初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习2(附答案详解)
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15．已知点 P 是线段 AB 的一个黄金分割点，且 AB 6cm ， AP BP ，那么 AP __________ cm ． 16．已知点 P 是线段 AB 上的黄金分割点，AP BP ，AB 4 ，那么 AP __________． 17．点 C 是靠近点 B 的线段 AB 的黄金分割点，若 AB 10cm ，则 AC __________ cm ．（结果保留根号）
AB AC AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．请
计算黄金比．
22．已知 x y z ，且 2x+3y﹣z＝18，求 4x+y﹣3z 的值． 234
23．阅读理解：
如图①，点 C 将线段 AB 分成两部分，若 AC = BC ，则点 C 为线段 AB 的黄金分割点． AB AC
A． 2cm,3cm, 4cm,6cm
B． 2cm, 4cm,6cm,8cm
C． 3cm, 4cm,5cm,6cm
D． 4cm,6cm,6cm,8cm
9．有以下命题：
①如果线段 d 是线段 a，b，c 的第四比例项，则有 a c ； bd
②如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB．BC 的比例中项；
初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习 2（附答案详解）
1．已知线段 a 2cm ， b 8cm ，它们的比例中项 c 是（ ）
A． 4cm
B． 4cm
C．16cm
D． 16cm
2．下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A．1、2、2、3
B．1、2、3、4
C．1、2、2、4 D．3、5、9、13
1: 12600000 的中国地图上测得，两张的图上距离大约为10.5cm，则两地的实际距离 大约是__________ km
12．已知线段 a=2，b=8，则 a，b 的比例中项线段长等于________． 13．已知线段 AB=2cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC2=BC·AB，则 AC 的长___________cm． 14．在比例尺为 1：50000 的地图上，量得甲、乙两地的距离为 12 厘米，则甲、乙两地 的实际距离是______千米．
某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定义：
直线
l
将一个面积为
S
的图形分成两部分，这两部分的面积分别为
S1，S2，如果
S1 S
=
S2 S1
，
那么称直线 l 为该图形的黄金分割线．
问题解决：
如图②，在△ ABC 中，已知 D 是 AB 的黄金分割点．
(1)研究小组猜想：直线 CD 是△ ABC 的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 5 1 叫做黄金比，分别进行计算即 2
可．
【详解】
点 P 是长度为 1 的线段上的黄金分割点，
∴较长的线段的长度为 5 1 ，则较短的线段的长度为：1- 5 1 = 3 5 ；
2
2
2
故选 C．
【点睛】
此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 3 5 ，较长的线段= 2
ab
2k 3k
故选 D.
【点睛】
本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8．A
【解析】
【分析】
根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可．
【详解】
A、因为 2：4=3：6，则 2cm,3cm, 4cm, 6cm 是比例线段，所以 A 选项正确；
B、因为 2：6≠4：8，则 2cm, 4cm, 6cm,8cm 不是比例线段，所以 B 选项错误；
（1）请用尺规作图法，在△ ABC 内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE 交 AC 于点 E； （不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 AD =2，AC=6，求 AE 的值．
DB
25．如图，点 D 、 E 分别在 ABC 的边 AB 、 AC 上， DE∥BC . （1）若 SADE 2 ， SBCE 7.5 ，求 SBDE ；
A． 5 1 2
B．3 - 5
C． 3 5 2
D． 5 -2
6．已知线段 a=2，b=8，线段 c 是线段 a、b 的比例中项，则 c=（ ）
A．2
B．±4
7．若 a b ，则 3a 2b 的值是（
23
ab
A． 7 5
B． 2 3
8．以下四组线段，成比例的是（
C．4
）
C． 12 5
）
D．8 D．0
【解析】
【分析】
根据成比例的线段、黄金分割的定义，结合各项进行判断即可．
【详解】
①如果线段 d 是线段 a，b，c 的第四比例项，则有 a c ，说法正确； bd
②如果点 C 是线段 AB 的中点， AB ≠ AC ，故 AC 不是 AB．BC 的比例中项，说法错误； AC BC
③如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项，说 法正确；
