北师大版九年级数学下册知识点归纳：第三章圆
(完整版)北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
北师大版九年级数学下册第三章圆
A
错误 只有这两条弧在同圆或等圆中,且长度相等,才是等弧
B
错误 同圆要求圆心相同,半径相等,而等圆只要求半径相等,即圆心相同的等圆才是同圆
C
正确 符合直径与弦的定义
D
错误 同圆或等圆中的弦有无数条,不一定相等
答案 C
知识点二 点与圆的位置关系
若点到圆心的距离为d,圆的半径为r,则点与圆的位置关系如下表:
知识点二 点与圆的位置关系 4.(2019河北保定一模)已知☉O的半径OA长为 2 ,若OB= 3 ,则正确的图形 可能是 ( )
答案 A ∵☉O的半径OA长为 2 ,OB= 3 , ∴OA<OB,∴点B在圆外,故选A.
5.若☉O的面积为25π,在同一平面内有一个点P,且点P到圆心O的距离为4. 9,则点P与☉O的位置关系为 ( ) A.点P在☉O外 B.点P在☉O上 C.点P在☉O内 D.无法确定
解析 E,F,G,H四点在以点O为圆心的圆上.理由如下: 如图3-1-2所示,连接OE,OF,OG,OH. ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD.
又∵E为边AB的中点,∴OE= 12AB. 同理,OF= 12BC,OG= 12CD,OH= 12DA,
∴OE=OF=OG=OH.
点与圆的 位置关系
图形
数量关系
数学语 言描述
点在圆内
d=OA<r
d<r⇔点在圆内
点在圆上
d=OB=r
d=r⇔点在圆上
点在圆外
d=OC>r
d>r⇔点在圆外
例2 已知☉O的半径为10 cm,根据下列点P到圆心O的距离,判断点P和☉ O的位置关系,并说明理由. (1)8 cm;(2)10 cm;(3)12 cm.
(完整版)北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内2、点在圆上3、点在圆外⇒ d <r ⇒⇒ d =r ⇒⇒ d >r ⇒点C 在圆内；点B 在圆上；点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d >r ⇒ 无交点；2、直线与圆相切⇒d =r ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交⇒d <r ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图 1）⇒ 无交点⇒d >R +r ；外切（图 2）⇒ 有一个交点⇒d =R +r ；相交（图 3）⇒ 有两个交点⇒R -r <d <R +r ；内切（图 4）⇒ 有一个交点⇒d =R -r ；内含（图 5）⇒ 无交点⇒d <R -r ；垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：①AB 是直径② AB ⊥CD ③ CE =DE ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。
北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳(20200814075904)
圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d r 无交点;1、 点在圆内 d r2、 点在圆上 d r 点C 在圆 点B 在圆 内; 上;3、点在圆外 d r 点A 在圆外;2、直线与圆相切d r 有一个交点; 3、直线与圆相交 d r 有两个交点;外离（图1）无交点 d R r ;d R r ;外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点R r d R r ；内切（图4）有一个交点 d R r ；内含（图5）无交点 d R r ；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1: （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中, 只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径② AB CD ③ CE DE ④弧BC弧BD ⑤弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在O O 中，T AB // CD• ••弧AC 弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
最新北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
数学九下第三章 圆 学习资料(完整版)
北师大版数学九年级下册第三章圆1.圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点称为圆心，定长称为半径。
以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”。
2.点与圆的位置关系点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径；点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径；点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径。
3.圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
4.圆弧、弦、弦心距圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
从圆心到弦的距离叫弦心距。
如图，以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”*；线段AB是⊙O的一条弦，弦CD是⊙O的一条直径。
*弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
5.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E，则AE=BE，，。
平分弦（不是直径．．．．）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弦。
6.旋转不变性一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。
特别地，圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
