【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)
一次函数与方程(组)、不等式及二次函数与二元一次方程、不等式的关系
一次函数与方程（组）、不等式及二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系1、一次函数与一元一次方程从“数”的角度看，解方程kx+b=0相当于一次函数y=kx+b 的函数值为0时，求自变量的取值；从“形”的角度看，解方程kx+b=0，相当于确定直线y=kx+b 与x 轴交点横坐标的值 一次函数与一元一次不等式从“数”的角度看，解不等于式kx+b 〉0（<0）相当于一次函数y=kx+b 的函数值>0(<0)时，求自变量x 的取值范围；从“形”的角度看，求不等于式kx+b>0(<0）的解集，相当于确定直线y=kx+b 在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 从“数”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +相当于一次函数111b x k y +=与222b x k y +=函数值y 1>y 2时，求自变量的取值范围；从“形”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +，相当于确定直线111b x k y +=在直线222b x k y +=上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 一次函数与二元一次方程组从“数”的角度看，解二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2相当于求自变量x 为何值时相应的两个函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的函数值相等，从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2交点的坐标类比可得出二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系：1、从数的角度看，解方程02＝c bx ax ++相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y=0时自变量x 的值，从形的角度看，解方程02=++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点模坐标的值2、从数的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y>0(<0)时自变量x 的取值范围，从形的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围。
《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
课程目标1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3.数学运算：解一元二次不等式；4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本50-52页，思考并完成以下问题1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.2.解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x 1,x 2 (x 1<x 2)有两相等实根 x 1=x 2没有实数根ax 2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x >x 2或x <x 1}{x|x ≠−2b a} Rax 2+bx+c<0 (a>0)的解集{x|x 1<x <x 2}∅∅ab 2-=2.一元二次不等式ax 2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.四、典例分析、举一反三题型一解不等式例1求下列不等式的解集（1）x2−5x+6>0（2）9x2−6x+1>0（3）−x2+2x−3>0【答案】（1）{x|x<2,或x>3}（2）{x|x≠13}（3）∅解题方法（解不等式）(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果；跟踪训练一1、求下列不等式的解集（1）(x+2)(x−3)>0；（2）3x2−7x≤10；（3）−x2+4x−4<0（4）x2−x+14≤0【答案】（1）{x|x<−2,或x>3}（2）{x|x≤−3,或x≥103}（3） {x|x ≠2} （4） {x|x =12}题型二 一元二次不等式恒成立问题 例2 (1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >【答案】（1）{}|23x x -<< （2）A【解析】（1）由韦达定理得231236bac a⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，6b a c a =-⎧∴⎨=-⎩，代入不等式20ax bx c ++>，得260ax ax a -->，0a <，消去a 得260x x --<，解该不等式得23x -<<，因此，不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x -<<，故答案为：{}|23x x -<<.（2）当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立， 则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。
二次函数与一元二次方程、不等式-高考复习
2．已知集合 A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则 A∩B＝( )
A．(－2，3) B.(1，3)
C.(3，4)
D.(－2，4)
答案 B 解析 由题意知 A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，所以 A∩B＝(1，3).
基础知识过关 核心素养例析 课时作业
(教师独具内容) 1．会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的 个数．了解一元二次不等式的现实意义，能借助二次函数求解一元二次不等 式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 2．掌握一元二次不等式的解法，会解分式不等式、高次不等式，能解 决一元二次不等式的实际问题．理解一元二次方程、二次函数与一元二次不 等式之间的联系，并能解决相应的问题．
m1<－2ba<m2；
⑤若 x1，x2 有且仅有一个在(m1，m2)内，
则 f(m1)f(m2)<0
Δ>0，
Δ>0，
f（m1）＝0， f（m1）>0，
或f（m2）>0， 或f（m2）＝0，
m1<－2ba<m2 m1<－2ba<m2.
