大学物理,第二章,质点动力学
大学物理第2章质点动力学习题解答
大学物理第2章质点动力学习题解答-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第2章 质点动力学习题解答2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。
解：∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+== , j i a m F ˆ12ˆ24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。
F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为：'34265.0/︒===arctg F arctgF x y α2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为：j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。
证明：∵r j t b it a dt r d a 2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-== r m a m F2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。
2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ，f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ①+②可求得：g m m gm F a μμ-+-=2112将a 代入①中，可求得：2111)2(m m g m F m T +-=μf 1N 1m 1TaFN 2 m 2TaN 1 f 1 f 22-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2的物体（m 1≠m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。
大学物理课件第二章质点动力学
m0g N
N
a’ B mg
联立解得
(m m0 )sin m cos sin a g, a ' g 2 2 m0 m sin m0 m sin
例题2 质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动 机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成 正比，比例系数为k，求关闭发动机后 （1）快艇速率随时间的变化规律； （2）快艇位置随时间的变化规律
B
A
F
B
m0g
A
解：隔离两物体，分别受力分析， aA-地对楔块A N sin m0a
N
F ( N cos m0 g ) 0
N
对物体B（aB地 aB A aA地 ）
B
a
B-A
a
N sin m(aB A cos a)
A-地
mg
N cos mg m(aB A sin 0)
m0 m sin
(m m0 )sin 联立解得 a m cos sin g , aB A g 2 2 m0 m sin
B
A
F A a
解：隔离两物体，分别受力分析， 对楔块A N sin m0a N cos m0 g F 物体B相对楔块A以a’加速下滑
二、牛顿第二定律 1.动量： p mv
2.力的定义： dp d (mv ) F dt dt --牛顿第二定律(质点运动微分方程）
v c 物体质量为常量时：
dv F m ma dt
惯性演示实验
当锤子敲击在一大铁块上时，铁块下的手 不会感到有强烈的冲击；而当用一块木头取代 铁块时，木块下的手会感到明显的撞击。
大学物理课件 第2章,质点动力学
本章题头§2-1 牛顿运动定律英国物理学家, 经典物理学的奠基人.创立了经典力学的 基本体系光学，牛顿致力于光的颜色和光 的本性数学，建立了二项式定理，创立 了微积分牛顿 Issac Newton （1643－1727）天文学，发现了万有引力定律， 创制反射望远镜，初步观察到了 行星运动的规律。
一、牛顿第一定律 (Newton first law)惯性定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
意义惯性以及力的概念 1、定义了物体（质点）的惯性；2、说明了力是物体运动状态改变的原因定义了惯性参考系二、牛顿第二定律 (Newton second law)质点加速度的大小与所受合力的大小成正比 , 与质点自身的质量成反比; 加速度方向与合力方向相同。
牛顿第二定律的数学形式为 Fma 原始形式：F dPd mv dmvm dvdtdtdtdt当 v c 时，m 为常量 Fm dvmadt宏观低速运动时1、瞬时性： 之间一一对应（同生、同向、同变、同灭） n 2、力的叠加性：F F1 F2 Fi Fii =13、矢量性：具体运算时应写成分量式直角坐标系中： Fma maximay jmaz k Fxmaxmdv x dt Fyma ymdv y dt Fzmazmdvz dt 自然坐标系中： Fmam at anF mdv dtFnmv24、说明了质量是物体惯性的量度5、在一般情况下力， F是一个变力常见的几中变力形式：F F x kx常见的几中变力形式：F F t F F v kv弹性力 打击力 阻尼力6、适用对象:质点 7、成立的参考系：惯性系 8、成立的条件：宏观低速10＇T 三、牛顿第三定律(Newton third law)物体A 以力F AB 作用于物体B 时, 物体B 也必定同时以力F BA 作用于物体A , F AB 与F BA 大小相等, 方向相反, 并处于同一条直线上,（物体间相互作用规律）mmT P ＇P 地球F AB = F BA作用力与反作用力：1、它们总是成对出现。
