大学物理,第二章,质点动力学

*作用力与反作用力没有主从、先后之分，同时 产生、同时存在、同时消失，并且性质相同；
*作用力与反作用力仅描述两个物体间的相互作 用，不涉及物体运动，对任何参考系都成立。
习题 牛顿运动定律的应用 一、牛顿运动定律的适用范围： 1.仅适用于惯性系；
2.仅适用于低速物体； 3.一般仅适用于宏观物体； 4.仅适用于实物，不完全适用于场。
r F
m dvr
mar
dt
3.分量式： 直角坐标系
Fx
dpx dt
m dvx dt
max
Fy
dpy dt
m dvy dt
may
Fz
dpz dt
m dvz dt
maz
自然坐标系
F
ma
m dv dt
Fn
man
m
v2 r
三、牛顿第三定律：
rr F2 F1
· m1 F2
·m2
F1
*作用力与反作用力在同一直线上，大小相等、 方向相反，分别作用在两个不同的物体上；
4.惯性系：
①不与外界作用，完全孤立的粒子或系统。
②使惯性定律严格成立的参考系。
③凡相对于某一已知的惯性系作匀速直线运动的 参考系也是惯性系。
二、牛顿第二定律
1.动量： pr mvr
2.力的定义：
r F
dpr
d
(mvr
)
dt dt
--牛顿第二定律(质点运动微分方程）
v = c 物体质量为常量时：
第二章 质点动力学
2-1 牛顿运动定律
一、牛顿第一定律（惯性定律）
1.伽利略的理想实验 2.牛顿第一定律： ①经典表述：任何物体都要保持静止或匀速直 线运动的状态，直到其他物体作用的力迫使它 改变这种状态为止。
②现代表述：自由粒子永远保持静止或匀速直 线运动的状态。
③惯性是物体的固有特性。
3.第一定律的意义：
向夹角为 ）的速率绳中张力。
O
解：任意位置小球m受力如图,有
mgv
r T
mav
O
T
切向
mg sin ma
m dv dt
即 g sin dv dv d
dt d dt
积分
(g sin )d
v vdv
0
l v0
mg
v v02 2gl(cos 1)
法向
T
mg cos
man
m
v2 l
T m(v02 3g cos 2g)
由牛顿第二定律列出方程 kv m dv
dt
分离变量并积分
v dv
t
k
dt
v v0
0m
kt
可得 v v0e m
对
v
dx dt
积v0e分 mk,得t
x
m k
kt
v0 (1 e m )
例题3 质量为m 的子弹以速度v0水平射入沙土中， 设子弹所受的阻力与速度反向，大小与速度成正 比，比例系数为k，忽略子弹的重力。求: （1）子弹射入沙土后速度随时间的函数关系； （2）子弹进入沙土的最大深度。
x v0 (1 ekt ) k
竖直方向
mg
mkvy
m
dvy dt
积分
t
(k)dt
vy ，得dvy
0
0 vy g / k
由
vy
dy dt
g k
(1 ekt )
积分
y
dy
t g (1， e得kt )dt
0
0k
vy
g k
(1 ekt
)
y
g k
t
g k2
(1 ekt )
例题5 质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动， 经过最低点的速度为v0 ，绳长为l,不计空气阻力 及轻绳的形变，求小球在任意位置（和竖直方
R
积分： v dv R ds
v v0
0R
可得：v v0e
例题7 一长度为l，质量为m的绳索，一端系在 轴上，另一端固结一质量为M 的物体，它们在
mkvr
做平抛运动，运动中受到空气阻 ，求：（1）t 时刻质点的速度；
（2）质点的运动方程。
v0 O
x
y
解：任意时刻t，对质点m，有
mg
f
ma
水平方向
mkvx
m
dvx dt
积分
t 0
(k )dt
，vv0得x dvvxx
由
vx
dx dt
v0ekt
积分
x
dx ห้องสมุดไป่ตู้
0
t 0
v，0 e得ktdt
vx v0ekt
vo
y
vo o
解：忽略子弹的重力,子弹将 沿x轴运动，如图所示。
f kv m dv
x
dt
积分： v dv
t
k
dt
v v0
0m
kt
得: v v0e m
xmax
vdt
0
kt
0 v0e m dt
mv0 k
例题4 一质量为m 的质点t=0 时自坐标原点以
初速
力
v f
vr0
r v0i
B A
F
解：隔离两物体，分别受力分析，
B A
aA-地对楔块A
N sin m0a
m0g N
N
F (N cos m0g) 0
对物体B（arB地 arBA ar A地 ）
aB-A
B
mg
aA-地 N sin m(aBA cos a)
N cos mg m(aBA sin 0)
联立解得
a
①牛顿第一定律包含了力的定性定义：力是质点 运动状态改变的原因。
②运动状态是由速度来描述的，力是使物体产生 加速度的原因。这为力的定量定义做好了准备。
③合外力为零有两种含义：物体不受外力作用； 物体虽受外力作用，但这些外力的矢量和为0。
④物体惯性不仅表现在合外力为0、保持匀速运 动状态和静止状态的性质上，还表现在受到外力 作用时，物体运动状态改变的难易程度上。物体 惯性越大，越难改变运动状态，获得的加速度就 越小；牛顿第一定律为质量的科学定义也作好了 准备。物体惯性大小用质量来量度。
m cos sin m0 m sin2
g, aBA
(m m0 ) sin m0 m sin2
g
例题2 质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动 机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成 正比，比例系数为k，求关闭发动机后 （1）快艇速率随时间的变化规律； （2）快艇位置随时间的变化规律
解：快艇受到的摩擦阻力为 f kv
l
例题6 图中AＢ为一固定于光滑水平桌面半圆形
轨道，质量为m 物块以v0从A点射入,它与轨道间
摩擦系数为 ，求物块从Ｂ点滑出的速度。
B
v0
A
解:选取自然坐标, 分析物块在水平面内的受力
v2
B
Fn N m R
v
N
v0
f
F
m dv dt
f
N
A 即：dv dv ds v dv v2
dt ds dt ds
二、牛顿运动定律的应用： 1.动力学问题：受力情况 运动情况 2.基本步骤： 隔离物体，分析受力情况； 适当选择并建立坐标系（在惯性参考系上）； 根据给出坐标列出方程；
求解方程得出结果。
例题1 质量为m0的楔块A，置于光滑水平桌面上， 质量为m的物体B沿楔的光滑斜面自由下滑，试 求楔块A相对于地面的加速度及物体B相对楔块 的加速度。