矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换
矩阵分析引论第五版教学设计
矩阵分析引论第五版教学设计一、教学目标矩阵分析引论是一门涉及矩阵的数学分析课程，主要介绍了矩阵的基本概念、操作及在数学、工程、科学等领域的应用。
本次教学的目标如下： - 了解矩阵的基本概念和运算规则 - 掌握矩阵分析的常见算法和方法 - 熟悉矩阵在数学、工程、科学等领域的应用 - 培养学生的逻辑思维和创造性思维能力二、课程设置第1章：矩阵及其运算知识点•矩阵的基本概念•矩阵的类型与特殊矩阵•矩阵的加、减法•矩阵的乘法和转置 #### 实践环节•矩阵加减法与乘法的运用•矩阵转置的应用第2章：线性方程组知识点•线性方程组的基本概念和解的性质•高斯消元法求解线性方程组•矩阵运算在线性方程组中的应用 #### 实践环节•高斯消元法的应用•矩阵运算在线性方程组中的应用第3章：向量空间与线性变换知识点•向量空间与子空间•基与维数•线性变换及其矩阵表示•矩阵的秩与行列式 #### 实践环节•向量空间的应用•线性变换及其矩阵表示的应用第4章：特征值与特征向量知识点•矩阵的特征值与特征向量•特征多项式•对角化•广义特征向量 #### 实践环节•矩阵对角化的应用•广义特征向量的应用第5章：二次型和正定矩阵知识点•二次型•正定矩阵•矩阵的相似•矩阵的对称分解 #### 实践环节•正定矩阵的应用•矩阵的相似与对称分解的应用第6章：应用篇知识点•矩阵在工程、科学等领域的应用•线性规划、最小二乘法等算法 #### 实践环节•线性规划、最小二乘法等算法的应用三、教学方法本门课程采用“概念讲解+实践运用”相结合的教学方法。
针对每个知识点，讲解基本概念和操作方法后，通过实例演示和课堂练习让学生进行实践运用，以此加深对知识点的理解和掌握。
四、教学评估课程评估分为两部分，平时成绩和期末考试。
平时成绩占总成绩的60%，包括课堂练习、作业和小组报告。
期末考试占总成绩的40%。
期末考试内容包括矩阵的基本概念、运算规则、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值与特征向量、二次型和正定矩阵、应用等知识点的应用题。
《矩阵分析》课程教学大纲
《矩阵分析》课程教学大纲课程编号：20821105总学时数：32(理论32）总学分数：2课程性质：专业选修课适用专业：信息与计算科学一、课程的任务和基本要求：本课程的任务是介绍六个内容，分别是线性空间与线性变换，λ---矩阵与Jordan标准形，矩阵函数及矩阵方法，矩阵微分方程，矩阵分解和广义逆矩阵。
要求学生系统掌握这六个内容所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，并能熟练地运用这些方法和工具解决理论和实际中遇到的各种问题。
二、基本内容和要求：（一）线性空间与线性变换1、线性空间的定义、性质、基变换与坐标变换公式。
2、子空间的概念、运算及相关定理3、内积空间、正交化方法，空间的正交分解4、线性变换的概念、运算、矩阵表示、线性变换的值域与核的性质5、特征值与特征向量的概念、求法、矩阵的化简要求：理解线性空间、子空间、线性变换、特征值、特征向量的概念，掌握基变换公式，坐标变换公式，正交化方法，特征值和特征向量的求法，矩阵的化简的应用。
（二）λ---矩阵与Jordan标准形a)λ---矩阵的概念，λ---矩阵的标准形b)不变因子与初等因子的概念、求法、性质c)若当标准形理论推导，若当标准形的求法d)Cayley定理、最小多项式的性质及求法要求：理解λ---矩阵、不变因子、初等因子等相关概念，掌握不变因子、初等因子、标准形、Jordan标准形的求法，掌握Cayley定理，最小多项式的应用。
（三）矩阵分析和矩阵函数e)矩阵序列、矩阵函数收敛性f)函数矩阵的极限、连续性、微分与积分g)数量函数关于矩阵的微分及其性质h)向量的范数、范数的等价、按范数的收敛、矩阵的相容范数、算子范数的概念及其性质i)矩阵函数的定义、性质、计算方法要求：理解矩阵序列的极限，矩阵级数的收敛性，函数矩阵的极限，连续性概念，掌握与这些概念相关的命题和定理，会求函数矩阵的微分和积分，会求数量函数关于矩阵的微分，函数向量关于向量的微分，能正确计算矩阵函数（四）矩阵微分方程j)线性常系数齐次微分方程组的定解问题k)线性常系数非齐次微分方程组的定解问题l)n阶常系数微分方程的定解问题m)线性变系数微分方程组的定解问题，转移矩阵的概念、性质、求法。
矩阵论-线性代数引论
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