4．C
【解析】 分析： 根据成比例线段的定义进行分析判断即可. 详解： A 选项中，因为 1：1 2：3，所以 A 中的四条线段不是成比例线段； B 选项中，因为 1：2 3：4，所以 B 中的四条线段不是成比例线段； C 选项中，因为 2：2=3：3，所以 C 中的四条线段是成比例线段； D 选项中，因为 2：3 3：4，所以 D 中的四条线段不是成比例线段. 故选 C. 点睛：熟记成比例线段的定义：“若四条线段 a、b、c、d 满足 a：b=c：d，我们就说线段 a、 b、c、d 是成比例线段”是解答本题的关键. 5．C 【解析】 【分析】 根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比
即 c2=ab，则 c2=2×8，
解得 c=±4，（线段是正数，负值舍去）．
故选：A．
【点睛】
此题考查比例线段，解题关键在于理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
2．C
【解析】试题解析：A、1×3≠2×2，故选项错误；
B、1×4≠2×3，故选项错误；
C、1×4=2×2，故选项正确；
D、3×13≠5×9，故选项错误．
④如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC＞BC，且 AB=2，则 AC= 5 1 ×2= 5 -1，说 2
法正确； 综上可得：①③④正确，共 3 个． 故选：C． 【点睛】 本题考查了成比例的线段，以及黄金分割的知识，解答本题的关键是掌握黄金分割的定义，
注意黄金分割分得的较长边的长= 5 1 ×原线段长度． 2
10．A
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义得到 BP1
5 2
1
，则
AP1
3
2
5
，同理得到 AP2
(3 2
5 )2 ，
金分割点( AP2 P1P2 ),点 P3 是线段 AP2 的黄金分割点( AP3 P2P3 ),..,依此类推,则线段
AP2020 的长度是（
）
A． (3 5 )2020 2
B． ( 5 1)2020 2
C． ( 1)2020 2
D． ( 5 2)1010
11．爱好骑行的小明想知道从淮北到首都北京的距离大约是多少，因此他从一张比例尺
（2）若 SBDE m ， SBCE n ，求 SABC .（用 m ， n 表示）
26．已知三条线段的长度分别是 3、4、6，试写出另一条线段，使这四条线段成为比例 线段.
27．如图（1），四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，若 AOB 的面积为 S1 ， BOC 的面积为 S2 ，△COD 的面积为 S3 ， △AOD 的面积为 S4 ，求证：
3．如果 a：b＝3：2，且 b 是 a、c 的比例中项，那么 b：c 等于（ ）
A．4：3
B．3：4
C．2：3
D．3：2
4．下列四条线段能成比例线段的是（ ）
A．1，1，2，3
B．1，2，3，4
C．2，2，3，3
D．2，3，4，5
5．点 P 是长度为 1 的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（ ）
S1S3 S2S4 ； （2）如图（2），四边形 ABCD 是梯形，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，△DOC 的面 积为 4， AOB 的面积为 9，求梯形 ABCD 的面积．
28．如图（1）， AB 、 CD 是两条线段， M 是 AB 的中点， S△DMC ， S△DAC 、 S△DBC
30．如图，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，以 AP 为边的正方形面积为 S1 ，以 AB 、PB 为两邻边的矩形的面积为 S2 ．试比较 S1 与 S2 的大小．
1．A
参考答案
【解析】
【分析】
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【详解】
根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积．
C、因为 4：6≠3：5，则 3cm, 4cm,5cm, 6cm 不是比例线段，所以 C 选项错误；
D、因为 4：6≠6：8，则 4cm, 6cm, 6cm,8cm 不是比例线段，所以 D 选项错误．
故选 A． 【点睛】 本题考查了比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度 比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即 ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线 段，简称比例线段． 9．C
18．如果四条线段 m，n，x，y 成比例，若 m=2 ，n=8 ，y=4．则线段 x 的长是__________． 19．已知线段 AB 的长为 2cm，点 P 是线段 AB 的黄金分割点（AP＞BP），那么线段 PB 的长等于_____（结果保留根号）．
20．已知 P 、Q 是线段 AB 的两个黄金分割点，且 AB 10cm ，则 PQ 长为_________ cm 21．一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果 AC BC ，那么称线段
(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
