初高中数学教材衔接

3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图 3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',',A B C ，不难发现''2.''3A B A B B C B C == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图3.1-2，123////l l l ，有AB DE BCEF=.当然，也可以得出AB D E ACD F=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 例1 如图3.1-2， 123////l l l ， 且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF . 解:1232////,,3A BD El l l B C E F \==Q28312,.235235D E D F E F D F ====++例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//D E B C ，求证：AD AE D E ABACBC==.证法一 //,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠AD E ∴ ∽ABC ，.AD AE D E ABACBC∴==证法二 如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BCADAEAB AC∴=.过E 作//E F A B 交A B 于D ，得B D E F ，图 3.1-1图 3.1-2图3.1-3因而.D E B F =//,.A E B F D E E F A B A C B CB C∴==.AD AE D EABACBC∴==从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 已知ABC ，D 在AC 上，:2:1A D D C =，能否在A B 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在B D 上. 解: 假设能找到，如图3.1-4，设EC 交B D 于F ，则F 为EC 的中点，作//E G A C 交B D 于G .//,EG AC EF FC= ，∴E G F C D F ≅ ，且E G D C =，1//,2E G A D B E G B A D ∴ ，且1,2BE EG BA AD ==E∴为A B 的中点.可见，当E 为A B 的中点时，EC 的中点在B D 上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4 在ABC V 中，A D 为BAC Ð的平分线，求证：AB BD ACD C=.证明：过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ，//A D C E.B A B D A ED C∴=AD 平分B A C ∠,BAD DAC ∴∠=∠由//A D C E 知,BAD E ∠=∠,DAC ACE ∠=∠,E ACE ∴∠=∠即,AE AC = A B B D A CD C∴=.例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.图 3.1-4图3.1-5图 3.1-7图3.1-8图 3.1-9 图3.1-10练 习1．如图3.1-6，123////l l l ，下列比例式正确的是（ ） A ．AD C E D F BC = B ．ADBC BE AF =C ．C E AD D FBC= D.AFBE D FC E=2．如图3.1-7，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求B F . 3．如图，在ABC V 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长. 4．如图，在ABC V 中，BAC Ð的外角平分线A D 交BC 的延长线于点D ，求证：AB BD ACD C=.5．如图，在ABC V 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使BD =CE ，DE 延长线交BC 的延长线于F .求证：D F AC EFAB=.答案： 1．D 2．设510,,,283D EA DxB F x x BC A B x ==∴==+，即103B F =.3．535,.49A B B D B D cm A C D C ==∴= 4．作//C F A B 交A D于F，则A B B DC FD C=，又A F C F A E F A ∠=∠=∠得,AC CF =AB BD ACDC∴=.5．作//E G A B 交BC 于G ，,,E G C E C E G C A B A BA C∴= 即,AC CE DB ABEGEG==DF AC EFAB∴=.图3.1-6图3.1-11图3.1-133.1．2．相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例5 如图3.1-11，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，B A C C D B ∠=∠，求证：D A C C B D ∠=∠.证明 在O A B ∆与O D C ∆中，,,AOB DOC OAB ODC ∠=∠∠=∠O A B∆ ∽O D C ∆，O A O B O DO C∴=，即O A O DO BO C=.又O A D ∆与O B C ∆中，A O D B O C ∠=∠，O A D∴∆∽O B C ∆，D A C C B D ∴∠=∠.例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC 中，BAC Ð为直角，AD BC D ⊥于. 求证：（1）2AB BD BC = ，2AC CD CB = ；（2）2AD BD CD =证明：（1）在R t B A C V 与R t B D A V 中，B B ∠=∠，B AC ∴∆∽BD A ∆，2,.BA BC AB BD BC BDBA∴==⋅即同理可证得2AC CD CB = .（2）在R t A B D V 与R t C A D V 中，90C CAD BAD ∠=-∠=∠ ，R t A B D∴∆∽R t C A D ∆，2,.A D D C A D B D D C B DA D∴==⋅即我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.例7 在A B C ∆中，,,AD BC D DE AB E DF AC F ⊥⊥⊥于于于， 求证：A E A B A F A C ⋅=⋅.证明：A D B C ⊥ ，AD B ∴∆为直角三角形，又D E AB ⊥，由射影定理，知2AD AE AB = . 同理可得2AD AF AC = .AE AB AF AC∴⋅=⋅.图3.1-12例8 如图3.1-14，在ABC V 中，D 为边BC 的中点，E 为边AC 上的任意一点，B E 交A D 于点O .某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1） 当11211AE AC ==+时，有22321AO AD ==+.（如图3.1-14a ）（2） 当11312AE AC ==+时，有22422AO AD ==+.（如图3.1-14b ）（3） 当11413AE AC==+时，有22523AO AD ==+.（如图3.1-14c ）在图3.1-14d 中，当11AE ACn=+时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示A O A D的一般结论，并给出证明（其中n 为正整数）.解：依题意可以猜想：当11AE ACn=+时，有22AO ADn=+成立.证明：过点D 作//D F B E 交AC 于点F ，D 是BC 的中点，∴F 是EC 的中点，由11AE ACn=+可知1AE ECn=，22,.2A E A EE Fn A Fn∴==+.2.2A O A E A DA Fn∴==+想一想，图3.1-14d 中，若1A O ADn=，则?A E A C=本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.图3.1-14图3.1-15 图3.1-16练 习1．如图3.1-15，D 是A B C ∆的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E .已知AD ：DB =2：3，则:AD EBC D ES S V 四边形等于（ ）A ．2:3B ．4:9C ．4:5D ．4:212．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.3．已知：A B C ∆的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''A B C ∆的最大边长是15，求'''A B C ∆的面积'''A B C S ∆.4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.（1） 请判断四边形EFGH 是什么四边形，试说明理由；（2） 若四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方形？5．如图3.1-17,点C 、D 在线段AB 上，P C D ∆是等边三角形， （1） 当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，A C P ∆∽PD B ∆？ （2） 当A C P ∆∽PD B ∆时，求APB ∠的度数.答案：1．C2．12，18 3．2'''115346,()654.25A B C A B C S S =⨯⨯=∴=⨯=4．（1）因为1////,2EH BD FG 所以EFGH 是平行四边形；（2）当A C B D =时，EFGH 为菱形；当,AC BD AC BD =⊥时，EFGH 为正方形.5．（1）当2CD AC BD =⋅时，A C P P D B ；（2）120o APB ∠=.图3.1-17。