值 B ．当μ=1时，三棱锥P −A 1BC 的体积为定值 C ．当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP D ．当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得1A B 平面AB 1P39．（2021·全国）已知点P 在圆(x −5)2+(y −5)2=16上，点A (4,0)、B (0,2)，则（ ） A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2 C ．当∠PBA 最小时，|PB |=3√2 D ．当∠PBA 最大时，|PB |=3√240．（2020·海南）已知曲线C:mx 2+ny 2=1.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C 是圆，其半径为√nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√−mn xD ．若m =0，n >0，则C 是两条直线未命名未命名三、填空题41．（2021·全国）已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |=6，则C 的准线方程为______. 42．（2021·全国（文））已知F 1,F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |=|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________． 43．（2021·全国（理））已知双曲线C:x 2m−y 2=1(m >0)的一条渐近线为√3x +my =0，则C 的焦距为_________． 44．（2021·全国（文））双曲线x 24−y 25=1的右焦点到直线x +2y −8=0的距离为________．45．（2020·天津）已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A,B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．46．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a2﹣y 25=1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=√52x ，则该双曲线的离心率是____.47．（2020·全国（理））已知F 为双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，A 为C的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.48．（2019·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y =x +4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.49．（2019·北京（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．50．（2019·全国（理））设F 1，F 2为椭圆C:x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 51．（2019·浙江）已知椭圆x 29+y 25=1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.52．（2019·全国（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为____________．53．（2018·上海）已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，则11√2+22√2的最大值为______．54．（2018·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l:y =2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点A 的横坐标为________．55．（2018·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√32c ，则其离心率的值是________．56．（2018·北京（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2=4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.57．（2018·全国（理））已知点M(−1，1)和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB =90°，则k =________．58．（2018·浙江）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．四、解答题59．（2021·全国（文））已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线OQ 斜率的最大值.60．（2021·全国（文））抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：x =1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ．已知点M (2,0)，且⊙M 与l 相切． （1）求C ，⊙M 的方程；（2）设A 1,A 2,A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判断直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由．61．（2021·浙江）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且|MF |=2，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线MA,MB,AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且|RN |2=|PN |⋅|QN |，求直线l 在x 轴上截距的范围. 62．（2021·全国（理））在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为()2,1C ，半径为1． （1）写出⊙C 的一个参数方程;（2）过点F (4,1)作⊙C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．63．（2021·全国（理））已知抛物线C:x 2=2py (p >0)的焦点为F ，且F 与圆M:x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为4． （1）求p ；（2）若点P 在M 上，PA,PB 是C 的两条切线，A,B 是切点，求△PAB 面积的最大值． 64．（2021·全国）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(−√17,0)、F 2(√17,0)|MF 1|−|MF 2|=2，点M 的轨迹为C . （1）求C 的方程；（2）设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且|TA |⋅|TB |=|TP |⋅|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和. 65．（2020·海南）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M（2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 66．（2020·天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F ，且|OA|=|OF|，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 67．（2020·北京）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1过点A(−2,−1)，且a =2b ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B 的直线l 交椭圆C 于点M,N ,直线MA,NA 分别交直线x =−4于点P,Q ．求|PB||BQ|的值．68．（2020·山东）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且过点A (2,1)．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．69．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E:x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．70．（2020·全国（理））已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1（a >1）的左、右顶点，G为E 的上顶点，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD过定点.71．（2020·全国（文））已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．72．（2019·江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．73．（2019·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:(x−1)2+y2= 4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结DF1．已知DF1=52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．74．（2019·北京（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．75．（2019·全国（文））已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B 且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．76．（2019·上海）已知抛物线方程y2=4x,F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：d(P)=|PF|.|FQ|)时，求d(P)；（1）当P(−1,−83（2）证明：存在常数a，使得2d(P)=|PF|+a；（3）P1,P2,P3为抛物线准线上三点，且|P1P2|=|P2P3|，判断d(P1)+d(P3)与2d(P2)的关系.77．（2018·上海）设常数t>2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2，0)，直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x(0≤x≤t，y≥0)．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 距离；（2）设t =3，|FQ |=2，线段OQ 的中点在直线FP ，求△AQP 的面积；（3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由． 78．（2018·北京（文））已知椭圆M:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√63，焦距为2√2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若k =1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P (−2,0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点Q (−74,14) 共线，求k .79．（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点(√3,12)，焦点F 1(−√3,0),F 2(√3,0)，圆O 的直径为F 1F 2． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A,B 两点．若△OAB 的面积为2√67，求直线l 的方程．80．（2018·北京（理））已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值． 81．（2018·全国（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y =k |x |+2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ−3=0. （1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程. 82．（2018·全国（理））已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ： x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(1 ， m)(m >0)． （1）证明：k <−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．证明：|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，并求该数列的公差．83．（2018·全国（文））已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ： x 24+y 23=1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M(1,m)(m >0)． （1）证明：k <−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．证明：2|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |． 84．（2018·全国（理））在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为{x =cos θ，y =sin θ（θ为参数），过点(0 ， −√2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ， B 两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．85．（2018·浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+y 24=1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．86．（2018·全国（文））设抛物线C ： y 2=2x ，点A(2 ， 0)，B(−2 ， 0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：∠ABM =∠ABN ． 87．（2018·天津（理））设椭圆x 2a2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为√53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |⋅|AB |=6√2.（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：y =kx(k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若|AQ ||PQ |=5√24sin∠AOQ (O 为原点) ，求k 的值.88．（2018·全国（文））设抛物线C ： y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB| =8． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 89．（2018·天津（文））设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，|AB |=√13．（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．五、双空题90．（2021·浙江）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦点1(,0)Fc -，2(,0)F c (c >0)，若过F 1的直线和圆(x −12c)2+y 2=c 2相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.91．（2020·浙江）设直线l:y =kx +b(k >0)与圆x 2+y 2=1和圆(x −4)2+y 2=1均相切，则k =_______；b =______．92．（2019·浙江）已知圆C 的圆心坐标是(0,m)，半径长是r .若直线2x −y +3=0与圆相切于点A(−2,−1)，则m =_____，r =______. 93．（2018·北京（理））已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2−y 2n2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十二、解析几何（答案解析）1．