矩阵分析引论(第四版)
作者感谢王进儒教授在审校本书第一版时的热情指导 , 感谢使用本教材的 老师们的批评和鼓励 ,感谢本书的责任编辑在编印本书时的出色工作。
作者 2006 年 5 月 30 日于华工
目录
1 线性空间与线性变换 ……………………………………………………………………… 1 1 .1 线性空间的概念 ……………………………………………………………………… 1 1 .2 基变换与坐标变换 …………………………………………………………………… 4 1 .3 子空间与维数定理 …………………………………………………………………… 5 1 .4 线性空间的同构 ……………………………………………………………………… 9 1 .5 线性变换的概念……………………………………………………………………… 11 1 .6 线性变换的矩阵……………………………………………………………………… 15 1 .7 不变子空间…………………………………………………………………………… 17 习题一 ……………………………………………………………………………………… 18
矩阵论 第一章 线性空间和线性映射
和乘法* 例：数域是一个集合含有加法+和乘法 数域是一个集合含有加法 和乘法
含有元素0，满足对任何元素a，有 a+0=a； 含有元素 ，满足对任何元素 ， ； 含有1，满足对任何元素 ， 含有 ，满足对任何元素a，有 a*1=a； ； 任何元素 a 存在负元素 b，满足 ，满足a+b=0； ； 非零元素a存在逆元素 ，满足a*b=1； 非零元素 存在逆元素b，满足 存在逆元素 ； 对加法和乘法封闭
线性空间的定义（ 线性空间的定义（续）
（5）数1：对α∈V，有： ） ： ∈ ， 1α=α （6）对k,l∈F,α∈V 有： ） ∈ ∈ (kl) α= k (l α) （7）对k,l∈F,α∈V 有： ） ∈ ∈ (k+l) α= k α+l α （8）对k∈F,α, β∈V 有： ） ∈ ∈ k (α+β)= k α+k β 上的线性空间。 称这样的集合 V 为数域 F 上的线性空间。 可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。 可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 = 1, y2 = 1, y3 = 1, y4 = 4
设
基变换与坐标变换 旧的） α1 , α 2 , , α n（旧的）与 β1 , β 2 , , β n
∞
[a1, a2 , a3 , ] + [b1, b2 , b3 , ] = [a1 + b1, a2 + b2 , a3 + b3 , ] k[a1, a2 , a3 , ] = [ka1, ka2 , ka3 , ]
上的一个线性空间。 则 R∞ 为实数域 R上的一个线性空间。 上的一个线性空间
矩阵分析引论第(1)章
第一章 线性空间与线性变换
定理 3 设 e1 , e2 , , en是数域 P 上 n 线性空间 V 的一组基， 在这组基下按照式 (3)建立的线性变换同矩阵 的对应 关系，则有： 1）线性变换的乘积对应 于矩阵的乘积； 2）可逆线性变换对应的 矩阵也可逆，且逆变换 对应 于逆矩阵。 定理 4 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间， e1 , e2 , , en 及 e1 , e2 , , en 是 V 的两组基，从前一组基 到后一组基的 过渡矩阵是 C 。又设 T 是 V 的一个线性变换，它在 前后 两组基下的矩阵分别是 A 与 B ，则有 B C 1 AC
第一章
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
线性空间与线性变换
线性空间的概念 基变换与坐标变换 子空间与维数定理 线性空间的同构 线性变换的概念 线性变换的矩阵表示 不变子空间
第一章 线性空间与线性变换
回顾几个预备概念
集合 数集
Q
有理数集
Q
复数集合中的任意非空子集合 P 含有 非零的数，且其中任意两数的和、差、 积、商仍属于该集合 P ，则称数集P 为一个数域。（注意0和1） 实数域 R 复数域 C
运算性质
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
逆变换
象子空间 秩 维数关系
TS ST I
T V Tv / v V T V 的维数 dim T V dim T 1 V n
核（ke rnel） K v V / Tv
