第八 采样控制系统分析基础一

0 a 0.5
2 1 1.5
d
4 2 2.5
6 t t
第二种观察方式：设每3/4秒睁眼观察一次
采样频率为
s
2
Ts
8
3
，则有
8
s
3
21
4
Ts
3 4
不满足采样定理，会发生频率混迭。观察点列与实际
旋转不同。观察点列的顺序成为a、d、c、b，，成
为逆序，展开为时间坐标如图。
y
0
d 2
c
a
0.75
1.5
n0
以z为自变量的 罗朗级数。
收敛条件 z 1
2、典型时间信号的z变换
（1）单位脉冲信号
由于 所以由定义
A 0 (t)dt 1 0
Z[ (t)] x(nT ) zn x(nT) (t) 1 n0
（2）单位阶跃信号
由定义
X (z) x(nT) zn 1(nT) zn 1 z1 z2
X (z) Z[x(t)]
例8－1 已知时间函数的拉氏变换为
X (s) 1 s(s 1)
试求z变换 X(z)。 解 展开部分分式
X (s) 1 1 1 s(s 1) s s 1
作拉氏反变换
x(t) L1[1 1 ] 1(t) et s s 1
作z变换
x(
z
)
Z[1(t
)
e
t
]
1
1 z
是明确的。因此经常应用的是后向差分方式，
2、差分方程
类似于微分方程，确定两个离散时间序列关系的方程 就称为差分方程，表为
ykn an1 ykn1 a1 y k1a0 yk
bkm xkm bkm1xkm1 b1xk1b0 xk , n m
各差分项中的最高阶数为n，因此称为n阶差分方程。 3、差分方程求解 满足方程的输出离散序列 yk 称为差分方程的解。 n阶差分方程，给定了初始条件
b 4
2.5
6 t 3t
§8.2 信号复现与零阶保持器
信号复现——从采样信号中恢复连续时间信号
保持器——恢复连续时间信号的工程器件
一、保持器
实现样点值外推功能的装置或者器件称为外推器或者
保持器。
xn (t) t
nT
x(nT )
•
x(nT )(t
nT )
1 2
••
x (nT )(t
nT ) 2
•
x(nT )
1
1 1 z1eT
z(1 eT ) (z 1)(z eT )
思考题：
由 z eTs
有 s 1 ln z T
代入X(s) 求得X(z)，为什么不行？
二、z变换的基本定理
和拉氏变换一样，z变换也有一些相应的基本定理。 利用这些基本定理，可以使一些z变换的运算简化。
（1）线性定理 Z[a1 x1(t) a2 x2(t)] a1X1(z) a2 X2(z)
则可以从离散时间信号x*(t)中将原连续时间信号 x(t)
恢复。否则，会发生频率混迭，从离散时间信号中不
能将原连续时间信号恢复。
证明：
x(nT)
Ts|X()| 低通滤波器
-s
s
0
t
-a 0 a
如果满足条件s > 2a ，镜象频谱与主频谱相互分
离，可以采用一个低通滤波器，将采样信号频谱中的
镜像频谱滤除，来恢复原连续时间信号。
t 1(t)
Tz (z 1)2
x(0) lim x(t) lim X (z)
t 0
z
（6）终值定理
x() lim x(t) lim (z 1)X (z)
t
z1
（7）卷积和定理
m
Z{ x1[(n i)T ] x2 (iT )} X1(z) X 2 (z) i0
三、z反变换 已知 X(z) 求 x(nT)
作z变换
X (z) x(nT ) zn x(0) x(T ) z1 x(2T ) z2 n0
调制脉冲 (t-nT) 对应于变换算子 z-1
z-1又称为一步延迟因子， z变换算子 z 带有明 确的时间信息。
iii、z变换的收敛和特性
z变换定义为
X (z) x(nT ) zn
,
nm
X (z) c0 c1z1 c2 z2 cn zn
x(nT ) c0 (t) c1 (t T ) c2 (t 2T ) cn (t nT )
例8－4 前例
X
(z)
(z
10z 1)( z
2)
1
10 z 1 3z1 2z2
解：应用综合除法，分子多项式除以分母多项式，得
xn x(n) x(n 1)
2 xn xn xn1 [x(n) x(n 1)] [x(n 1) x(n 2)]
……
