微观至介观尺度的模拟方法概述

元胞自动机是描述和处理复杂系统在离散空间-时间上演 化规律的算法，通常采用对晶格格座的局域或整体的确定 性和概率性变换规则进行具体操作。
空间变量可以代表实空间、动量空间或波矢空间。 其晶格定义为具有固定数目的点，一般是规则晶格，但其
维数及大小可以是任意的。它表述了系统由基础实体形成 的构象。 这些“基础实体” 可以是任意大小的连续体型体积单元、 原子颗粒、晶格缺陷或生物界中的动物等等。
控制微分方程被用于局域或整体情况，这取决于相互作用 的性质(短程或长程)。
能够利用连续体近似方法对介观尺度的结构演化进行预测、 意义重大，因为唯象态方程和结构演化定律已在介观尺度 进行很好地研究，其实验数据的获得比在微观尺度更容易， 而且数据信息比在宏观尺度更详细。
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第6章 元胞自动机
6.1基本原理
一系列唯象的偏微分速率和本征结构方程组表述。 采用有限差分法、有限元法或蒙特卡罗方法可以 对这些微分方程近行求解。
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微观至介观尺度的模拟
时空标度参数和离散度的确定由微分方程及其系数、变量 所拥有的特点和性质决定。
作为态变量(例如原子浓度，位锗密度，结构参数，位移 或品格取向)，通常被并进空间格栅坐标；
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6.1基本原理
例如，用于计算高次多项式系数或裴波那契数的帕斯卡三 角形，可以作为一维元胞自动机。其中规则三角晶格各个 格座对应的值，可通过在其上方的两个数之和给出。在这 种情况下、自动机的“基础实体”是一些无量纲的整数， 其变换定律是求和法则。
一维元胞自动机模型 帕斯卡三角形示意图
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表示格点j的两个最近邻结点。f具体指定了描述变换规则
的函数。
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6.3 元胞自动机的一般表述
几种邻接状态
冯·诺伊曼邻接 点
结点状态仅取决于最邻近结
摩尔邻接 结点
结点状态取决于最邻近结点和次邻近
扩展摩尔邻接
考虑两层邻近的元胞
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6.1基本原理
如果对主微分方程补充上述所说的“如果…就…”的变换 规则，我们就可以对复杂系统的动力学行为特性进行模拟。 通常而言，所考察粒子之间的局域相互作用是这一问题的 根本基础。
尽管元胞自动机模拟一般是在基本尺度层次(例如原子、 原子团簇、位错段、亚晶粒)上完成的，但是作为对连续 体空间进行离散化和映射处理的派生方法，本身不存在物 理特征线度或时间刻度的内秉标定问题。
几何拓扑和组分模型 (相变，再结晶，晶粒生长)
拓扑网格和顶点模型 (晶界动力学，网格动力学，成核，复原，晶粒生长)
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微观至介观尺度的模拟
介观模拟方法的共同特点：不明显地包含原子尺 度动力学，而是理想化地把材料作为连续体。
由均匀性基体将晶格缺陷之间的相互作用耦合在 一起。
控制方程中通常不显含内秉空间或时间标度。 含有单个晶格缺陷的连续体介观尺度模型通常由
微观至介观尺度的模拟
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微观至介观尺度的模拟
主要研究内容： 微结构演化 （动力学控制） 微结构与其性质之间关系
结构演化的方向——热力学控制 微结构变化路径——动力学控制
结构演化的这种非平衡特性导致了各种各样的晶格 缺陷结构及其相互作用机制。
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尺度/m
10-10 ～10-7
10-9 ～10-5 10-9 ～10-4
观尺度模拟方法，以便给出远远超过原子尺 度的预测。
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微观至介观尺度的模拟
连续体模型 原子运动方程的严格解或近似解 （薛定谔方程或分子动力学） ——替换为——平均本征结构关系式
介观尺度机理和本构定律的复杂性和多样性， 导致建立介观尺度模型的方法的不唯一性。
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空间及时间离散化介观尺度模拟方法