基础知识过关 核心素养例析 课时作业
注：一元二次方程根的问题通常转化为二次函数零点的分布问题，关键 在于以下三步：第一步，根据要求画图象，图象要跟题干要求一一对应；第 二步，根据图象列式子，注意列式的四点要求：①抛物线开口与 a 的关系， ②判别式 Δ 与 0 的关系，③对称轴与区间的关系，④区间端点函数值的正负 情况．
基础知识过关 核心素养例析 课时作业
2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解的对应关系Fra bibliotek判别式 Δ＝b2－
高中数学教案《二次函数与一元二次方程、不等式》
教学计划：《二次函数与一元二次方程、不等式》一、教学目标1、知识与技能：学生能够理解并掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的概念、性质及其相互关系;能够熟练求解一元二次方程和一元二次不等式，并能根据二次函数的图像判断不等式的解集。
2、过程与方法：通过案例分析、图形辅助、探究学习等方法，培养学生的观察、分析和解决问题的能力;通过小组合作、讨论交流，提升学生的协作学习能力和语言表达能力。
3、情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养探索数学规律的精神和严谨的科学态度;通过解决实际问题，让学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点和难点重点：一元二次方程的求解方法(公式法、因式分解法、配方法);一元二次不等式的解法及与二次函数图像的关系;二次函数的性质(开口方向、顶点、对称轴)。
难点：一元二次不等式解法中根据判别式判断解的存在性;将一元二次不等式转化为二次函数图像下的区域问题;灵活运用二次函数的性质解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）生活实例引入：以医院中病人的病情随时间变化的例子(如体温变化、药物浓度变化)，引导学生思考这些变化可能呈现出的二次函数形态，从而引出二次函数的概念。
提出问题：当病情达到某个临界点时(如体温过高或过低)，医生需要采取相应措施。
这实际上涉及到一元二次方程和不等式的求解问题。
明确目标：介绍本节课将要学习的内容，即二次函数与一元二次方程、不等式的相互关系及其求解方法。
2. 讲解新知（20分钟）二次函数概念：回顾一次函数的概念，通过类比引出二次函数的一般形式及其图像特征(开口方向、顶点、对称轴)。
一元二次方程求解：详细介绍一元二次方程的三种求解方法(公式法、因式分解法、配方法)，并通过实例演示每种方法的应用。
一元二次不等式：结合二次函数图像，讲解一元二次不等式的解法及其与函数图像的关系。
强调根据判别式判断不等式的解集情况，并引导学生掌握将不等式转化为图像下区域问题的方法。
二次函数与一元二次方程、不等式知识清单
二次函数与一元二次方程、不等式【考纲解读与核心素养】1.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.2.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.【知识清单】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质2.一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.3.三个“二次”之间的关系（1）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．（2）三个“二次”之间的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0＝b2－4ac解不等式求方程f(x)＝0有两个不等的实有两个相等的实没有实数3.不等式恒成立问题1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为>0<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为>0≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为<0<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为<0≤0.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式．则可以转化为函数值域求解．设f (x )的最大值为M ，最小值为m .(1)k <f (x )恒成立⇔k <m ，k ≤f (x )恒成立⇔k ≤m .(2)k >f (x )恒成立⇔k >M ，k ≥f (x )恒成立⇔k ≥M .【典例剖析】高频考点一：二次函数的解析式例1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7【解析】解法一(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．c＝－1，＝－4，＝4，＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝2(1)2+-＝12，∴m＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝＋8.∵f(2)＝－1，∴＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)4a a a a---＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【规律方法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式探究】（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知二次函数()f x 满足：任意的x ∈R ，有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，且()f x 最小值为34，()f x 与y 轴交点坐标为(0,1)（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(,)m n m n <，使()f x 的定义域和值域分别为[,]m n 和33,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，如果存在，求出,m n ；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）存在；122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩【解析】（1）因为1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12x =是()f x 图象的对称轴，且最小值为34，故可设213()()24f x a x =-+，由13(0)144f a =+=得1a =，所以213()(24f x x =-+，即2()1f x x x =-+；（2）假设存在实数(,)m n m n <满足题意，由（1）()f x 在1(,2-∞上递减，在1(,)2+∞上递增，若12n ≤，显然不合题意；若12m n <≤，则3324m =，12m =，不合题意，所以12m ≥，2()33()2f m m f n n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,m n 是方程3()2f x x =的两不等实根，3()2f x x =，即2312x x x -+=，25102x x -+=，112x =，22x =，所以122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．高频考点二：二次函数图象的识别例2.