5 线性变换的概念
称为线性变换 T 在基 e1 , e2 en下的矩阵 . 定理 2 数域 P 上 n 维线性空间 V 的所有线性变换构成的 线性空间 L (V )，在取定 V 的一组基之下，它与数 域 P 上 的一切 n n 矩阵所构成的线性空间 P nn是同构的。 推论 dim L(V) dim P nn n 2
博士研究生入学《矩阵分析》考试大纲
博士研究生入学《矩阵分析》考试大纲第一章线性空间和线性映射1.1线性空间；1.2基变换与坐标变换；1.3线性子空间（概念，子空间的交，和，子空间的直和，补子空间）；1.4线性映射（概念，线性映射的矩阵表示）；1.5线性映射的值域，核；1.6线性变换的不变子空间；1.7特征值与特征向量；1.8 矩阵的相似对角形；第二章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形2.1λ-矩阵及标准形；2.2初等因子与相似条件；2.3矩阵的Jordan标准形；第三章函数逼近与曲线拟合3.1内积空间；3.2函数的最佳平方逼近；3.3正交多项式（用正交函数系作最佳平方逼近）；3.4曲线拟合的最小二乘法；3.5三次样条插值；第四章数值积分4.1数值求积公式的基本概念；4.2牛顿－柯斯特公式；4.3复化求积公式及其收敛性；4.4高斯型求积公式；4.5数值微分；第五章常微分方程的数值方法5.1欧拉方法及其截断误差和阶；5.2龙格－库塔方法；5.3单步法收敛性与稳定性；5.4线性多步法；5.5预测－校正技术和外推技巧；第六章线性代数方程组的解法6.1预备知识（向量与矩阵范数，范数的连续性定理，范数等价性定理范数收敛性，矩阵的算子范数矩阵特征值的上界等）；6.2高斯消去法，高斯主元素消去法；6.3矩阵分解及其在解方程组中的应用；6.4误差分析；6.5线性代数方程组的迭代解法；第七章线性代数方程组的解法7.1二分法；7.2简单迭代法；7.3迭代过程的加速；7.4Newton迭代法；7.5弦截法与抛物线法；第八章矩阵特征值与特征向量计算8.1幂法与反幂法；8.2Jacobi方法；8.3QR方法；。
矩阵论_01线性空间
第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（ ），交（ ）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。
1． 线性空间的定义：设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k ,l,m 等表示。
如果V 满足[如下8条性质，分两类]（I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质（1）结合律 ()()x y z x y z ++=++；（2）交换律 x y y x +=+；（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。
则有()x x +-= o 。
（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律 ()k x y k x k y +=+；（6）分配律 ()k lx k x l x +=+； （7）结合律 ()()k l x k l x =；（8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1]则称V 为数域K 上的线性空间。
注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。
（2）两种运算、八条性质数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。
矩阵论学习-(线性空间与线性变换)
ka1 ,
kb1 +
k( k 2
1 ) a21
ka2 ,
kb2
+
k(
k2
1)
a22
=
ka1
+
ka2 ,
kb1
+
kb2
+
k( k 2
1) (
a21
+
a22 )
+
k2 (
a1 a2 )
.
4
矩 阵 论 学 习 辅 导 与 典型 题 解 析
故有 k⊙ ( α β) = ( k⊙α) ( k⊙β) , 即八条运算法则皆成立 , V 在实域 R 上构
第一章 线性空间与线性变换
线性空间是某一类事物从量方面的一个数学抽象, 线性变换则是反映线性空 间元素之间最基本的线性函数关系 , 它们是研究线性代数的理论基础 .理解本章的 主要概念 , 掌握基本定理、结论和方法 , 对学好矩阵论起着关键的作用 .
