第五章一元函数的导数及其应用知识点与基础巩固题(解析版)高二数学复习巩固练习(人教A版2019)

专题14人教A 版（2019）第五章一元函数的导数及其应用知

识点与基础巩固题——寒假作业14（解析版）

一．导数的定义：

0000000()()

()'()'|lim

()()

()'()'lim

x x x x f x x f x y f x x x f x y x

f x x f x y f x f x y x

=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:

2.利用定义求导数的步骤：

①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：

00()()

f x x f x y x x

+∆-∆=

∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x y

f x x

∆→∆=∆

（下面内容必记）

二、导数的运算：

（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①

'0()

C C =为常数；②

1

()'n n x nx -=；

11(

)'()'n n n

x nx x ---==-

；

1

()'m m

n

n m x x n

-==

③

(sin )'cos x x

=； ④

(cos )'sin x x

=- ⑤

()'x x

e e = ⑥

()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且；

⑦1(ln )'x x =

； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a

=>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2

()'()()()'()[

]'(()0)()[()]

f x f x

g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)

（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：

①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x =

三．导数的物理意义

1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，

即有()00V f t '=。

2.V ＝s /(t) 表示即时速度。a=v /

(t) 表示加速度。

四．导数的几何意义：

函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()

00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。 题型三．用导数求曲线的切线 注意两种情况：

（1）曲线()y f x =在点()()

00,P x f x 处切线：性质：()0k f x '=切线。相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-

（2）曲线()y f x =过点()00,P x y 处切线：先设切点，切点为(,)Q a b ,则斜率k='()f a ，切点(,)Q a b 在曲线()y f x =上，切点(,)Q a b 在切线()()00y y f a x x '-=-上，切点(,)Q a b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()f a ，确定切线方程。

五．函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，

（1）'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； （2）'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；

注意：当'()f x 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()f x 在这

个区间上仍是递增（或递减）的。

（3）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立； （4）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立； 题型一、利用导数证明（或判断）函数f (x)在某一区间上单调性：

步骤： （1）求导数 )(x f y '='

(2)判断导函数)(x f y '='在区间上的符号 (3)下结论

①'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； ②'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；

题型二、利用导数求单调区间

求函数)(x f y =单调区间的步骤为：

（1）分析 )(x f y =的定义域； （2）求导数 )(x f y '=' （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）

思路一.（1）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立；

（2）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立；

思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是

定义域上的单调增或减区间的子集。

注意：若函数f （x ）在（a ，c ）上为减函数，在（c ，b ）上为增函数，则x =c 两侧使函数f '（x ）变号，即x=c 为函数的一个极值点，所以'()0f c =

六、函数的极值与其导数的关系：

1.①极值的定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x <（或0()()f x f x >，则称0()f x 为函数的一个极大（或小）值，0x 为极大（或极小）值点。 ②可导数()f x 在极值点．．．0x 处的导数为0（即0'()0f x =）

，但函数()f x 在某点0x 处的导数为0，并不一定函数()f x 在该处取得极值（如3

()f x x =在00x =处的导数为0，但()f x 没有极值）。 ③求极值的步骤：

第一步：求导数'()f x ；

第二步：求方程'()0f x =的所有实根；

第三步：列表考察在每个根0x 附近，从左到右，导数'()f x 的符号如何变化，