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）对数函数(log 0a y x a =>且)1a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图像不可能是（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】当01a <<时，函数log a y x =单调递减，()21y a x x =--开口向下，对称轴在y 轴的左侧，排除C ，D ；当1a >时，函数log a y x =单调递增，()21y a x x =--开口向上，对称轴在y 轴的右侧，排除B ；故选：A【总结提升】识别二次函数图象应学会“三看”【变式训练】（2019·辽宁高考模拟（理））函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，,所以舍去A,D,当时，,所以舍去B,综上选C.高频考点三：二次函数的单调性问题例3.（2019·北京临川学校高二期末（文））若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1，5]上为单调函数，则实数k的取值范围是（）A．(－∞，8]B．[40，＋∞)C．(－∞，8]∪[40，＋∞)D．[8，40]【答案】C 【解析】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上，∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5]上为单调函数，∴18k ≤或58k≥，解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋．故选C．【总结提升】研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⊆－b2a ，＋∞A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)．【变式探究】(2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是()A．[－2，2]B．[1，2]C．[2,3]D．[1,2]【答案】B【解析】由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－2≤t≤ 2.又t≥1，∴1≤t≤ 2.高频考点四：二次函数的最值问题例4.（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】【解析】去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，，，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【技巧点拨】二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．【变式探究】（2019·天津高考模拟（文））若不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立,则实数a 的最大值为________.【答案】13-【解析】设2()23,f x x x =-++不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立，只需满足13max ()2a f x -≤，即可.22max ()23(1)4()4,f x x x x f x =-++=--+⇒=所以有13142,3a a -≤⇒≤-因此实数a 的最大值为13-.高频考点五：二次函数的恒成立问题例5.（2019·北京高三高考模拟（理））已知函数2221,30,()2,0 3.x x a x f x x x a x ⎧++--≤≤=⎨-+-<≤⎩当0a =时，()f x 的最小值等于____；若对于定义域内的任意x ，()f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是____．【答案】3-1[,1]4【解析】当0a =时，2221,30,()2,0 3.x x x f x x x x ⎧+--≤≤=⎨-+<≤⎩，－3≤x≤0时，f(x)＝（x ＋1）2－2，得：当x＝－1时，f （x ）有最小值为－2，0＜x≤3时，f(x)＝－（x －1）2＋1，得：当x＝3时，f （x ）有最小值为－3，所以，当0a =时，()f x 的最小值等于－3，定义域内的任意,()||x f x x ≤恒成立，①－3≤x≤0时，有221x x a x ++-≤-，即：231a x x ≤--+恒成立，令2()31g x x x =--+＝2313()24x -++，在－3≤x≤0时，g （x ）有最小值：g （0）＝g （－3）＝1，所以，1a ≤，②0＜x≤3时，有22x x a x -+-≤，即：2a x x ≥-+恒成立，令2()h x x x =-+21124x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在0＜x≤3时，g （x）有最大值：g （12）＝14，所以，14a ≥，实数a 的取值范围是1[,1]4【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【变式探究】（2020·天津市咸水沽第二中学高三一模）已知函数()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩．若存在x ∈R使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(][),31,-∞--+∞ 【解析】由题意，当0x =时，不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立；当0x <时，不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤，所以11a x x ≤+-，又当0x <时，11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，不等式()1f x ax ≤-可化为1ax +≤，即21111ax ⎫≥+=+-≥-⎪⎭；因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，所以，只需213a ≤--=-或1a ≥-.故答案为：(][),31,-∞--+∞ .高频考点六：二次函数与函数零点问题例6.（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =.（2）(1,2]【解析】（1）因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以()22min1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭.因为0a >，所以2a =，则()221f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=，解得3x =-或1x =.（2）()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根.因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以()1f x m =+或()1f x m =-.因为2a =，所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知，要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根，()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根，即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤.故m 的取值范围为(]1,2.【规律总结】1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．2．注意灵活运用根与系数的关系解决问题．【变式探究】（2019·马关县第一中学校高一期末）已知二次函数2()(2)3f x ax b x =+-+，且-1,3是函数()f x 的零点.（1）求()f x 解析式，并解不等式()3f x ≤;（2）若()(sin )g x f x =，求行数()g x 的值域【答案】（1）{}02x x x ≤≥或（2）()[0,4]g x ∈【解析】（1）由题意得213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩14a b =-⎧∴⎨=⎩∴()223f x x x =-++2233x x ∴-++≤即220x x -≥∴{}02x x x ≤≥或，（2）令[]sin 1,1t x =∈-()()[]2223140,4g t t t t =-++=--+∈∴()[]0,4g x ∈高频考点七：一元二次不等式恒成立问题例7.（2019·湖北高三月考（理））若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226(,0)x x ax b x a R b ≤++≤∈>恒成立，则实数b 的最大值为()A．9B．10C．11D．12【答案】A 【解析】由[]1,5x ∈时，226x x ax b x ≤++≤恒成立可得：2226x x ax b x x-+≤+≤-+令()()2215f x x x x =-+≤≤，()()2615g x x x x =-+≤≤可得()f x ，()g x 图象如下图所示：要使b 最大，则y ax b =+必过()1,5A ，且与()y f x =相切于点B 则此时5b a =-，即直线方程为：5y ax a=+-联立252y ax a y x x =+-⎧⎨=-+⎩得：()2250x a x a +-+-=()()22450a a ∴∆=---=，解得：216a =由图象可知0a <4a ∴=-()max 549b ∴=--=本题正确选项：A 【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【变式探究】（2020·济源市第六中学高二月考（文））已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________．【答案】(),1-∞-【解析】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()g x 在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()2min 113111g x g ==-⨯+=-，所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-.高频考点八：二次函数的综合应用例8．（2016·上海市松江二中高三月考）设()2f x x x a x =-+(a ∈R)(1)若2a =，求()f x 在区间[]0,3上的最大值；(2)若2a >，写出()f x 的单调区间；(3)若存在[]2,4a ∈-，使得方程()()f x tf a =有三个不相等的实数解，求t 的取值范围.【答案】（1）()max 9f x =；（2）()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）918t <<【解析】（1）当2a =时，()22f x x x x =-+=224,2{,2x x x x x -+<≥,∴()f x 在R 上为增函数，∴()f x 在[]0,3上为增函数，则()()max 39f x f ==.（2）()()()222,{2,x a x x a f x x a x x a-++<=+-≥,2a >,022a a a ∴<-<<+,当x a ≥时，22a a ->，∴()f x 在(),a +∞为增函数,当x a <时，22022a a a +--=<，即22a a +<,∴()f x 在2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为增函数，在2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,则()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）由（2）可知，当22a -≤≤时，()f x 为增函数，方程不可能有三个不相等实数根,当24a <≤时，由（2）得()()22a f a tf a f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭,()22224a a at +<<,即()2218a t a+<<在(]2,4有解,由()22118822a a aa +=++在(]2,4上为增函数,∴当4a =时，()228a a+的最大值为98,则918t <<.【总结提升】对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解.【变式探究】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）已知函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x=，且函数(2)y f x =-是偶函数.（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式(ln )ln 0g x n x - 在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，求n 的取值范围；【答案】（1）6()4(0)g x x x x =-+≠（2）52n - 【解析】（1）∵2()(2)f x x m x m =+--,∴22(2)(2)(2)(2)(6)83f x x m x m x m x m -=-+---=+-+-.∵(2)y f x =-是偶函数,∴60m -=,∴6m =.∴2()46f x x x =+-,∴6()4(0)g x x x x=-+≠.（2）令ln x t =,∵21,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,∴[2,0)t ∈-,不等式(ln )ln 0g x n x - 在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立,等价于()0g t nt - 在[2,0)t ∈-上恒成立,∴2264646411t t n t t t t t-+=-+=-++ .令2641z t t =-++,1s t =,则12s - ,256412z s s =-++-,∴52n -.。
二次函数与一元二次方程、不等式_课件
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程
(教案)二次函数与一元二次方程、不等式
课程目标
1.通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2.使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3.渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养
1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
C.k Vo或k > 1
D.心0或"1
【答案】(1) {x∣-2vx<3}
(2) A
处j-6d>°, ..*<0,消去α得Xj- 6<0,解该不等式得_2vxv3,因此，不等式ax2+bx + c>O的解集为{x∣-2vx<3},故答案为：{x∣-2vx<3}°
(2)当^=O时，不等式为8二0恒成立，符合题意；
(3){x∖x ≠2}
⑷{* = ?
