20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题6.3 几何概型(解析版)

6.3 几何概型

1．几何概型

设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式

一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝

d 的测度

D 的测度

.

3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法

(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．

(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N

作为所求概率的近似值．

考向一 长度

【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且

到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 【答案】1

2

【解析】如图所示，画出时间轴．

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P ＝10＋1040＝1

2.

【举一反三】

1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2

＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________． 【答案】 2

3

【解析】 方程x 2

＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，

则有⎩⎪⎨⎪

⎧

Δ≥0，x 1＋x 2<0，

x 1x 2>0，

即⎩⎪⎨⎪

⎧

4p 2

－4(3p －2)≥0，－2p <0，3p －2>0，

解得p ≥2或2

3

则所求概率为P ＝3＋

135＝1035＝2

3

.

2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤12

1

log ()2

x +≤1”发生的概率为_______．

【答案】 3

4

【解析】 由－1≤12

1log ()2

x +≤1，得12≤x ＋12≤2，得0≤x ≤3

2.

由几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝3

2－02－0＝3

4

.

考向二 面积

【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．

(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

y ≤x ，y ≥－x ，

2x －y －4≤0

所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2

≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区

域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．

【答案】（1）

π48 （2）3π64

【解析】（1）蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6,8,10，是直角三角形，

∴面积为12×6×8＝24，而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半圆，面积为12π×12

＝

π

2，∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为π

224＝π48. (2)画出两不等式组表示的平面区域，

则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A (4,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4

3，－43，OA ⊥OB ，平面区域M 的面积S △AOB ＝12×

423×42＝163，阴影部分的面积S ＝14×π×12

＝π4.由几何概型的概率计算公式，得P ＝S S △AOB ＝π

4163

＝3π64

【举一反三】

1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →

＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________． 【答案】 1

2

【解析】 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2PA →

＝0，

所以PB →＋PC →＝－2PA →，得PD →＝－2PA →

，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等

于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝1

2

S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为

S △PBC S △ABC

＝1

2

. 2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2

n

2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率