7.圆心角、圆周角的定义及关系顶点在圆心的角叫圆心角。
顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
同弧或等弧所对的圆周角相等。
（如右图）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（如下图【甲】）直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
（如下图【乙】）8.确定圆的条件不在同一条直线上．．．．．．．．的三个点确定一个圆。
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
9.直线和圆的位置关系如图，直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离。
直线和圆有惟一．．公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个惟一的公共点叫做切点。
北师大版九年级下册圆的知识点
北师大版九年级下册圆的知识点圆是几何学中的一个基本概念，也是数学中非常重要的一个知识点。
在北师大版九年级下册数学教材中，关于圆的知识点涉及到圆的定义、性质、面积和周长的计算等方面。
下面我们就来一起探索一下这些知识点。
首先，我们来看一下圆的定义。
圆是平面上一组离一个定点距离相等的点构成的集合。
这个定点称为圆心，记作O；到圆心距离相等的点称为圆上的点，它们组成了圆。
圆的性质是我们学习圆的关键。
首先，圆的半径是由圆心到圆上任意一点的距离，我们用字母r表示。
半径相等的两个圆互为同心圆。
圆上任意两点与圆心连线的长度相等，这个长度称为弦。
弦通过圆心时，称为直径，直径的长度是半径的两倍，记作d=2r。
圆的面积是我们计算圆的重要指标之一。
圆的面积公式为S=πr²，其中π≈3.14是一个固定的近似值。
在计算圆的面积时，我们需要将半径的平方与π相乘，就可以得到圆的面积。
而圆的周长则是另一个重要的指标。
圆的周长公式为C=2πr，即圆的周长等于半径的二倍乘以π。
对于给定的圆，只要知道了半径，就可以根据公式计算出圆的周长。
正如我们在初中学习的内容一样，圆的知识点离不开实际生活中的应用。
例如，我们常常看到的钟表就是以圆形为基础的，它的指针不断地绕圆形表盘运动。
又如，在木匠工作中，我们需要制作木桶、木头盆等物品时，往往会采用圆的造型。
圆的知识点也有助于我们更好地理解其他几何图形，例如圆柱体、圆锥等等。
最后，我们还可以通过算术方式来深入理解圆的知识点。
例如，可以通过设定一个半径，计算圆的面积和周长，并与其他图形进行对比，从而更好地理解圆形的特点。
此外，还可以通过解决实际问题来应用圆的知识点，例如计算一个花坛的周长或面积，或者计算一个游泳池的圆周长度等等。
在北师大版九年级下册数学教材中，关于圆的知识点仅限于上述内容。
通过学习这些内容，我们可以对圆有一个全面而深入的认识，并能够应用这些知识点进行问题的求解。
总的来说，圆是几何学中非常重要的一个概念，也是数学中基础而重要的知识点。
九年级下册北师大版圆知识点
九年级下册北师大版圆知识点圆是我们学习数学的重要内容之一。
在九年级下册北师大版教材中，圆的知识点被分散在不同的章节中，下面我将逐一介绍这些知识点。
首先是圆的基本概念。
圆是由一个平面上所有到定点距离相等的点组成的集合。
在圆中，距离圆心最远的点称为圆的半径，而连接圆心和任意一点的线段称为半径。
圆心到圆上任意一点的距离称为弦长，而通过圆心的弦则是圆的直径。
接下来是圆的性质。
圆的直径是圆的最长弦，它等于圆的半径的两倍。
两个半径相互垂直的圆被称为互相垂直的圆。
圆的半径、弦和切线之间有一定的关系，具体可以用切线定理和弦切角定理来描述。
此外，同一个圆内的两个相交弦的弦积等于这两个弦所夹的弧的弧积。
圆上的一个弧所对的圆心角等于这个弧所对的弦所对的圆心角的一半。
在九年级下册北师大版教材中，我们还学习到了圆与直线的相关知识。
当直线与圆相交时，根据位置与长度可以分为两个弦相交、切线相交和弦切线相交三种情况。
对于弦切线相交，我们需要掌握切线与半径的关系，以及如何根据已知条件求解问题。
另外，我们还学习到了与圆相关的计算问题。
例如，根据圆的半径或直径求解圆的周长和面积的公式。
这些公式是基础且实用的，能够帮助我们更好地理解和应用圆的知识。
除了圆的基本概念和性质，我们还学习到了与圆相关的证明问题。
通过证明，我们可以深入理解圆的性质，并通过推理和演绎的方法得出结论。
对于证明问题，我们需要灵活运用已有的圆的定理和性质，寻找合适的证明方法，从而解决各种与圆相关的问题。
在学习圆的知识时，我们还要注意与其他几何知识的联系和应用。
例如，我们可以将圆与三角形、四边形等图形进行结合，进一步理解并应用圆的性质和定理。
通过九年级下册北师大版教材中关于圆的学习，我们可以学会运用圆的基本概念和性质解决与圆相关的问题。
同时，我们还需要注重思维的拓展，灵活运用已有的知识和方法，培养数学思维能力和解决问题的能力。
最后，通过积极参与课堂讨论和练习，我们可以更好地掌握圆的知识，提高自己的数学水平。
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.2《圆的对称性》课件
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是 中心对称图形的是( D )
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那 么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎 么想的？
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相 等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也 不等，故正确．
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°
九年级数学下册知识讲义-3圆内接正多边形(附练习及答案)-北师大版
一、考点突破1. 了解圆内接正多边形的有关概念。
2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
3. 会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。
二、重难点提示重点：圆内接正多边形的定义及相关性质。
难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
考点精讲 1. 圆内接正多边形的有关概念 ① 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。
这个圆叫做该正多边形的外接圆。