大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
位移的大小为
2 2 2 r x y z
z
路程是质点经过实际路径的长
度。路程是标量。
注意区分 Δ r 、r
Δr
Δr r ( A)
o x
A ΔS
B
r ( B) y
rA
o
rB
Δ
r
3. 速率和速度 速度是描述质点位置随时间变化快慢和方向的物理量。
平均速度
青年牛顿1666年6月22日至1667年3月25日两度回到乡间的老家1665年获学士学位1661年考入剑桥大学三一学院牛顿简介1667年牛顿返回剑桥大学当研究生次年获得硕士学位1669年发明了二项式定理1669年由于巴洛的推荐接受了卢卡斯数学讲座的职务全面丰收的时期16421672年进行了光谱色分析试验1672年由于制造反射望远镜的成就被接纳为伦敦皇家学会会员1680年前后提出万有引力理论1687年出版了自然哲学的数学原理牛顿简介牛顿第一定律
g
v v g
v
v g 远日点 g v
g v g g g g g v
v
近日点
v
v
思考题 质点作曲线运动，判断下列说法的正误。
r r s r
r r
s r
s r
Δr
矢量的矢积（或称叉积 、叉乘）
C A B
大小：C AB sin
方向：右手螺旋
C
B
矢积性质：A B B A A C ( A B) C A C B 可以得到：i j k , j k i , k i j . k i i 0, j j 0, k k 0
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
大学物理——第2章-质点和质点系动力学
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
大学物理第2章_质点动力学_知识框架图和解题指导和习题
第2章 质点动力学一、基本要求1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；3．掌握运用动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法.二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。
难点:微积分方法求解变力做功. （二）知识网络结构图:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧公式只有保守内力做功条件能量守恒定律公式合外力为条件动量守恒定律守恒定律动能定理动量定理基本定理能功冲量动量基本物理量)()0(（三）容易混淆的概念： 1。
动量和冲量动量是质点的质量与速度的乘积;冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。
2。
保守力和非保守力保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力,沿闭合路径运动一周保守力做功为0;非保守力是做功与具体路径有关的力.(四)主要内容： 1．动量、冲量 动量：p mv = 冲量：⎰⋅=21t t dt F I2．动量定理:质点动量定理：⎰∆=-=⋅=2112t t v m P P dt F I质点系动量定理：dtPd F=3．动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，即0=ex F时，或inex F F系统的总动量保持不变，即：∑===n i i i C v m P 14．变力做功：dr F r d F W BAB A⎰⎰=⋅=θcos （θ为)之间夹角与r d F直角坐标系中：)d d d ( z F y F x F W z y BAx ++=⎰5．动能定理：（1）质点动能定理：k1k221222121E E mv mv W -=-=(质点所受合外力做功等于质点动能增量。
）(2)质点系动能定理:∑∑==-=+ni n i E E W W1kio1ki inex(质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
大学物理第2章-质点动力学基本定律
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
大学物理第二章质点动力学习题答案
习题二2-1质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。
[解]设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力f =-kv (1)由牛顿第二定律tv mma f d d == 即tv mkv d d ==- 所以t mk v v d d -=对等式两边积分⎰⎰-=tvv t m k v v 0d d 0得t mkv v -=0ln因此t mke v v -=0(2)由牛顿第二定律xv mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即xvmv kv d d =- 所以v x mkd d =-对上式两边积分⎰⎰=-000d d v sv x mk 得到0v s m k-=-即kmv s 0=2-2质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。
