复合函数与隐函数的微分法

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多元复合函数与隐函数微分法知识分享

du z dv,
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分：（ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微分法
一、多元复合函数微分法二、一阶全微分的形式不变性三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导数都存, 且在有如下的链式法则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为

7.4多元复合函数与隐函数微分法解析

z=f(x,v),v=v(x,y),则z=f[x,v(x,y)]有链式法
z f f v x x v x
z f v y v y
(7.23)
f z 在(7.23)中我们在等式的右边记为而不用 , x x z 这是为防止和等式左边的混淆. x
y
2019年1月7日星期一
8
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z z u z v y u y v y
1 1 f'u xe f'v y 2 x 1 ( ) x x y xe f'u 2 f'v 2 x y
y
z x y xe f'1 2 f'2 2 y x y
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z
u v
x y
注1 此定理也可称为求导的链式法则.记忆可用上图所示
的链子来记. 定理中的等式数为自变量的个数；每一个等式中的项数为中间变量的个数. z到x的路径有两条,一条
2019年1月7日星期一 19
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上式等式左端看作以 u,v 为中间变量 ,λ 为自变量的函数,等式两端对λ求导数,得
f du f dv k k 1 f ( x, y ) u d v d
即
f f k 1 x y k f ( x, y ) u v
由链式法则有 z eu sin v 1 eu cos v 1 x x y e [sin( x y ) cos( x y )]
2019年1月7日星期一 15
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高等数学第五节多元复合函数与隐函数微分法ppt课件

x y
这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微分形式不变，称为(二元函数)一阶微分的形式不变性.
20
例10 求下列函数的偏导数和全微分.
(1) z ( x y)exy
解 dz d[( x y)exy ] ( x y)de xy exyd( x y)
( x y)exy ( y dx x dy) exy(dx dy)
dz z du z dv dx u dx v dx
vuv1 1 uvlnv 1 x x x1 x xlnx
10
情形3 z f (x,v),v v(x, y) 则有
z f f v ; x x v x
z f v y v y
或者 z f (x, y,v),v v(x, y) 则有
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
dz z dx z dy x y
dz
Fx' Fz'
dx
Fy' Fz'
dy
所以
Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
dF( x, y, z) Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
33
例13 设隐函数 z z( x, y) 由 sin z x2 yz 0 确定，
12
课堂设 z f (u, v, t) uv sint ，其中 u et ，练习 v cost ，
求全导数 dz . dt
dz f du f dv f 解
dt u dt v dt t
vet usint cos t
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
z f f v ; x x v x

复合函数微分法与隐函数微分法

第九讲复合函数微分法在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 下面分几种情况来讨论.一、多元复合函数微分法1、复合函数的中间变量为多元函数的情形设),,(v u f z =),,(y x u u =),(y x v v =构成复合函数)],,(),,([y x v y x u f z =则,x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ,yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 2、复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数),(v u f z =,)(t u u =,)(t v v =构成复合函数)](),([t v t u f z =.dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= 导数dtdz 称为全导数.3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理3 如果函数),(y x u u =在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数, 函数)(y v v =在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数, 则复合函数)](),,([y v y x u f z =在对应点),(y x 的两个偏导数存在, 且有,x u u z x z ∂∂∂∂=∂∂ .dydv v z y u u z y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号:,),(1u v u f f ∂∂=' ,),(2v v u f f ∂∂='vu v u f f ∂∂∂=''),(212 , 这里下标1表示对第一个变量u 求偏导数，下标2表示对第二个变量v 求偏导数，同理有2211,f f '''' , 等等. 例1设,sin v e z u =而,,y x v xy u +== 求x z ∂∂和.yz ∂∂ 例2设,sin t uv z +=而,cos ,t v e u t == 求导数.dtdz第十讲隐函数微分法二、隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程0),(=y x F来求它所确定的隐函数的导数的方法. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.定理4 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数, 且,0),(00≠y x F y ,0),(00=y x F 则方程0),(=y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数),(x f y = 它满足),(00x f y = 并有.yx F F dx dy -= 定理5 设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内有连续的偏导数, 且,0),,(,0),,(000000≠=z y x F z y x F z则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =, 它满足条件),(000y x f z =,并有.,zy z x F F y z F F x z -=∂∂-=∂∂ 例3 求由方程0=+-y x e e xy 所确定的隐函数y 的导数.,0=x dx dy dx dy 例4求由方程y z z x ln =所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数.,yz x z ∂∂∂∂ 例5求由方程a a xyz z (333=-是常数)所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂和.y z ∂∂ 例6设,04222=-++z z y x 求 .22x z ∂∂。