§1 .1 线性空间 , 基、维数及坐标
一、线性空间与子空间
mn
mn
mn
∑ ∑ ( aij + bij ) = ∑∑ aij + ∑ ∑ bij = 0
i = 1j = 1
i = 1j = 1
i = 1j = 1
即有 A + B∈ W4 , 同样由于 kA = ( kaij ) m × n ,
mn
mn
∑∑ kaij = k∑∑ aij = k0 = 0
i = 1j = 1
i = 1j = 1
即有 kA∈ W4 .加法运算和数乘运算封闭 , 故 W4 是一个子空间 .
⑥ ( kl ) ⊙α=
矩阵理论第一章线性空间与线性变换13
主讲教师 杨建平
教材:矩阵论及其应用
(中国科技大学出版社,黄有度等)
• 参考书: • 矩阵分析(北京理工大学出版社,史荣昌) • 矩阵理论(高等教育出版社,黄廷祝等) • 矩阵论(科学出版社,戴华)
矩阵理论
内容简介 第一章 线性空间与线性变换 第二章
—矩阵与Jordan标准形
第三章 矩阵分析及矩阵函数 第四章 矩阵微分方程
n 又 C n 为线性空间, 故 x1 x2 C ，因此 A( x1 x2 ) R( A)，
又 A( x1 x2 ) Ax1 Ax 2 y1 y2 故 y1 y2 R( A)， 同理， 当 k C 时，有 ky1 R( A), 由于 C n 为线性空间， 容易验证 R( A) 中的加法和数乘满足8条规则，故 R( A) 为C上的线性空间。
则把f(x)在 x a 处按 Taylor 公式展开后，有
例8
1 (1, 2 (0,
在 n 维线性空间 R n 中，它的一个基为：
0,,0) T 1,,0)
0,,1)
T
T n
T
n (0,
对于任一向量 (a1 , a2 ,, an ) R , 有
R( A) { y | y Ax , N ( A) {x | Ax 0,
x C n} x C n}
按 C n 中的加法和数乘运算，则 R( A) 和 N ( A) 都是复数 域C上的线性空间，其中 N ( A) 叫做矩阵A的零空间，(或核）， 也叫做方程组Ax=0的解空间。
证明： 设 y1, y2 R( A), 则存在 x1 , x2 Cn， 使得 y1 Ax1, y2 Ax 2
第一章线性空间与线性变换-矩阵理论课件
(2)x W , P x W . 平凡子空间
例5
① V x (x1, x2, , xn )T Ax , A Rnn,det(A) 0
是 R中n 的一个子空间。 ② R3是3 R的m一n个子空间。
③ P3[是t] Pn[的t]一个子空间。
定义2 （线性生成子空间）
设 x1, x2 , , xn V L(P ) ， 线性组合
C
C11C2
0 0
1 0
1 1
1 1
0
1
1 1
1 1
1
0
0 0 0 1 1 1 0 1
1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0
0
0
1 0
1 1
0
0
1 1
1 1
1 1
1
0
1
0
0 0
0
1
1 1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1 0 1
§3、子空间与维数定理 定义1 （子空间）
下的坐标依次可记为
E11, E12 , E21, E22
1 0 0 1 1
1
1
0
,2
1 1
,
3
0
1
,
1
0
2
,
2
1 0
0
0
1
3
1
容易判定该向量组的一个最大无关组为 1,2 ,3 , 2
A1, A2 , A3, B2 是 V1 V2 的一个基。dim(V1 V2 ) 4
③求V1 的V基2 与维数。
分析： 设V的两个子空间为
求 x1, x2, , xm , y1, y2, , yn
矩阵分析课件chapter1线性空间和线性变换例题详解
矩阵是什么？矩阵是线性映射的表示：线性映射的相加表示为矩阵的相加线性映射的复合表示为矩阵的相乘矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。
学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。
定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。
如：对称矩阵可以定义为：a ij=a ji也可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y),还可以定义为：Ax=f(x), 其中f(x)=x T Bx/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。
第一章：线性空间和线性变换1.线性空间集合与映射集合是现代数学的最重要的概念，但没有严格的定义。
集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合的补；集合中元素没有重合，子集，元素映射：为一个规则：S S', 使得S中元素a和S'中元素对应，记为a'=(a),或：a a'.映射最本质的特征在于对于S中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。
映射的原象，象；映射的复合。
满射,单射,一一映射。
若S'和S相同，则称为变换。
若S'为数域，则称为函数。
