第二章 解析函数的积分

∫
c1
f (z)dz = ∫ f (z)dz
c2
证明：作割线a b连接 证明：作割线a b连接 c1 和 c2 , 则 变为单连通区域. D 变为单连通区域
∫
c
f dx + g dy = 0
(格林公式) 格林公式)
∫
l
f dx + g dy
与路径无关, 与路径无关 而只与 起点和终点有关： 起点和终点有关：
4. 在区域 内, 有 在区域D内
江苏师范大学 物理与电子工程学院 蔡俊 制作
∂ ∂x ∂ ∂y
f
g
=0
3. D内有函数 内有函数F(x,y), 使得 使得: 内有函数
c
∫
即：
∫
c
f (z) dz = lim∑ f (ζ k )(zk − zk−1 )
δ →0
k =1
n
为围线, 若c为围线 则记为 为围线
∫
c
f (z)dz .
如果不加说明, 的正方向积分. 如果不加说明 总是沿围线 c 的正方向积分
三. 复积分的性质
1. 若 f (z) = u + iv 在c上连续 则 上连续, 上连续
k
sn = ∑ f (ζ k )(zk − zk−1 )
k= k =1
n
记 ∆zk = zk − zk−1 , 弧段 zk−1zk 的长度为 δk , 若当 n → ∞ , 有唯一的极限, δ = maxδk → 0 时, 和式 sn 有唯一的极限 则
1≤k≤n
称该极限为函数 f (z)沿曲线 c 的积分 记作 f (z) dz , 沿曲线 的积分.
则
∫
c
f (z) dz = ∫
β
α
f [ z(t ) ] z '(t )dt
性质1. 上连续, 性质 若 f (z) = u( x, y) + iv( x, y) 在c上连续 上连续 则
∫
c
存在, f (z)dz 存在 并且
c c c
∫
c
f (z)dz = ∫ (u + iv)(dx + idy) = ∫ (udx − vdy) + i ∫ (vdx + udy)
复连通区域的边界称为复围线 复围线, 复连通区域的边界称为复围线 该
江苏师范大学 物理与电子工程学院 蔡俊 制作 围线的正向为： 围线的正向为：
+L Γ = c1 + c +Lc
− 2 − n
二. 复积分的定义
定义2.1 设函数 f (z) 定义在由 a 到b的有向曲线 上. 的有向曲线c上 定义 的有向曲线 小段, 将 c 任意分成 n 小段 分点为 a = z0 , z1 ,L, zn = b .在弧段 在弧段 zk−1 zk 上任取一点 ζ , k = 1,2,L, 并作和式： 并作和式：
定理2.3 解析函数 f (z)的不定积分 的不定积分F(z)在D内解析 内解析, 定理 的不定积分 在 内解析 并且 F'(z) = f (z) *证： ∆F = F(z + ∆z) − F(z) 证
=∫
z+∆z
z0
f (ζ )dζ − ∫ f (ζ )dζ = ∫
z0
z
z+∆z
z
f (ζ )dζ
∂ ∂ 江苏师范大学 物理与电子工程学院x 蔡俊 制作 ∂g ∂f ∂ ∂y ∫l f dx + g dy = ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫∫ f g dxdy D D
预备知识：格林公式的推论 格林公式的推论
单连通区域 上有一阶 区域D上有 函数 f (x, y) 及 g (x, y) 在单连通区域 上有一阶 连续偏导数, 则以下4个条件等价 个条件等价： 连续偏导数 则以下 个条件等价： 1. 对沿 内有分段光滑 对沿D内有分段光滑 的闭曲线c, 的闭曲线 有 2. 对沿 内分段光滑的 对沿D内分段光滑的 曲线 l, 积分
故当 | ∆z | < δ 时, 有
1 z+∆z ∆F − f (z) = ∫z [ f (ζ ) − f (z)] dζ ∆z ∆z 1 1 ε ∆z = ε | ∆z | = ε < | ∆z | ∆z ∆F 因此, ( )的导数为 的导数为： 因此, F(z)的导数为： F '(z) = lim = f ( z) ∆z→0 ∆z 这就证明了F(z) 解析 且 F '(z) = f (z) 解析, 这就证明了
∫
z
z0
是 内 f (ζ )dζ , 则 F(z)是 D内
的单值函数, 的一个不定积分 原函数). 不定积分(或 的单值函数 F(z) 称为 f (z) 的一个不定积分 或原函数 江苏师范大学 物理与电子工程学院 蔡俊 制作 的原函数不唯一 只相差一个常数. ※ f (z)的原函数不唯一 但它们只相差一个常数 的原函数不唯一, 但它们只相差一个常数
∫
c
f (z)dz 存在, 并且 存在
c
∫
c
f (z)dz = ∫ (u + iv)(dx + idy) = ∫ (udx − vdy) + i ∫ (vdx + udy)
c c
即复变函数的积分可归结为两个实函数的线积分. 即复变函数的积分可归结为两个实函数的线积分 2. 3. 4.