多元复合函数与隐函数求导

第四节多元复合函数与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则
二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。
设函数 z = f (u,v )，而u，v又都是x，y的函数
u = ( x, y ),v = ( x, y ), 于是
z = f [( x, y ), ( x, y )]
两边对x求导得
∂F ∂x
+
∂F ∂y
dy dx
= 0,即Fx′+ Fy′ddyx
=0
再由已知条件有
dy dx
=
-
Fx′ Fy′
例9 求由方程 e y - xy = 0所确定的隐函数y=f(x)
的导数。
解：设 F( x, y ) = ey - xy, 则 Fx′= - y, Fy′= ey - x,
= 2 xfu′+ ye xy fv′+ f w′cos( x + y )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂y = ∂u ∂y + ∂v ∂y + ∂w ∂y
= fu′• ( - 2 y ) + fv′• x • exy + fw′• cos( x + y )
= - 2 yfu′+ xe xy fv′+ f w′cos( x + y )
（2）z = f ( u,v ),其中u = ( x ),v = ( x, y ),则
∂z ∂z du ∂z ∂v ∂x = ∂u • dx + ∂v • ∂x ∂z ∂z ∂v ∂y = ∂v • ∂y
例4
设函数
z
=
ln(tan

多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x

第五节多元函数微分法

求导公式函数结构
复合函数求导法则特征说明 u z z u z v = + z x u x v x v
x y
项数等于路径条数因子数等于连线数
公式与结构图两者之间的联系: 公式与结构图两者之间的联系 ①公式中偏导数由两项组成, 的路径. 两项组成对应结构图中有两条 x 到达 z 的路径公式中每项为两个偏导数的乘积, ②公式中每项为两个偏导数的乘积这两个偏导数形式与结构图中相连接的两个变量的偏导数相对应. 与结构图中相连接的两个变量的偏导数相对应基本规律: 分路向加, 连线相乘, 分清变量, 逐层求导. 基本规律分路向加连线相乘分清变量逐层求导复合函数求导法则虽然是多种多样, 复合函数求导法则虽然是多种多样但是把握了其规律就可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.
一,复合函数求导法则设函数 z= f (u, v) , 而 u = (x), v =ψ (x), 则有复合中间变量为一元函数) 函数 z = f [(x),ψ (x)] (中间变量为一元函数定理处均可导, 设函数 u = (x) 与v = ψ(x) 在x 处均可导二元函数 z = f (x , y)在 x 对应点 , v)处有一阶连续偏在对应点(u 处有一阶连续偏的导数存在, 导数则复合函数 z = f [(x),ψ (x)] 对 x 的导数存在且 u dz z du z dv x z = + . v dx u dx v dx
z z u z v = + . y u y v y
z u z v z u z v + + dy dx + 所以 dz = u x v x u y v y z u u z v v = dx + dy + dx + dy u x y v x y z z = du + dv. u v

8.5_复合函数与隐函数的求导法则

19
复合函数与隐函数的微分法
dy . 例7 设 sin y e xy , 求 dx
x 2
x 2 设 , F ( x , y ) sin y e xy 解法1
e x y 2 , Fy cos y 2 xy , Fx
Fx dy y2 ex . 所以 dx Fy cos y 2 xy
多元复合函数求导法从一定意义上说, 可以认为是一元复合函数求导法的推广.
由y f ( u), u ( x ) 构成的一元复合
函数 y f [ ( x )], 其导数公式是 dy d y du . dx du dx 对多元复合函数, 因变量对每一个自变量求导数也如此, 不过, 因变量要通过各个中间变量达到自变量.
e xy[ y sin( x y ) cos( x y )],
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
e xy[ x sin( x y ) cos( x y )].
z f u f v y u y v y
y
5
复合函数与隐函数的微分法
z z 例1 设z e sinv , u xy, v x y, 求和 . x y z z u z u u e sinv y e cos v 1
2) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内 F 具有连续偏导数
u
y
z f u f y u y y eu sin( x y ) x eu cos( x y ).
11
复合函数与隐函数的微分法