线性空间的定义和性质定义1.1设V是一个非空集合，它的元素用x,y,z等表示，并称之为向量；K是一个数域，它的元素用k,l,m等表示，如果V满足下列条件(I)在V中定义一个加法运算，即当Vx,时，有惟一的∈yx，且加法运算满足下列性质+y∈V(1)结合律;+x+=++y)(z(z)yx(2)交换律;x+=yyx+(3)存在零元素0，使x+0=x；(4)存在负元素，即对任何一向量x V ,存在向量y，使x+y=0，则称y为x的负元素，记为-x，于是有x+(-x) = 0(II)在V中定义数乘运算，即当x V, k K,有唯一的k x V, 且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律k(x+y)=k x+k y ;(6) 分配律（k+l）x= k x+l x ;(7) 结合律k(l x)=(k l ) x ;(8) 1 x = x则称V为数域K上的线性空间或向量空间。
01_矩阵论_第一章
注记 3 线性空间的本质是线性运算。同一 个集合，若定义两种不同的线性运算，就构成 不同的线性空间；若定义的运算不是线性运算， 就不能构成线性空间。如前述的数学例子。
注记 4 抽象的线性空间的作用在于，由它 得出的一切结论对诸如上述线性空间的研究。
例 5 向量组 {e1 = (1, 0, 0, …, 0)T, e2 = (0, 1, 0, …, 0)T, …, en = (0, 0, …, 0, 1)T} 是 F n 的一组基， 则 dimF n = n。
例 6 求矩阵空间 R22 的维数与一组基。
解 任取矩阵 A，其中
a11 A a 21 a12 a22
a0 a 2 3 1 f x 1, x, x , x , a2 a 3
因为 所以 f(x) 在基 {1, x, x2, x3} 下的坐标为 (a0, a1, a2, a3)T。
在线性空间和线性变换的讨论中，矩阵是 一个重要的工具。特别地，矩阵还是线性变换 的便利表达方法。
§ 1.1 线性空间
一、线性空间的概念
在线性代数课程中，我们把有序数组称为 向量，把 n 维向量的全体所构成的集合 Rn 称为 n 维向量空间。一般地，如果 V 为非空的 n 维向 量的集合，且集合 V 对于向量加法及数乘两种 运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间。
注记 1 有些教材中，向量空间与线性空间 表示的是同一个概念，但我们通常用向量空间 来表示某一数域上的以该数域中的 n 元有序数组 为元素构成的线性空间。
此外，从上述线性空间的例子中可以看到， 许多常见的研究对象都可以在线性空间中作为 向量来研究，只不过它们此时未必是有序数组 了。
注记 2 定义 1.1 中的加法和数乘运算分别 是V 中的一个二元运算以及数域 F 和 V 中元素 间的运算，它们已不再局限于数的加法、乘法 或者数值向量的加法、数乘概念。如上述的几 个例题。
矩阵第一章 线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换§1 线性空间的概念定义1 如果复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍属于该集合，则称数集P 为一个数域。
数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。
特别地，每个数域都包含整数0和1。
定义1－1 设V 是一个非空集合，P 是一个数域。
如果（1）在集合V 上定义了一个二元运算“+”（通常称为加法），使得，V ∈∀y x ,，都有V ∈+y x ；（2）在数域P 的元素与集合V 的元素之间还定义了数量乘法运算，使得V P ∈∈∀x ,λ有V ∈x λ；（3）上述两个运算满足下列八条规则：1) V ∈∀y x ,，都有x y y x +=+； 2) V ∈∀z y x ,,，有)()(z y x z y x ++=++；3) V 中存在零元素，记为θ，对于V ∈∀x ，都有x x =+θ；4) V ∈∀x ，都有V ∈y ，使得θ=+y x 。
y 称为x 的负元素；5) V ∈∀x ，都有x x =1；P ∈,∀μλ，V ∈∀y x ,，下列三条成立：6) x x )()(λμμλ=； 7) x x x νλμλ+=+)(； 8) y x y x λλλ+=+)(，则集合V 叫做数域P 上的线性空间或向量空间。
当P 是实数域时，V 叫实线性空间；当P 是复数域时，V 叫复线性空间。
例1－1 若P 是数域，V 是分量属于P 的n 元有序数组的集合}|),,,{(21P x x x x V i n ∈∀= ，若对于V 中任两元素),,,(21n x x x X =，),,,(21n y y y Y =及每个P k ∈（记作P k ∈∀），定义加法及数量乘法为),,,(2211n n y x y x y x Y X +++=+ ，),,,(21n kx kx kx kX =则容易验证，集合V 构成数域P 上的线性空间。
矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-子空间与维数定理、线性空间的同构
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
子空间举例
零子空间{0}与线性空间V 本身称为平凡子空间.