若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为[证明]任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。
由牛顿第二定律得即tvm ma kv F mg d d ==--整理得mtkv F mg v d d =--对上式两边积分⎰⎰=--t vmt kv F mg v00d dy得mktF mg kv F mg -=---ln即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m kte kFmg v 1 2-3跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。
求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。
[解]设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。
大学物理2-1第二章(质点动力学)习题答案
大学物理2-1第二章(质点动力学)习题答案习 题 二2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。
[解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv(1) 由牛顿第二定律 tv m ma f d d ==即 tv mkv d d ==-所以t m k v v d d -=对等式两边积分 ⎰⎰-=t v v tm k v v 0d d 0得t mk v v -=0ln因此t mke v v -=0(2)由牛顿第二定律xvmv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 xvmvkv d d =- 所以 v x mkd d =-对上式两边积分 ⎰⎰=-000d d v sv x m k得到v s mk-=-即 kmv s 0=2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。
若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m kte kFmg v 1[证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。
由牛顿第二定律得t vm ma f F mg d d ==-- 即tvmma kv F mg d d ==-- 整理得mtkv F mg v d d =--对上式两边积分 ⎰⎰=--t v mt kv F mg v00d d 得mktF mg kv F mg -=---ln即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m kte kF mg v 1mgFf2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。
大学物理 第二章 质点动力学
一 选择题1．一辆汽车从静止出发，在平直公路上加速前进的过程中，如果发动机的功率一定，阻力大小不变，那么，下面哪一个说法是正确的（）(A) 汽车的加速度是不变的．(B) 汽车的加速度不断减小．(C) 汽车的加速度与它的速度成正比．(D) 汽车的加速度与它的速度成反比．2．如图所示，一轻绳跨过一个定滑轮，两端各系一质量分别为m1和m2的重物，且m1>m2．滑轮质量及轴上摩擦均不计，此时重物的加速度的大小为a．今用一竖直向下的恒力代替质量为m1的物体，可得质量为m2的重物的加速度的大小为a′，则（）(A) a′= a (B) a′> a(C) a′< a (D) 不能确定.3．一物体挂在一弹簧下面，平衡位置在O 点，现用手向下拉物体，第一次把物体由O 点拉到M 点，第二次由O 点拉到N 点，再由N 点送回M 点。
则在这两个过程中（）(A) 弹性力作的功相等，重力作的功不相等(B) 弹性力作的功相等，重力作的功也相等(C) 弹性力作的功不相等，重力作的功相等(D) 弹性力作的功不相等，重力作的功也不相等4． 将一个物体提高10m，下列哪一种情况下提升力所作的功最小?（）(A)以5m/s的速度匀速提升；(B)以10 m/s的速度匀速提升；(C)将物体由静止开始匀加速提升10m，速度增加到5m/s；(D)物体以10m/s的初速度匀减速上升10m，速度减小到5m/s。
5．速度为v的子弹，打穿一块不动的木板后速度变为零，设木板对子弹的阻力是恒定的．那么，当子弹射入木板的深度等于其厚度的一半时，子弹的速度是（）(A) ． (B) ．(C) ． (D) ．二 填空题1． 初速度为(m/s)，质量为m=0.05kg的质点，受到冲量(Ns)的作用，则质点的末速度（矢量）为 。
2． 一质点在二恒力的作用下，位移为△=3+8（m），在此过程中，动能增量为24J，已知其中一恒力=12-3（N），则另一恒力所作的功为 。
大学物理_第2章_质点动力学_习题答案
第二章 质点动力学2－1一物体从一倾角为30︒的斜面底部以初速v 0=10m·s -1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s -1,求该物体与斜面间的摩擦系数。