A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可. 【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：x 216−y 29=0，即3x ±4y =0，结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x +4y =0的距离：d =√9+16=95. 故选：A. 2．A 【分析】设点P (x 0,y 0)，由依题意可知，B (0,1)，220015x y +=，再根据两点间的距离公式得到2PB ，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值． 【解析】设点P (x 0,y 0)，因为B (0,1)，220015x y +=，所以|PB |2=x 02+(y 0−1)2=5(1−y 02)+(y 0−1)2=−4y 02−2y 0+6=−4(y 0−12)2+254，而−1≤y 0≤1，所以当y 0=12时，|PB |的最大值为52． 故选：A ． 【小结】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出． 3．C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到|MF 1|+|MF 2|=2a =6，借助基本不等式|MF 1|⋅|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2即可得到答案．【解析】由题，a 2=9,b 2=4，则|MF 1|+|MF 2|=2a =6，所以|MF 1|⋅|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2=9（当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，等号成立）．故选：C ． 【小结】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解. 4．C 【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【解析】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦，对其进行整理变形：(as 2+at 2−2ast +b )(as 2+at 2+2ast +b )=(as 2+b )2，()()222222(2)0asat b ast as b++--+=，()2222222240asat b at a s t ++-=，222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或t =0，其中2212s t b b a a-=为双曲线，t =0为直线.故选：C. 【小结】关键点小结：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题. 5．A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出|PF 1|,|PF 2|，结合余弦定理可得答案.【解析】因为|PF1|=3|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2|PF2|=2a，所以|PF2|=a，|PF1|=3a；因为1260F PF∠=︒,由余弦定理可得4c2=9a2+a2−2×3a⋅a⋅cos60°，整理可得4c2=7a2，所以e2=c2a2=74，即e=√72.故选：A【小结】关键小结：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键. 6．C【分析】设P(x0,y0)，由B(0,b)，根据两点间的距离公式表示出|PB|，分类讨论求出|PB|的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【解析】设P(x0,y0)，由B(0,b)，因为x02a2+y02b2=1，a2=b2+c2，所以|PB|2=x02+(y0−b)2=a2(1−y02b2)+(y0−b)2=−c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2，因为−b≤y0≤b，当−b3c2≤−b，即b2≥c2时，|PB|max22，即|PB|max，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<e≤√22；当−b3c2>−b，即b2<c2时，|PB|max2b4c222，即b4c2+a2+b2≤4b2，化简得，(c2−b2)2≤0，显然该不等式不成立．故选：C．【小结】本题解题关键是如何求出|PB|的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．7．D【分析】由抛物线的焦点(1,0)可求得直线l的方程为x+yb=1，即得直线的斜率为−b，再根据双曲线的渐近线的方程为y=±ba x，可得−b=−ba，−b×ba=−1即可求出a,b，得到双曲线的方程．【解析】由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l的方程为x+yb=1，即直线的斜率为−b，又双曲线的渐近线的方程为y=±ba x，所以−b=−ba，−b×ba=−1，因为0,0a b>>，解得a=1,b=1．故选：D．【小结】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．8．B【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P，即求解.【解析】如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|=|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：B.【小结】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.9．A【分析】求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点O的距离减去半径1可得答案.【解析】设圆心C(x,y)，则√(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|+1≥|OM|=√32+42=5，所以|OC|≥5−1=4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A.【小结】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.10．D【分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数234y x=-即可求出点P的坐标，得到|OP|的值．【解析】因为|PA|−|PB|=2<4，所以点P在以A,B为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由c=2,a=1可得，b2=c2−a2=4−1=3，即双曲线的右支方程为x2−y23=1(x>0)，而点P还在函数234y x=-的图象上，所以，由{y=3√4−x2x2−y23=1(x>0)，解得{x=√132y=3√32，即|OP|=√134+274=√10．故选：D.【小结】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．11．B 【分析】由△F 1F 2P 是以P 为直角直角三角形得到|PF 1|2+|PF 2|2=16，再利用双曲线的定义得到||PF 1|−|PF 2||=2，联立即可得到12||||PF PF ，代入12F F P S =△12|PF 1||PF 2|中计算即可.【解析】由已知，不妨设F 1(−2,0),F 2(2,0)， 则a =1,c =2，因为|OP |=2=12|F 1F 2|， 所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，即△F 1F 2P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即|PF 1|2+|PF 2|2=16，又||PF 1|−|PF 2||=2a =2，所以4=||PF 1|−|PF 2||2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|=16−212||||PF PF ，解得|PF 1||PF 2|=6，所以12F F P S =△12|PF 1||PF 2|=3故选：B 【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 12．D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【解析】设直线l 在曲线y =√x 上的切点为(x 0,√x 0)，则x 0>0，函数y =√x 的导数为y ′=2√x ，则直线l 的斜率k =2√x ，设直线l 的方程为y −√x 0=2√x x −x 0)，即x −2√x 0y +x 0=0， 由于直线l 与圆x 2+y 2=15相切，则0√1+4x =√5，两边平方并整理得5x 02−4x 0−1=0，解得x 0=1，x 0=−15（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即y =12x +12. 故选：D. 【小结】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 13．A 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【解析】∵ca =√5，5c a ∴，根据双曲线的定义可得||PF 1|−|PF 2||=2a ， S △PF 1F 2=12|PF 1|⋅|PF 2|=4，即|PF 1|⋅|PF 2|=8，∵F 1P ⊥F 2P ，∴|PF 1|2+|PF 2|2=(2c )2，∴(|PF 1|−|PF 2|)2+2|PF 1|⋅|PF 2|=4c 2，即a 2−5a 2+4=0，解得1a =， 故选：A. 【小结】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 14．B 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点P(−1,0)，设A(0,−1)，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果. 【解析】由(1)y k x =+可知直线过定点P(−1,0)，设A(0,−1)，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大， 即为|AP|=√2. 故选：B. 【小结】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.15．B【分析】，从而可以根据题中所给的条件OD⊥OE，结合抛物线的对称性，可知∠DOx=∠EOx=π4确定出点D的坐标，代入方程求得p的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【解析】因为直线x=2与抛物线y2=2px(p>0)交于E,D两点，且OD⊥OE，，所以D(2,2)，根据抛物线的对称性可以确定∠DOx=∠EOx=π4,0)，代入抛物线方程4=4p，求得p=1，所以其焦点坐标为(12故选：B.【小结】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.16．A【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【解析】设AB=2a(a>0)，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：A(−a,0),B(a,0)，设C(x,y)，可得：AC→=(x+a,y),BC→=(x−a,y)，从而：AC→⋅BC→=(x+a)(x−a)+y2，结合题意可得：(x+a)(x−a)+y2=1，整理可得：x2+y2=a2+1，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，√a2+1为半径的圆.故选：A.【小结】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．B【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【解析】圆x2+y2−6x=0化为(x−3)2+y2=9，所以圆心C坐标为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时|CP|=√(3−1)2+(−2)2=2√2根据弦长公式得最小值为2√9−|CP|2=2√9−8=2.故选：B.【小结】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.18．D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A,P,B,M共圆，且AB⊥MP，根据|PM|⋅|AB|=4S△PAM=4|PA|可知，当直线MP⊥l时，|PM|⋅|AB|最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程．【解析】圆的方程可化为(x−1)2+(y−1)2=4，点M到直线l的距离为d=√22+12=√5>2，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点A,P,B,M四点共圆，且AB⊥MP，所以|PM|⋅|AB|=4S△PAM=4×12×|PA|×|AM|=4|PA|，而|PA|=√|MP|2−4，当直线MP⊥l时，|MP|√5min，|PA|min，此时|PM|⋅|AB|最小．∴MP:y−1=12(x−1)即y=12x+12，由{y=12x+122x+y+2=0解得，{x=−1y=0．所以以MP为直径的圆的方程为(x−1)(x+1)+y(y−1)=0，即x2+y2−y−1=0，两圆的方程相减可得：2x+y+1=0，即为直线AB的方程．故选：D.【小结】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．19．C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|=x A+p2=12，即12=9+p2，解得p=6.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 20．B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(a,a),a>0，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点(2,1)在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x−y−3=0的距离.【解析】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a,a)，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x−a)2+(y−a)2=a2.由题意可得(2−a)2+(1−a)2=a2，可得a2−6a+5=0，解得1a=或a=5，所以圆心的坐标为(1,1)或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d⨯--==；圆心到直线的距离均为225532555d⨯--==圆心到直线2x−y−3=0的距离均为d=√5=2√55；所以，圆心到直线2x−y−3=0的距离为2√55.故选：B.【小结】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 21．B【分析】因为C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c= 2√a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.【解析】∵C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=ba x，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=−ba x，解得{x=ay=−b故E(a,−b)∴|ED|=2b ∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8当且仅当a=b=2√2取等号。
高考数学试题分类汇编解析几何(解答题1)及参考答案
3．（全国 I 文）（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 有一个以 F1 0, 3 和 F2 0, 3 为焦点、 离心率为
3 的 2
椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点 P 处的切线与 x、 y 轴的交 点分别为 A、B，且向量 OM OA OB 。求： （Ⅰ）点 M 的轨迹方程； （Ⅱ） OM 的最小值。
FM AB 2
FM
1
, AB (
1
)2
所以 S f ( )
FM AB 2
1 1 3 1 3 ( ) 2 4 2 2
当且仅当 1 时取等号 本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点 涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大
2
OA OB
OA OB
2
,
即 OA 2OA OB OB OA 2OA OB OB , 整理得 OA OB 0.