7.5 多元复合函数与隐函数的微分法解析

且
z z u z v …(7.5.3) x u x v x
z
u
x y
z z u z v y u y v y
…(7.5.4)
v
9
注1 此定理也可称为求导的链式法则. 事实上, 当z对x求偏导时, 应将y看作常数, 此时的中间变量 u,v均是x的一元函数, 从而z亦是x的一元函数, 于是可利用公式(7.5.1). 此时应把相应的导数记号改写成偏导数记号, 就可得公式(7.5.3)；类似地可得公式(7.5.4)．可将此定理中复合函数的中间变量推广到多于两个的情形. 例如, 设由函数
(t ), (t )均连续, 所以当t 0时, 0;
x dx y dy 同时亦有 , ; 于是有 t dt t dt o( ) o( ) o( ) x 2 y 2 lim lim lim ( ) ( ) 0 t 0 t 0 t t t 0 t t
故
dz z z dx z dy lim dt t 0 t x dt y dt
4
即复合函数z f ( (t ), (t ))在点t处可导, 且有公式(7.5.1)
成立.
由于多元函数的复合关系可能出现多种情形, 因此, 分清复
合函数的复合层次是求偏导数的关键.
u s t x y z
f u f s f t f 2y t y s y t y s
u f s f t f f 2z z s z t z s t
15
注2 在计算多元复合函数的偏导数时, 可不写中间变量, 而
又有
而
z z u z v y u y v y
u v 2 y, x y y

复合函数和隐函数微分

上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
例1 求导数
⑴ 设 z e uv u sin x v cos x 求 dz
dx
解 dz z du z dv dx u dx v dx
例2 设z=eu sinv
解：
z exy
而u=xy,v=x+y
sin(x y)
求 z 和
x
z y
z yexy sin(x y) exy cos(x y) x
exy[ y sin(x y) cos(x y)]
z xexy sin(x y) exy cos(x y) y
§1.5
复合函数和隐函数微分
一、多元复合函数的微分法
定理如果函数u (t )及v (t)都在点t 可导，
函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则
复合函数z f [ (t), (t)]在对应点t 可导，且其导
数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt

y 1 (xy)2

1

x ( xy)2
ex
(x 1)e x 1 x2e 2x
[注记]：
求多元复合函数的偏导数应注意到：
① 必须严格分清自变量与中间变量，及其关系；
② 求对某个自变量的偏导数时，应经过一切有关的中间变量（纵向的和横向的）最后归结到自变量；
③ 有几个中间变量，就应含有几项；有几次复合，每项就应有几个因子相乘。

5多元复合函数及隐函数的微分法

类似地，可求得
z y
1 x
f1 2 f2 sin xf3 .
例 4 设 z xy f (x y, x y), 求 z , z .
x y
解在这个函数的表达式中，乘法中有复合
函数，所以先用乘法求导公式.
z x
y
f (x y, x y) xy f11
f2 1
y f (x y, x y) xy f1 f2,
dx
2y
y
定理 2 （隐函数存在定理）设函数 F (x, y, z)在点 P0 (x0 , y0 , z0 ) 的某个邻域内连续且有连续的偏导数 Fx (x, y, z)， Fy (x, y, z)， Fz (x, y, z)，又 F (x0 , y0 , z0 ) 0， Fz (x0 , y0 , z0 ) 0，则存在惟一的函数 z f (x, y)在(x0 , y0 ) 的某个邻域内满足方程 F (x, y, z) 0，即
2(1 6z)2 6(2x y)2 (1 6z)3
故
2z x 2
(1, 2,1)
2 5
例设 (cx az , cy bz) 0 , 证明 a z
x
b z c , 其中 a , b , c 为常数，函数可微
y
(a1 b2 0).
证解得
两边对 x 求导
1
(c
a
z x
)
w
y sin x, 于是
z f (u,v, w).
因为
u y x x2 ,
v 1, x
w y cos x, x
u 1 ,
v 2,
w sin x,
y x y
y
所以
z x
f u