x(n) 2x(n 1) x(n 2)
n阶差分：n-1阶差分之差
n xn n1xn n1xn1
差分的方向
设当前采样时刻为n，依据当前时刻与前后时序数 据的依赖关系，可定义后向差分与前向差分。
t=nT+ 开关打开
采样信号 矩形近似
x* (t)
x(nT ) 1 [1(t nT ) 1(t nT )]
n0
理想采样信号
单位脉冲函数
(t nT )dt 1
离散脉冲序列
x*(t) x(nT ) (t nT ) n0
T (t) (t nT) n0
x*(t) x(nT ) (t nT ) x(nT ) T (nT ) n0
关于 z 变换的说明
i、z变换的离散特性 z变换所处理的对象是离散时间序列，而不带有原信 号采样点之间的任何信息。
x1(t) x2 (t) x3(t)
X1(z) X2(z) X3(z)
ii、z变换的时间特性
采样信号展开式
x(t) x(nT ) (t nT ) n0 x(0) (t) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T )
如果不满足条件s > 2a ，采样信号频谱中的镜像频
谱就会与主频谱混迭，采用低通滤波的方法恢复的
信号中仍混有镜像频谱成分，不能恢复成为原连续 时间信号，所发生的信号混迭如图。
时域意义：在原系统一个周期内，至少采 样2次，才能完全复现模拟信号 。
频域意义：采样信号的频率至少大于连续 信号频谱的两倍，才能完全复现连续信号， 防止信号重叠。
第八章 采样控制系统分 析基础
采样控制，又称断续控制、离散控制 早期——采样控制 现代——计算机控制
§8.1 信号的采样与采样定理
一、信号的采样
连续时间信号
采样器
实际采样信号
理想采样信号
采样开关
x*
(t
)
x(nT
0
)
nT t nT nT t (n 1)T
x(t)
x*(t)
t=nT 开关闭合
10z1 30z2 70z3
1 3z1 2z2 10z1
10z1 30z2 20z3
30z2 20z3 30z2 90z3
得到
70 z 3 70z3
X (z) 10z1 30z2 70z3
作z反变换
60z4
60z4 210z4
140 z 5
x(nT) 0 (t) 10 (t T ) 30 (t 2T ) 70 (t 3T)
e 2 (e2 e 2 )
j
T sin( T
2)
e
j
s
T 2
由于 T 2
可写为
s
Gh (
j )
2 s
sin( s ) s
e 2 s
零阶保持器的近似实现
由于
eTs 1 Ts 1 T 2s2
取泰勒级数的前两项
2!
1 eTs Gh (s) s
1 s
(1
1 eTs
)
eTs 1Ts
T 1 Ts
取泰勒级数的前三项
1 1 Ts
Gh (s)
无源电网络实现如图
T
1
Ts
2 1
2
T
2
s
2
§8.3 采样信号的z变换
一、z 变换：变换域关系 连续时间信号：x(t) 拉氏变换：X(s) 离散时间信号：x(nT) Z 变换： X(z) 1、z 变换的定义 已知连续时间信号x(t) ，其采样信号为x(nT)， 定义z变换
当采用睁眼、闭眼的方法来观察点 a 的位置变化 时，便构成了一个观察点列，也就是一个采样序 列。
第采一样种频观率察为方式：s 设 2T每s 1/84秒睁，眼则观有察一次，Ts
1，
4
s 8 21 4
满足采样定理，观察点列的顺序为a、b、c、d， 时间坐标如图。平滑滤波，得到原信号的波形。
yb
c
第三种方法： 部分分式法
将X(z)分解为对应于基本信号的部分分式，再查表来
求得其z反变换。
注意：由于基本信号的z变换都带有因子z，所以，要
将 X (z) 分解为部分分式
例8－6 z前例 解
X (z) 10z (z 1)(z 2)
X (z)
10
10 10
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
一阶后向差分 二阶后向差分 ……
xn x(n) x(n 1) 2 xn xn xn1 x(n) 2x(n 1) x(n 2)
一阶前向差分 二阶前向差分 ……