2
2
x12 x1 ( x x1 ) 4 2
2 x2 x 2 ( x x2 ) 4 2
过 A 点的切线方程为 y
(1)
过 B 点的切线方程为 y
(2)
解(1)( 2)构成的方程组可得点 M 的坐标,从而得到 FM AB =0 即为定值 2. FM AB =0 可 得 FM AB 三角形面积 S f ( )
2 y12 y2 4 p2
又 x1 x2 y1 y2 0,
高考数学全国卷分类汇编解析几何
-高考数学全国卷分类汇编(解析几何）————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:20１0－2017新课标全国卷分类汇编（解析几何)1.（２0１7课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点,过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点,AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14 Ｃ．12ﻩＤ．10【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴ﻫ易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）ﻫcos AF P AF θ⋅+=∴ 同理1cos P AF θ=-,1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =.ﻫ∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θﻫ21616sin 2θ=≥,当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ,理15)已知双曲线2222:x y C a b-，(0a >，0b >)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为＿___＿__．【答案】233【解析】如图，OA a =，AN AM b ==ﻫ∵60MAN ∠=︒，∴32AP b =，222234OP OA PA a b =-=-∴2232tan 34b AP OP a b θ==-又∵tan b aθ=，∴223234bb a a b =-,解得223a b = ∴221231133b e a =+=+=3.(2017课标全国Ⅰ,理20）（１２分)已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，,()201P ，，3312P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,4312P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. (１)求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点,若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-,证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性,必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点ﻫ将()2330112P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，代入椭圆方程得 222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =,21b =ﻫ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．ﻫ(2)①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =,此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点,故不满足． ②当斜率存在时,设()1l y kx b b =+≠∶,()()1122A x y B x y ，，，ﻫ联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=ﻫ122814kb x x k -+=+,21224414b x x k -⋅=+,ﻫ则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+ﻫ()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-,存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时,1y =-，所以l 过定点()21-，.4．(２017课标全国Ⅱ，理９)若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为 Ａ．2 Ｂ．3 C.2Ｄ.332【答案】A【解析】由几何关系可得,双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为22213d =-=，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为222023b a bd ca b +⨯===+， 即2224()3c a c -=,整理可得224c a =，双曲线的离心率2242c e a ===.故选A. 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率（或离心率的取值范围)，常见有两种方法:①求出a ,c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ,b ，c 的齐次式，结合ｂ2=c 2－a ２转化为a ，c 的齐次式,然后等式(不等式）两边分别除以ａ或ａ2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式）即可得e (e 的取值范围）.5.(2017课标全国Ⅱ，理１6)已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点,M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点,则=FN ．【答案】6 【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F',作MB l ⊥与点B ,NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-,则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==,由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=.【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化.6．(20１7课标全国Ⅱ,理2０)（１2分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆12:22=+y x C 上,过M作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足NM NP 2=.（１）求点P 的轨迹方程;（2）设点Q 在直线3-=x 上,且1=⋅PQ OP ． 证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解:(1)设)(y x P ，，则)22(y x M ，,将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x ．（2)由题可知)01(，-F ,设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m PF t OQ ---=-=，，，， )3( )(n t m PQ n m OP ---==，，，．由1=⋅OQ OP 得1322=-+--n tn m m ,由(1)有222=+n m ,则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m PF OQ ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7.（201７课标全国Ⅲ，理１)已知集合Ａ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ＝{}(,)x y y x =│,则A ⋂B 中元素的个数为A.3B.2 Ｃ．1 D ．０【答案】Ｂ【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合,B 表示直线y x =上所有点的集合，故AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2,即A B 元素的个数为2，故选B.8．(2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b -= (a >0，ｂ>0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则Ｃ的方程为A. 221810x y -= Ｂ. 22145x y -= Ｃ. 22154x y -= D. 22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52y x =,则52b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =,则2229a b c +==②由①②解得2,5a b ==,则双曲线C 的方程为22145x y -=,故选B. ９．（20１7课标全国Ⅲ,理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，(ａ>b >0)的左、右顶点分别为A 1，Ａ2，且以线段Ａ1Ａ２为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 Ａ．63 B.33 Ｃ．23Ｄ.13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴222abd a a b==+又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴63c e a ==，故选A10．(201７课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中,1AB =,2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+,则λμ+的最大值为（） A ．３ﻩﻩB.22ﻩC.5ﻩ ﻩD ．２【答案】Ａ【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ,连接CE .以A 为原点，AD 为x 轴正半轴,AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =. ∴22125BD =+=. ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD .∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||2222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C 的半径为255． ∵P 在C 上.∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=. 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下:00225cos 5215sin 5x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y =,(0,1)AB =，(2,0)AD =. ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+= ∴0151cos 25x μθ==+,0215sin 5y λθ==+． 两式相加得:222515sin 1cos 552552()()sin()552sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=+++=++≤ (其中5sin 5ϕ=，25cos 5ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3.１１.（2017课标全国Ⅲ，理2０)(１2分)已知抛物线C ：ｙ2=２x ，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点,圆Ｍ是以线段ＡＢ为直径的圆．()A O DxyB PCE(1）证明：坐标原点Ｏ在圆M 上;(２)设圆M 过点P （４，-2）,求直线l 与圆Ｍ的方程． 解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x =+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥O Ｂ故坐标原点Ｏ在圆M 上.(2)由（1)可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ,圆Ｍ的半径()2222r m m =++由于圆Ｍ过点P （4,-2）,因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由(１）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时,直线l 的方程为x-y-2=0,圆心M 的坐标为(3,1)，圆Ｍ的半径为10,圆Ｍ的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时,直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为854，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.(2016课标全国Ⅰ,理5)已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是(A ）)3,1(-ﻩﻩ（B ）)3,1(-(C ）)3,0( ﻩ(D))3,0(432112344224xEDABC【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->,∴223m n m -<<由双曲线性质知:()()222234c m n m n m =++-=,其中c 是半焦距,∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选Ａ.13.（２０16课标全国Ⅰ，理１0）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点,已知24=AB ，52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 ﻩ(B ）4 ﻩ(Ｃ）６ﻩﻩ （Ｄ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设()0,22A x ，,52pD ⎛⎫- ⎪⎝⎭,点()0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点,52pD ⎛⎫- ⎪⎝⎭在圆222x y r +=上,∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②;点()0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③;联立①②③解得:4p =， 焦点到准线的距离为4p =.故选Ｂ.14.(2０1６课标全国Ⅰ,理２0)（本小题满分1２分)设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合,l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程; ﻩ(Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ,直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】：⑴圆A 整理为()22116x y ++=,A 坐标()1,0-，如图,BE AC ∥，则C EBD =∠∠,由,AC AD D C ==则∠∠， EBD D ∴=∠∠，则EB ED=，4||AE EB AE ED AD AB ∴+=+==>根据椭圆定义为一个椭圆,方程为22143x y +=，(0y ≠);F4 32112344224xQPNMAB()()2222222363634121||1||13434M Nm m mMN m y y mm m+++=+-=+=++⑵221:143x yC+=ﻩ；设:1l x my=+，因为PQ l⊥，设():1PQ y m x=--,联立1l C与椭圆:221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my++-=，则圆心A到PQ距离()22|11||2|11m mdm m---==++，所以2222224434||2||21611m mPQ AQ dm m+=-=-=++,())2222222121114342411||||2412,831223413431MPNQm m mS MN PQm m mm+++⎡∴=⋅=⋅⋅==∈⎣+++++15.（2０1６课标全国Ⅱ,理4)圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-(C）3(D）２16.(２01６课标全国Ⅱ,理１１）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左,右焦点,点M在E上,1MF与x轴垂直,211sin3MF F∠=,则E的离心率为( )(A）2（B）32(C）3(Ｄ)２１７.（20１６课标全国Ⅱ，理20）(本小题满分１2分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点,点N 在E 上，MA NA ⊥．(Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时,求AMN ∆的面积;(Ⅱ)当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ).【解析】试题分析:（Ⅰ)先求直线的方程，再求点的纵坐标,最后求的面积;(Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组,消去，用表示，从而表示,同理用表示，再由求.试题解析：(I)设，则由题意知，当时,的方程为,.由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积．(ＩI)由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设,直线的方程为,故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于,即.由此得，或，解得.因此的取值范围是．考点：椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.18.(2016课标全国Ⅲ，理11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点,,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为（ )（A ）13 ﻩﻩ（B ）12 ﻩ（C ）23 ﻩ（D)34【答案】A考点:椭圆方程与几何性质.【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法:（1)直接求得,a c 的值，进而求得e 的值;(２)建立,,a b c 的齐次等式,求得ba 或转化为关于e 的等式求解；（3)通过特殊值或特殊位置，求出e .1９.