题型二
一元二次不等式恒成立问题
例2 (1)如果方程ax2+bx+c = O的两根为-2和3且"<0,那么不等式ax2+bx + c>°的
解集为o
(2)已知关于X的不等式^2-6h + ∕r+8≥0对任意XeR恒成立，则X：的取值范围是()
A.°≤k≤l
B.°<k≤l
判别式
2
Δ =b -4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
2 y=ax +bx+c
(a>0)的图象
\
~~δ
y
X
X1=X2X
J
\
~0
y
丄
《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
课程目标1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3.数学运算：解一元二次不等式；4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本50-52页，思考并完成以下问题1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.2.解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x 1,x 2 (x 1<x 2)有两相等实根 x 1=x 2没有实数根ax 2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x >x 2或x <x 1}{x|x ≠−2b a} Rax 2+bx+c<0 (a>0)的解集{x|x 1<x <x 2}∅∅ab 2-=2.一元二次不等式ax 2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.四、典例分析、举一反三题型一解不等式例1求下列不等式的解集（1）x2−5x+6>0（2）9x2−6x+1>0（3）−x2+2x−3>0【答案】（1）{x|x<2,或x>3}（2）{x|x≠13}（3）∅解题方法（解不等式）(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果；跟踪训练一1、求下列不等式的解集（1）(x+2)(x−3)>0；（2）3x2−7x≤10；（3）−x2+4x−4<0（4）x2−x+14≤0【答案】（1）{x|x<−2,或x>3}（2）{x|x≤−3,或x≥103}（3） {x|x ≠2} （4） {x|x =12}题型二 一元二次不等式恒成立问题 例2 (1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >【答案】（1）{}|23x x -<< （2）A【解析】（1）由韦达定理得231236bac a⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，6b a c a =-⎧∴⎨=-⎩，代入不等式20ax bx c ++>，得260ax ax a -->，0a <，消去a 得260x x --<，解该不等式得23x -<<，因此，不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x -<<，故答案为：{}|23x x -<<.（2）当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立， 则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。
高一数学教案23二次函数与一元二次方程不等式
第二章一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计一、教学目标1.知识与技能理解二次函数、一元二次方程与不等式之间的关系，学会运用二次函数解一元二次不等式，掌握一元二次不等式在实际问题中的应用。
2.过程与方法通过探索，使学生学会解决问题的方法，感悟数学知识的重要性以及知识之间的关联性。
3.情感态度与价值观通过实际问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与美，激发学生的学习兴趣，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养。
二、教学重难点1.教学重点二次函数、一元二次方程与不等式三者之间的关系及实际问题中的应用2.教学难点数形结合理解二次函数、一元二次方程与不等式关系，解一元二次不等式三、教学过程1.新课导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好的解决相关问题。
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？学生阅读课本P50的问题并思考。
2.探索新知一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
一元二次不等式的一般形式是或,其中a,b,c均为常数，a≠0.学生思考：(1)不等式是一元二次不等式吗?提示:不是,一元二次不等式一定为整式不等式.(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗?提示:不可以,若a=0,就不是二次不等式了.学生试着在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，图象与x轴有两个交点，这两个交点的横坐标就是方程的两个实数根。
根据图象，你还发现了什么？一般地，对于二次函数,我们把使的实数x叫做二次函数的零点。
推广到求一般的一元二次不等式 (a>0)和 (a>0)的解集.因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点,所以先求出一元二次方程的根,再根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集。
《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT【精品课件】
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
《二次函数与一元二次方程、不等式 》一元 二次函 数、方 程和不 等式PP TPPT 课件完 美课件p pt优秀 课件ppt下载ppt课件课 件免费 下载pp t精品 课件
零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
3.借助一元二次函
数的图象,了解一
元二次不等式与相
等式 》一元 二次函 数、方 程和不 等式PP TPPT 课件完 美课件p pt优秀 课件ppt下载ppt课件课 件免费 下载pp t精品 课件
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当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
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讲义二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式
【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次函数与一次函数、反比例函数、一元二次方程、不等式组课程目标：灵活运用二次函数的性质解一元二次方程；熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。
课程要求：完成讲义中的练习；完成课后配套练习。
