基于 MATLAB 实现对结构动力响应的几种算法的验证

基于 MATLAB 实现对结构动力响应的几种算法的验证

1. 算例

首先，本文给出一算例， 结构在外力谐振荷载 P (t ) = P 0 sin θt 作用下，分别利用理论解法，杜哈梅积分， Wilson-θ 法求出该结构的位移时程反应。其中：

m = 3.5×103 kg ， P 0 = 1.0×104 N ， k =1.3584515×107 ，ξ=0.05 ，θ=52.3s −1 ，ω=62.3s −1 ，

⋅

D ω= ω 1-ξ2

=62.222 ，初始位移、速度v (0) = 0 ，v (0) = 0 ；

2. 算法验证

2.1 理论解法

运动方程为： mv+cv+kv=0P sin t ϑ由线性代数解出其理论解为:

]cos 2)sin -[(]

4)-[(t]

sin )

-(2cos [2]

4)-[(t]

sin )

0()0(cos )0([2

2222222022222

2

2

2

22

t t m P t m P e

v v t v e v D D

D t

D D

D t θξωθθθωθωξθωωωθωωξωξωθωξθωθωωξωωξωξω-++-+

⋅++++=--

由于初始位移v(0) =0 ，v(0) =0 ；则：

]cos 2)sin -[(]

4)-[(t]

sin )

-(2cos [2]

4)-[(222

222220

22222222220

t t m P t m P e v D D

D t

θξωθθθωθωξθωωωθωωξωξωθωξθωθξω-++

-+

⋅+=-

v(t ) =-3.115t

e

⋅ 1.05269898×410-⋅[6.230cos62.222t −18.106sin 62.222t]

+2.012808757 6

10-⨯⋅[1146sin 52.3t −325.829cos52.3t]

可以用 MA TLAB 进行编程分析，画图位移时程图，详细程序见附录。

2.2Wilson-θ法

Wilson-θ法是Wilson 于1966年基于线性加速度法的基础上提出一种无条件收敛的计算方法。该方法假定在θt ∆时程步长内，体系的加速度反应按线性变化。对于地震持续时间内

的每一个微小时 段t ∆ ，从第一时段开始到最后一个时段，逐一的重复以下计算步骤，即得到结构地震反应的全过程。下面以第i+1时段（时刻时刻到1+i i t t ）为例：

{}{}[]{}

[][][][]

{}

[]{}[]{}{}[]{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}

{}{}{}{}{}{}{}[][]{}[][]{}附录。

移时程图，详细程序见进行编程分析，画图位可以用；时刻的相对加速度反应，求得第代入结构运动微分方程和最后将和速度增量移反应时刻的各质点的相对位得到第，和速度增量，分别加上位移增量时刻的地震反应为基础再以各质点在第；和速度增量内位移增量正常时段再求解第；内的加速度增量正常时段计算出第先利用位移增量的加长时段内各质点的计算MATLAB x x

C x

x x x x x x x

x x x x

x x x t x

t x t x t x x

x

t x x x i x

x

x x

x x x

x C x x x

P C K P K x x i i g i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i g i

i

i )(-t )5(t )4(6

31)(2t 1)3()2

(6

t 1i )2()2

3()36

(136;

t )1(1i 1

1i 1

1i 1i 11i 1i 1i 11i 1i 112

21

2

2

2

1

1

,+-+-+++++++++++++*

*

*

-*K M +M +=∆+=∆+=∆∆∆+∆+∆=∆+∆=∆∆∆∆+--∆=∆∆∆+∆+++M +∆M -=∆+M +K =∆=∆∆∆=+ ττ

τ

ττθτ

τ

τ

ττθττττ

ττ

τ

2.3 杜哈梅积分

杜哈梅积分在考虑阻尼的情况是：

ττωτωωωξωωτξωξωd t p e m v v t v e v D t

t D

D D

D t )(sin )(1t]sin )

0()0(cos )0([0

)(-+

++

=⎰

---

可以用 MA TLAB 进行编程分析，画图位移时程图，详细程序见附录。

3. 位移时程反应对比分析

利用MATLAB将理论解法，杜哈梅积分，Wilson-θ法求解出来的位移时程反应画在同一张图中，进行比较分析。

从图中可以看出，以上三种方法得出来的位移时程曲线基本吻合，误差基本保持在5%以内，所以以上几种方法在求解相关问题上都具有一定的作用效力。

4.结论

本文通过一个简单的单自由度系统动力分析算例（仅作位移分析，其它分析雷同），基于MATLAB，将理论解法，杜哈梅积分法，逐步积分法（本文采用Wilson-θ法）进行相互验证，从最后的位移分析图对比上，可以很好的看出三种方法均能很好的彼此验证，从而说明了三种方法在相关问题上的作用效力。

附录：MA TLAB 源程序