(3)研究小组探究发现：过点 C 作直线交 AB 于点 E，过点 D 作 DF∥CE，交 AC 于点 F，
连接 EF(如图③)，则直线 EF 也是△ ABC 的黄金分割线．请你说明理由．
24．如图，在△ ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点．
存在何种相等关系？试证明你的结论．
29．如图，四边形 ABCD 中， AD∥BC ， AC 与 BD 相交于点 O ．
（1）△ABC 与△DBC 的面积相等吗？为什么？ （2）若 S△AOB 21cm2 ，求 S△COD ． （3）若 S△AOD 10cm2 ，且 BO : OD 2 :1，求 S ABD ．
原线段的 5 1 是本题的关键． 2
6．C
【解析】
解：∵线段 c 是线段 a、b 的比例中项，∴c2=ab=2×8，∴c=4．故选 C．
7．D
【解析】
【分析】
设 a b k ，则 a=2k，b=3k，代入式子化简即可． 23
【详解】
解：设 a b k ， 23
∴a=2k，b=3k，
∴ 3a 2b = 3 2k 2 3k =0，
③如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项；
④如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC＞BC，且 AB=2，则 AC= 5 -1．
其中正确的判断有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
10．如图,线段 AB 1,点 P1 是线段 AB 的黄金分割点( AP1 BP1 ),点 P2 是线段 AP1 的黄
故选 C．
3．D
【解析】
【分析】
根据比例中项的概念可得 a：b=b：c，则可求得 b：c 值．
【详解】
解：∵a：b=3：2，b 是 a 和 c 的比例中项，
即 a：b=b：c，
∴b：c=3：2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了比例中项的则 b 是 a，c 的比例中项．
分别表示 DMC 、△DAC 、△DBC 的面积．当 AB∥CD 时，则有
S△ DMC
S△DAC
S△DBC 2
①．
（1）如图（2）， M 是 AB 的中点， AB 与 CD 不平行时，作 AE 、 MN 、 BF 分别垂
直 DC 于 E 、 N 、 F 三个点，问结论①是否仍然成立？请说明理由．
（2）若图（3）中， AB 与 CD 相交于点 O 时，问 S△DMC 、 S△DAC 和 S△DBC 三者之间
AB AC AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．请
计算黄金比．
22．已知 x y z ，且 2x+3y﹣z＝18，求 4x+y﹣3z 的值． 234
23．阅读理解：
如图①，点 C 将线段 AB 分成两部分，若 AC = BC ，则点 C 为线段 AB 的黄金分割点． AB AC
A． 2cm,3cm, 4cm,6cm
B． 2cm, 4cm,6cm,8cm
C． 3cm, 4cm,5cm,6cm
D． 4cm,6cm,6cm,8cm
9．有以下命题：
①如果线段 d 是线段 a，b，c 的第四比例项，则有 a c ； bd
②如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB．BC 的比例中项；
初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习 2（附答案详解）
1．已知线段 a 2cm ， b 8cm ，它们的比例中项 c 是（ ）
A． 4cm
B． 4cm
C．16cm
D． 16cm
2．下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A．1、2、2、3
B．1、2、3、4
C．1、2、2、4 D．3、5、9、13
1: 12600000 的中国地图上测得，两张的图上距离大约为10.5cm，则两地的实际距离 大约是__________ km
12．已知线段 a=2，b=8，则 a，b 的比例中项线段长等于________． 13．已知线段 AB=2cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC2=BC·AB，则 AC 的长___________cm． 14．在比例尺为 1：50000 的地图上，量得甲、乙两地的距离为 12 厘米，则甲、乙两地 的实际距离是______千米．
某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定义：
直线
l
将一个面积为
S
的图形分成两部分，这两部分的面积分别为
S1，S2，如果
S1 S
=
S2 S1
，
那么称直线 l 为该图形的黄金分割线．
问题解决：
如图②，在△ ABC 中，已知 D 是 AB 的黄金分割点．
(1)研究小组猜想：直线 CD 是△ ABC 的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 5 1 叫做黄金比，分别进行计算即 2
可．
【详解】
点 P 是长度为 1 的线段上的黄金分割点，
∴较长的线段的长度为 5 1 ，则较短的线段的长度为：1- 5 1 = 3 5 ；
2
2
2
故选 C．
【点睛】
此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 3 5 ，较长的线段= 2
ab
2k 3k
故选 D.