一、二次函数与一元二次方程、不等式（组）例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．1个或2个例2.已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为 .例3.设函数y=x2﹣（k+1）x﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k=_________ ．例4. 如图10-2，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 .例5. 已知P（3,m-)和Q（1，m）是抛物线221y x bx=++上的两点．（1）求b的值；22y mx x m=+-m x（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．【当堂练】1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞02.如图所示，函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标 ．3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________5. 抛物线与轴有个交点，因为其判别式0，相应二次方程的根的情况为． 2(2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =269y x x =-+-x 2283y x x =--x 24b ac -=23280x x -+=Ｏ6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时 ．7.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位8.若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．9.右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，•观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．10.已知抛物线的顶点在抛物线上，且抛物线在轴上截得的线段长是和的值．11.已知函数．（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图像与轴都有两个不同交点；（2）若函数有最小值，求函数表达式．12.关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；x 25mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =21()3y x h k =--+2y x =x 43h k 22y x mx m =-+-m x y 54-（2）点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.二、二次函数与一次函数、反比例函数例1．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ）A ．正比例函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．二次函数例2. 在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图象可能是（ ）例2.函数2y kx =-与k y x =（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）例3.如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．例4.如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、F（－433，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．（1）求折痕所在直线EF的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．例5．如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B （﹣2，3），BC⊥x轴于C，四边形OABC面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）【当堂练】1.二次函数y=ax 2+bx 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．. 2.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=﹣mx 2+2x+2（m 是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c 在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．根据下图所示程序计算函数值，若输入的x 的值为52，则输出的函数值为 .6. 定义[]p q ，为一次函数y px q =+的特征数．（1）若特征数是[]22k -，的一次函数为正比例函数，求k 的值；（2）设点A B ，分别为抛物线()(2)y x m x =+-与x 轴、y 轴的交点，其中0m >，且OAB △的面积为4，O 为坐标原点，求图象过A 、B 两点的一次函数的特征数．7.已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中且、为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．8.如图，直线3+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线c bx x y ++-=2经过点B 和点C ，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点.（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若点Q 在抛物线的对称轴上，能使△Q AC 的周长最小，请求出Q 点的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，且31：＝：PAB PAC S S ∆∆，若存在，求P 点的坐标，若不存在，请说明理由.22y ax bx =+-0a b >>a b9.如图，在平面直角坐标系中，直线33--=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C. 抛物线c bx x y ++=2经过A 、C 两点，且与x 轴交于另一点B(点B 在点A 右侧).（1）求抛物线的解析式及点B 坐标；（2）若点M 是线段BC 上一动点，过点M 的直线EF 平行y 轴交x 轴于点F ，交抛物线于点E.求ME 长的最大值；（3）试探究当ME 取最大值时，在抛物线x 轴下方是否存在点P ，使以M 、F 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.。
高一寒假讲义-二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数与一元二次方程、不等式含答案知识梳理1、一元二次不等式的概念（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．如：不等式2x2－x＋1＞0是一元二次不等式．（2）使一元二次不等式成立的未知数的取值范围叫一元二次不等式的解集．（3）一元二次不等式经过变形，可化成以下两种标准形式：①ax2＋bx＋c＞0(a＞0)；②ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．设二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac，则：（1）Δ＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的解x1，x2，设x1＜x2，则不等式①的解集为{x|x<x1或x>x2}，不等式②的解集为{x|x1<x<x2}．（2）Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的解，即x1＝x2，此时不等式①的解集为{x|x≠x1}，不等式②的解集为∅．（3）Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0无实数解，不等式①的解集为R，不等式②的解集为∅．2、三个“二次”二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集三者之间的关系(如下表)：Δ＝b2－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0解的情况ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集Δ＞0有两相异实根x1，x2{x|x＞x2，或x＜x1} {x|x1＜x＜x2} Δ＝0有两相等实根x0{x|x≠x0} ∅Δ＜0没有实根 R ∅3、含参数的一元二次不等式的解法（1）两边同除或同乘含参的式子时，应讨论含参的式子的符号．如：当a ＞0时，关于x 不等式ax ＞a 2的解是x ＞a ；当a ＜0时，关于x 不等式ax ＞a 2的解是x ＜a ．（2）解含参数的一元二次不等式时，先求相应二次方程的根，比较根的大小后，再根据相应二次函数的图象写出不等式的解集．如：当a ＞0时，关于x 不等式x 2－ax ＞0的解是x ＜0或x ＞a ；当a ＜0时，关于x 不等式x 2－ax ＞0的解是x ＜a 或x ＞0．