xn x(n 1) x(n) 2xn xn1 xn x(n 2) 2x(n 1) x(n)
历史时刻、当前时刻、未来时刻之间的数据依赖关系
等比级数。
n0
n0
收敛和为
X
(
z)
1
1 z
1
或者
X (z) z z 1
（3）单位斜坡信号 x(t) t 1(t)
由定义 由于
X (z) x(nT ) zn x(nT)nT (nT ) zn
n0
n0
两边对变量z求导
zn
z
n0
z 1
n0
(n)
z n1
1 (z 1)2
两边同时乘以 –Tz ，得到
X (z) 10z 10z z 1 z 2
x(nT) 10 10 2n
四、差分方程
两类系统与其端口信号
1、差分 两个样点信息之间的微商即称为差分。
忽略采样间隔T
xn
x(nT )
x[(n T
1)T ]
xn x(n) x(n 1)
差分的阶
样点间信号平均变化率的不同称为差分的阶。
一阶差分：样点幅值之差 二阶差分：一阶差分之差
第一种方法 ：反演积分法
由复变函数积分公式 利用留数定理得到
x(nT ) cX (z) (z 1) dz
x(nT ) Re s[X (z) zn1]
k
z zk
第二种方法：幂级数法
由于
X
(z)
bm zm an zn
bm1z m1 an1z n1
b1z b0 a1z a0
X (z) Z[x(t)] x(nT ) zn n0
证明： 采样信号 作拉氏变换 作算子代换 得到
x(t) x(nT ) (t nT )
n0
X (s) L[ x(nT) (t nT)] x(nT) enTs
n0
n0
z = eTs （置换超越函数）
X (z) Z[x(t)] x(nT ) zn n0
（2）实位移定理
时序后移
Z[x(t mT)] zm X (z)
时序前移
m1
Z[x(t mT)] zm X (z) zm x(mT) zm
（3）复位移定理
m0
Z[x(t) et ] X (z eT )
（4）变换域微分定理
例如
1(t) z z 1
（5）初值定理
Z[t x(t)] Tz d [X (z)] dz
X (z)
n0
(nT )
zn
Tz (z 1)2
（4）指数信号
X
(z)
1
1 eT
z 1
（5〕正弦信号
z X (z) z eT
X (z)
1 2j
[
z
z e
jt
z
z e
jt
]
z2
z sin T 2cosT z 1
6〕已知 X(s)，求 X(z)
先作拉氏反变换 再求z变换
x(t) L1[X (s)]
采样信号的物理意义
连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间 调制。
单位脉冲序列被连续时间信号作了幅值加 权。
二、香农采样定理 (Shannon)
连续时间信号x(t)
其付立叶变换为X() 其频谱分量中的最高频率成分为a。
对连续时间信号采样
采样频率为s ，
采样后的离散时间信号为x*(t) 。 若
s > 2a
xn (t) x(nT )
THale Waihona Puke Baidu
(t nT ),
nT t (n 1)T
二、零阶保持器的数学模型
样点值的常值外推，其输入输出关系如图
时间函数 拉氏变换
gh (t) 1(t) 1(t T )
Gh (s)
1 s
1 eTs s
1 eTs s
频率特性
Gh
(
j
)
1
e jT
j
1 jT 1 jT
1 jT
关于采样定理的说明
1、采样定理从理论上指明了从采样信号x*(t) 中恢复 原连续时间信号 x(t) 的条件。对于频谱丰富的时
间信号，频谱成分的上限频率a是不存在的。另
外，理想的低通滤波器也是不存在的。 2、频谱混迭的物理意义 （“车轮效应” ） 一车轮每秒钟转一圈
y sin1t 1 2 sin 2t
1
{x(nT )
x[(n
1)T )]}
T
••
x(nT )
1
{x(nT )
x[(n
1)T )]}
T
零阶保持器
将样点幅值保持至下一时刻
xn (t) x(nT ), nT t (n 1)T
一阶保持器
不仅可以保持样点的幅值，而且可以保持采样点的斜 率至下一时刻。
x(nT ) x[(n 1)T ]