2018高中物理 第六章 万有引力与航天 3 破解天体质量和密度的相关计算学案 新人教版必修2

破解天体质量和密度的相关计算
知识点 考纲要求
题型 分值 万有引力的理论成就
会利用万有引力定律求解天体的质量、密度等参数
选择题
6分
一、计算天体的质量基本思路 1. 地球质量的计算 利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m 的物体的重力等于地球对物体的万
有引力，即mg ＝2
GMm R
，则M ＝2gR G ，由于g 、R 已经测出，因此可计算出地球的质量。

2. 太阳质量的计算
利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看作匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引
力充当向心力，即G
2
Mm r
＝mω2
r ，而ω＝2T π，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨道半径，得到太阳质量M ＝23
2
4r GT π。

3. 其他行星质量的计算 利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径，同样可得出行星的质量。

二、计算天体的质量的具体方法（以地球是中心天体，月球是环绕卫星为例）
如果不考虑地球自转的影响，地球上的物体所受重力等于地球对它的万有引力。

由万有引力定律mg ＝
2
GMm
R 得M ＝2
gR G
，其中g 为地球表面的重力加速度，R 为地球半径，G 为万有引力常量。

从而得到地球质量M ＝5.96×1024
kg 。

通过上面的过程，我们可以计算地球的质量，通过其他的方法，或者说已知另外的一些条件能否测出地球质量。

（1）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r ，根据万有引力等于向心
力，即2·M m G r 月地＝m 月r 2
2T π⎛⎫
⎪⎝⎭
，可求得地球质量M 地＝2324r GT π。

（2）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r 和月球运动的线速度v ，由于地球对
月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
2·M m G r 月地＝m 月2v r
解得地球的质量为M 地＝2
rv G
（3）若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
2·M m G
r 月地＝m 月·v ·2T π
2
·M m G r
月地＝m 月2v r 以上两式消去r ，解得32v T M G
π地＝
【规律总结】由以上论述可知，求天体质量的方法主要有两种：
一种方法是根据天体表面的重力加速度来求天体质量，即mg ＝2R Mm G
，g ＝G 2M R
，则M ＝2
gR G
，题目中常见的如利用在天体表面的平抛或自由落体运动来计算g 的值。

另一种方
法是根据天体的圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程：
G 2Mm r
＝m 224T πr ＝m 2v r ＝mω2
r 来求得质量M ＝2324r GT π＝2v r G ＝23r G ω
用第二种方法只能求出圆心处天体质量（即中心天体）。

三、天体密度的计算
1. 利用天体表面的重力加速度，来求天体的自身密度。

由mg ＝
2
GMm R 和M ＝ρ·43πR 3
， 得ρ＝34g
GR
π
其中g 为天体表面重力加速度，R 为天体半径。

2. 利用天体的卫星来求天体的密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程：
G 2Mm
r
＝m 224T πr ，M ＝ρ·43πR 3，
得ρ＝343M R π＝23
23443
r GT R ππ＝323
3r GT R π 当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度为：
ρ＝
2
3GT π 技巧点拨：在已知重力加速度求天体质量或密度时，通常可以利用重力等于万有引力，重力就是环绕天体运动的向心力以及圆周运动的规律求解。

在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力，在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力。

例题1 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v 。

假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N 。

已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为（ ）
A. 2mv GN
B. 4mv GN
C. 2Nv Gm
D. 4
Nv Gm
思路分析：设卫星的质量为m ′，行星半径为R ，由于是近行星表面做匀速圆周运动，
由万有引力提供向心力，得G 2'
R
Mm ＝m ′R v 2
①
由重力提供向心力，得m ′R
v 2
＝m ′g
②
由已知条件：m 的重力为N 得 N ＝mg
③
由③得g ＝m
N
，代入②得：R ＝2mv N
代入①得M ＝4
mv GN
，故B 项正确。

答案：B
例题2 一行星绕恒星做圆周运动。

由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v ，引力常量为G ，则（ ）
A. 恒星的质量为32v T
G π
B. 行星的质量为23
2
4r GT π
C. 行星运动的轨道半径为
2vT π D. 行星运动的加速度为2v
T
π
思路分析：由r T
m r mv r GMm 2222
4π==，得M ＝G T
v G r v π232=，A 对；无法计算行星的质量，B 错；r ＝ππω22vT T
v v =
=，C 对；a ＝ω2
r ＝ωv ＝T π2v ，D 对。

答案：ACD 例题3 宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t 小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大为原来的2倍，。

已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G ，求该星球的质量M 。

思路分析：设抛出点的高度为h ，第一次水平位移为x ，则
x 2＋h 2＝L 2
① 同理，对于第二次平抛过程有（2x ）2＋h 2＝（3L ）
2
②
由①②解得h ＝
3
L 。

设该行星上重力加速度为g ，由平抛运动规律得h ＝
2
1gt 2
③ 由万有引力定律与牛顿第二定律，得G
2R
Mm
＝mg
④
由以上各式可解得M ＝22332Gt LR 答案：2
2
332Gt LR
例题4 宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t ，小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处。

（取地
球表面重力加速度g ＝10m /s 2
，空气阻力不计）
（1）求该星球表面附近的重力加速度g ′；
（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R 星:R 地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M 星：M 地。

思路分析：（1）在地球表面t ＝g
v 0
2 ① 在某星球表面5t ＝
'
20
g v ②
由①②联立可解得g ′＝
51g ＝5
1
×10m /s 2＝2m /s 2； （2）设m 为物体质量，则对星球表面的物体2
星
星R m
GM ＝mg ′ ③
对地球表面的物体
2
地
地R m GM ＝mg ④
由③④联立可解得
222
4
1
51'⨯=⋅=地星地星R R g g M M ＝1:80。

答案：（1）2m /s 2 （2）1:80
【方法提炼】 求中心天体质量的途径
依据万有引力等于向心力，可得以下四种求中心天体质量的途径
（1）若已知卫星在某一高度的加速度g 和环绕的半径r ，可得M ＝2
gr G ；
（2）若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的线速度v 和半径r ，可得M ＝2
rv G ；
（3）若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半径r ，可得M ＝23
2
4r GT
π； （4）若已知卫星运行的线速度v 和周期T ，可得M ＝32v T
G π。

天体近似可看作正球体，其体积可表示为3
43
V R π=，故计算天体密度时，求出天体质
量并且知道天体的半径，即可求得密度。

【满分训练】有一宇宙飞船到了某行星上空（不考虑该行星自转运动）表面附近以v 做匀速圆周运动，测出该宇宙飞船运动的周期为T ，已知引力常量为G ，则可以计算出（ ）
A. 该行星的半径
B. 该行星的平均密度
C. 该宇宙飞船的质量
D. 该行星表面的重力加速度
思路分析：根据圆周运动的规律v ＝T π
2R ，可求得该行星的半径为R ＝π
2vT ，选项A 正确；根据G R T
m R Mm 2224π=，可得M ＝
3
224R GT π，可求出该行星的质量，但无法求出宇宙飞船的质量，又由ρ＝2333
4GT R M π
π=
可求得该行星的密度，选项B 正确，选项C 错误；该行星表面的重力加速度等于宇宙飞船的向心加速度，g ＝vω＝T
v
π2，选项D 正确。

答案：ABD。