第四章平面一般力系的平衡方程及其应用简化及平衡方程分解上课讲义

F(Rh) h(2Rh)
FP
h(2Rh) Rh
当FP h(2Rh)时球方能离开地面 Rh
2、平面平行力系的平衡方程 平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
平面平行力系平衡方程的一般形式：
Fy 0
mo
(F
)
0
平面平行力系平衡方程的二矩式：
各力在x轴上的投影恒等于零，即
Fx 0
1.平面汇交力系的平衡方程
1）平面汇交力系平衡的必要与充分 的解析条件是：各力在两个坐标轴 上投影的代数和分别等于零
Fx 0
Fy
0
2）平面汇交力系平衡的必要与充分 的几何条件是：力多边形自行封闭
利用几何法求解平面汇交力系的平衡 问题时，画出自行封闭的力多边形 ， 然后按比例尺从力多边形中直接量出 未知力的大小即可。
在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力。约束反力 根据约束类型来画。当约束反力的指向未定时，可以先假设其指 向。如果计算结果为正，则表示假设指向正确；如果计算结果为 负，则表示实际的指向与假设的相反。
（3）列平衡方程 选取适当的平衡方程形式、投影轴和矩心。选取哪种形式的平 衡方程取决于计算的方便，尽量避免解联立方程，应用投影方程 时，投影轴尽可能选取与较多的未知力的作用线垂直；应用力矩 方程时，矩心往往取在两个未知力的交点。计算力矩时，要善于 运用合力矩定理，以便使计算简单。 （4）求解：解平衡方程，求解未知量。 （5）校核
限制条件： FRA0
解得：
FW21F 0W8 12G7k5N
当空载时，此时FW1=0,为使起重机不绕A点翻倒，则必须满足
平衡方程ΣmA（F）=0,在临界情况下，FRB=0，限制条件
mB(F)0
F RA 2 y 0 F P 4 G 1 0 0
Fx 0 F RA F xRc Bo 60s 0 F P0
解得：FRB62.4kNFRAy46kN FRAx11.2kN
平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系，皆可看作平面 一般力系的特殊力系，它们的平衡方程皆可由平面一般力系 的平衡方程导出。
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。
解：研究AB梁
由Fx0,F RA x0
mA(F)0;
解得：
FRBaqaa2mP2a0
Fy 0 F RA y F R Bq aP0
F R B q 2 m a a 2 P 2 2 0 0 .8 0 1 .8 2 6 2 1 0 ( k 2 )N F R A P y q F a R B 2 2 0 0 0 .8 1 2 2 ( k 4 )N
[例]如图所示拱形桁架的一端A为铰支座，另一端B为滚轴支 座，其支承面与水平面成倾角300。桁架自重G=100KN,风压力 的合力Q=20KN,其方向水平向左，试求A、B 支座反力。
解：〈1〉、选桁架为研究对象，画出其受力图
〈2〉、列平衡方程选A、B两点为矩心，用二矩式
mA(F)0
G 1 F 0 P 4 F R 2 B s 0 6 i0 n 0 0
FRBx5kN FRA28kN
FRBy38kN
2.平衡方程的二矩式
Fx 0
m A(F )
0
（A与B两点的连线不垂直于x轴）
m B (F
)
0
3.平衡方程的三矩式
m A(F ) mB(F )
0
0
mC (F )
0
（A、B、C三点不共线）
应用平面一般力系的平衡方程求解平衡问题的解题步骤如下： （1）确定研究对象 根据题意分析已知量和未知量，未知量要用已知量来表示，所 以研究对象上一定要有已知量，选取适当的研究对象。研究对象 选的是否合适，关系到解题的繁简。 （2）画受力图
[例]如图所示一钢筋混凝土刚架的计算简图，其左侧面受到一水平
推力P=5KN的作用。刚架顶上有均布荷载，荷载集度为q=22KN/m，
刚架自重不计，尺寸如图所示，试求A、B处的支座反力。
解：研究钢架，由：
Fx 0 FPFRBx0
Fy 0
FRA FRByq30
mB(F)0
FP3FRA 3q32 30
解得：
[例] 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h
解：1）研究块,受力如图，
由力三角形：
F
FN cos
co s R 2R (Rh)2R 1 h(2Rh)
解得：
FN
FR h(2Rh)
2）再研究球，受力如图：
作力三角形
PFN' sin
又sinRh
R
FN' FN
PF NsinhF (2R R h)RR h P
mA(F) 0
mB (F) 0
（A、B两点连线不与诸力
所以只有两个独立方程，只能求解 平行）
两个独立的未知量。
[例] 塔式起重机如图所示， 机架重G=700KN，作用线通 过塔架中心。最大起重量 FW1=200KN，最大悬臂长为 12m，轨道A、B的间距为4m， 平衡块重FW2，到机身中心 线距离为6m。试问： 〈1〉、保证起重机在满载 和空载都不致翻倒，求平 衡块的重量FW2应为多少？ 〈2〉、当平衡块重 FW2=180KN时，求满载时轨 道A、B给起重机轮子的反 力。
第四章平面一般力系的平衡方程 及其应用简化及平衡方程分解
由此可得结论，平面一般力系平衡的解析条件是：所有各 力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和都等于零；力系 中所有各力对任一点的力矩的代数和等于零。
需要指出的是，上述平衡方程是相互独立的，用来求 解平面一般力系的平衡问题时，能且最多只能求解三个未 知量。为了避免求解联立方程，应使所选的坐标轴尽量垂 直于未知力，所选矩心尽量位于两个未知力的交点（可在 研究对象之外）上。此外，列平衡方程时，既可先列投影 方程，也可先列力矩方程。总之，应尽量使每一方程式中 只含一个未知量，以便简化计算。
解：1）画起重机受力图， 如图这些力组成平面平行 力系
〈2〉、求起重机在满载 和空载时都不致翻倒的平 衡块重FW2的大小
当满载时，为使起重机不 绕B点翻倒，这些力必须满 足平衡方程ΣMB（F）=0 在临界情况下，FRA=0，限 制条件FRA≥0,才能保证起 重 G 2 F W 1 ( 1 2 ) 2 F R ( 2 A 2 ) 0