复合函数与隐函数的微分法

3e3x ln cos x e3x tan x
e3x (3 ln cos x tan x)
第6章 多元函数微分学
四川教育学院 土木与交通工程学院
§6.3.1 复合函数的微分法
例3 设 z F(x, y) ,而 y (x) 求 dz
dx
解 该题中函数的复合关系图为: z
x
y
由此可见全导数为
du
du
0
第6章 多元函数微分学
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§6.3.2 隐函数的微分法
1. 隐函数的概念 一般,由方程所确定的函数均称为隐函数. 由于方程中含有的未知量可以是两个、三个、四个 或更多,因此相应的就有一元隐函数、二元隐函数、三 元隐函数等等.
含有两个未知量的方程,其一般形式为F(x, y) 0 ,它 确定了 y 是 x 的一元函数,称其为一元隐函数;
复合关系图见图A所示,常称这种复合函数的导数为全导
数，全导数公式为: dz z du z dv
dx u dx v dx
(2)若 z f (u) ,而u (x, y) 时复合函数为 z f (x, y) ,其复
合关系图 见图B
u
x
注 3: 求 复 合 函 数 z
的偏导数时,和一
v
元函数一样,最后
导数必存在,且 z z u z v
x u x v x
z z u z v y u y v y
上述公式称为复合函数的链式法则。
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§6.3.1 复合函数的微分法
2. 复合函数的微分法
注1: 复合函数中变量与变量之间的关系常常可用如下图 形来表示,称这种图为复合关系图.
函数,记作 z f (x, y), (x, y) 其中 u, v称为中间变量
2. 复合函数的微分法
定理6.1 若函数 u (x, y)、v (x, y) 在点 (x, y) 的偏导
数
u x
、
u y
、
v x
v
、y 均存在,函数
z f (u,v)
在相应的
点 (u,v) 处可微,则复合函数z f (x, y), (x, y)在点 (x, y) 处的偏
§6.3.1 复合函数的微分法
例2
设
z u3 ln v ,而
u ex , v cos x 求
dz dx
解: 由全导数公式
d z z d u z d v 3u 2 ln v ex u3 ( sin x)
d x u d x v d x
v
3e2x ln cos x e x e3x sin x cos x
第6章：多元函数微分学
内容提要
§6.3 复合函数与隐函数的微分法
§6.3.1 复合函数的微分法 §6.2.2 隐函数的微分法
第6章 多元函数微分学
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§6.3.1 复合函数的微分法
1. 二元复合函数的概念
如果 z 是变量 u 和 v 的函数,即 z f (u,v) ,而 u, v又是 x, y 的函数 u (x, y) v (x, y) ,则称函数 z 是 x, y 的复合
求过.今利用偏导数给出求其导数的公式.为此将方程 F(x，
y)=0的两边同时对x求导数,且把变量y看成变量x的函数(参
见本节例3求法),Байду номын сангаас:
F F dy 0 x y dx
当 F 0 时解之得
y
F
dy dx
x F
y
该式给出了一元隐函数的一种新的求导方法,使用该方法
时只需将方程的一边移项为零,而将另一边看成F,然后分别求
y z x z 0 x y
证明：设 u x 2 ,y 2 则 z f (u) 是以 u为中间变量的二 元复合函数,
z dz u x du x
dz 2x 2x dz
du
du
z dz u dz (2 y) 2y dz
y du y du
du
所以
y z x
x z y
2xy dz 2xy dz
含有三个未知数的方程,其一般形式为F(x, y, z) 0 ,它 确定了 z 是 x 和 y 的二元函数,称其为二元隐函数;类似 的还有三元、四元一直到n元的隐函数.
本书仅讨论一元和二元隐函数.
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§6.3.2 隐函数的微分法
2. 隐函数的微分法 一元隐函数的导数在前面曾经利用复合函数求导法则
u
x
z
v
y
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
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§6.3.1 复合函数的微分法
2. 复合函数的微分法 注2: 二元复合函数有两种特殊情形 (1)若 z f (u,v),而
u (x), v (x) 时复合函数 z f (x), (x) 为一元函数,其
vuv1 3 uv ln u (2)
(3x 2y) x2 3y 3x2y1 3 x2 3y 3x2y ln(x2 3y)(2)
3(3x 2y) x2 3y 3x2y1 2 x2 3y 3x2y ln(x2 3y)
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dz F F dy . dx x y dx
当 z f (u),而 u (x, y) 时,由复合关系图得偏导数为:
z dz u , x du x
z dz u y du y
第6章 多元函数微分学
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§6.3.1 复合函数的微分法
例4 设 z f (x2 y2 ) 试证
图A
要将中间变量消去.
xz
u
y
图B
第6章 多元函数微分学
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§6.3.1 复合函数的微分法
例1 设 z x2 3y 3x2y 求
z , z x y
解: 设 u x2 3y, v 3x 2y 则 z uv 是 x, y 的复合函数,分别代入
公式得
z z u z v x u x v x
vuv1 2x uv ln u 3
(3x 2 y) x2 3y 3x2y1 2x x2 3y 3x2y ln(x2 3y) 3
2x(3x 2y) x2 3y 3x2y1 3 x2 3y 3x2y ln(x2 3y)
z z u z v y u y v y