(２０１6课标全国Ⅲ，理1６)已知直线l :330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点,若23AB =,则||CD =_＿＿_＿_＿____＿____＿_.【答案】4考点:直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面,要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化),把它转化为代数问题；另一方面,由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密,因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件,利用几何知识使问题较为简捷地得到解决.２0.(20１6课标全国Ⅲ，理20)(本小题满分12分）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点,交C 的准线于P Q ，两点．（Ｉ)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（ＩI ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ)21y x =-.试题解析:由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x ． .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ,则222111k b a ab a ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ．.．.．.5分（Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去)，11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E ． 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2,所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ...．１2分 考点:1、抛物线定义与几何性质;2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法.【方法归纳】(１)解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明;（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法(相关点法）,利用代入法求解时必须找准主动点与从动点.2１.(2015课标全国Ⅰ,理5) 已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点,12,F F 是C 的两个焦点,若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是（Ａ)33(,)33-(B) 33(,)66- (C) 2222(,)33- （D)2323(,)33-答案：A解析：由条件知F１(－，０),Ｆ2（，0),＝（－-x0,－y０)，＝（-x0,－y０)，－3<０．ﻩ①又＝1，＝2＋2.代入①得，∴-<y0<２2.(2015课标全国Ⅰ,理１4)一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为答案:+y2＝解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为（4,0),（0，2),(0，－2),设圆心为(ａ，0)（ａ>0)，所以=４－a，解得a=，故圆心为,此时半径ｒ＝4－,因此该圆的标准方程是+ｙ2=23.(2015课标全国Ⅰ,理20）在直角坐标系xOy中,曲线2:4xC y=与直线:(0)l y kx a a=+>交于,M N两点。
2023年高考文科数学解析分类汇编解析几何(逐题详解)
2023年高考文科数学解析分类汇编解析
几何(逐题详解)
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解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程21．B12，H1[新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 2e －x. (1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围． 21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．f ′(x)＝－e －xx(x －2)．①当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0； 当x∈(0，2)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e －2.(2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为 y ＝f′(t)(x－t)＋f(t)． 所以l 在x 轴上的截距为m(t)＝t －f （t ）f′（t ）＝t ＋t t －2＝t －2＋2t －2＋3.由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h(x)＝x ＋2x (x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2 2，＋∞)；当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[2 2＋3，＋∞)． 综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[2 2＋3，＋∞)．5．H1，H4[天津卷] 已知过点P(2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12 B ．1C ．2 D.125．C [解析] 设过点P(2，2)的圆的切线方程为y －2＝k(x －2)，由题意得|k －2|1＋k2＝5，解之得k ＝－12.又∵切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a＝2.15．H1，C8，E8[四川卷] 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．15．(2，4) [解析] 在以A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC ，BD 交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC 所在直线方程为y ＝2x ，BD 所在直线方程为y ＝－x ＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．H2 两直线的位置关系与点到直线的距离20．H2，H4[新课标全国卷Ⅱ] 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 20．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.4．H2、H3和H4[重庆卷] 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．24．B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.H3 圆的方程14．H3[江西卷] 若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．14．(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254 [解析] r 2＝4＋(r －1)2，得r ＝52，圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，－32.故圆C的方程是(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.21．F2、F3、H3、H5和H8[重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．图1－521．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e ＝8，从而a 2＝b 21－e ＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216 ＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x∈[－4，4])． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12³2 8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116|x 0|＝2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.4．H2、H3和H4[重庆卷] 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．24．B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系6．H4[安徽卷] 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．4 66．C [解析] 圆的标准方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1，2)到直线x ＋2y －5＋5＝0的距离d ＝1，所以直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0所截得的弦长l ＝2r 2－d 2＝4.7．H4[广东卷] 垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝07．A [解析] 设直线方程为y ＝－x ＋m ，且原点到此直线的距离是1，即1＝m 2，解得m＝± 2.当m ＝－2时，直线和圆切于第Ⅲ象限，故舍去，选A.14．H4[湖北卷] 已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________．14．4 [解析] 圆心到直线的距离d ＝1，r ＝5，r －d>d ，所以圆O 上共有4个点到直线的距离为1，k ＝4.10．H4[江西卷] 如图1－3所示，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y ＝f(t)的图像大致为( )图1－3图1－410.B [解析] 如图，设∠MOA＝α，cos α＝1－t ，cos 2α＝2cos 2α－1＝2t 2－4t ＋1，x ＝2α²1＝2α，y ＝cos x ＝cos 2α＝2t 2－4t ＋1，故选B.20．H2，H4[新课标全国卷Ⅱ] 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 20．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.13．H4[山东卷] 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 13．2 2 [解析] 设弦与圆的交点为A 、B ，最短弦长以(3，1)为中点，由垂径定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＋(3－2)2＋(2－1)2＝4，解之得|AB|＝2 2.8．H4[陕西卷] 已知点M(a ，b)在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定8．B [解析] 由题意点M(a ，b)在圆x 2＋y 2＝1外，则满足a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线ax ＋by ＝1与圆O 相交． 5．H1，H4[天津卷] 已知过点P(2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12 B ．1C ．2 D.125．C [解析] 设过点P(2，2)的圆的切线方程为y －2＝k(x －2)，由题意得|k －2|1＋k2＝5，解之得k ＝－12.又∵切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a＝2.20．H4，E8，B1[四川卷] 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q(m ，n)是线段MN 上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2.请将n 表示为m 的函数．20．解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k)2－4(1＋k 2)³12>0，得k 2>3.所以，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3＋∞)．(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM|2＝(1＋k 2)x 21，|ON|2＝(1＋k 2)x 22.又|OQ|2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2， 由2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2，得 2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2m 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2，所以m 2＝365k 2－3.因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3中并化简，得5n 2－3m 2＝36.由m 2＝365k 2－3及k 2>3，可知0<m 2<3，即m∈(－3，0)∪(0，3)． 根据题意，点Q 在圆C 内，则n>0， 所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805. 于是，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m∈(－3，0)∪(0，3))．13．H4[浙江卷] 直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．13．4 5 [解析] 圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心到直线的距离为d ＝|2³3－4＋3|5＝5，所以弦长为252－（5）2＝220＝4 5. 4．H2、H3和H4[重庆卷] 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．24．B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.H5 椭圆及其几何性质21．H5，H10[安徽卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(2，3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q(x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ，取点A(0，22)，联结AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ，点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．21．解：(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P(2，3)，所以2a 2＋3b 2＝1，故a 2＝8，b 2＝4，从而椭圆C 的方程为x 28＋y24＝1.(2)由题意，E 点坐标为(x 0，0)，设D(x D ，0)，则AE →＝(x 0，－22)，AD →＝(x D ，－22)． 再由AD⊥AE 知，AE →²AD →＝0，即x 0x D ＋8＝0.由于x 0y 0≠0，故x D ＝－8x 0.因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以G 8x 0，0，故直线QG 的斜率k QG ＝y 0x 0－8x 0＝x 0y 0x 20－8.又因Q(x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 20＋2y 20＝8.① 从而k QG ＝－x 02y 0.故直线QG 的方程为y ＝－x 02y 0x －8x 0.②将②代入椭圆C 方程，得(x 20＋2y 20)x 2－16x 0x ＋64－16y 20＝0.③再将①代入③，化简得x 2－2x 0x ＋x 20＝0，解得x ＝x 0，y ＝y 0，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．19．M2，H5，H10[北京卷] 直线y ＝kx ＋m(m≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0，1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．19．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝± 3. 所以|AC|＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k²x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k²⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．15．H5[全国卷] 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4，则z ＝－x ＋y 的最小值为________．15．0 [解析] 已知不等式组表示区域如图中的三角形ABC 及其内部，目标函数的几何意义是直线y ＝x ＋z 在y 轴上的截距，显然在点A 取得最小值，点A(1，1)，故z min ＝－1＋1＝0.8．H5[全国卷] 已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y24＝1 8．C [解析] 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，与直线x ＝1联立得y ＝±b2a (c ＝1)，所以2b 2＝3a ，即2(a 2－1)＝3a ，2a 2－3a －2＝0，a>0，解得a ＝2(负值舍去)，所以b 2＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y23＝1.15．H5，H8[福建卷] 椭圆Γ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．15.3－1 [解析] 如图，△MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝60°，所以∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°.又|F 1F 2|＝2c ，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c.根据椭圆定义得2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ，得e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 9．