对连续体系统的元胞自动机模拟，需要定义相应的基本单 元和对应的变换规则，以便恰当地展现系统在给定层次上 的行为特性。
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6.1基本原理
从物理角度看，分子动力学表示的是真正的微观模型，而 在使用元胞自动机方法时，并不局限任何特定体系，可适 用于任何系统。与蒙特卡罗方法相比，由元胞自动机方法 得到的平衡系综的热力学量，在物理上更缺少依据和基础。 由于这个原因，在进行元胞自动机计算机实验之前，一个 重要工作就是，检验基本模拟单元是否切实体现了“基础 物理实体”的特性。由于元胞自动机的应用并不局限于微 观体系，所以它为在微结构模拟中实现不同空间及时间尺 度的方法之间的跨越，提供了一个非常方便的数值工具。
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6.2 CA在材料中的多面性
由于在考虑大量可能的空间态变量及变换规则时所展现的 广泛适用性和灵活性。元胞自动机方法在对由再结晶、晶 粒生长及相变现象等形成的微结构进行模拟时，表现出特 有的多面性。
例如，对于再结晶和晶粒生长，元胞自动机可以离散化方 式同时描述局域结晶结构及其形成过程。为了实现对这些
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表面，样品断面收缩，断面
微观至介观尺度的模拟
非平衡因素 → 材料性质的多样性
应用
性质
材料
微结构机制
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微观至介观尺度的模拟
介观尺度模拟的特点： 处理的原子数目巨大(≈1023个/cm3)。
排除了 （1）严格求解薛定谔方程 （2）由唯象原子论方法(如与经验势相联系的
分子动力学)来完成。 必须建立能覆盖较宽尺度范围的恰当的介
10-9 ～10-3 10-8 ～10-5 10-8 ～10-4 10-8 ～10-3
10-8 ～10-2 10-8 ～10-1 10-7 ～10-1 10-7 ～100 10-7 ～100
10-6 ～101
微结构的实物空间和时间尺度
特性、现象或缺陷
点缺陷，原子团簇，短程有序，在玻璃态和界面中的结构单元，位错 芯，裂纹尖端，原子核 失稳分解，涂层，薄膜，表面腐蚀 二嵌段共聚物，三嵌段共聚物，星形共聚物，大质量的非热变化，界 面网格，位错源，堆积效应 粒子、沉积物，枝晶，共晶，共析 微裂纹，裂纹，粉末，磁畴，内应力 堆垛层错，微带，微孪晶，位错通道 聚合物中的球晶，存在于金属、陶瓷、玻璃及聚合物中的结构畴或晶 粒团簇（对于多晶或非晶的情况） 聚合物中的构象缺陷团簇 位错，位错壁，旋错，磁壁，亚晶粒，大角晶界，界面 晶粒，剪切带，复合材料的第二相 扩散，对流，热传递，电流传输 微结构逾渗路径(断裂，再结晶，界面润湿，扩散，腐蚀，电流，布洛 赫壁)
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6.1基本原理
在材料科学中，有时对常规有限差分计算方法补充一些 “如果…就…”规则可以为处理“数学上的奇点(即非光 滑函数表述中的临界或自发效应)问题提供了一种简单有 效的途径。事实上，这些规则经常出现在微结构模拟中。 例如， 在离散位错动力学模拟中，“如果两个反平行螺 位错相互靠近到其间距小于5个伯格斯矢量时，它们就会 自发湮没”；在断裂力学或弹簧模型中，会经常包含这样 的规则：“如果裂纹速度达到某一个值，试验样品将自发 损坏”；在重结晶模拟中，会经常遇到这样的规则：“如 果晶体局城取向误差达到某一个值，格座将满足成核的动 力学非稳定性临界条件。”或“局域储存的弹性能达到某 个临界值，格座将满足成核的热力学非稳定性条件”。
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6.1基本原理
元胞自动机方法为模拟动力学系统的演化提供了一种直接 的手段，这些动力学系统包含有大量基于短程相互作用或 长程相互作用的相似组元。
对于简单的物理系统，时间是其惟一个独立变量(自变 量)。这种直接方法，就相当于利用有限差分近似法给出 偏微分方程组的离散解。
元胞自动机方法对“基础实体”类型和选用的变换规则没 有任何限制。它们可以描述：简单有限差分模拟中态变量 值的分布，混合算法的色问题，“教室里的儿童健康情 况”，在任何变换条件下的模糊集合元素，以及元胞的初 级生长与衰减过程等。
若只考虑最邻近的两个时间步，则对于一维元胞自动机的
演化来说，可以用公式写成下式形式：
f , , , ,, (6.1) t 0 t j
t 0 t t 0 t t 0 t t 0 t 0t 0 j 1 j j 1 j 1j j 1
Leabharlann Baidu
t0
j