5、复合函数微分法与隐函数微分法

v t
w t
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理：若函数u=u(x,y)，v=v(x,y)都在点(x,y)处具有对x
及y的偏导数，函数z=f(u,v)在点(u,v)处偏导数连
续，则复合函数z=f(u(x,y),v(x,y))在点(x,y)处对x
及y的偏导数都存在，且有：
z
z x
z u
u x
证明略
推广：设z=f(u,v,w) ,u=u(t)，v=v(t)，w=w(t) ，则z=f(u(t),v(t),w(t))对t的导数为 z
全
导
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
数
公式
dz z du z dv dt u dt v dt
u t
例1：设z=eusinv，而u=xy，v=x+y，求 z 和 z x y
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v
eu y sin v e cos v
z
u
v
exy y sin(x y) e cos(x y) x y x y
z z u z v y u y v y
确定一个单值可导隐函数y=f(x),并求
dy d 2 y dx x0 , dx2 x0
问题：求方程的 dy 有多少种方法？求d 2 y有什么方法？
dx
dx2
构造以x,y为变量的二元函数
F(x,y)=siny+ex-xy-1
(1) Fx ex y, Fy cos y x 连续 (2) F(0, 0) 0
两边对x求偏导数
F F dy 0 x y dx
在(x0,y0)的某邻域内 Fy 0 dy Fx dx Fy

7.4多元复合函数与隐函数微分法

§7.4
多元复合函数与隐函数微分法
一、多元复合函数微分法 1、链式法则：
设z = f (u , v)在(u , v)处可微, u = u ( x, y ), v = v( x, y )在( x, y )处
存在偏导数, 则z = f [u ( x, y ), v( x, y )]在( x, y )处存在偏导数,
【微积分7-4-2】
∆z ∂z ∆u ∂z ∆v o( ρ ) ∴ = • + • + ∆x ∂u ∆x ∂v ∆x ∆x
∆u ∂u ∆v ∂v 而 lim = , lim = ∆x → 0 ∆x ∂x ∆x →0 ∆x ∂x
o( ρ ) o( ρ ) ρ o( ρ ) = • , lim =0 又由于 ∆x ρ ∆x ρ →0 ρ
【微积分7-4-18】
（2）应用举例：
∂z ∂z 例6 设z = f ( x, y )是由方程 sin z = xyz所确定的隐函数, 求及 ∂x ∂y 解法一：按上述结论求解
令F ( x, y, z ) = sin z − xyz , 则有
∂u 2 ∂u 而 = 1 + 2 xy , = 2x2 y ∂x ∂y
∂z ∂u 2 ′(u ) ′( x + x 2 y 2 ) ∴ = f = (1 + 2 xy ) f ∂x ∂x
∂z ∂u 2 2 2 = f ′(u ) = 2 x yf ′( x + x y ) ∂y ∂y
【微积分7-4-8】
且有
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y

微积分,赵树嫄编,第八章6

F y 2 y Fz 2z 4
Fy z y y Fz 2 z
x Fx z x 2 z Fz
z ( 2 z ) x( ) 2 2 2z z ( 2 z ) x x 2 2 (2 z ) x x x (2 z ) 3来自 2z 4 2 0 x
z y y 2 z
6
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x z z z 例3 设 ln , 求 , z y x y
x z 解: 令 F ( x , y , z ) ln z y
1 1 Fx , Fy , y z
x 1 xz Fz 2 2 z z z
5
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解法2 利用隐函数求导两边对 x 求导
x 2 y 2 z 2 4z 0
同理
z z 2 x 2z 4 0 x x
再对 x 求导
z x 两边对 y 求导 x 2 z z z 2 y 2z 4 0 y y
2
z 2 1 ( ) x
不能设为
F ( x, y ) x 2 y 2
解法1 利用公式，设
F ( x, y ) x 2 y 2 1,
dy x Fx dx Fy y
d 2 y d dy y xy y2 x2 1 3 2 2 3 dx dx dx y y y
v 1 1 (a b)( x y ) cxy (a b)v( ) cxy x y xy
w v (a b) cy 0 2 x x
解得 x y
3
a
x
z a
y
w v (a b) cx 0 2 y y