∫
∫
c
a f (z)dz = a ∫ f (z)dz
c c
是曲线c上弧长的微分 上弧长的微分. 其中 ds =| dz |= (dx)2 + (dy)2 是曲线 上弧长的微分 7. 如果 f (z) = f [z(t)], 其中 t 是参数 α≤ t ≤β, 是参数,
江苏师范大学 点 z(t) 沿光滑曲线 从起点到达终点 变到β时 沿光滑曲线c从起点到达终点 从起点到达终点, 当 t 从α变到 时, 物理与电子工程学院 蔡俊 制作 变到
∂ ∂x
∂ ∂y
g
dxdy
证明： 假设 f '(z) 连续 证明： 连续,
f (z)dz = ∫ (udx − vdy) + i ∫ (vdx + udy) c c c 江苏师范大学 物理与电子工程学院 蔡俊 制作 格林公式 ∫∫ −(vx + uy )dxdy + i ∫∫ (ux − vy )dxdy
x=1 x=1
c: y = x
x=0
x=0
?若积分路径为 从 z = 1+i 经 z = 1 到 z = 0折线段 若积分路径为 折线段? 折线段
习题2.2 .1 计算 习题
∫ Re z dz
c
, 积分路径 c 分别是 分别是:
(1) 从z = 0到 z =1+i 的直线段 到 (2) 从 z = 0 经 z = 1 到 z = 1+i 折线段 ? 复积分是否与积分路径有关？ 复积分是否与积分路径有关？ 预备知识 格林公式 设闭区域 由分段光滑的曲线 L 格林公式: 设闭区域D由分段光滑的曲线 围成, 围成 函数 f (x, y) 及 g (x, y) 在D上具有一阶连续偏 上具有一阶连续偏 导数, 则有： 导数 则有：
第二章 解析函数的积分 §2.1 复积分的概念与性质 一. 曲线的相关概念
一条曲线如果其切线连续变动,则称其为 一条曲线如果其切线连续变动 则称其为 光滑曲线； 光滑曲线； 由几段互相衔接的光滑曲线组成的曲线称为 逐段光滑曲线； 逐段光滑曲线；
江苏师范大学 物理与电子工程学院 蔡俊 制作
规定了起点和终点的曲线称为有向曲线 规定了起点和终点的曲线称为有向曲线. 有向曲线 反向曲线. c ~ c¯ 互为反向曲线 互为反向曲线
x = φ(t ), y = ϕ(t )
代入, 将曲线积分化为对一个变量的积分. 代入 将曲线积分化为对一个变量的积分 一个变量的积分
例2.1 计算
∫
c
zdz , c 是从点 1 + i 到原点的直线段
解一: 在此直线段上, 解一 在此直线段上, ∈
d F = f dx + g dy
§2.2 柯西积分定理
定理2.1 (柯西积分定理 设 f (z) 是单连通区域 D 柯西积分定理) 定理 柯西积分定理 内的解析函数 内任一围线, 内的解析函数, c 为D内任一围线 则： 解析函数 内任一围线
∫
c
f (z)dz = 0
证明：严格的证明比较困难 连续后, 证明：严格的证明比较困难. 但在假设 f ' (z) 连续后 可利用复变函数积分的计算公式 复变函数积分的计算公式和 可利用复变函数积分的计算公式和二元实函数积分 的格林公式进行证明 的格林公式进行证明. 进行证明 江苏师范大学 物理与电子工程学院 蔡俊 制作
以上积分结果与路径无关, +∆z的线段 的线段. 以上积分结果与路径无关, 可取路径为 z 到 z +∆z的线段. 积分结果与路径无关
1 z+∆z ∆F − f (z) = ∫z [ f (ζ ) − f (z)] dζ ∆z ∆z
江苏师范大学 物理与电子工程学院 蔡俊 制作 f (z)在D内连续 在 内连续 当 ∀ε > 0, ∃δ > 0, s.t.当 | ζ − z | < δ 时, 有 | f (ζ ) − f (z)| < ε
自身不相交的连续曲线称为简单曲线； 自身不相交的连续曲线称为简单曲线；简单曲 简单曲线 线也称为若尔当 若尔当(Jordan)曲线 曲线. 线也称为若尔当 曲线 闭合的光滑或逐段光滑的曲线称为围线 闭合的光滑或逐段光滑的曲线称为围线. 围线 围线的逆时针方向记为c, 顺时针方向记为 方向记为c 围线的逆时针方向记为 顺时针方向记为 –. 逆时针方向记为 对某一区域, 前进时, 对某一区域 当观察者沿边界 c 前进时 区域内部 始终在人的左侧, 则此时的方向为围线的正方向 围线的正方向. 始终在人的左侧 则此时的方向为围线的正方向