知识典例题型一 一元二次不等式的求解例1 不等式23210x x +-≤的解集是（ ） A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【答案】A巩固练习1、不等式290x x -+>的解集是（ ） A ．{0x x <或}9x > B ．{9x x <-或}0x > C ．{}09x x << D ．{}90x x -<<【答案】C2、不等式2320x x -++>的解集为____________． 【答案】2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭题型二 分式不等式求解例 2 解不等式2x －53－x＞0解析：原不等式可化为： 2x －5x －3＜0， 即(2x －5)(x －3)＜0. ∴x ∈⎝⎛⎭⎫52，3，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫52，3巩固练习求下列不等式的解集：(1)x ＋21－x ＜0 (2)x ＋1x －2≤2.解析：(1)由x ＋21－x ＜0，得x ＋2x －1＞0，此不等式等价于(x ＋2)(x －1)＞0， ∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}． (2)解法一：移项得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≥0，x －2≠0，∴x ＜2或x ≥5，∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}． 题型三 带参数的一元二次不等式例 3 解关于x 的一元二次不等式()2330x m x m +-->【解析】利用十字相乘法进行化简：03>+-))((m x x （1）当3>-m 时，即3-<m ，解为}{3<->x m x 或 （2）当3=-m 时，即3-=m ，解为R（3）当3<-m 时，即3->m ，解为}{m x x -<>或3巩固练习1、解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＜0.分析：求出一元二次方程的两根2a ，－a ，比较两根的大小． 解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判别式 Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0， 得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a ， (1)若a ＞0，则－a ＜x ＜2a ，此时不等式的解集为{x |－a ＜x ＜2a }； (2)若a ＜0，则2a ＜x ＜－a ， 此时不等式的解集为{x |2a ＜x ＜－a }； (3)若a ＝0，则原不等式即为x 2＜0， 此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为 当a ＞0时，{x |－a ＜x ＜2a }； 当a ＜0时，{x |2a ＜x ＜－a }； 当a ＝0时，∅.2、解关于x 的不等式22420x ax a +-<. 【答案】答案不唯一，具体见解析.题型四 二次项系数为参数的一元二次不等式例 4 设m R ∈，解关于x 的不等式22230m x mx +-<． 【答案】详见解析巩固练习1、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集为R ，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤ B ．22a -<≤C ．22a -<<D ．2a <【答案】B2、解关于x 的不等式：ax 2－2(a ＋1)x ＋4＜0.解析：(1)当a ＝0时，原不等式的解集为： {x |x ＞2}．(2)当a ≠0时，原不等式化为：a ⎝⎛⎭⎫x －2a (x －2)＜0， ①当a ＜0时，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －2a (x －2)＞0 ，此时原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜2a 或x ＞2；②当0＜a ＜1时，2＜2a，此时原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2＜x ＜2a ；③当a ＞1时，2a＜2，此时原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a ＜x ＜2； ④当a ＝1时，原不等式的解集为∅.题型五 参数求解例 5 一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则+a b 的值是（ ）A ．10B ．-10C ．14D ．-14【答案】D巩固练习1、已知不等式20ax bx c ++>的解集为1|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则不等式20cx bx a ++<的解为（ ） A ．1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{3x x <-或12x ⎫>⎬⎭ C ．1|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{2x x ≤-或13x ⎫>⎬⎭【答案】A2、已知不等式20x bx c ++>的解集为{}21x x x <或． （1）求b 和c 的值；（2）求不等式210cx bx ++≤的解集. 【答案】(1)3b =-，2c =；(2)1|12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤题型五 恒成立问题例 5 若关于x 的不等式220x x a ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】()1,+∞巩固练习1、已知关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________. 【答案】(]3,0-2、对任意的实数x ，不等式()11ax x -<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(),0-∞ B ．[)4,0-C ．(]4,0-D ．(],4-∞-【答案】C巩固提升1、不等式25140x x -++≤的解集为（ ）A ．{7x x ≥或}2x ≤ B ．{}27x x ≤≤ C ．{7x x ≥或}2x ≤- D ．{}27x x -≤≤【答案】C2、不等式()43x x -<的解集为（ ） A ．{|1x x <或}3x > B ．{0x x <或}4x > C ．{}13x x << D ．{}04x x <<【答案】A3、不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则-a b 的值为（ ）A ．14B ．-14C ．10D ．-10【答案】D4、不等式13()()022≥x x +-的解集是（ ）A ．1{|2x x <-或3}2x > B ．1{|2x x ≤-或3}2x ≥C ．13{|}22x x -≤≤D ．13{|}22x x -<<【答案】C5、不等式23100x x --<的解集是（ ） A ．()2,5- B ．()5,2- C ．()(),52,-∞-+∞ D ．()(),25,-∞-+∞【答案】A6、已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C。
第5节二次函数与一元二次方程、不等式课件
__∅__
没有实数根 __R__ __∅__
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 a<b
(x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b}
(x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b}
解集 a＝b __{_x_|x_≠_a_}__ __∅__
a>b _{_x_|x_<_b_或__x_>__a_} _{_x_|_b_<_x_<_a_}_
A.－12
B.1
C.－1
D.2
解析 由题意知a＜0，则排除B，D；
对于 A，当 a＝－12时，－12x－1(x－2)＞0，即(x＋2)(x－2)＜0，解得－2＜x ＜2，恰有 3 个整数，符合题意；
对于C，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)＞0， 即(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，恰有3个整数，符合题意，故选AC.