例1 线性空间V 的子集：(1,2 ,,m V )
m
L(1,2 ,,m ) { | kii , ki P} i 1
是V的子空间，称为由
称为子空间 V1 与 V2 的交；
（2）集合 V1 V2 { | V1, V2 }
称为子空间 V1 与 V2 的和；
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
定理1-3：线性空间V 的两个子空间V1与V2的 交W=V1∩V2也是V 的子空间.
证 (1) W 是非空集合， 0 W ；
生成的子空间.
例2 在n维线性空间V=Pn 中，子集
W { | A 0, Pn}
是V 的一个n-r 维子空间，r是的ຫໍສະໝຸດ .目录 上页 下页 返回 结束
第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
二、子空间的运算
定义：设V1, V2是线性空间V 的两个子空间，则
（1）集合 V1 V2 { | V1且 V2 }
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
推论：若n维线性空间V 的两个子空间的维数之和
大于n，则其交V1∩V2必含非零向量. dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
定义1-5：设V1, V2是线性空间V 的两个子空间， 若和 W V1 V2 具有性质：
（4） dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) .
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矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性变换的概念、线性变换的矩阵、不变子空间
(2) T(k ) kT( ).
则称T 是线性空间V 的一个线性变换.
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第一章第五六七节 线性变换的概念及其矩阵、不变子空间
若′T ( ) , 则T ( )或′称为向量 ∈V 在线 性变换T 下的象,而 称为T ()或′的原象.
第一章 线性空间与线性变换
第五节 线性变换的概念 第六节 线性变换的矩阵 第七节 不变子空间
第一章第五六七节 线性变换的概念及其矩阵、不变子空间
第五节 线性变换的概念
一、线性变换的定义
设V 是数域P上的线性空间,从V 到V 的映 射称为V 的变换. 定义1-7：设V 是数域P上的线性空间，若V 上
R[a,b]:实连续函数空间
t
T ( f (t)) a f (u)du (a t b).
5. V , T ( ) 0.
零变换 0
6. V , T ( ) .
单位变换 I
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第一章第五六七节 线性变换的概念及其矩阵、不变子空间
二、线性变换的性质
1、若T是线性变换，则 T(0) 0, T( ) T( ).
2、线性变换T保持向量的线性组合与线性关系式,
即
m
m
kii T ( ) kiT (i );
i 1
i 1
m
m
kii 0
kiT (i ) 0 .
i 1
i 1
3、线性变换T 把线性相关的向量组变换成线性
相关的向量组.
注：线性变换不能保持线性无关的关系.
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第一章第五六七节 线性变换的概念及其矩阵、不变子空间
矩阵分析引论--总复习
直
V2 x Ax 0, x C n.
和 分
若 A2 A, 证明 V1,V2 是 C n 的子空间，且
解
C n V1 V2 .
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矩阵分析总复习
2006,二、(14分)设
R22中,
A
a c
b d
,定义变换：
线
( X ) AXA, X R2 2
性 1）证明 是 R22 的线性变换；
变
换 与
2）求
在基E1
1 0
00,
E2
0 0
10,
矩
阵
E3
0 1
00,
E4
0 0
0 1
下的矩阵.