解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30︒物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得220112(1)22mv mv f s -=-⋅物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得2010sin 302mv f s mgh f s mgs -=-⋅-=-⋅-2(2)s ∴=把式（2）代入式（1）得，220.198u =2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。
解：小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得22sin (1)cos (2)t n dv F mg mdtv F T mg m Rαα=-==-=由,,1ds rd rd v dt dt dt vαα===得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有，902n (sin )m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v vrv mg mg rmg αααωααα=-===+==-=-⎰⎰得则小球在点C 的角速度为＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向2－3如本题图，一倾角为θ 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两习题2－2图者间摩擦系数为μ，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a 应满足的条件。
解：如图所示()1212min max sin ,cos cos sin (1)sin cos 2(1)(2)(sin cos )(cos sin )(sin cos )()(cos sin )1(2)(1)(sin cos )(cos sin )(sin cos a a a a N mg ma ma mg uN m a ma u g u a u g u g tg u a u utg u g u a u g u a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ==∴-==±==⨯+-=+--∴==++-⨯+=-+∴=得，得，)()(cos sin )1()()11g tg u u utg g tg u g tg u a utg utg θθθθθθθθθ+=---+∴≤≤+- 2－4如本题图，A 、B 两物体质量均为m ，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A 和B 的加速度大小各为多少 。
大学物理第2章 质点动力学习题解答
第2章 质点动力学习题解答2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-=ρ（单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。
解：∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+==ρρ, j ia m F ˆ12ˆ24+==ρρ 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。
F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为：'34265.0/︒===arctg F arctgF x y α2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为：j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+=ρ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。
证明：∵r j t b it a dt r d a ρρρ2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-== r m a m F ρρρ2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。
2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ①+②可求得：g m m gm F a μμ-+-=2112将a 代入①中，可求得：2111)2(m m g m F m T +-=μf 1 N 1 m 1g TaFN 2 m 2gTaN 1 f 1 f 22-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2的物体（m 1≠m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。
大学物理B层次--第二章 质点动力学
例题2-8 质量为m的质点，经时间t、以不变的速 率越过一水平光滑轨道60º 的弯角，求轨道作用于质 点的平均冲力的大小。 解 平均冲力可视为恒力，由动量定理有 m: I=F.t=m2-m 1
m
m 平均冲力 F= (2- 1 ) t （1） 这里|1 | = |2 | =。
求解(2- 1 )的方法有两个：
m
a
N
m
a
ma mg
22
§2-3 质点动量定理
1.冲量 冲量 I
t2
t1
Fdt , 对恒力F, I F (t2 t1 )
牛顿表述的第二定律是：F dp d (m )
2.质点动量定理