-74复合函数与隐函数微分

z z u z v y u y v y
(2)
例1 z=eu sinv u=xy v=x+y
解： z eu sin v u
z eu cos v v
u y x
u x y
v 1 x
v 1 y
z z u z v x u x v x
2．一个三元方程的情形
设 F(x,y,z)=0 确定 z=f(x,y) 则
F F z 0 z Fx
x z x
x Fz
F F z 0 z Fy
y z y
y Fz
例7 sin z xyz 0 确定z=f(x,y) 求 z , z
（1）当x,y是自变量时, dz z dx z dy
(*)
x y
（2）当x,y是中间变量时，例如 x=x(t,s), y=y(t,s)时
dz z dt z ds
t
s

z

x
x t

z y
y t

dt

z

x
x s

z y
求 2z
xy
解：令 F(x, y, z) xy yz zx 1
则 z Fx y z
x Fz y x
z Fy x z y Fz y x
2z xy

y

z x

Байду номын сангаасy

y y

y s

ds

z x
x t
dt

x s

微积分 (中国人民大学出版社)

= e u sin v ⋅ y + e u cos v ⋅ 1 = e u ( y sin v + cos v ),
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y u u = e sin v ⋅ x + e cos v ⋅ 1 = e u ( x sin v + cos v ).
函数 z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )]在对应点( x , y ) 两个偏导数存在，两个偏导数存在，且可用下列公式计算
∂ z ∂z ∂ u ∂ z ∂v ∂ z ∂ w , = + + ∂x ∂ u ∂ x ∂ v ∂x ∂ w ∂ x z ∂z ∂z ∂ u ∂z ∂ v ∂ z ∂ w . = + + ∂y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ y
y 其中为可导函数, , 其中为可导函数, 2 2 f (x − y ) 1 ∂z 1 ∂z z 验证: 验证: + = 2. x ∂x y ∂y y 具有二阶导数, 八、设 z = φ [ x + ϕ ( x − y ), y ], 其中 φ , ϕ 具有二阶导数,求 ∂2z ∂2z , 2. 2 ∂ x ∂y
七、设 z =
练习题答案
cos y(cos x + x sin x ) x cos x ( y sin y + cos y ) 一、1、； ,− 2 2 2 y cos x y cos x 2x 3x2 2、 2、 2 ln( 3 x − 2 y ) + , 2 y (3 x − 2 y ) y 2x2 2x2 ； − 3 ln( 3 x − 2 y ) − 2 y (3 x − 2 y ) y 3(1 − 4t 2 ) . 3、 3、 3 2 1 − ( 3t − 4t )