H5[广东卷] 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y23＝1 9．D [解析] 设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，由题知c ＝1，c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，选D.12．H5[江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>0，b>0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．12.33 [解析] 由题意知F(c ，0)，l ：x ＝a 2c ，不妨设B(0，b)，则直线BF ：x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.于是d 1＝|－bc|b 2＋c2＝bca ， d 2＝a 2c －c ＝a 2－c 2c ＝b2c.由d 2＝6d 1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c 2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2，化简得6c 4＋a 2c 2－a 4＝0，即6e 4＋e 2－1＝0，解得e 2＝13或e 2＝－12(舍去)，故e ＝33，故椭圆C 的离心率为33. 20．H5，H8[江西卷] 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图1－8所示，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m.证明：2m －k 为定值．图1－820．解：(1)因为e ＝32＝c a， 所以a ＝23c ，b ＝13c ，代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：因为B(2，0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫k≠0，k≠ ±12，① ①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D(0，1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N(x ，0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k （2k ＋1）2（2k ＋1）－2（2k －1）＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．方法二：设P(x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则k ＝y 0x 0－2. 直线AD 的方程为：y ＝12(x ＋2)，直线BP 的方程为：y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0y 0－1，0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x ＋2），y ＝y0x 0－2（x －2），解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，因此MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1＝4y 0（y 0－1）4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0（y 0－1）4y 20－8y 0＋4x 0y 0－（4－4y 20）＋4＝y 0－12y 0＋x 0－2. 所以2m －k ＝2（y 0－1）2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2（y 0－1）（x 0－2）－y 0（2y 0＋x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）＝2（y 0－1）（x 0－2）－2y 20－y 0（x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）＝2（y 0－1）（x 0－2）－12（4－x 20）－y 0（x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）＝12(定值)． 11．H5[辽宁卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，联结AF ，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.6711．B [解析] 设椭圆的右焦点为Q ，由已知|BF|＝8，利用椭圆的对称性可以得到|AQ|＝8，△FAQ 为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a ＝14，2c ＝10，所以e ＝57.5．H5[新课标全国卷Ⅱ] 设椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B.13C.12D.335．D [解析] 设PF 2＝x, 则PF 1＝2x ，由椭圆定义得3x ＝2a ，结合图形知，2a 32c ＝33 ca ＝33，故选D. 22．H5，H8[山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP →＝tOE →，求实数t 的值．22．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，故题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(i)当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意－2＜m ＜0或0＜m ＜ 2.将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得|y|＝2－m22. 所以S △AOB ＝|m|2－m 22＝64. 解得m 2＝32或m 2＝12.①又OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(2m ，0)＝(mt ，0)，因为P 为椭圆C 上一点， 所以（mt ）22＝1.②由①②得 t 2＝4或t 2＝43，又因为t>0，所以t ＝2或t ＝2 33.(ii)当A ，B 两点关于x 轴不对称时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋h.将其代入椭圆的方程x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由判别式Δ>0可得1＋2k 2>h 2， 此时x 1＋x 2＝－4kh 1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2h ＝2h1＋2k2， 所以|AB|＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2 21＋k 21＋2k 2－h21＋2k 2. 因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h|1＋k2，所以S △AOB ＝12|AB|d＝12³2 21＋k 2 1＋2k 2－h 21＋2k 2|h|1＋k2＝ 2 1＋2k 2－h 21＋2k |h|. 又S △AOB ＝64， 所以 2 1＋2k 2－h 21＋2k 2|h|＝64.③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0， 解得n ＝4h 2或n ＝43h 2，即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝43h 2.④又OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2， 因为P 为椭圆C 上一点，所以t 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kh 1＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1＋2k 22＝1，即h 21＋2k2t 2＝1.⑤ 将④代入⑤得t 2＝4或t 2＝43，又知t>0，故t ＝2或t ＝2 33，经检验，适合题意．综合(i)(ii)得t ＝2或t ＝2 33.20．H5，H8[陕西卷] 已知动点M(x ，y)到直线l ：x ＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P(0，3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．20．解： (1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN|. 由此得|4－x|＝2（x －1）2＋y 2.化简得x 24＋y23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y23＝1.(2)方法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k)2－4³24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k.②又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③ 将③代入①，②，得 x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k2，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2>32， 解得k ＝－32或k ＝32，所以，直线m 的斜率为－32或32.方法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点，∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.②又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0， 即点B 的坐标为(2，0)或(－2，0)， 所以，直线m 的斜率为－32或32.9．H5[四川卷] 从椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22 D.329．C [解析] 由已知，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，A(a ，0)，B(0，b)，于是由k AB ＝k OP 得－b a ＝b2a －c ，整理得b ＝c ，从而a ＝b 2＋c 2＝2c.于是，离心率e ＝c a ＝22. 18．H5，H8[天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33.(1)求椭圆的方程； (2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →²DB →＋AD →²CB →＝8，求k 的值．18．解：(1)设F(－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c.过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是2 6b 3＝4 33，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y22＝1.(2)设点C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由F(－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A(－3，0)，B(3，0)，所以AC →²DB →＋AD →²CB →＝(x 1＋3，y 1)²(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)²(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k2＝8，解得k ＝± 2.21．H5、H9、H10[新课标全国卷Ⅰ] 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.21．解：由已知得圆M 的圆心为M(－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y23＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ， 则|QP||QM|＝Rr 1，可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)． 由l 与圆M 相切得|3k|1＋k2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1，2＝－4±6 27， 所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性得|AB|＝187.综上，|AB|＝2 3或|AB|＝187.9．H5，H6[浙江卷] 如图1－4所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图1－4A. 2B. 3C.32D. 629．D [解析] 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2＝12，2mn ＝(m ＋n)2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n)2＝m 2＋n 2－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝62，选择D.21．F2、F3、H3、H5和H8[重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．图1－521．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216 ＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x∈[－4，4])． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|P P′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12³2 8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116|x 0|＝2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.H6 双曲线及其几何性质22．H6、H8、D3[全国卷] 已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．22．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，并求得x ＝±a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝（x 1＋3）2＋y 21＝（x 1＋3）2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199. 由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 22－8＝3x 2－1， 故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|²|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.因而|AF 2|²|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．4．H6[福建卷] 双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22 C ．1 D. 24．B [解析] 取一顶点(1，0)，一条渐近线x －y ＝0，d ＝12＝22，故选B. 2．H6[湖北卷] 已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等2．D [解析] c 1＝c 2＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，故焦距相等．14．H6[湖南卷] 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．14.3＋1 [解析] 如图，因PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，故|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，则|PF 1|＝3c ，又由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，故c a ＝23－1＝3＋1.3．H6[江苏卷] 双曲线x 216－y29＝1的两条渐近线的方程为________．3．y ＝±34x [解析] 令x 216－y 29＝0，得渐近线方程为y ＝±34x.11．H6，H7[山东卷] 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.2 33 D.4 3311．D [解析] 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2，0)，连线的方程为y ＝－p 4(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p4（x －2），y ＝12px 2得2x 2＋p 2x －2p 2＝0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′错误!错误!＝错误!.又∵双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0得，p ＝4 33或p ＝0(舍去)．11．H6[陕西卷] 双曲线x 216－y29＝1的离心率为________．11.54 [解析] 由双曲线方程中a 2＝16, b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝25，则e ＝c a ＝54. 11．H6，H7[天津卷] 已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．11．x 2－y 23＝1 [解析] 由抛物线的准线方程为x ＝－2，得a 2＋b 2＝4，又∵双曲线的离心率为2，得c a ＝2，得a ＝1，b 2＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.7．A2，H6[北京卷] 双曲线x 2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m>12 B ．m ≥1C ．m>1D ．m>27．C [解析] 双曲线的离心率e ＝ca＝1＋m>2，解得m>1.故选C.4．H6[新课标全国卷Ⅰ] 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x4．C [解析] 52＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以b a ＝12，故所求的双曲线渐近线方程是y ＝±12x. 9．H5，H6[浙江卷] 如图1－4所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图1－4A. 2B. 3C.32D. 629．