dt
dt
两边同乘dt, 再对上式积分,则可得到
I F dt p2 p1
m1
m2
m1g
m2g
(m1 m2 ) g m2 a0 a1 , m1 m2 (m1 m2 ) g m1a0 a2 m1 m2 (2 g a0 )m1m2 T m1 m2
12
例题2-3 一人在平地上拉一个质量为m的木箱匀速 地前进,木箱与地面的摩擦系数µ =0.6,肩上绳的支持点 距地面高度h=1.5m,问绳长L为多长时最省力? 解 先找出力与某个变量()的关系，再求极值。 水平方向：Fcos-fs=ma=0 （匀速） 竖直方向：Fsin+N-mg=0 , fs= µ N 解得： mg F cos sin L F有极小值的充要条件是： h N
19
2.加速平动参考系中的惯性力 在实际问题中常常需要在非惯性系中观察和分析 物体的运动。然而在非惯性系中牛顿定律是不成立。
如果在相对于惯性系S以加速度a作直线运动的非 惯性系S中,假定每个质量为m的物体除了受到真实的 外力F作用外,还受到一个附加的、假想的力Fi=-ma的 作用,那么我们就可以在非惯性系中形式地利用牛顿 定律来解决力学问题了。 这一假想的力: Fi=-ma 惯性力 请注意：这里的a不是物体m的加速度，而是非惯性 系S相对于惯性系S的加速度。
大学物理1,第2章 质点动力学
O
x
mg
tan a1 , arctan a1
g
g
l
m
a1
(2)以小球为研究对象，当小车沿斜面作匀加速运
动时，分析受力如图，建立图示坐标系。
x方向：FT2 sin(α θ) mg sin α ma2
FT 2
y方向：FT2 cos(α θ) mg cos α 0 a2
m
FT2 m 2ga22 sin α a22 g 2
• 强力（strong interaction）
在原子核内（亚微观领域）才表现出来，存在于 核子、介子和超子之间的、把原子内的一些质子和中 子紧紧束缚在一起的一种力。
其强度是电磁力的百倍，两个相邻质子之间的强 力可达104 N 。力程：<10-15 m
• 弱力（weak interaction）
亚微观领域内的另一种短程力。导致衰变放出 电子和中微子。两个相邻质子之间的弱力只有10-2 N 左右。
重力（gravity） 重力是地球表面物体所受地球引力的一个分量。
G mg
g g0 (1 0.0035cos2 φ)
地理纬度角 g0 是地球两极处的重力加速度。
重力
引力
重力与重力加速度的方向都是竖直向下。
忽略地球自转的影响物体所受的重力就等于它所受的
万有引力：
mg
G
mEm R2
弹力（elastic force）
物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与合 外力的大小成正比，与物体的质量成反比；加速度的
方向与合外力F的方向相同。 F kma
比例系数k与单位制有关，在国际单位制中k＝1
瞬时性：是力F的瞬m时a 作m用d规v律 dt
F
大学物理第2章质点动力学章节总结及练习题
第2章 质点和质点系动力学（复习指南）一、基本要求掌握牛顿三定律及其适用条件，牛顿第二定律的微分形式和惯性系的概念；掌握万有引力（含重力）、弹性力、摩擦力的相关公式，能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题.掌握功的概念和直线运动情况下变力做功的计算方法；掌握势能的概念，会计算重力、弹性力势能；理解保守力做功的特点.二、基本内容1．力、常见力力是物体间的相互作用.力是物体改变运动状态的原因. 常见力有万有引力、重力、弹性力、摩擦力. （1）万有引力、重力万有引力指存在于任何两个物质（质点）之间的吸引力.其数学表达式为r e rm m G F221 2211kg m N 1067.6 G引力的特点为：方向已知，大小与质点间的距离的平方成反比.重力为地球表面附近物体受地球的引力（忽略地球自转的影响）.重力的特点为：大小已知，方向竖直向下指向地心.g m P 222EE kg m N 80.9 R Gmg（2）弹性力发生形变的物体，由于要恢复形变而对与它接触的物体产生的力叫弹力.弹力的表现形式有很多种，常见的有正压力、绳中张力、绳对物体的拉力、弹簧的弹力等.弹性力的特点为：方向已知，大小与运动状态有关.弹簧弹力：kx F ，x 为弹簧伸长量，弹力方向指向弹簧原长位置. （3）摩擦力两物体沿相互接触面方向有相对滑动或相对运动趋势时作用于接触面上阻碍物体相对运动的力为摩擦力，摩擦力分滑动摩擦力和静摩擦力.滑动摩擦力在相对滑动的速度不是太大或太小时，其大小与滑动速度无关，而和正压力N成正比，N f，f 的方向与相对滑动方向相反.静摩擦力为变力，其值介于0和最大静摩擦力之间，即max 000f f最大静摩擦力指两个有接触面的物体，沿接触面方向即将产生相对滑动时，通过接触面作用于两物体的摩擦力.在此以前两物体间的相互作用静摩擦力大小可以变化.对物体受力分析的顺序为：重力、弹力、摩擦力.在常见力分析中要特别注意静摩擦力. 2．惯性参考系（惯性系）惯性参考系就是用牛顿第一定律定义的参考系.牛顿定律只有在惯性参考系中才成立.惯性参考系有一个重要性质：相对于惯性参考系作匀速直线运动的任何其它参考系也一定是惯性参考系. 3．基本规律 ﹙1﹚牛顿第一定律第一定律明确了力是改变物体运动状态的原因，并反映出物体有保持原来运动状态不变的特性——惯性，第一定律定义了惯性系.﹙2﹚牛顿第二定律第二定律定量描述了外力作用与所产生的效果的关系，即力的作用与物体状态变化的定量关系.对第二定律应用需注意：①适用于惯性系.②适用于质点.③合外力与物体产生的加速度之间为一瞬时关系，合外力沿加速度方向.④第二定律为一矢量式，应用时常在坐标系中分解.