梁的内力分析

图 7-4
一、梁的内力--剪力和弯矩
在计算过程中，为保证无论取截面的左段还是右段为研究对象，所得到的同一横 截面上的剪力和弯矩相同，特对剪力FQ和弯矩M的符号作如下规定： 1. 剪力：剪力使脱离体顺时针方向转动为正，反之为负，见图7－5a。 2. 弯矩：弯矩使脱离体产生向下凹变形的弯矩为正，反之为负，见图7－ 5b。 计算梁指定截面上的剪力和弯矩最基本的方法仍然是截面法。其步骤如下： 1. 计算支座反力；（对悬臂梁可以不用求反力） 2. 用截面法将梁从需求内力处假想地切为两段； 3. 任取一段为研究对象，画出受力图（一般将所求截面上的剪力和弯矩 都假定为正）。 4. 建立平衡方程，求出剪力和弯矩。
例7-2简支梁受集中力F＝3kN，集中力偶m＝ 2kN.m作用，见图7－7，试求1－1、2－2、3－3 和4－4截面上的剪力和弯矩。
例7-2
F
解：（1）求支座反力
∑MB＝0, F×6-FA×8-m=0, FA=2kN
由∑Fy＝0,
,FA-F+FB=0 ,RB＝1kN
(2)计算各截面的剪力和弯矩。对1－1截面和2－2截面， 取左侧计算
二、剪力图和弯矩图
（一）、剪力方程和弯矩方程 上节的计算表明，一般情况下，梁上各截面的剪力和弯矩值是随截面位 置不同而变化的。如果把梁的截面位置用坐标x表示，则剪力和弯矩 是x的函数，即 FQ＝FQ（x） M＝M（x） 上式称为剪力方程和弯矩方程。 （二）、剪力图和弯矩图 分别绘出剪力方程和弯矩方程所表达的函数关系的函数图形，就是剪力 图和弯矩图。即以梁的轴线为x轴，纵坐标分别表示各截面的剪力值 和弯矩值。
FQ1 FA 2kN M1 FA 2 2 2 4kN m
图
FQ2=FA－F＝2－3＝－1kN
M 2 FA 2 2 2 4kN m
(3)求3－3和4－4截面的剪力和弯矩，取右侧计算。
FQ 3 FB 1kN
M3 FB 4 m 1 4 2 2kN m
楼面预制板
楼面梁
q
图 7-1
实际工程中，大多数的梁的横截面都有一根对称轴。梁的轴线与横截面 对称轴所构成的平面，称为梁的纵向对称面。 图7－2中横向力和力偶作用于纵向对称面内时，梁的轴线弯曲成一条在 此纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。本章只讨论这 种平面弯曲。 梁的形式很多，按支座情况可分为如下三种基本形式的静定梁： 1、简支梁：梁一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座，如图7－ 3a所示。 2、悬臂梁：梁的一端为固定端，另一端自由，如图7－3b所示。 3、外伸梁：梁的支座形式与简支梁的相同，但梁的一端或两端伸出 支座之外，如图7－3c所示。
CB段剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 当x2＝3m时 当x2＝5m时
MC 12 (5 3) 24kN.m
M( x 2) 12 (5 x2 ) (3m x 5m) 2
MB 0
CB段和AC段的剪力图和弯矩图如图7－10b、c所示。
第三节 用简捷法作梁的内力图
图 7-5
例7－1求图7－6a所示梁1－1、2－2、3－3截面上 的剪力和弯矩。已知m＝12kN.m，q＝2kN/m。
解： （1）计算支反力
由 ∑ m B ＝0 ,－ FA 12－ m q 6 3＝0,
例 7－ 1
F A ＝2 kN
FQ1 FQ3
m
A
＝0 ,
F B 12－q 6 9－m＝0 ,
例7-3悬臂梁AB，自由端受F力作用，试作剪力图 和弯矩图，见图7-8a。
解：（1）列剪力方程和弯矩方程
例7-3
以梁左端为坐标原点，在距原点为x处取一截面，求出该截 面的剪力值和弯矩值，即剪力方程和弯矩方程为： FQ（x）＝-F M（x）＝-Fx (0<x<l) (0≤x<l)
2）作剪力图和弯矩图 FQ（x）为一常数，所以函数图形为一水平直线，见图7-8b， M（x）为一次函数，图形为斜直线，现求两点的值作此直线： 当x＝0时， MA＝0；当x=l时，MB=-Fl。连接A、B两点的弯矩值得M图，见图7-8c。 注意：对于土建类，M轴通常以向下为正。（这样画出的弯矩图正好在梁弯曲时受拉的一侧）
