直角三角形存在性问题解决方法汇总
【问题描述】
如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标．
【几何法】两线一圆得坐标
（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；
（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；
（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）
重点还是如何求得点坐标，C1、C2求法相同，以C2为例：
【构造三垂直】
01问题与方法
C3、C4求法相同，以C3为例：
构造三垂直步骤：
第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；
第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股
还剩下C1待求，不妨来求下C1：
【解析法】
还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1．
考虑到直线AC1与AB互相垂直，k1k2=-1，
可得：kAC=-2，
又直线AC1过点A（1,1），
可得解析式为：y=-2x+3，
所以与x轴交点坐标为（1.5,0），
即C1坐标为（1.5,0）．
确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上
方法小结
几何法：
（1）两线一圆作出点；
（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．
代数法：
（1）表示点A、B、C坐标；
（2）表示线段AB、AC、BC；
（3）分类讨论①AB2+AC2=BC2、②AB2+BC2=AC2、③AC2+BC2=AB2；
（4）代入列方程，求解．
02从等腰直角说起
再特殊一些，如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．
2019兰州中考删减
【等腰直角存在性——三垂直构造全等】
通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”．
推理过程如下：
【模型迁移】
二次函数y=ax2+bx+2的图像交x轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y=ax2+bx+2的表达式；
（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．
2017本溪中考
【直角顶点已知or未知】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点B （3,0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C（4，5/2），与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A、C重合）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）点Q在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．
【小结】对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！
也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．
其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可．
2019阜新中考
【对未知直角顶点的分析】
如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A（-3,0）和点B（1,0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点D的坐标为（-1,0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【小结】无论直角顶点确定与否，事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．
03一般直角三角形的处理
一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似．
而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等．
2018安顺中考
【对称轴上寻动点】
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1,0），C（0,3）．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
2018怀化中考
【抛物线上寻动点】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（-1,0），B（3,0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2019鄂尔多斯中考
【动点还可能在……】
如图，抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A（-3,0），B（1,0）两点，与y轴交于点C，直线y=-x与该抛物线交于E，F两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，圆C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．