五年级奥数第一讲：整除初步

五年级奥数第一讲：整除初步

例题1，判断下面12个数的整除性。23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407，91301301。

（1）哪些数能被4整除？--末尾2位数。

分析：3568、5880、198954、6512、864都是4的倍数，因为末尾2位数都是4的倍数。

（2）哪些数能被8整除？--末尾3位数。

分析：3568、5880、6512、864都是8的倍数，末尾三位数是8的倍数即可。

（3）哪些数能被25整除？---末尾2位数。

分析：8875、93625都是25的倍数，因为末尾2位数是25倍数。（4）哪些数能被125整除？---末尾3位数。

分析：8875、93625，末尾三位数都是125的倍数。

（5）哪些数能被3整除？-----数字和是3的倍数。

分析：23487、6765、5880、198954、864、91301301都是3的倍数，因为数字和都是3的倍数。

（6）哪些数能被9整除？---数字和是9的倍数。

分析：198954、864，因为数字和是9的倍数。

（7）哪些数能被11整除？--截位判别法或奇偶位和差分析法。

分析：6765、6512、407是11的倍数。

（8）哪些数能被13整除？-截位判别法。

分析：91301301，末尾三位数和末尾三位数之前的数的差是13的倍

数。

练习1：在数列3124，312，3823，45235，5289，5588，661，7314中。

（1）哪些数能被4整除？--末尾2位数。

分析：3124、312、5588的末尾两位数都是4的倍数，所以是4的倍数。

（2）哪些数能被3整除？---数字和。

分析：312、5289、7314都是3的倍数，因为数字和是3的倍数。（3）哪些数能11整除？--截位判别法或奇偶位和差分析法。

分析：3124、5588是11的倍数。

例题2，173（）是一个四位数，在括号内依次输入三个数字，分别得到三个四位数，依次分别能被9，11，8整除。问：

（1）先后填入的三个数字分别是多少？

（2）和是多少？

（1）9的倍数：数字和是9的倍数，那么就是9的倍数。1+7+3=11，分析：

11+7=18，√。第一次先7 。

11的倍数：奇偶位和差分析法来做。奇数位和:( )+7,偶数位的和3+1=4，差=（）+7-4=（）+3=11的倍数，所以（）为8 。

8的倍数：末尾三位数是8的倍数。73（）是8的倍数，用数字谜法来做，73÷8=9……1，1（）是8的倍数，（）=6，所以第三次填写6 ，答：7、8、6 。

(2)和是7+8+6=21 。

练习2：在23（）的方框内先后填入3个数字，分别组成3个三位数，使得它们依次能被3，4，5整除。填入的三个数字依次分别是多少？

分析：

（1）23（）是3的倍数，那么数字和是3的倍数，数字和为5+（），所以（）=1、4、7三种。

（2）23（）是4的倍数，那么末尾两位数是4的倍数，那么3（）是4的倍数，那么3（）可以是2、6两种。

（3）23（）是5的倍数，那么个位数字为0或者5，所以（）=0或5两种。

答：填入的三个数字分别为：第一个为1、4或7；第二个为：2或者6，第三个为：0或者5 。

例题3：牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记录在一张纸上，但是那张纸破了两个洞，上面只剩下了“67（）8（）”，其中括号表示破了的洞，而且括号内原来各有一个数字。知道。每个工人工资一样，工资还都是整数元。求45个工人的总工资可能是多少元？

分析：工资是45个人的工资，且每个人工资一样，所以工资总钱数是45的倍数。为什么这么说？

工资总钱数÷45=每个人的工资。-----被除数为整数，除数也是整数，商也是整数，所以这个是整除，即：总钱数是45的倍数。

问题是：45的倍数特征我们没有学过呢！！！

怎么办？要把45分成：

①有倍数特征的

②各不相同的

③任何两个数之间都只能共同除以1的

几个数相乘的形式。

45=5×9--------5有倍数特点，9也有倍数特点，5和9不相同，5和9只能共同除以1。

45=5×3×3----不行的，因为不满足各不相同的数。且3和3除了可以共同除以1以外还可以共同除以3，都不行。

所以45只可以分成5×9，所以这个总工资是45的倍数，其实就是5的倍数也同时是9的倍数。

67（）8（）是45的倍数，即是5的倍数也是9的倍数。

是5的倍数，个位为0或者5 。

（1）个位是0时。

67（）80，数字和6+7+8+0=21，数字和要是9的倍数，9×3-21=6，所以为67680。

（2）个位是5时。数字和为6+7+8+5+（）=26+（）=9的倍数，所以（）=1，所以67185 。

所以总工资为67680元和67185元。

一定要记住，如何把一个很大的数分成几个有倍数特点的小的数相乘。①有倍数特点，②各不相同，③任何两个数之间只能共同除以1。

④可以分成2个或者2个以上的数相乘都可以。

练习3：四位数3（）3（）能被36整除，那么这个四位数可能是多少？

分析：36没有学过倍数特点。36分成哪些数相乘。

36=4×9----√的。因为4和9都有倍数特点，4和9各不相同，4和9只能共同除以1，4可以除以1、2、4。9可以除以1、3、9、共同除以只能是1.所以是正确的。所以这个四位数是4的倍数也是9的倍数。

3（）3（）是4的倍数也是9的倍数。

①4的倍数，说明3（）两位数是4的倍数，可以是：32或36。

当四位数为：3（）32时，数字和为3+3+2+（）=8+（），（）=1，所以四位数为3132 。

当四位数为：3（）36时，数字和为3+（）+3+6=12+（）=9的倍数，所以（）=6。所以四位数为3636 。

所以四位数为3132或者3636 。

例题4：一天王经理去电信为公司安装一部电话，服务人员告诉他，目前只有形如“1234（）6（）8”的号码可以申请，也就是说，括号内号码可以随意选择。其余数字不可以改动。王经理打算申请一个能同时被8和11整除得号码。请问：他申请的号码可能是多少？