(0 x l ) (0 x l )
(3)作剪力图和弯矩图。剪力方程为一次函数，现求两点作图： 当x=0时 当x=l时
FQA FQB ql ql ql 2 2
可得剪力图，见图7－9b。
弯矩方程为二次函数，其图形为二次抛物线，至少需求三点， 即两端点A、B点和抛物线顶点（此时顶点在跨中C点）。 当x ＝0 时
FQ4 FB 1kN M4 FB 4 1 4 4kN m
本例中，1-1和2-2截面分别为集中力F作用点的两侧截面。 从计算出的剪力和弯矩的数值可知，集中力F两侧的剪力值有一个突变，且突变值等于集中力F的值。而集 中力作用处两侧的弯矩值相等。 3-3和4-4截面分别为集中力偶m作用处两侧的截面，从计算结果知：集中力偶作用处两侧的剪力没有变化， 而弯矩有突变，其突变值等于集中力偶m的数值。 以上的结论，对于梁截面上剪力和弯矩的计算具有普遍性。
Q
x
1
F
A
M(x1 ) FA x1 8x1
当x 1 ＝0 时 M A ＝0
(0
x 3m)
1
AC段剪力图为水平直线，弯矩图为一斜直线。 当x1＝3m时 MC 8 3 24kN.m
图
FQ ( x2) 12kN
(3m x2 5m)
CB段：仍取距原点为x2处任意截面，x2的取值范围是从3m到5m
第七章 梁的内力分析
第一节 平面弯曲的概念 第二节 单跨静定梁的内力及内力图 第三节 用简捷法作梁的内力图 第四节 用叠加法绘梁的弯矩图 第五节 作多跨静定梁的内力图
第一节 平面弯曲的概念
当杆件受到横向力（垂直于杆轴线的力）或在杆轴平面内的力偶作用时， 杆件的轴线由直线变成曲线。这种变形称为弯曲。以弯曲为主要变形 的杆件称为梁。 弯曲是工程和生活实际中最常见的一种基本变形。例如楼面梁，如图7－ 1a所示； 桥式吊车的横梁，见图7－1b； 机车的轮轴，见图7－1c，都是产生弯曲变形的构件。
得
d F Q ( x) dx
2
q ( x)
（7-1）
图 7-11
略去高阶微量 (dx)
2
d M ( x) q( x) 2 dx
2
得
dM ( x) F Q ( x) （7-2） dx
（7-3）
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（7-1），（7-2），（7-3）表明：剪力方程对x的一阶导数等于载荷集度。弯矩方程对x的一阶导数 等于剪力方程。弯矩方程对x的二阶导数等于载荷集度。利用以上微分关系，得到载荷布置情况与相 应区段剪力和弯矩的变化关系： （1）如果梁的某一区段没有任何载荷，
FQ3 q 3 FB 0
, FQ3 q 3 FB 2 3 10 4kN
M
0 ,－ M 3 q 3 3
3 FB 3 0 , 2
32 32 M 3 FB 3 q 10 3 2 ＝21kN.m 2 2
M F
Q2
2
0,
FA 4 M M 2 0 , M 2 FA 4 5 20kN m
、 M 2 为正值，表示该截面上剪力和弯矩与所设方向一致，故为正剪力，正弯矩。
（4）求 3-3 截面的内力。用截面法从 3-3 处切开，取右段为研究对象，受力如图 7-6d。此时剪力弯矩仍假定为正，列 平衡方程 ∑ FY =0,
解：（1）求支座反力。
∑M C ＝0 ∑MA＝0
例 7－ 5
-FA×-12-12×2=0, RA=-8kN -12×5+FB×3=0, RB=20kN
(2)列剪力方程和弯矩方程。
整个AB梁应分别分为AC段和CB段列方程
AC段：取距原点为x1处的任意截面，x1取值范围是从0到 3m。 F ( ) (0 x1 3m) 8kN
微段左侧截面处的剪力为FQ(x)，弯矩为M(x)。右侧截面 处剪力和弯矩分别较左侧有一个增量，即分别为FQ(x)+d FQ(x)和M(x)+dM(x)。微段上的外载荷q(x)可以看成是均匀分 布的。整体平衡，取出的微段在外力和内力的共同作用下也 应该处于平衡状态。平衡方程为 ΣFy=0，FQ(x)+q(x)•dx-[ FQ(x)+d FQ(x)]=0 (1) ΣMC=0，-M(x)- FQ(x)•dx-q(x)•dx• dx +M(x)+dM(x)=0 (2)
