动态面板数据模型

面板数据计量分析 白仲林
( ) 模型（5.2）解释变量 yi,t−1 − yi,t−2 的工具变量。并且，对于 s = 2，…,t，t= 2，…,T，当
T → ∞时，矩条件
{( ) } ( ) ∑∑( ) E
uit −ui,t−1 yi,t−s
= plim N
1 T −1
NT i=1 t=2
uit −ui,t−1
Nickell 偏倚
对于个体效应的动态面板数据模型
yit = α yi ,t −1 + ξ i + u it （i =1，2，…，N；t =0，1，2，…，T） （5.1）
参数 α 的组内回归估计
∑ ∑ ( )( ) N T yit − yi yi ,t −1 − yi ,−1
∑ ∑ ( ) αˆ = Within
∑ ∑ ( ) N T
yi ,t−2 yi,t − yi,t−1
∑ ∑ ( ) αˆ = 1
i=1 t =2
IV
NT
yi ,t −2 yi ,t−1 − yi ,t −2
i=1 t =2
∑ ∑( )( ) N T
yi,t−2 − yi ,t−3 yi,t − yi,t−1
∑∑( )( ) αˆ
2 IV
=
⎛ ⎜⎝
⎛ ⎜⎝
N i =1
Δy Z ' i ,−1 i
⎞⎟⎠WN
⎛ ⎜⎝
N i =1
Z
' i
Δyi
,−1
⎞ ⎟⎠
⎞−1 ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
⎛ ⎜⎝
N i =1
Δy Z ' i ,−1 i
⎞ ⎟⎠
WN
⎛ ⎜⎝
N i =1
Z
' i
Δyi
⎞ ⎟⎠
⎞ ⎟⎠
（5.6） （5.7）
显然，自回归系数 α 的 GMM 估计αˆ GMM 依赖于权重矩阵 WN 的选择，只要 WN 是正定
⎛ ⎜⎝
N i =1
Δy Z ' i ,−1 i
⎞⎟⎠Wˆ NOpt
⎛ ⎜⎝
N i =1
Z
' i
Δyi
⎞⎞ ⎟⎠ ⎟⎠
（5.8）
在文献中，一般称 Arellano 和 Bond（1991）的 GMM 估计（7.15）式为标准一阶差分
GMM 估计。有关 Arellano 和 Bond（1991）的 GMM 估计，可以直接使用 STATA 软件包
和
( ) ∑ ∑ ( )( ) plim N
1 T −1
NT i =1 t =3
uit − ui ,t −1
yi ,t −2 − yi ,t −3 = 0
那么，工具变量估计
αˆ
1 IV
和 αˆ
2 IV
就是
α
的一致估计。
( ) ( ) 事实上，如果ξi ~ i.i.d 0,
σ
2 ξ
、 uit
~ i.i.d
( ) 如果对于任意的 i，t， uit ~ i.i.d 0,
σ
2 u
，则
∑ W Opt N
=
⎛ ⎜⎝
1 N
N i =1
Z' i
GZ i
⎞−1 ⎟⎠
是最优权重矩阵，其中，
⎛ 2 −1 0 " ⎞
( ) E
Δui Δui'
=
σ
u2G
=
σ
2 u
⎜ ⎜ ⎜
−1 0
2 %
% %
0
⎟ ⎟
−1⎟
.