表示在时间t0时对应于结点j的态变量值；j+1和j-1
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6.1基本原理
元胞自动机并不简单地等同于普通模拟方法，例如各种有 限差分法、有限元法、伊辛(Ising)法、波茨(Potts)方法 等。
元胞自动机具有广泛的适用性和多功能的特点，是离散计 算方法的普遍化推广。
这种灵活适用性是基于这样一个事实：除了采用简明的数 学表达式作为变量和变换规则之外，如果需要的话，自动 机能够包括任何元素或规则。
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元胞自动机的原理应用于城市规划
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6.1 基本原理
基本实体，由广义态变量(诸如无量纲数、粒子密度、晶 格缺陷密度、粒子速度、颜色、血压或动物种类等)进行 量化表述。
在每一个独立的格座，这些态变量的实际取值都是确定的。 并且认为，每一个结点代表有限个可能的离散状态中的一 个态。
通过将某些变换规则应用于每个结点状态，就会发生自动 机的演化。这些规则决定着晶格格座的状态；对于局域规 则，格座状态是其前一状态及近邻格点(座)状态的函数， 而在整体变换规则下，则为所有格座状态的函数。传统元 胞自动机大多采用局域变换规则。
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6.1基本原理
对于在规则晶格结构方面的应用是比较容易。 对于非均匀介质，在讨论的晶格区域采用较小的晶格间距
比较妥当；而且，还必须考虑对变换速率进行合理修正和 重正化。 元胞自动机以离散时间步发展演化。经过一个时间间隔， 要对所有结点的态变量值同时更新。 广义微结构元胞自动机可以采用元胞或格座的离散空间格 栅，在空间上通常被认为是均匀的，所有格座都是等价的， 并被排布在规则晶格上，其中的变换规则在各处都是一样 的。假定它们是有限个可能状态中的一个，并对所有元胞 状态同步更新。此外，它们与常规自动机不同的是，格座 变换既可以按照确定性定律，也可以按照概率性定律。
通过确定二维或三维空间格栅所对应的态变量，元胞自动 机模拟可以应用于对微结构的非均匀性质的研究，其中包 括诸如第二相、微带、剪切带、过渡带、异相界面、晶界 和孪晶等。这些局域性缺陷结构，可以借助其态变量的相 应值或梯度值进行表述；用高位错密度和大的局域晶格曲 率表征剪切带的特性。对于一个给定杂质含量的晶界迁移
特性的描述，一般是将局域晶体取向g、储存的弹性能(即 某种近似可测量，诸如位错密度ρ或局域泰勒因子M)以及
温度T作为态变量。这些变量都是因变量，也就是它们依
赖于自变量，诸如空间坐标(x1，x2，x3)和时间t等。
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6.2 CA在材料中的多面性
就特定的研究对象，状态参量应包含在所使用的各种局域 结构演化定律之中。根据局域的信息、数据及变换规律， 可以对诸如复原、成核及其生长等现象的机理结出相应合 理的唯象解释。
率m，可以采用相邻晶粒之间的取向偏差Δg和晶界法线的 空间取向n来表征。
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6.3 元胞自动机的一般表述
在元胞自动机中，邻接格座的局域相互作用，是通过一套
确定性或概率件变换规则具体确定的。在时间(t+Δt)时，
对应于某特定格座的态变量值ξ将由目前状态(t0) (或
最接近的几个态t0，t0-Δt等)及其邻近格点的状态决定。
空间及时间离散化位错动力学 (晶体塑性，复原，织构，断裂)
相场动力学或广义Ginzburg-Landau模型 (超导电性，扩散，相变，晶粒生长)
确定性或概率性元胞自动机 (扩散，热传递，相变，再结晶，晶粒生长)
多态动力学波茨(Potts)模型 (相变，再结晶，晶粒生长)
典型应用领域 中的主要介观 尺度模拟方法
6.1基本原理
另一种自动机是由立方晶格组成的，这时每个点具有一种 颜色，并能按照下述简单的变换规则进行转换：“如果某 点有超过50％的近邻格点(座)是蓝色，则该点就由原色变 成红色”；或者“当有超过75％的近邻格点是红色时，那 么所考察格点的颜色也转换为红色”。若要描述学校里孩 子们之间的相互传染问题，我们可以通过一个规则，亦即 “如果一个教室里有50％的孩子得病．则该教室里其他所 有孩子就被感染”，定义一个元胞自动机。为了使上述简 单唯象模型变得更加合理、真实、可信，应该增加更多的 变换规则。上面的例子可补充这样的规则：“经过一定数 目的时间步之后，受感染的孩子已康复”或“每个孩子只 能被感染一次’’等等。