D [解析] 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2＝12，2mn ＝(m ＋n)2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n)2＝m 2＋n 2－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝22，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝62，选择D.10．E1、H6和H8[重庆卷] 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤2 33，2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2 33，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2 33，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2 33，＋∞10．A [解析] 设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率ba 必须满足33<b a ≤3，所以13<⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤3，43<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤4，即有23 3<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤2.又双曲线的离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以23 3<e ≤2.H7 抛物线及其几何性质9．H7[北京卷] 若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，则p ＝________；准线方程为________.9．2 x ＝－1 [解析] ∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，∴p 2＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.20．H7，H8[福建卷] 如图1－5，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N.(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2＝|AM|²|AN|，求圆C 的半径．图1－520．解：(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1，2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO|＝5，所以|MN|＝2 |CO|2－d 2＝2 5－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 22＝0.设M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 20－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF|2＝|AM|²|AN|，得|y 1y 2|＝4， 所以y 22＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6， 从而|CO|2＝334，|CO|＝332，即圆C 的半径为332.20．H7，H8，H10[广东卷] 已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为3 22，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P(x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF|²|BF|的最小值． 20．解：21．B12[广东卷] 设函数f(x)＝x 3－kx 2＋x(k∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k<0时，求函数f(x)在[k ，－k]上的最小值m 和最大值M. 21．解：9．H7[江西卷] 已知点A(2，0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|∶|MN|＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶39．C [解析] FA ：y ＝－12x ＋1，与x 2＝4y 联立，得x M ＝5－1，FA ：y ＝－12x ＋1，与y＝－1联立，得N(4，－1)，由三角形相似知|FM||MN|＝x M 4－x M ＝15，故选C.10．H7[新课标全国卷Ⅱ] 设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF|＝3|BF|，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1)C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1)10．C [解析] 抛物线的焦点为F(1，0)，若A 在第一象限，如图1－5，设AF ＝3m ，BF ＝m.过B 作AD 的垂线交AD 于G ，则AG ＝2m ，由于AB ＝4m ，故BG ＝23m ，tan ∠GAB ＝ 3.∴直线AB 的斜率为 3.同理，若A 在第四象限，直线AB 的斜率为－3，故答案为C.图1－511．H6，H7[山东卷] 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.2 33 D.4 3311．D [解析] 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2，0)，连线的方程为y ＝－p 4(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p4（x －2），y ＝12px 2得2x 2＋p 2x －2p 2＝0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′⎪⎪⎪ )x ＝a ＝ap.又∵双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0得，p ＝4 33或p ＝0(舍去)．11．H6，H7[天津卷] 已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．11．x 2－y 23＝1 [解析] 由抛物线的准线方程为x ＝－2，得a 2＋b 2＝4，又∵双曲线的离心率为2，得c a ＝2，得a ＝1，b 2＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.5．H7，H8[四川卷] 抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( )A ．2 3B ．2 C. 3 D ．15．D [解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点为F(2，0)，该点到直线x －3y ＝0的距离为d ＝|2|12＋（－3）2＝1.8．H7[新课标全国卷Ⅰ] O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4 2，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．48．C [解析] 设P(x 0，y 0)，根据抛物线定义得|PF|＝x 0＋2，所以x 0＝3 2，代入抛物线方程得y 2＝24，解得|y|＝2 6，所以△POF 的面积等于12²|OF|²|y|＝12³2³2 6＝2 3.H8 直线与圆锥曲线(AB 课时作业)22．H6、H8、D3[全国卷] 已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．22．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，并求得x ＝±a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k －8，x 1x 2＝9k 2＋8k －8.于是|AF 1|＝（x 1＋3）2＋y 21＝（x 1＋3）2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199. 由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 22－8＝3x 2－1，故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|²|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.因而|AF 2|²|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．12．F3、H8[全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M(－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →²MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2 D ．212．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，与抛物线方程联立得y 2－8ty －16＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝8t ，x 1＋x 2＝t(y 1＋y 2)＋4＝8t 2＋4，x 1x 2＝t 2y 1y 2＋2t(y 1＋y 2)＋4＝－16t 2＋16t 2＋4＝4.MA →²MB →＝(x 1＋2，y 1－2)²(x 2＋2，y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝4＋16t 2＋8＋4－16－16t ＋4＝16t 2－16t ＋4＝4(2t －1)2＝0，解得t ＝12，所以k ＝1t ＝2.20．H7，H8[福建卷] 如图1－5，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N.(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2＝|AM|²|AN|，求圆C 的半径．图1－520．解：(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1，2)，所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO|＝5，所以|MN|＝2 |CO|2－d 2＝2 5－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 22＝0.设M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 20－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF|2＝|AM|²|AN|，得|y 1y 2|＝4， 所以y 22＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6， 从而|CO|2＝334，|CO|＝332，即圆C 的半径为332.15．H5，H8[福建卷] 椭圆Γ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．15.3－1 [解析] 如图，△MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝60°，所以∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°.又|F 1F 2|＝2c ，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c.根据椭圆定义得2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ，得e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 20．H7，H8，H10[广东卷] 已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为3 2 2，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P(x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF|²|BF|的最小值． 20．解：21．B12[广东卷] 设函数f(x)＝x 3－kx 2＋x(k∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k<0时，求函数f(x)在[k ，－k]上的最小值m 和最大值M. 21．解：22．H8，H10[湖北卷] 如图1－5所示，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n(m>n)，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.记λ＝mn，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由．。
解析几何 高考数学真题分类汇编14篇之12
近五年高考数学真题分类汇编十二、解析几何一、单选题1．（2021·全国（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．2．（2021·全国（文））设B 是椭圆的上顶点，点P 在C 上，则的最大值为（ ）A ．BCD ．23．（2021·全国）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．64．（2021·浙江）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线5．（2021·全国（理））已知是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且，则C 的离心率为（ ）ABCD6．（2021·全国（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．7．（2020·天津）设双曲线的方程为，过抛物线的焦()3,0221169x y -=9585654522:15x C y +=PB 521F 2F C 22194x y +=M C 12MF MF ⋅,R,0a b ab ∈>()2R ()f x ax b x =+∈(),(),()f s t f s f s t -+(),s t 12,F F 121260,3F PF PF PF ∠=︒=B 2222:1(0)x y C a b a b+=>>C P ||2PB b ≤C ⎫⎪⎪⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C 22221(0,0)x y a b a b-=>>24y x =点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）A ．B ．C ．D ．8．（2020·北京）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．A ．经过点B ．经过点C ．平行于直线D ．垂直于直线9．（2020·北京）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．710．（2020·浙江）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =|OP |=（ ）AB C D11．（2020·全国（文））设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）A ．B ．3 C．D ．212．（2020·全国（理））若直线l与曲线y 和x 2+y 2=都相切，则l 的方程为（ ）A ．y =2x +1B ．y =2x +C ．y =x +1 D ．y =x + 13．（2020·全国（理））设双曲线C ：（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．814．（2020·全国（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）A ．1BCD ．2(0,)b l C l l C 22144x y -=2214y x -=2214x y -=221x y -=O F l P O P PQ l ⊥Q FQ O P OP OP (3,4)12,F F 22:13y C x -=O P C ||2OP =12PF F △7252151212121222221x y a b-=()1y k x =+15．（2020·全国（文））设为坐标原点，直线与抛物线C ：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．16．（2020·全国（文））在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若，则点C的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线17．（2020·全国（文））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．418．（2020·全国（理））已知⊙M ：，直线：，为上的动点，过点作⊙M 的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．19．（2020·全国（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．920．（2020·全国（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）ABCD21．（2020·全国（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．3222．（2019·北京（文））已知双曲线（a ＞0则a =AB ．4C ．2D ．O 2x =22(0)y px p =>D E OD OE ⊥C 1,04⎛⎫⎪⎝⎭1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,0)(2,0)=1AC BC ⋅2260x y x +-=222220x y x y +---=l 220x y ++=P l P ,PA PB ,A B ||||PM AB ⋅AB 210x y --=210x y +-=210x y -+=210x y ++=230x y --=O x a =2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,D E ODE C 2221x y a-=1223．（2019·全国（文））已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为A ．B ．C ．D ．24．（2019·北京（理））已知直线l 的参数方程为（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是 A ．B ．C ．D ．25．（2019·全国（理））双曲线C ：=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若，则△PFO 的面积为A BC ．D ．26．（2019·天津（文））已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且（为原点），则双曲线的离心率为 ABC ．2D27．（2019·全国（文））设F 为双曲线C ：（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A B C ．2D 28．