在直角坐标系中有：z iz y iy x x ma F ma F ma F i ，，﹙3﹚牛顿第三定律牛顿第三定律指出力是物体间的相互作用.物体间有相互作用便存在相互作用力.应用第三定律需注意：①作用力，反作用力分别作用在相互作用的物体上，不是平衡力.②作用力、反作用力一定属于同种性质的力，同时产生，同时消失.③不论相互作用的两物体是运动还是静止，第三定律总成立. 4．功功是力的空间累积量：r F Wd d .功等于力和力的作用点位移的点积.功是标量，是一个代数量.当力的作用点没有位移或力与其作用点的位移相互垂直时，此力不做功.保守力做功只取决于相互作用质点的始末相对位置，而与各质点的运动路径无关.非保守力做功与路径有关. 5．势能物体间存在保守力相互作用才能引入相关势能.如地球对地面附近物体间存在重力作用，重力为保守力，引入重力势能.因为势能与物体间相对位置相关，所以，一方面势能属于存在保守力相互作用的系统，另一方面物体的位置描述是相对的，所以势能具有相对性.只有选定势能零点后，系统才有确定的势能值.例如一质量为m 的质点处于地面上h 高度，在没明确势能零点前不能确定m 和地球系统的势能大小，而且重力势能可正、可负、可以为零.但任意两个状态之间系统的势能差是确定的，与势能零点选取无关.势能是状态函数.在讨论涉及势能的功能问题时，必须：①选系统.②选势能零点[弹力势能（原长位置）、万有引力（无穷远）势能零点是确定的].③确定并描述初末状态的能量状态.弹簧弹性势能2k 21kx E ，k 为弹簧倔强系数，x 为相对原长位置（势能零点）的位移.三、例题详解2-1、质量为m 的子弹以速度0v 竖直射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为K ，忽略子弹的重力，求：子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式．解：取竖直向下为y 轴正向．子弹进入沙土后受力为v K ，由牛顿定律t mK d d v v ∴vvd d t m K ， v v v v 0d d 0t t m K ∴m Kt /0e v v2-2、物体沿x 轴作直线运动，所受合外力2610x F （SI ）．试求该物体运动到m 4 x 处时外力做作的功解：J 168210d )610(d 3424x x x x x F W2-3、一人从10m 深的井中提水．起始时桶中装有10kg 的水，桶的质量为1kg ，由于水桶漏水，每升高1m 要漏去的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所做的功．解：选竖直向上为坐标y 轴的正方向，井中水面处为原点． 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F 等于水桶的重量 即：y gy mg ky P P F 96.18.1072.00 （SI ）人的拉力所做的功为：J 980d )96.18.107(d d 10y y y F W W H2-4、一个弹簧下端挂质量为0.1kg 的砝码时长度为0.07m ，挂0.2kg 的砝码时长度为．现在把此弹簧平放在光滑桌面上，并要沿水平方向从长度m 10.01 l 缓慢拉长到m 14.02 l ，外力需做功多少解：设弹簧的原长为0l ，弹簧的劲度系数为k ，根据胡克定律： )(0.071.00l k g ，)(0.092.00l k g 解得：m 05.00 l ，N/m 49 k拉力所做的功等于弹性势能的增量：J 14.0)(21)(21201202p1p2l l k l l k E E W 四、习题精选2-1、一质点在力)25(5t m F （SI ）的作用下，0 t 时从静止开始作直线运动，式中m 为质点的质量，t 为时间，则当s 5 t 时，质点的速率为（提示：变加速度运动，牛II 定律分离变量积分tmF d d v ） （A ）50m·s -1． （B ）25m·s -1． （C ）0． （D ）-50m·s -1．［ ］2-2、已知水星的半径是地球半径的倍，质量为地球的倍．设在地球上的重力加速度为g ，则水星表面上的重力加速度为：（提示：2EER GM g） ［ ］ （A ）g 1.0 （B ）g 25.0 （C ）g 5.2 （D ）g 42-3、质量分别为1m 和2m 的两滑块A 和B 通过一轻弹簧水平连接后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为 ，系统在水平拉力F 作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度A a 和B a 分别为（提示：注意加速度的瞬时性）［ ］（A ）0B A a a （B ）0A a ，0B a （C ）0A a ，0B a （D ）0A a ，0B a2-4、如图所示，质量为m 的物体用细绳水平拉住，静止在倾角为 的固定的光滑斜面上，则斜面给物体的支持力为（提示：画受力分析图）［ ］（A ） cos mg . （B ） sin mg . （C ）cos mg . （D ）sin mg. 2-5、一物体挂在一弹簧下面，平衡位置在O 点，现用手向下拉物体，第一次把物体由O 点拉到M 点，第二次由O 点拉到N 点，再由N 点送回M 点．则在这两个过程中（A ）弹性力做的功相等，重力做的功不相等． （B ）弹性力做的功相等，重力做的功也相等． （C ）弹性力做的功不相等，重力做的功相等． （D ）弹性力做的功不相等，重力做的功也不相等．（提示：弹力和重力都是保守力，做功只与始末位置有关，与路径无关）[ ］2-6、沿水平方向的外力F 将物体A 压在竖直墙上，由于物体与墙之间有摩擦力，此时物体保持静止，并设其所受静摩擦力为0f ，若外力增至F 2，则此时物体所受静摩擦力为_________．