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矩阵分析总复习
2007,二、(12分) 设 V3(F ) 中,从基 1,2 ,3 到基
1 0 1
1 , 2 , 3
的过渡矩阵
C
0
1 0，
线性变换 T 满足
1 0 1
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矩阵分析总复习
2007,七、(10分) 设 ,1,2 ,,m 是酉空间V 中
的向量, 0 , W1 L(1,2 ,,m ),
W2 L( ,1,2 ,,m ), 如果 b 与aj 的内积满足 ( , j ) 0( j 1,2,,m),
证明： dimW1 dimW2 .
则a= .
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矩阵分析总复习
2004,三、（10分）试把
标
1 (1,0,1,0)T ,2 (0,1,0,2)T ,
准
正 扩充为 R4 的一个正交基，
交 基
再求 R4的一个标准正交基.
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复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
向量组a1,a2 ,,an(n 2) 线性相关 向量组 a1,a2,,an 中至少有一个向量
矩阵分析引论
Matrix Theory
《矩阵论》是高等院校理、工科研 究生的一门重要基础课程。 有人认为， “ 科学计算，归根结底就是矩阵的计 算 ” 。 因此，对于将来从事科学技术 工作的研究生来说 ，矩阵理论和方法 是必不可少的数学工具。
第一章 线性空间与线性变换
• R3 －最为形象、具体的集合 • 集合的结构属性（彼此相容） 1.集合论：交、并、补运算 2.拓扑结构：度量空间（距离空间） 3.代数结构：向量的加法与数乘 4.欧氏几何学：正交、长度、夹角 5.测度论：点集的长度、面积、体积等
n 称为线性空间V的维数，V称为n 维线性空间.
dimV n,
n为有限数时,称V为有限维线性空间.
则称V为数域P上的线性空ห้องสมุดไป่ตู้（L.S.).
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
① 可以证明： 零向量是唯一的. 01 01 0 0 01 0. 负向量是唯一的.
(a )1 (a )1 0 0 (a )1 (a (a )) (a )1 ((a ) a ) (a )1 (a ) (a (a )1) a 0 a
能由其余向量线性表示.
向量组a1,a2 ,,an 线性无关 向量组 a1,a2,,an 中任一向量都不能
由其余向量线性表示.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
定义1-3：基、维数、有限维线性空间 设V是数域P上的线性空间，若V 中的 n 个向量
a1,a2，,an 满足下述条件： (1) a1,a2，,an 线性无关； (2) V中的任一向量都可由a1,a2，,an 线性表示. 则向量组 a1,a2，,an 称为线性空间V的一个基,
定义1-2：线性相关,线性无关,线性组合,线性表示
设 a1,a2 ,,an是线性空间V(P)的一组向量，
如果存在P中一组不全为0的数 k1, k2 ,, kn，使得
k1a1 k2a2 knan 0 成立，则称向量 a1,a2,,an 线性相关.
若等式 k1a1 k2a2 knan 0 当且仅当
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
② 可以证明：
0a 0, k0 0, (1)a a . ka 0 的充要条件是 k 0 或 a 0.
③ 可以定义元素的减法为
a b a (b ).
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
注：线性空间V(P)
• 一个数域P，其元素称为标量； • 一个集合V，其元素称为向量；
• “加法”运算：运算结果唯一、封闭
且满足：交换律、结合律、
存在零元(称为零向量)、存在负元
• “数乘”运算：运算结果唯一、封闭
且满足：
1a a
k(la ) (kl)a
(k l)a ka la k(a b ) ka kb
三、线性空间举例
例1 V {(x1, x2,, xn ) x1, x2,, xn P}, 记为Pn .
例2 Pmn { A (aij )mn aij P};
例3
P[t ]n
P(t)
P(t)
n1
akt k ,ak
P ;
k0
例4 C[a,b] f ( x) f ( x)是[a,b]上的连续实函数;
k1 k2 kn 0 时才成立，
则称这组向量线性无关.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
设a1,a2 ,,an 是V(P)中的向量，k1, k2 ,, kn 是P中的数，则 k1a1 k2a2 knan 称为向量a1,a2,,an 的线性组合.
例5 S X Pn X是齐次线性方程组AX 0的解;
例6 R : 全体正实数；数域为R. 定义加法及数乘
运算为: a b ab ; (a , b R ) k a a k . (k R,a R )
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
四、基、维数