（2019·全国（文））已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若，，则C 的方程为A ．B ．C ．D ．F 22:145x y C -=P C O=OP OF OPF △3252729213,24x t y t=+⎧⎨=+⎩152545652242x y -=PO PF 24y x =F l l 22221(0,0)x y a b a b-=>>||4||AB OF =O 22221x y a b-=121,01,0F F -()，()222AF F B =││││1AB BF =││││2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=29．（2019·全国（文））双曲线C :的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．D ．30．（2019·上海）以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹是 A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线31．（2018·北京（理））在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为A ．B ．C ．D ．32．（2018·全国（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为 ABC ．D33．（2018·全国（理））直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A ．B ．C ．D ．34．（2018·全国（文））已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A ．B ．CD35．（2018·全国（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为22221(0,0)x y a b a b -=>>1sin50︒1cos50︒()()12,0,,0a a ()1,0y ()()120,,0,y y 12ln ln 0y y +=1211,a a⎛⎫ ⎪⎝⎭d ()cos ,sin P θθ20x my --=θm d 12341F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C 220x y ++=x y A B P ()2222x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 1-21-1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：AC P A 12PF F △12120F F P ∠=︒CA．B．C．D．36．（2017·全国（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（）A．B．C．D．37．（2017·全国（文））过抛物线C：y2＝4x的焦点F，的直线交C于点M(M 在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A B．C．D．二、多选题38．（2021·全国）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面39．（2021·全国）已知点在圆上，点、，则（）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，40．（2020·海南）已知曲线.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上231213142222:1(0,0)x yC a ba b-=>>y x=221123x y+=221810x y-=22145x y-=22154x y-=22143x y-=111ABC A B C-11AB AA==P1BP BC BBλμ=+[]0,1λ∈[]0,1μ∈1λ=1AB P△1μ=1P A BC-12λ=P1A P BP⊥12μ=P1A B⊥1AB PP()()225516x y-+-=()4,0A()0,2BP AB10P AB2PBA∠PB=PBA∠PB=22:1C mx ny+=B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为 D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线未命名未命名三、填空题41．（2021·全国）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.42．（2021·全国（文））已知为椭圆C ：的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．43．（2021·全国（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C 的焦距为_________．44．（2021·全国（文））双曲线的右焦点到直线的距离为________．45．（2020·天津）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．46．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线﹣=1(a ＞0)的一条渐近线方程为x ，则该双曲线的离心率是____. 47．（2020·全国（理））已知F 为双曲线的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.y =O C 22y px =0p >F P C PF x Q x PQ OP ⊥6FQ =C 12,F F 221164x y+=12PQ F F =12PFQF 22:1(0)x C y m m-=>0my +=22145x y -=280x y +-=80x -+=222(0)x y r r +=>,A B ||6AB =r 22x a 25y 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>48．（2019·江苏）在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.49．（2019·北京（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．50．（2019·全国（理））设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.51．（2019·浙江）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.52．（2019·全国（理））已知双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若，，则C 的离心率为____________．53．（2018·上海）已知实数、、、满足：，，______．54．（2018·江苏）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．55．（2018·江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点，则其离心率的值是________．56．（2018·北京（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于轴，若l 被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.57．（2018·全国（理））已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．xOy 4(0)y x x x=+>12F F ，22:+13620x y C =M C 12MF F △M 22195x y +=F P x PF O OF PF 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F A AB =120F B F B ⋅=1x 2x 1y 2y 22111x y +=22221x y +=121212x x y y +=xOy A :2l y x =()5,0B AB C l D 0AB CD ⋅=A xOy 22221(0,0)x y a b a b-=>>(c,0)F 24y ax =()11M ，-24C y x =：C k C A B 90AMB ∠=︒k =58．（2018·浙江）已知点P (0，1)，椭圆+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足=2，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．四、解答题59．（2021·全国（文））已知抛物线的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足，求直线斜率的最大值.60．（2021·全国（文））抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：交C 于P ，Q 两点，且．已知点，且与l 相切． （1）求C ，的方程；（2）设是C 上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．61．（2021·浙江）如图，已知F 是抛物线的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且，求直线l 在x 轴上截距的范围.62．（2021·全国（理））在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．24x AP PB 2:2(0)C y px p =>9PQ QF =OQ 1x =OP OQ ⊥()2,0M M M 123,,A A A 12A A 13A A M 23A A M ()220y px p =>2MF =,,MA MB AB 2RNPN QN =⋅xOy C ()2,1C（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．63．（2021·全国（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．64．（2021·全国）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.65．（2020·海南）已知椭圆C ：过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.66．（2020·天津）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 67．（2020·北京）已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：C ()4,1F C ()2:20C x py p =>F F 22:(4)1M x y ++=4p P M ,PA PB C ,A B PAB △xOy ()1F )21217,02F MF MF -=M C C T 12x =T C A B P Q TA TB TP TQ ⋅=⋅AB PQ 22221(0)x y a b a b+=>>1222221(0)x y a b a b+=>>(0,3)A -F ||||OA OF =O C 3OC OF =B B ABC P P AB AB 2222:1x y C a b+=(2,1)A --2a b =（Ⅱ）过点的直线l 交椭圆C 于点,直线分别交直线于点．求的值． 68．（2020·山东）已知椭圆C ：，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．69．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．70．（2020·全国（理））已知A 、B 分别为椭圆E ：（a >1）的左、右顶点，G为E 的上顶点，，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.(4,0)B -,M N ,MA NA 4x =-,P Q ||||PB BQ 22221(0)x y a b a b +=>>()2,1A C M N C AM AN ⊥AD MN ⊥D Q DQ 22:143x y E +=OP QP ⋅2221x y a+=8AG GB ⋅=71．（2020·全国（文））已知椭圆C 1：(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．72．（2019·江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．73．（2019·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=． 22221x y a b+=4322221(0)x y a b a b+=>>222(1)4x y a -+=52（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．74．（2019·北京（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．75．（2019·全国（文））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由． 76．（2019·上海）已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系.77．（2018·上海）设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：24,y x F =P Q PF ()PF d P FQ=81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()d P a ()2d P PF a =+123,,P P P 1223P P P P =()()13d P d P +()22d P 2t >xOy ()20F ，l，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点距离；（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．78．（2018·北京（文））已知椭圆，焦距为斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求. 79．（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C 过点，焦点，圆O 的直径为．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于两点．若，求直线l 的方程． x t =Γ()2800y x x t y =≤≤≥，l x A ΓB P Q ΓAB t B F 3t =2FQ =OQ FP AQP 8t =FP FQ FPEQ E ΓP 2222:1(0)x y M a b a b +=>>k l M A B M 1k =||AB ()2,0P -PA M C PB M D C D 71,44Q ⎛⎫-⎪⎝⎭k xOy 1)212(F F 12F F ,A B OAB80．（2018·北京（理））已知抛物线C ：=2px 经过点（1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，，，求证：为定值．81．（2018·全国（文））在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.82．（2018·全国（理））已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．83．（2018·全国（文））已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．84．（2018·全国（理））在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；2y P QM QO λ= QN QO μ= 11λμ+xOy 1C 2y k x =+x 2C 22cos 30ρρθ+-=2C 1C 2C 1C k l 22143x y C +=：A B AB ()()10M m m >，12k <-F C P C 0FP FA FB ++=FA FP FBk l 22143x y C +=：A B AB (1,)(0)M m m >12k <-F C P C 0FP FA FB ++=2FP FA FB =+xOy O cos sin x y ，θθ=⎧⎨=⎩θ(0-，αl O A B ，α（2）求中点的轨迹的参数方程．85．（2018·浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+=1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围． 86．（2018·全国（文））设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）证明：．87．（2018·天津（理））设椭圆(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭A 的坐标为，且. （I）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若(O 为原点) ，求k 的值. 88．（2018·全国（文））设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．89．（2018·天津（文））设椭圆的右顶点为A ，上顶点为B ．已AB P 24y 22C y x =：()20A ，()20B -，A l C M N l x BM ABM ABN ∠=∠22221x y a b+=(),0b FB AB ⋅=(0)y kx k =>AQ AOQ PQ=∠24C y x =：F F (0)k k >l C A B ||8AB =l A B C 22221(0)x y a b a b+=>>，． （1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．五、双空题90．（2021·浙江）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.91．（2020·浙江）设直线与圆和圆均相切，则_______；b =______．92．（2019·浙江）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______.93．（2018·北京（理））已知椭圆，双曲线．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．AB =:(0)l y kx k =<P Q l AB BPM △BPQ V k 22221(0)x y a b a b +=>>1(,0)F c -2(,0)F c (0)c >1F 22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭2PF x⊥:(0)l y kx b k =+>221x y +=22(4)1x y -+=k =C (0,)m r 230x y -+=(2,1)A --m =r =22221(0)x y M a b a b+=>>：22221x y N m n -=：。
2022高考数学真题分类汇编11解析几何
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
2.（2022·全国甲（理）T10）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，则 ，根据斜率公式结合题意可得 ，再根据 ，将 用 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则 ，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.