② 正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距；正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
如图：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， 圆心O 叫做这个正五边形的中心； OA 是这个正五边形的半径； OM 是这个正五边形的边心距。
AOB 叫做这个正五边形的中心角。
A E【要点诠释】① 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
② 求正n 边形中心角的常用方法：正n 边形有n 条边，每条边对应一个中心角，所以正n 边形的中心角为。
（正n 边形中心角度数与正n 边形的一个外角相等）2. 特殊的圆内接正多边形的半径、弦心距、边长之间的关系① 正三角形——在中进行：；② 正四边形——在中进行，；③ 正六边形——在中进行，。
D E OC OB O D B A CA A B【规律总结】正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系：R 2＝r 2＋（a ）2，连接正n 边形的半径，弦心距，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题。
典例精讲例题1 （义乌市）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如下图所示方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）A. 5：4B. 5：2C.：2D.：思路分析：先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可。
北师大版九年级下册第3章 31车轮为什么做成圆形
点与圆的位置关系 投镖游戏
A,C在⊙O内, B在⊙O上, D,E在⊙O外
观察这5个点与圆的位置关系 ？
投镖游戏 点A,B,C,D,E到圆心O 的距离与⊙O的半径有 怎样的大小关系? 点在圆内,则这个点到圆心的距离 小于 半径 点在圆上,则这个点到圆心的距离 等于 半径 点在圆外,则这个点到圆心的距离 大于 半径
（分别以点Ａ、Ｂ为圆心，２厘米
长为半径的⊙Ａ的内部与⊙ Ｂ的
A
B
外部的公共部分，即图中阴影部分，
不包括阴影的边界）
小明和小华正在练习投实心球，小明投了5.2m，小华 投了6.7m，他们投的球分别落在下图中哪个区域内？
E
C
D
B
A
456 7
已知⊙O的面积为25π，判断点P与⊙O的 位置关系．
（1）若PO=5.5，则点P在 ⊙O外 ；
径的长 ，以点O为圆心的圆记
O
A
作“⊙O” ：读作：“圆O”。
注意：1、从圆的定义可知：圆是指圆 周而不是圆面。
2、确定圆的要素是：圆心、半径。
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大
小，确定一个圆，两者缺一不可。
圆的定义
定义2：
在同一平面内，线段OA绕
它固定的一个端点O旋转一周，
O
A 另一个端点A随之旋转所形成的
收 定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
２、点与圆的位置关系： 设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有：
获
（１）点Ｐ在⊙Ｏ上 ＯＰ＝r
（２）点Ｐ在⊙Ｏ内 （３）点Ｐ在⊙Ｏ外
ＯＰ＜r ＯＰ＞r
３、证明几个点在同一个圆上的方法。
要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点 与一个定点的距离相等。
九年级下册北师大数学圆的知识点
九年级下册北师大数学圆的知识点北师大数学圆的知识点圆是数学中一种特殊的几何形状，它在我们的日常生活中无处不在。
在九年级下册的北师大数学课程中，我们将学习关于圆的一系列知识点，包括圆的定义、性质以及相关的定理。
本文将对这些知识点进行介绍，帮助同学们更好地理解和应用圆的概念。
一、圆的定义和性质1. 定义：圆是平面上与给定点距离相等的所有点的集合。
这个给定点称为圆心，距离称为半径。
2. 性质一：圆的半径相等的两条弦相等。
也就是说，在一个圆上，若两条弦的两端点都在圆上，且弦的长度相等，那么这两条弦的中点肯定也在圆上。
3. 性质二：圆的半径垂直于弦。
对于一个圆，若弦的两端点在圆上，那么弦的中点和圆心连线一定垂直于弦。
二、圆的相关定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么它与半径的连线垂直。
2. 切圆定理：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么它与圆的切点和圆心连线垂直。
3. 正切定理：如果一条直线能同时切两个圆，并且两个切点分别位于两个圆心对连线的两侧，那么这条直线的两个切点和两个圆心连线的两个交点共圆。
三、圆的计算1. 弧长和扇形面积的计算：对于一个圆，我们可以通过已知半径和角度来计算弧长和扇形面积。
弧长的计算公式为l = rθ，其中l 代表弧长，r 代表半径，θ 代表圆心角的弧度。
扇形面积的计算公式为S = 1/2r²θ，其中 S 代表扇形面积。
2. 弧度和角度的转换：圆心角的弧度和角度之间存在一个转换关系，即角度 = 弧度× 180°/π，其中π 是一个无限不循环小数，它的近似值约为3.14。
四、应用实例1. 圆的应用：圆的应用非常广泛，它在建筑、艺术、科学等领域中都有重要的应用。
比如，我们常见的圆柱体、圆锥体和球体都是基于圆的形状构建的。
2. 弧长和扇形面积的实际问题：弧长和扇形面积的计算在实际生活中也有很多应用。
比如，在设计汽车驶过弯道的路径时，我们需要计算弧长和扇形面积来提供行驶的参考。
北师版九年级数学下册第三章3.1 圆
解：如右图所示．
◎拓展提升 6. 在平面直角坐标系上，A 点横坐标为－3，⊙O 的圆心 O 为原点，半径为 5，若点 A 在⊙O 上，则 A 点 的纵坐标是( A．5 C．－4
D
) B．4 D．4 或－4
7. 如图，已知点 P 在⊙O 外，点 Q 在⊙O 内．
(1)在⊙O 上找一点 A，使点 A 到点 P 的距离最短， 并说明最短的理由； (2)在⊙O 上找一点 B，使点 B 到点 P 的距离最长， 不必说理由； (3)若点 Q 和⊙O 上的最近点距离为 4 cm，最远距 离为 10 cm，求⊙O 的半径．
解：(1)连接 OP 交⊙O 于 A，设⊙O 上有另一点 M， 则 OM＋MP＞OP，又 OA＝OM，得 MP＞AP； (2)延长 PO 交⊙O 于 B； (3)连 OQ， OQ 的延长线交⊙O 于 H， QO 的延长线交 ⊙O 于 N，由题意得 QH＝4 cm，QN＝10 cm，故直径 HN ＝14 cm，半径为 7 cm.