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0
第6章多元函数微分学
四川教育学院土木与交通工程学院
§6.3.2 隐函数的微分法
1. 隐函数的概念一般,由方程所确定的函数均称为隐函数. 由于方程中含有的未知量可以是两个、三个、四个或更多,因此相应的就有一元隐函数、二元隐函数、三元隐函数等等.
含有两个未知量的方程,其一般形式为F(x, y) 0 ,它确定了 y 是 x 的一元函数,称其为一元隐函数;
图A
要将中间变量消去.
xz
u
y
图B
第6章多元函数微分学
四川教育学院土木与交通工程学院
§6.3.1 复合函数的微分法
例1 设 z x2 3y 3x2y 求
z , z x y
解: 设 u x2 3y, v 3x 2y 则 z uv 是 x, y 的复合函数,分别代入
公式得
z z u z v x u x v x
求过.今利用偏导数给出求其导数的公式.为此将方程 F(x，
y)=0的两边同时对x求导数,且把变量y看成变量x的函数(参
见本节例3求法),得:
F F dy 0 x y dx
当 F 0 时解之得
y
F
dy dx
x F
y
该式给出了一元隐函数的一种新的求导方法,使用该方法
时只需将方程的一边移项为零,而将另一边看成F,然后分别求
第6章：多元函数微分学
内容提要
§6.3 复合函数与隐函数的微分法
§6.3.1 复合函数的微分法 §6.2.2 隐函数的微分法
第6章多元函数微分学
四川教育学院土木与交通工程学院
§6.3.1 复合函数的微分法
1. 二元复合函数的概念
如果 z 是变量 u 和 v 的函数,即 z f (u,v) ,而 u, v又是 x, y 的函数 u (x, y) v (x, y) ,则称函数 z 是 x, y 的复合
复合关系图见图A所示,常称这种复合函数的导数为全导
数，全导数公式为: dz z du z dv
dx u dx v dx
(2)若 z f (u) ,而u (x, y) 时复合函数为 z f (x, y) ,其复
合关系图见图B
u
x
注 3: 求复合函数 z
的偏导数时,和一
v
元函数一样,最后
含有三个未知数的方程,其一般形式为F(x, y, z) 0 ,它确定了 z 是 x 和 y 的二元函数,称其为二元隐函数;类似的还有三元、四元一直到n元的隐函数.
本书仅讨论一元和二元隐函数.
第6章多元函数微分学
四川教育学院土木与交通工程学院
§6.3.2 隐函数的微分法
2. 隐函数的微分法一元隐函数的导数在前面曾经利用复合函数求导法则
y z x z 0 x y
证明：设 u x 2 ,y 2 则 z f (u) 是以 u为中间变量的二元复合函数,
z dz u x du x
dz 2x 2x dz
du
du
z dz u dz (2 y) 2y dz
y du x
x z y
2xy dz 2xy dz
u
x
z
v
y
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
第6章多元函数微分学
四川教育学院土木与交通工程学院
§6.3.1 复合函数的微分法
2. 复合函数的微分法注2: 二元复合函数有两种特殊情形 (1)若 z f (u,v),而
u (x), v (x) 时复合函数 z f (x), (x) 为一元函数,其
3e3x ln cos x e3x tan x
e3x (3 ln cos x tan x)
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§6.3.1 复合函数的微分法
例3 设 z F(x, y) ,而 y (x) 求 dz
dx
解该题中函数的复合关系图为: z
x
y
由此可见全导数为
导数必存在,且 z z u z v
x u x v x
z z u z v y u y v y
上述公式称为复合函数的链式法则。
第6章多元函数微分学
四川教育学院土木与交通工程学院
§6.3.1 复合函数的微分法
2. 复合函数的微分法
注1: 复合函数中变量与变量之间的关系常常可用如下图形来表示,称这种图为复合关系图.
§6.3.1 复合函数的微分法
例2
设
z u3 ln v ,而
u ex , v cos x 求
dz dx
解: 由全导数公式
d z z d u z d v 3u 2 ln v ex u3 ( sin x)
d x u d x v d x
v
3e2x ln cos x e x e3x sin x cos x
vuv1 3 uv ln u (2)
(3x 2y) x2 3y 3x2y1 3 x2 3y 3x2y ln(x2 3y)(2)
3(3x 2y) x2 3y 3x2y1 2 x2 3y 3x2y ln(x2 3y)
第6章多元函数微分学
四川教育学院土木与交通工程学院
vuv1 2x uv ln u 3
(3x 2 y) x2 3y 3x2y1 2x x2 3y 3x2y ln(x2 3y) 3
2x(3x 2y) x2 3y 3x2y1 3 x2 3y 3x2y ln(x2 3y)
z z u z v y u y v y
dz F F dy . dx x y dx
当 z f (u),而 u (x, y) 时,由复合关系图得偏导数为:
z dz u , x du x
z dz u y du y
第6章多元函数微分学
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§6.3.1 复合函数的微分法
例4 设 z f (x2 y2 ) 试证
函数,记作 z f (x, y), (x, y) 其中 u, v称为中间变量
2. 复合函数的微分法
定理6.1 若函数 u (x, y)、v (x, y) 在点 (x, y) 的偏导
数
u x
、
u y
、
v x
v
、y 均存在,函数
z f (u,v)
在相应的
点 (u,v) 处可微,则复合函数z f (x, y), (x, y)在点 (x, y) 处的偏