固体物理计算题

a 基矢 a 1 ( i j k ) 2 a a2 ( i j k) 2 a a3 ( i j k ) 2
原胞体积

1 3 V a1 ( a 2 a 3 ) a 2



—— 原胞中只包含一个原子
• 面心立方 ( face-centered cubic; fcc ) , 例如 ，Cu等 。



1
2
3
1.5 证明：倒格子矢量G h b h b h b 垂直于密勒指数 1 1 2 2 3 3 为 ( h1h2 h3 ) 的晶面系




因为


a i b j 2 ij

a1 a 3 a2 a3 CA , CB h1 h3 h2 h3
1 d a( ) cos( qa)dq M 2
1 2

M
2
代入上式可得模式密度 L 12 1 ( ) ( ) a M 1

2L
2 a 0 2
1 sin( qa) 2
0 m
晶格振动的量子化、声子
• 声子与光子非常相类，不同的是: 声子具 有纵向振动模。可以证明, 与光子一样, 声子服从玻色统计分布, 为玻色子。它既 可以产生, 也可以消灭。 • 晶格振动能量是量子化的:
一维晶格振动格波
m
a
a
0
a
a
一维双原子晶格
• 在光学支与声学支之间存在一间隙, 即晶 格不能传播这样的波, 因此, 双原子晶格 起到带通机械滤波器的作用。

[2 1/m 1+1/m 2)] ( (2 m 1) /
1/2 1/2
空隙
光学支
(2 m 2)1/2 /
3N KBT 3N KB 近似常数 NO
E 3N
h e h ( q ) / k BT 1
3 Vk B T 3 E 3k B T 2 2 3v 3 p

xm
0
x 3dx ex 1
e E / T 2 CV 3R ( ) T ( e E / T 1) 2
E
3 Vk B T 3 CV 3k B 2 2 3v 3 p

xm
0
e x x 4 dx ( e x 1) 2
近似常数 T
近似常数 T3 law
第四章 能带理论
根据布洛赫定理
电子的波函数 晶格周期性函数
( r Rn ) e


i k R n

( r ) —— 布洛赫函数

(r ) e


i k r


uk ( r )
• 合力:
f ma
d 2 un m 2 ( 2un un 1 un 1 ) dt
（3-1）
一维晶格振动格波
• 在列出(3-1)式时已假设晶格中足够长, t忽 ) unq Ae i ( qna 略边界, 故以试探解（行波） 代 入(3-1)式, i ( t nqa) 2 i ( t nqa) iqa iqa m e e (2 e e )

uk ( r R) uk ( r )
4.1一维周期场中电子的波函数 k ( x) 满足Bloch定理，若晶格常数为a的电子波函数为：
(a) k ( x) sin x
a
(b) k ( x) i cos (c) k ( x)

3 x a
l
f ( x la)

• 简单晶体的体心立方 ( body-centered cubic bcc ) ， 例如，Li，K
体心立方堆积
体心立方结构单元
体心立方
• 其特点有： • 晶胞基矢 a b c , 并且 a a i ; b a j ; c a k . • 其原胞基矢由从一顶点指向另外三个体心点的 矢量构成:
R l1 a1 l2 a 2 l3 a 3

Lattice Translation Vector Translation Vector 基矢 Primitive Cell 原胞
( l1 , l2 , l3 )
li为整数。
conventional cell 晶胞 (nonprimitive cell 非初基单胞 )
Multiply up to integers: (8 3 4) [if necessary]
倒易点阵、倒格矢、波失(倒)空间
证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方； 面心立方晶格的倒格子是体心立方 倒格子定义

b 1 2
a 2 a3



a1 a 2 a 3
b 2 2
固体物理复习
第一章 晶体结构
• • • • 通过本章学习重点内容： 晶体结构中的一些常用术语 晶格类型 几种晶体结构
Terms about Crystal Structures
Lattice 晶格 Lattice point Basis Bravais Lattice 布喇菲格子 格点 基元 格矢
声学支
a
0
a
q
一维双原子晶格
a
声学支
a
光学支
格波的态密度函数
格波的态密度函数g()，又称为模式密度数，其定义为 在附 近单位频率间隔内的格波总数
求：一维单原子点振动的声子谱密度 解：
( )
，并作图。
一维单原子点振动的色散曲线如下图所示

d


a
dq
dq



2 同理 b 2 2 (i k) a a1a 2 a 3 a 1 a 2 2 b 3 2 ( i j) a a a a

a 3 a1

可见由 b 1 , b 2 , b 3 为基矢构成的格子为面心立方格子
倒格子基矢

2 a a b 1 2 ( i j k) ( i j k) 2 a1 a 2 a 3 2 2 2 a 2 ( i j k)( i j k) ( j k) 4 a a 2 a3
第三章 晶格振动与晶体的热学特性
1.讨论晶格振动时的物理框架是牛顿力学还是量子力学？
答：牛顿力学＋量子力学修正，所以又可称为半经典理论。
2.讨论晶格振动时采用了哪些近似条件？ 答：采用了近邻近似和简谐近似。 3.什幺是近邻近似和简谐近似？ 近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互 作用； 简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项 。

a a1 ( i j k ); 2

a a 2 ( i j k ); 2

a a3 ( i j k ) 2
• 其体积为 a 3 • 配位数=8。
2
;
a1 a3
a2
a2 a1
简单立方晶胞
c
b a
a3
体心立方晶胞与惯用原胞
3) 体心立方晶格 由立方体的中心到三个顶点引三个基矢
4.晶体中一个原胞中有n个原子组成，有3支声学波和 3n－3支光学波
一维晶格振动格波
u n-1 u n u n+1
n-1
n
n+1 n+2
一维晶格振动格波
• 考虑第n个粒子的受力情况, 它只受最近 邻粒子的相互作用, 即分别受到来自第n1个粒子及第n+1个粒子的弹性力: f n1 (un un1 ) f n1 (un un1 )
若只取第一布x ika i cos e i cos (b) k ( x a) i cos a a a 3 5 所以电子的波失为
a a a 若只取第一布里渊区 k 则 k a a a
(c)
l l
§1-2 常见的晶体结构及其 原胞、晶胞
• 简单晶体的简单立方(simple cubic, sc)，例如氧 、硫固体
简单立方堆积
简单立方结构单元
简单立方
• 其特点有: 三个基矢互相垂直（ a b c ）, 重复间距相等, 为a, 亦称晶格常数； 3 • 其晶胞=原胞; 体积= a ; • 配位数(第一近邻数) =6。
a
k

则
a
k

a
k
,
,
,..........
试求电子在这些态的波失。
解：根据Bloch定理 k ( x a) e
(a) k ( x a) sin
jka
k ( x) 可得：
( x a)
a
sin
x
a
e jka sin
x
a
3 5 所以电子的波失为 k , , ,.......... a a a

a a 2 ( i k ); 2

a a3 ( i j) 2
a3 4 ; • 其体积= • 配位数=12。 •
a 1 a 2 60
• 找出在单胞轴a，b，c上，以点阵常数量 度的截距，这些轴可以是初基的或是非 初基的。
• 取这些截距的倒数，然后划成与之具有 同样比率的三个整数，一般是化成三个 最小的整数。将结果括在括号里(hkl)。
• 利用 ，即：
2
4 2 qa sin ( ) m 2
e
iqa
e
iqa
2 cosqa
1 cos 2 sin2