（提示：静摩擦力是变力，大小从受力平衡角度分析）2-7、如果一个箱子与货车底板之间的静摩擦系数为0 ，当这货车爬一与水平方向成 角的平缓山坡时，要不使箱子在车底板上滑动，车的最大加速度max a ＝______________________．（提示：以箱子为对象受力分析，最大加速度时摩擦力方向应沿斜面向上） 2-8、如图，在光滑水平桌面上，有两个物体A 和B 紧靠在一起．它们的质量分别为kg 2 A m ，kg 1 B m ．今用一水平力N 3 F 推物体B ，则B 推A 的力等于_____．如用同样大小的水平力从右边推A ，则A 推B 的力等于__________．（提示：先整体，后部分，分析受力和加速度）2-9、质量kg 1 m 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为x F 23 （SI ），那么，物体在开始运动的3m 内，合力所做的功W ＝_______．（提示：变力做功，用元功定义，再积分）2-10、设作用在质量为1kg 的物体上的力36 t F （SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，求：在0到的时间间隔内，这个力对物体做功的大小__________．（提示：力是时间函数，参考教学例题，t F x F W d d d v ，v d d m t F ）。
大学物理 第二章 质点动力学
A Fs cos
A F s
（2-27）
式中为力F与位移 s之间的夹角。 根据矢量标积的定义，上式可以写成：
（2-28） 注意：如果力为变力，或质点作曲线运动，力作的功就不 能用上式来计算,而应该应用微积分的方法来计算力作的功。
设质点在变力 F 的作用下，沿曲线从A点运动到B点。将A 到B 的路径分成许多小段，任取一小段位移，用 d r 来表示。由 于 d r 非常微小，可以认为质点在这段位移元上所受的力为恒 力，则力对质点作的元功为：
A
在直角坐标系中:
A Fx dx Fy dy Fz dz Fx dx Fy dy Fz dz
二、质点的动能定理：
dr vB B 1 2 1 2 dv A m dr m dv mvdv mvB mvA A A vA dt dt 2 2 即：合力对质点所作的功等于质点始、末两状态的动能 的增量。 所以说：功是动能变化的量度。
F dv 解： 6t m dt
dx v 3t dt
2
dx 3t 2dt
A
x
0
3 36 t F 3 t d t Fdx dt 144J
2 0
t
2
0
2 P F v 12t 3t 288W
补充例题
例4 已知用力 F从竖直方向缓慢拉质量为m 的小球，且 F 保持方向不变。 求 = 0 时，F 作的功。 L θ 解： F T sin θ 0 T cosθ mg 0 T
B
课后思考及作业
阅读：P60-68 作业：习题2-25、习题2-26
2 2 2 4 2 2
由点(2，0) 到点（2，4）由于x=2为常量，dx=0，所以:
《大学物理》第二章《质点动力学》课件
相对论中的质点动力学
相对论简介
01
相对论是由爱因斯坦提出的理论，包括特殊相对论和广义相对
论，对经典力学和电动力学进行了修正和发展。
质点动力学
02
在相对论中，质点的运动遵循质点动力学规律，需要考虑相对
论效应。
实际应用
03
相对论中的质点动力学在粒子物理、宇宙学和天文学等领域具
有重要意义，如解释宇宙射线、黑洞和宇宙膨胀等现象。
牛顿运动定律的应用
通过牛顿第二定律分析质点在各种力作用下的运动规律。
弹性碰撞和非弹性碰撞
碰撞的定义
两个物体在极短时间内相互作用的过 程。
弹性碰撞
两个物体碰撞后，动能没有损失，只 发生形状和速度方向的改变。
非弹性碰撞
两个物体碰撞后，动能有一定损失， 不仅发生形状和速度方向的改变，还 可能有物质交换。
01
运动分析
火箭发射过程中，需要分析火箭的加速 度、速度和位移等运动参数，以确定最 佳发射时间和条件。
02
03
实际应用
火箭发射的运动分析对于航天工程、 军事和商业发射等领域具有重要意义。Fra bibliotek球自转的角动量守恒
1 2
地球自转
地球绕自身轴线旋转，具有角动量。
角动量守恒
在没有外力矩作用的情况下，地球自转的角动量 保持不变。
相对论和量子力学
随着科学技术的不断发展，相对论和量子力学逐 渐兴起，对质点动力学产生了深远的影响。相对 论提出了新的时空观念和质能关系，而量子力学 则揭示了微观世界的奇特性质。
牛顿时代
牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出了三大运 动定律和万有引力定律，奠定了经典力学的基础 。
现代
现代物理学在继承经典理论的基础上，不断探索 新的理论框架和实验手段，推动质点动力学的发 展和完善。
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②运动状态是由速度来描述的，力是使物体产生 加速度的原因。这为力的定量定义做好了准备。
③合外力为零有两种含义：物体不受外力作用； 物体虽受外力作用，但这些外力的矢量和为0。
④物体惯性不仅表现在合外力为0、保持匀速运 动状态和静止状态的性质上，还表现在受到外力 作用时，物体运动状态改变的难易程度上。物体 惯性越大，越难改变运动状态，获得的加速度就 越小；牛顿第一定律为质量的科学定义也作好了 准备。物体惯性大小用质量来量度。
第二章 质点动力学
2-1 牛顿运动定律
一、牛顿第一定律（惯性定律）