⎜ ⎝
#
0
−1
E[f(X，θ)] = 0 是 X 的矩方程。
对于 X 的 N 个观测值{X1 , " , X N } ，则基于矩方程的样本矩条件是
∑ fN (θ ) =
1 N
N i =1
f
( Xi ,
θ)
称最小化问题的解
θGMM
= arg min θ ∈Θ
fN (θ )'
AN
fN (θ )
为参数向量 θ 的广义矩估计量，其中，AN 是秩大于等于 k 的 l×l 非负定的权重矩阵。并且， 称
yi,t−s = 0
（7.10）
如果
( ) Δui = ui2 − ui1 ui3 − ui2 " uiT − ui,T −1 '
⎛ ⎜
[
yi
0
]
Zi
=
⎜ ⎜
[ yi0
⎜⎜⎝
]yi1
%
⎡⎣ yi0 "
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ yi,T −2 ⎤⎦ ⎟⎟⎠
则差分模型（5.2）的这 T(T-1)/2 个矩条件可以表示成矩阵
另外，Nerlove（1967）和 Trognon（1978）也研究了模型（5.1）包含外生变量和高阶 自回归项的情形，发现它们的组内估计也存在不同程度的（渐近）偏差。
对于动态面板模型，一般采用工具变量估计（IV）和广义矩估计（GMM）替代 OLS 估
面板数据计量分析 白仲林
计，研究线性动态面板模型参数 IV 估计量和 GMM 估计量的一致性。
=
i=1 t =3
NT
yi,t−2 − yi ,t−3
yi ,t−1 − yi,t−2
i=1 t =3
显然，对于 N → ∞、T → ∞或者 N 和 T → ∞，如果
（5.3） （5.4）
( ) ∑ ∑ ( ) plim N
1 T −1
NT i=1 t =2
uit − ui ,t −1
yi ,t−2 = 0
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
⎡ ⎢⎣
1 N
N
Z' i
i =1
Δyi − αΔyi,−1
⎤' ⎥⎦
WN
⎡ ⎢⎣
1 N
N
Z' i
i =1
Δyi − αΔyi,−1
⎤ ⎫⎪ ⎥⎦ ⎬⎪⎭
估计自回归系数，其中，WN 是渐近正定权重 l × l 矩阵。
对（5.6）式关于 α 求导，解 α 得到自回归系数的 GMM 估计
∑ ∑ ∑ ∑ αˆ GMM
0,
σ
2 u
和 E (ξiuit ) = 0 时，模型（5.1）
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的工具变量估计
αˆ
1 IV
和
αˆ
2 IV
就是 α
的一致估计。
广义矩估计的一般形式 设 X 是 p×1 的随机向量，f 是 l×1 的向量值函数，θ 是 k×1 的参数向量，并且 k ≤ l，Θ 是参数空间，即，θ∈Θ，
计量也正好是标准工具变量估计量
( ) β IV = X ' Z ( Z'Z )−1 X ' Z −1 X ' Z ( Z'Z )−1 ( X ' Y ) .
2 Arellano 和 Bond 的广义矩估计
动态面板模型（5.2）的工具变量估计（5.3）和（5.4）中所选择的工具变量只是差分模
{ } 型（5.2）解释变量的工具变量之一，实际上，在 t 时点， yi0 yi1 " yi,t−2 都是差分
模型（5.2）的 OLS 估计不可能是一致的。
( ) Anderson 和 Hsiao（1981）指出，对于差分模型（5.2）， yi,t−2 和 yi,t−2 − yi,t−3 均与 ( ) ( ) ( ) yi,t−1 − yi,t−2 相 关 ， 但 是 与 uit − ui,t−1 无 关 。 因 此 ， yi,t−2 和 yi,t−2 − yi,t−3 均 为 ( ) yi,t−1 − yi,t−2 的工具变量。于是，模型（5.2）中参数的工具变量估计分别是
⎟ 2 ⎠T×T
于是，如果 σ
2 u
已知，α
的最有效
GMM
估计
αˆ Opt GMM
服从协方差矩阵为
∑ ∑ ∑ plim
⎪⎧⎡ ⎨⎪⎩⎢⎣
1 N
N i =1
Δyi' ,−1Zi
⎤ ⎥⎦
⎛ ⎜ ⎝
σ
2 u
N
N i =1
Zi'GZ
i
⎞ ⎟ ⎠
−1
⎡ ⎢⎣
1 N
N i =1
Z
' i
Δyi
,−1
⎤ ⎥⎦
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
∑ ∑ βˆ=
1 N
⎛ ⎜⎝
N i =1
X
i
X
' i
⎞−1 ⎟⎠
N i =1
X i yi
=
( X'X
)−1 ( X ' Y
)
并且，样本矩方程组
∑ ( ) ( ) fN
β
=
1 N
N i =1
Xi
yi
−
X
' i
β
=0
与，对于过度识别的线性回归模型，即 l ≥ k，设 AN = N ( Z'Z )−1 ，则 β 的 GMM 估
i=1 t =1 NT
yi ,t −1 − yi ,−1 2
i=1 t =1
∑ ∑ 其中， α
<
1，
yi ,−1
=
1 T
T t =1
y y ，
i,t −1
i
=1 T
T t =1
yi,t .
Nickell（1981）发现，对于给定的 T，
( plim
αˆ Within
N →∞
−α
)
=
−
T
1 −1
⎛⎜⎝1
Zi'