利用剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图，过程比较繁琐，而且很 容易出错。下面我们用另一种方法：即利用弯矩、剪力和载荷集度间 的微分关系得出有关的结论来绘制剪力图和弯矩图。 首先，简单推导一下弯矩、剪力和载荷集度间的微分关系。 对图7-11的弯曲梁，取任意分布载荷q(x)段上的一微段，微段长dx，距 离坐标原点为x处。
FQ 3 为负剪力， M 3 为正弯矩。
在计算梁的剪力和弯矩时，可以通过下面的结论直接计算： （1）某截面上的剪力等于该截面左侧（或右侧）梁段上所 有横向外力的代数和。（左上右下剪力为正；反之则为负） 以该截面左侧杆段上的外力进行计算时，则向上的外力产生 正剪力，反之为负。以该截面右侧杆段的外力计算时，则 向下的外力产生正剪力，反之为负。 (2)某截面上的弯矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该 截面之矩的代数和。（左顺右逆弯矩为正；反之则为负） 以左侧的外力进行计算时，则绕截面顺转的外力产生正弯矩， 反之为负。以右侧的外力计算时，绕截面逆转的外力产生 正弯矩，反之为负。
例7-4简支梁受集度为q的均布载荷作用，见图 7－9a，试作出其剪力图和弯矩图。
解：（1）求支座反力。由于梁的对称性可得
1 FA FB ql 2
例7-4
（2）列剪力方程和弯矩方程 以梁左端A为原点，距原点为x处截面的剪力和弯矩为：
FQ ( x ) ql qx 2 ql x ql q M ( x ) x qx x x 2 2 2 2 2 ql 2
d F Q ( x) dx
q( x) 0; F 'Q 0
a、剪力图应是一条水平直线。 b、FQ(x)=常数，弯矩图是一条斜直线。 （2）如果梁的某一区段内有均布载荷， d F Q ( x) '' M ( x) q( x) C ; dx F Q ( x ) C 4 x C5
MA 0
MB ql ql 2 l 0 2 2 ql l q l ql 2 M C ( )2 2 2 2 2 8
当x ＝l 时
当x＝l/2时,
时将三点用一光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，见图7－9c。
例7－5一简支梁在C处受20kN的集中力作用，见图7 －10（a），试作此梁的剪力图和弯矩图。
F B ＝10 kN
（2）求1-1截面的内力。用截面法把梁从1-1截面处切成两段， 取左段为研究对象，受力如图7－6b。图中剪力和弯矩都假设为 正。由平衡方程得
FQ2 图 7-6
∑Fy＝0, ∑m 1 ＝0,
FA － F Q1 ＝0, F Q1 ＝ FA =2kN
FA 2 M 1 0 , M 1 FA 2 4kN m
F
Q1
、 M 1 为正值，表示该截面上剪力和弯矩与所设方向一致，故为正剪力，正弯矩。
例 7－ 1
（3）求 2-2 截面的内力。用截面法把梁从 2-2 截面处切成两段，取左段为研究对象，受 力如图 7－6c。图中剪力和弯矩都假设为正。由平衡方程得 ∑Fy＝0,
FA － F Q 2 ＝0, F Q 2 ＝ FA =2 kN
纵向对称面 图 图 7-3
第二节 单跨静定梁的内力及内力图
一、梁的内力--剪力和弯矩 图7－4a为一简支梁，现在分析任意一个截面 m-m上的内力。首先从m-m处将梁假想地 切开，取左段（也可取右段）为研究对象。 左段的外力有和。截面m-m上的内力应与 与一起使左段平衡。 由平衡条件，横截面上必然有一个与截面平行 的内力FQ，这个力称为剪力。另外，和对 截面形心之矩一般不会相互平衡，所以， 在横截面上有一个作用面在纵向对称面内 的力偶M与之平衡，这个内力偶M称为弯矩。 因此，一般情况下弯曲梁横截面上有两种内力： 剪力FQ和弯矩M，见图7－4b。