从而不等式ax2－bx＋c＞0， 即为 ax2－25x＋1＞0. 因为a＜0，所以原不等式等价于2x2－5x＋2＜0， 即(x－2)(2x－1)＜0，解得21＜x＜2. 所以不等式的解集为x|12＜x＜2.
感悟提升
1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次 不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向 及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
_[_0_，___4_)_.
解析 当m＝0时，1＞0，不等式恒成立， 当 m≠0 时，mΔ＝＞m0，2－4m＜0. 得0＜m＜4. 综上，0≤m＜4.
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二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组
课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程；
熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。
课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。
一、二次函数与一元二次方程、不等式（组）
例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个
Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个
例2.已知实数x ，y 满足x 2
＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y
的最大值为 .
例3.设函数y=x 2
﹣（k+1）x ﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k= _________ ．
例4. 如图10-2，是二次函数y ＝ax 2
+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 .
例5. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线2
21y x bx =++上的两点．
（1）求b 的值；
（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，
2
2y mx x m =+-m x
求出它的实数根；若没有，请说明理由；
（3）将抛物线2
21y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．
【当堂练】
1.已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2
－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0
2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交
点，则交点的横坐标 ．
3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________
5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式
0，相应二次方程的根的情况为
．
6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数
与轴必然相交于
点，此时
．
2
(2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2
69y x x =-+-x 2
283y x x =--x 2
4b ac -=
2
3280x x -+=x 2
5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =Ｏ
7.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）
A ．向上平移4个单位
B ．向下平移4个单位
C ．向左平移4个单位
D ．向右平移4个单位
8.若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．
9.右图是二次函数y 1=ax 2
+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的 图像，•观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．
10.已知抛物线的顶点在抛物线上，且抛物线在
轴上截得的线段长是和的值．
11.已知函数．
（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图像与轴都有两个不同交点； （2）若函数有最小值，求函数表达式．
12.关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=. （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请
2
1()3
y x h k =--+2
y x =x 3h k 2
2y x mx m =-+-m x y 5
4
-
说明理由.
二、二次函数与一次函数、反比例函数
例1．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 例2. 在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2
+8x+b 的图象可能是（ ）
例2.函数2y kx =-与k y x
=（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
例3.如图，直线y=kx+b 与反比例函数y=
（x ＜0）的图象相交于点A 、
点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（﹣2，4），点B 的横坐标为﹣4．
（1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC 的面积．
例4.如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、
B （－33，1）、
C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，
1）、F （－433
，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、
C ′．
（1）求折痕所在直线EF 的解析式； （2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．
例5．如图，过y 轴上点A 的一次函数与反比例函数相交于B 、D 两点，B （﹣2，3），BC⊥x 轴于C ，四边形OABC 面积为4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点D 的坐标；
（3）当x 在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）
【当堂练】
1.二次函数y=ax 2
+bx 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
.
2.函数y=x 2
+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：
①b 2
﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2
+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确的个数为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
3.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=﹣mx 2
+2x+2（m 是常数，且m≠0）的图象可能是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．二次函数y=ax 2
+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c 在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．根据下图所示程序计算函数值，
若输入的x 的值为5
2
，则输出的函数值为 .
6. 定义[]p q ，为一次函数y px q =+的特征数．
（1）若特征数是[]22k -，的一次函数为正比例函数，求k 的值； （2）设点A B ，分别为抛物线()(2)y x m x =+-与x 轴、y 轴的交点，其中0m >，且OAB △的面积为4，O 为坐标原点，求图象过A 、B 两点的一次函数的特征数．
7.已知：二次函数的图象经过点（1，0）
，一次函数图象经
2
2y ax bx =+-
过原点和点（1，－b ），其中且、为实数． （1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范
围．
8.如图，直线3+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线
c bx x y ++-=2经过点B 和点C ，点A 是抛物线与x
轴的另一个交点.
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若点Q 在抛物线的对称轴上，能使△Q AC 的周长最小，请求出Q 点的坐标；
（3）在直线BC 上是否存在一点P ，且
31：＝：PAB PAC S S ∆∆，若存在，求P 点的坐标，若不存在，请说明理由.
9.如图，在平面直角坐标系中，直线33--=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C. 抛物线c bx x y ++=2
经过A 、C 两点，且与x 轴交于另一点B(点
0a b >>a b
B在点A右侧).
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.。