1.伽利略的理想实验 2.牛顿第一定律： ①经典表述：任何物体都要保持静止或匀速直 线运动的状态，直到其他物体作用的力迫使它 改变这种状态为止。
②现代表述：自由粒子永远保持静止或匀速直 线运动的状态。
③惯性是物体的固有特性。
3.第一定律的意义：
B A
F
解：隔离两物体，分别受力分析，
B A
aA-地对楔块A
N sin m0a
m0g N
N
F (N cos m0g) 0
对物体B（arB地 arBA ar A地 ）
aB-A
B
mg
aA-地 N sin m(aBA cos a)
N cos mg m(aBA sin 0)
联立解得
a
4.惯性系：
①不与外界作用，完全孤立的粒子或系统。
②使惯性定律严格成立的参考系。
③凡相对于某一已知的惯性系作匀速直线运动的 参考系也是惯性系。
二、牛顿第二定律
1.动量： pr mvr
2.力的定义：
r F
dpr
d
(mvr
)
dt dt
--牛顿第二定律(质点运动微分方程）
v = c 物体质量为常量时：
由牛顿第二定律列出方程 kv m dv
dt
分离变量并积分
v dv
t
k
dt
v v0
0m
kt
可得 v v0e m
对
v
dx dt
积v0e分 mk,得t
x
m k
kt
v0 (1 e m )
例题3 质量为m 的子弹以速度v0水平射入沙土中， 设子弹所受的阻力与速度反向，大小与速度成正 比，比例系数为k，忽略子弹的重力。求: （1）子弹射入沙土后速度随时间的函数关系； （2）子弹进入沙土的最大深度。
*作用力与反作用力没有主从、先后之分，同时 产生、同时存在、同时消失，并且性质相同；
*作用力与反作用力仅描述两个物体间的相互作 用，不涉及物体运动，对任何参考系都成立。
习题 牛顿运动定律的应用 一、牛顿运动定律的适用范围： 1.仅适用于惯性系；
2.仅适用于低速物体； 3.一般仅适用于宏观物体； 4.仅适用于实物，不完全适用于场。
r F
m dvr
mar
dt
3.分量式： 直角坐标系
Fx
dpx dt
m dvx dt
max
Fy
dpy dt
m dvy dt
may
Fz
dpz dt
m dvz dt
maz
自然坐标系
F
ma
m dv dt
Fn
man
m
v2 r
三、牛顿第三定律：
rr F2 F1
· m1 F2
·m2
F1
*作用力与反作用力在同一直线上，大小相等、 方向相反，分别作用在两个不同的物体上；
向夹角为 ）的速率绳中张力。
O
解：任意位置小球m受力如图,有
mgv
r T
mav
O
T
切向
mg sin ma
m dv dt
即 g sin dv dv d
dt d dt
积分
(g sin )d
v v v02 2gl(cos 1)
法向
T
mg cos
man
m
v2 l
T m(v02 3g cos 2g)
mkvr
做平抛运动，运动中受到空气阻 ，求：（1）t 时刻质点的速度；
（2）质点的运动方程。
v0 O
x
y
解：任意时刻t，对质点m，有
mg
f
ma
水平方向
mkvx
m
dvx dt
积分
t 0
(k )dt
，vv0得x dvvxx
由
vx
dx dt
v0ekt
积分
x
dx
0
t 0
v，0 e得ktdt
vx v0ekt
x v0 (1 ekt ) k
竖直方向
mg
mkvy
m
dvy dt
积分
t
(k)dt
vy ，得dvy
0
0 vy g / k
由
vy
dy dt
g k
(1 ekt )
积分
y
dy
t g (1， e得kt )dt
0
0k
vy
g k
(1 ekt
)
y
g k
t
g k2
(1 ekt )
例题5 质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动， 经过最低点的速度为v0 ，绳长为l,不计空气阻力 及轻绳的形变，求小球在任意位置（和竖直方
二、牛顿运动定律的应用： 1.动力学问题：受力情况 运动情况 2.基本步骤： 隔离物体，分析受力情况； 适当选择并建立坐标系（在惯性参考系上）； 根据给出坐标列出方程；
求解方程得出结果。
例题1 质量为m0的楔块A，置于光滑水平桌面上， 质量为m的物体B沿楔的光滑斜面自由下滑，试 求楔块A相对于地面的加速度及物体B相对楔块 的加速度。
vo
y
vo o
解：忽略子弹的重力,子弹将 沿x轴运动，如图所示。
f kv m dv
x
dt
积分： v dv
t
k
dt
v v0
0m
kt
得: v v0e m
xmax
vdt
0
kt
0 v0e m dt
mv0 k
例题4 一质量为m 的质点t=0 时自坐标原点以
初速
力
v f
vr0
r v0i
l
例题6 图中AＢ为一固定于光滑水平桌面半圆形
轨道，质量为m 物块以v0从A点射入,它与轨道间
摩擦系数为 ，求物块从Ｂ点滑出的速度。
B
v0
A
解:选取自然坐标, 分析物块在水平面内的受力
v2
B
Fn N m R
v
N
v0
f
F
m dv dt
f
N
A 即：dv dv ds v dv v2
dt ds dt ds
m cos sin m0 m sin2
g, aBA
(m m0 ) sin m0 m sin2
g
例题2 质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动 机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成 正比，比例系数为k，求关闭发动机后 （1）快艇速率随时间的变化规律； （2）快艇位置随时间的变化规律
解：快艇受到的摩擦阻力为 f kv
R
积分： v dv R ds
v v0
0R
可得：v v0e
例题7 一长度为l，质量为m的绳索，一端系在 轴上，另一端固结一质量为M 的物体，它们在