解：求得∠A ＝48°， ∴∠C＝72°.
5. 如图，已知△ABC，作图说明满足下列要求的图 形．
(1)分别画出到点 A 的距离等于 2.5 cm 的所有点组 成的图形，到点 B 的距离等于 2 cm 的所有点组成的图 形，到点 C 的距离等于 1 cm 的所有点组成的图形； (2)用黑色阴影表示到点 A 的距离小于 2.5 cm，且 到点 B 的距离小于 2 cm 的所有点组成的图形； (3)用斜线表示到点 B 的距离大于 2 cm，且到点 C 的距离小于 1 cm 的所有点组成的图形．
2. 和圆的位置关系有：点在圆内、 点在圆上 、点 在圆外三种，点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距 离与半径的大小关系决定的． 如果圆的半径是 r， 这个点 到圆心的距离为 d，那么： ①点在圆外⇔ ②点在圆上⇔ ③点在圆内⇔
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北师大版九年级数学上册知识点归纳：第三章圆1 圆2 圆的对称性*3 垂径定理4 圆周角和圆心角的关系5 确定圆的条件6 直线和圆的位置关系*7 切线长定理8 圆内接正多边形9 弧长及扇形的面积一．圆描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫．．；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”做半径．．，定长集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心．．，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做圆的半径．．．．。
叫做定圆．．对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
※2. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上<===> d=r;②点在圆内<===> d<r;③点在圆外<===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性※1. 与圆相关的概念：①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。
直径：经过圆心的弦叫做直径．．②弧、半圆、优弧、劣弧：，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
)．．③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
．．④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
．．．⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
．．⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.．．．⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.．．．※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
三.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.四. 圆周角和圆心角的关系※1. 1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.※2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB= ,这是错误的.※3. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.※4. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；五. 确定圆的条件※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.※2. 经过三点作圆要分两种情况:(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.※定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.六. 直线与圆的位置关系※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d<r <===> 直线L和⊙O相交.②d=r <===> 直线L和⊙O相切.③d>r <===> 直线L和⊙O相离.※3. 切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.※4. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.※6. 三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. （补充）圆和圆的位置关系.※1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.※2. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离<===> d>R+r(2)两圆外切<===> d=R+r(3)两圆相交<===> R-r<d<R+r (R≥r)(4)两圆内切<===> d=R-r (R>r)(5)两圆内含<===> d<R-r (R>r)※3. 相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.※4. 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.七．切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如图6，∵PA，PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB ，PO 平分∠APB2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
如图7，CD 切⊙O 于C ，则，∠ACD=∠B八．圆内接多边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.九. 弧长及扇形的面积※1. 圆周长公式:圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)※2. 弧长公式: 弧长180R n l π=(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) ※3. 扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形._C※4. 弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.※5. 圆的面积公式.圆的面积2R S π= (R 表示圆的半径)※6. 扇形的面积公式: 扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) ※弓形的面积公式:(如图5)(1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -=(2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S +=(3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π 补充：圆锥的有关概念:※1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.※2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它图5的侧面积是:rl rl cl S ππ=⋅==22121侧)(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底面侧表与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.北师版数学未出现的有关圆的性质定理1.．和圆有关的比例线段：①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
如图8，AP •PB=CP •PD如图9，若CD ⊥AB 于P ，AB 为⊙O 直径，则CP 2=AP •PB2．切割线定理①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图10， ①PT 切⊙O 于T ，PA 是割线，点A 、B 是它与⊙O 的交点，则PT 2=PA •PB②PA 、PC 是⊙O 的两条割线，则PD •PC=PB •PA3．两圆连心线的性质_ 图7①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。
②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。