【点睛】
本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8．A
【解析】
【分析】
根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可．
【详解】
A、因为 2：4=3：6，则 2cm,3cm, 4cm, 6cm 是比例线段，所以 A 选项正确；
B、因为 2：6≠4：8，则 2cm, 4cm, 6cm,8cm 不是比例线段，所以 B 选项错误；
（1）请用尺规作图法，在△ ABC 内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE 交 AC 于点 E； （不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 AD =2，AC=6，求 AE 的值．
DB
25．如图，点 D 、 E 分别在 ABC 的边 AB 、 AC 上， DE∥BC . （1）若 SADE 2 ， SBCE 7.5 ，求 SBDE ；
A． 5 1 2
B．3 - 5
C． 3 5 2
D． 5 -2
6．已知线段 a=2，b=8，线段 c 是线段 a、b 的比例中项，则 c=（ ）
A．2
B．±4
7．若 a b ，则 3a 2b 的值是（
23
ab
A． 7 5
B． 2 3
8．以下四组线段，成比例的是（
C．4
）
C． 12 5
）
D．8 D．0
【解析】
【分析】
根据成比例的线段、黄金分割的定义，结合各项进行判断即可．
【详解】
①如果线段 d 是线段 a，b，c 的第四比例项，则有 a c ，说法正确； bd
②如果点 C 是线段 AB 的中点， AB ≠ AC ，故 AC 不是 AB．BC 的比例中项，说法错误； AC BC
③如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项，说 法正确；
4．C
【解析】 分析： 根据成比例线段的定义进行分析判断即可. 详解： A 选项中，因为 1：1 2：3，所以 A 中的四条线段不是成比例线段； B 选项中，因为 1：2 3：4，所以 B 中的四条线段不是成比例线段； C 选项中，因为 2：2=3：3，所以 C 中的四条线段是成比例线段； D 选项中，因为 2：3 3：4，所以 D 中的四条线段不是成比例线段. 故选 C. 点睛：熟记成比例线段的定义：“若四条线段 a、b、c、d 满足 a：b=c：d，我们就说线段 a、 b、c、d 是成比例线段”是解答本题的关键. 5．C 【解析】 【分析】 根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比
即 c2=ab，则 c2=2×8，
解得 c=±4，（线段是正数，负值舍去）．
故选：A．
【点睛】
此题考查比例线段，解题关键在于理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
2．C
【解析】试题解析：A、1×3≠2×2，故选项错误；
B、1×4≠2×3，故选项错误；
C、1×4=2×2，故选项正确；
D、3×13≠5×9，故选项错误．
④如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC＞BC，且 AB=2，则 AC= 5 1 ×2= 5 -1，说 2
法正确； 综上可得：①③④正确，共 3 个． 故选：C． 【点睛】 本题考查了成比例的线段，以及黄金分割的知识，解答本题的关键是掌握黄金分割的定义，
注意黄金分割分得的较长边的长= 5 1 ×原线段长度． 2
10．A
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义得到 BP1
5 2
1
，则
AP1
3
2
5
，同理得到 AP2
(3 2
5 )2 ，
金分割点( AP2 P1P2 ),点 P3 是线段 AP2 的黄金分割点( AP3 P2P3 ),..,依此类推,则线段
AP2020 的长度是（
）
A． (3 5 )2020 2
B． ( 5 1)2020 2
C． ( 1)2020 2
D． ( 5 2)1010
11．爱好骑行的小明想知道从淮北到首都北京的距离大约是多少，因此他从一张比例尺
（2）若 SBDE m ， SBCE n ，求 SABC .（用 m ， n 表示）
26．已知三条线段的长度分别是 3、4、6，试写出另一条线段，使这四条线段成为比例 线段.