8.（2022·北京卷T3）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （）
【解析】
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
【答案】
【解析】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
高考数学知识总结：解析几何公式大全
高考数学知识总结：解析几何公式大全一、标准方程：中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x2/a2)+(y2/b2)=1其中a>b>0，c>0，c2=a2-b2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x2/b2) +(y2/a2)=1其中a>b>0，c>0，c2=a2-b2.参数方程：X=acosY=bsin(为参数)二、双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x2/a2)-(y2/b2)=1其中a>0,b>0,c2=a2+b2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y2/a2)-(x2/b2)=1.其中a>0,b>0,c2=a2+b2.参数方程：x=asecy=btan(为参数)直角坐标（中心为原点）：x2/a2-y2/b2=1(开口方向为x 轴）y2/a2-x2/b2=1(开口方向为y轴）三、抛物线参数方程x=2pt2y=2pt(t为参数)t=1/tan(tan为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0直角坐标y=ax2+bx+c(开口方向为y轴,a0）x=ay2+by+c（开口方向为x轴,a0)圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为=ep/(1-ecos)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
焦点到最近的准线的距离等于exa圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a焦半径圆锥曲线上任意一点到焦点的距离成为焦半径。
圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为：椭圆|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex双曲线P在左支，|PF1|=－a-ex|PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex|PF2|=－a+exP在下支，|PF1|=－a-ey|PF2|=a-eyP在上支，|PF1|=a+ey|PF2|=－a+ey抛物线|PF|=x+p/2圆锥曲线的切线方程圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x2,以。
2024年高考数学试题分类汇编07：解析几何
解析几何一、单选题1．（2024·全国）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）2．（2024·全国）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 23．（2024·全国）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．254．（2024·北京）求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A ．23B ．2C ．32D 65．（2024·天津）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=二、多选题6．（2024·全国）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+7．（2024·全国）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个三、填空题8．（2024·全国）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．9．（2024·北京）已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．10．（2024·北京）已知抛物线216y x =，则焦点坐标为．11．（2024·天津）22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．12．（2024·上海）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．四、解答题13．（2024·全国）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．14．（2024·全国）已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.15．（2024·全国）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．16．（2024·北京）已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．17．（2024·天津）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S =△．(1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．18．（2024·上海）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2,3b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．参考答案：1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【解析】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 2．C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【解析】由题意，()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.3．C【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【解析】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C 4．C【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【解析】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+=221323211++=+，故选：C.5．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【解析】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin 5θ=121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得22m =则211222PF PF F F c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ==所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 6．ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【解析】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a ⨯-=，解得2a =-，故A 正确.对于B 24x +=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.7．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【解析】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD8．32【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【解析】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x y a b -=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：329．12±【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【解析】联立3x =与2214x y -=，解得52y =，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点()3,0且斜率为k 的直线方程为()3y k x =-，联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12±.10．()4,0【分析】形如()22,0y px p =≠的抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此即可得解.【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.11．45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），。
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2011高考数学分类汇编－解析几何
1、（湖北文）将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则（ ）
A. 0=n
B. 1=n
C. 2=n
D. 3≥n
2、（江西理） 若曲线1C ：0222=-+x y x 与曲线2C ：0)(=--m mx y y 有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A. )3
3
,33(-
B. )33,0()0,33( -
C. ]33,33[-
D. ),3
3()33,(+∞--∞ 3、（江西理）若椭圆12222=+b
y a x 的焦点在x 轴上，过点)21
,1(作圆122=+y x 的
切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭
圆方程是 .
4、（湖南文）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为
2cos (x y α
αα
=⎧⎪⎨
=⎪⎩为参数)．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为
(cos sin )10,ρθθ-+=则1C 与2C 的交点个数为 ．
5、（湖南理）在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参
数）在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 。
6、（湖南文）已知圆22:12,C x y +=直线:4325.l x y +=
（1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．
(2) 圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ．
7、（江苏）设集合},,)2(2
|),{(222R y x m y x m
y x A ∈≤+-≤=,
},,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围___.
8、（湖南文）已知平面内一动点P 到点F （1，0）的距离与点P 到y 轴的距离的等于1． （I ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（II ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点
,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求AD EB •的最小值．
9、（安徽理）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足
QM MP λ=,求点P 的轨迹方程。
10、（北京理）已知椭圆G ：2
214
x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l
交椭圆G 于A ，B 两点。
（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （2）将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值。
11、（广东理）设圆C 与两圆
222
254,54x y x y +=-+=（+）（）中的一个内切，另一个外切.（1）求C 的圆心轨迹L 的方程. （2）已知点3545
5M F ，，（，0），且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.
12、（江西文）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．
13、（江西理）))(,(000a x y x P ±≠是双曲线E ：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上一点，
M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为5
1
.
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐 标原点，C 为双曲线上一点，满足→
→
→
+=---------OB OA OC λ，求λ的值.
14、（山东文）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
2:13
x C y +=.如图所示，斜
率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -. （Ⅰ）求22m k +的最小值；
（Ⅱ）若2
OG OD =∙OE ，（i ） 求证：直线l 过定点；
（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由.
15、（上海文）已知椭圆2
22:1x C y m
+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M
是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标；（2）若3m =，求PA 的最大值与最小值；（3）若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围.
16、（四川文）过点C (0，1)的椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为32，椭圆与x
轴交于两点(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另
一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ． （I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； （Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅为定值．
17、（天津文）已知椭圆22
221x y a b
+=()0a b >>的离心率32e =．连接椭圆的四个
顶点得到的菱形的面积为4． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ．已知点A 的坐标为(),0a -． (ⅰ) 若42
5
AB =
,求直线l 的倾斜角; (ⅱ)点()00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=．求0y 的值．
18、（浙江文）如图，设P 是抛物线1C ：2x y =上的动点。
过点P 做圆
2C 1)3(:22=++y x 的两条切线，交直线l ：3y =-于,A B 两点。
（Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线 1C 准线的距离。
（Ⅱ）是否存在点P ，使线段AB 被抛物线1C 在点P 处得切线平分，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
19、（重庆文）如图，椭圆的中心为原点0，离心率e=
2
2
，一条准线的方程是22x = （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+，其中M 、N 是椭圆上
的点，直线OM 与ON 的斜率之积为1
2
-，问：是否存在
定点F ，使得PF 与点P 到直线l ：210x =的距离之比为定值；若存在，求F 的坐标，若不存在，说明理由。