非参数统计复习过程

O22 O32
O23 … O2c O33 … O3c
..
.
.
..
..
.
.
..
..
.
.
..
r Or1
Or2
Or3 … Orc
O1· O2 · O3 · .
.
.
Or ·
合计O ·j O.1 O.2 O.3 … O.c n
O ∑O O ∑O 记：
c
i•
ij
r
•j
ij
j
i
显然 n ∑Oi• ∑O• j
游程
每个连续出现某一类 样本观察值的区段
ຫໍສະໝຸດ Baidu
游程 长度
每个区段包含的相同 样本观察值的个数
游程的个数 r可用来检验样本的随机性
游程检验方法步骤
将样本观察值顺序排列，找出中位数或平均数 以中位数或平均数为界分样本观察值为两个部分
以两部分交错形成的游程个数为检验的统计量
2×2的列联表资料，χ2值简算公式
x
y
1
1
a
2
c
合计 a+c
2 合计
b
a+b
d
c+d
b+d n
x2
n(ad b)c2
(ac)b (d)a (b)c (d)
第三节 成对比较检验
一、符号检验 用两组样本数据之差的正、负符号判断两个总
体特征是否存在差异的检验方法，亦称正负号检验。
特点： 来自两个总体的两个样本 可以相关，也可以独立
检验统计量
皮尔森拟合优度χ2 统计量：
∑ k
χ2=
(fi-fe)i2
f i=1 ei
~χ2(k-1)
其中： k—样本分类（组）数
皮尔森定理：如果原假设H0成立，则在样本容量 n→∞时，χ2 的分布趋向于k-1的卡方分布。
检验步骤
（1）对总体分布建立假设 H0：总体服从某种理论分布 H1：总体不服从该理论分布
非参数统计
非参数统计的特点
不要求对总体分布 作任何限制性假定
可用于定名测定和 定序测定的变量
不以估计总体参数 为目的
方法直观，易于理 解，运算比较简单；
若总体分布能确定时，较参数方法效率差
第二节 χ2检验
一、拟合优度检验
利用样本信息对总体是否与某种假设的理论分布符 合的检验。
检验的基本思想 假设总体 X 服从某一分布， 将样本分成 K 类（组），观察样本数据在类（组） 出现的频数 f1，f2，…，fk 。在原假设 H0下，得到 每一类（组）的预期频数： fe1，fe2，…，fek 。若 H0为真， fi 与 fei 的差异应该不显著。
c
X X y O P P(X ,
) i•
P i
i
j
j1
n
i•
r
y X y O P P( P j
i1
, y ) •j
i
j
n
•j
若X、Y相互独立，应有：PX i yj P i• P •j O n i• O n •j
检验X和Y的独立性，等于检验：
H 0 ： P X i y j P i • P • j
（4）确定带正负号的差值的个数为样本 容量n
（5）建立假设： H0：T+=T- H1： T+≠T-
（6）确定检验统计量T：T= min ( T+,T-) （5）设定α，当T<Tα, 拒绝H0 。
第四节 曼—惠特尼U检验 与威尔科克森检验的思想方法基本相同。特点：
两个样本 相互独立
两个样本合 在一起排序
数据不一 定成对
检验步骤： （1）从总体A、B中分别独立抽取样本nA和nB， 将（nA+nB）个观察值从小到大排序并赋予等级 号
（2〕分别计算两个样本各自的等级和TA和TB
（3）建立假设
H0：两总体某特征无显著差异 H1：两总体某特征显著差异
（4）计算检验统计量U [ U = min (UA、UB)]
0.5 0.5
n
（4）确定拒绝域， 比较并作出判断
二、威尔科克森带符号的等级检验 运用两组数据差异的正、负号，并结合考虑差异
大小判断两总体是否存在差异的检验方法。
检验步骤
（1）确定配对样本数据并 计算带正负号的差异数值
（2）将差值取绝对数后排序并赋顺序 等级。相邻等值取位序平均数为等级
（3）根据原正负号赋予各等级正负号，并计 算正负等级和T+和T-
对分布、方差均不 作任何假定
不计具体数值，只考虑 差数的正负方向
损失了具体数值差 别的信息
检验步骤
（1）确定配对样本，识别差 异，统计正负差异个数
（2）建立假设： H0：两组数据无差异 等价于 H0： P (+) =0.5
H1: P (+) ≠0. 5
（3）计算检验统计量 大样本时：
ˆ Z P 0.5
检验步骤
（1）建立假设 H0：两组变量独立 H1：两组变量不独立
（2）将样本资料编成 r×c列联表，并列出 实际频数Oij
（3）计算理论频数
Eij
Oi•O• j n
（4）计算检验统计量
r
2
c (O ijE i)j2
i 1 j 1
E ij
2
~ (r 1 )c( 1 )
（5）给定的α，若χ2> χα2，拒绝原假设
①nA、nB＜10时， UA= nAnB+ nA（nA +1）/2-TA
UB= nAnB+ nB（nB +1）/2-TB
②nA、nB＞10时
Z U(nAnB/2) nAnB(nAnB1)/12
（5）设定显著性水平α，查U值表， 对于nA、nB＜10，当U≤Uα，拒绝H0，
第五节 游程检验
根据样本标志表现排列所形成的游程的多少进行 判断的检验方法。亦称连贯检验
注意
H0 总体为完全给定的概率分布形式时， χ2 统 计量的自由度为k-1
H0 总体服从某种形式的概率分布时，χ2 统计 量的自由度为k-r-1 ，
r等于需要估计的参数的个数。
（2）抽样并对样本资料编成频数分布（fi） （3）以“原假设H0为真”导出一组期望频数（fei） （4）计算检验统计量χ2=∑(fi-fei)2/fei （5）给定的α查χ2表，比较χ2值与χ2临界值 （6）作出检验判断
拟合优度检验需要注意 （1）各组理论频数fei不得小于5； （2）样本单位数 n ＞50； （3）若某一类（组）理论频数 < 5，应与邻类 （组）合并，且k应为实际类（组）数 （4）注意 r 的取值
三、独立性检验 利用样本信息对两组数据是否彼此关联的检验。 特点在于其理论频数由样本实际频数计算得出
设有一组观察值（X1,Y1）、（X2、Y2）…（Xn、Yn） X有1，2…r种状态， Y有1，2…c种状态，
将其编成r×c列联表（联合频数分布表）， 用Oij表示X、Y同时发生的频数：
列联表形式（r×c）
y x
1
2
Y 3 …c
合计O i·
1 O11
O12
O13 … O1c
2 O21 X 3 O31