27．如图（1），四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，若 AOB 的面积为 S1 ， BOC 的面积为 S2 ，△COD 的面积为 S3 ， △AOD 的面积为 S4 ，求证：
3．如果 a：b＝3：2，且 b 是 a、c 的比例中项，那么 b：c 等于（ ）
A．4：3
B．3：4
C．2：3
D．3：2
4．下列四条线段能成比例线段的是（ ）
A．1，1，2，3
B．1，2，3，4
C．2，2，3，3
D．2，3，4，5
5．点 P 是长度为 1 的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（ ）
S1S3 S2S4 ； （2）如图（2），四边形 ABCD 是梯形，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，△DOC 的面 积为 4， AOB 的面积为 9，求梯形 ABCD 的面积．
28．如图（1）， AB 、 CD 是两条线段， M 是 AB 的中点， S△DMC ， S△DAC 、 S△DBC
30．如图，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，以 AP 为边的正方形面积为 S1 ，以 AB 、PB 为两邻边的矩形的面积为 S2 ．试比较 S1 与 S2 的大小．
1．A
参考答案
【解析】
【分析】
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【详解】
根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积．
C、因为 4：6≠3：5，则 3cm, 4cm,5cm, 6cm 不是比例线段，所以 C 选项错误；
D、因为 4：6≠6：8，则 4cm, 6cm, 6cm,8cm 不是比例线段，所以 D 选项错误．
故选 A． 【点睛】 本题考查了比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度 比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即 ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线 段，简称比例线段． 9．C
18．如果四条线段 m，n，x，y 成比例，若 m=2 ，n=8 ，y=4．则线段 x 的长是__________． 19．已知线段 AB 的长为 2cm，点 P 是线段 AB 的黄金分割点（AP＞BP），那么线段 PB 的长等于_____（结果保留根号）．
20．已知 P 、Q 是线段 AB 的两个黄金分割点，且 AB 10cm ，则 PQ 长为_________ cm 21．一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果 AC BC ，那么称线段
(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
(3)研究小组探究发现：过点 C 作直线交 AB 于点 E，过点 D 作 DF∥CE，交 AC 于点 F，
连接 EF(如图③)，则直线 EF 也是△ ABC 的黄金分割线．请你说明理由．
24．如图，在△ ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点．
存在何种相等关系？试证明你的结论．
29．如图，四边形 ABCD 中， AD∥BC ， AC 与 BD 相交于点 O ．
（1）△ABC 与△DBC 的面积相等吗？为什么？ （2）若 S△AOB 21cm2 ，求 S△COD ． （3）若 S△AOD 10cm2 ，且 BO : OD 2 :1，求 S ABD ．
原线段的 5 1 是本题的关键． 2
6．C
【解析】
解：∵线段 c 是线段 a、b 的比例中项，∴c2=ab=2×8，∴c=4．故选 C．
7．D
【解析】
【分析】
设 a b k ，则 a=2k，b=3k，代入式子化简即可． 23
【详解】
解：设 a b k ， 23
∴a=2k，b=3k，
∴ 3a 2b = 3 2k 2 3k =0，
③如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项；
④如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC＞BC，且 AB=2，则 AC= 5 -1．
其中正确的判断有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
10．如图,线段 AB 1,点 P1 是线段 AB 的黄金分割点( AP1 BP1 ),点 P2 是线段 AP1 的黄
故选 C．
3．D
【解析】
【分析】
根据比例中项的概念可得 a：b=b：c，则可求得 b：c 值．
【详解】
解：∵a：b=3：2，b 是 a 和 c 的比例中项，
即 a：b=b：c，
∴b：c=3：2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了比例中项的则 b 是 a，c 的比例中项．
分别表示 DMC 、△DAC 、△DBC 的面积．当 AB∥CD 时，则有
S△ DMC
S△DAC
S△DBC 2
①．
（1）如图（2）， M 是 AB 的中点， AB 与 CD 不平行时，作 AE 、 MN 、 BF 分别垂
直 DC 于 E 、 N 、 F 三个点，问结论①是否仍然成立？请说明理由．
（2）若图（3）中， AB 与 CD 相交于点 O 时，问 S△DMC 、 S△DAC 和 S△DBC 三者之间