6、子空间的交与和

假设有等式
k11 km m p1 1 pn1 m n1 m
q1 1 qn2 m n2 m 0
令 k11 km m p1 1 pn1 m n1 m
q1 1 qn2 m n2 m
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
§6.6 子空间的交与和
注意
从维数公式中可以看到，子空间的和的维数
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往往比子空间的维数的和要小. 例如，在R3中，设子空间 V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ) 其中， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1) 则，dimV1 2,
l1 l2 lm q1 qn2 m 0,
因而 0. 从而有
§6.6 子空间的交与和
k11 km m p1 1 pn1 m n1 m 0
由于 1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n1 m 线性无关，得
即有 V1 L(1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n1 m )
V2 L(1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n2 m )
§6.6 子空间的交与和
所以，有
V1 + V2 L(1 , 2 , , m , 1 , 2, , n1 m , 1 , 2 , , n2 m )
一、子空间的交
1、定义
设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a | a V1且a V2 }
也为V的子空间， 称之为V1与V2的交(intersection) 空间. 显然有, V1 V2 V2 V1 ,
(V1 V2 ) V3 V1 (V2 V3 )
二、子空间的和
1、定义
设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a1 a2 | a1 V1 , a2 V2 }
也为V的子空间， 称之为V1与V2的和空间. 显然有, V1 V2 V2 V1 ,
(V1 V2 ) V3 V1 (V2 V3 )
§6.6 子空间的交与和
§6.6 子空间的交与和
2、推广
多个子空间的和
V1 ,V2 ,,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
Vi V1 V2 Vs i 1
1 2 s | i Vi , i 1,2,3, , s
s
也为V的子空间，称为 V1 ,V2 ,,Vs 的和空间.
第六章 线性空间
§1 集合· 映射 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数· 基与坐标 §4 基变换与坐标变换
§5 线性子空间
§6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
§6.6 子空间的交与和
4、维数公式(dimension formula) （定理7）
设 V1 ,V2 为线性空间V的两个子空间， 则 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 或 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
§6.6 子空间的交与和
并不是R3的子空间.
§6.6 子空间的交与和
三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1 ,V2 ,W 为线性空间V的子空间
（1）若 W V1 ,W V2 , 则 W V1 V2 . （2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2、设V1 ,V2 为线性空间V的子空间，以下三条件等价:
dimV2 2
但， V1 V2 L( 1 , 2 ) L( 2 , 3 ) L( 1 , 2 , 3 ) R 3
dim(V1 V2 ) 3 dim(V1 V2 ) 1, V1 V2 是一直线.
§6.6 子空间的交与和
推论 设 V1 ,V2 为 n 维线性空间V的两个子空间，
§6.6 子空间的交与和
2、推广
多个子空间的交
V1 ,V2 ,,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 Vs Vi | Vi , i 1,2,3, , s
i 1
s
也为V的子空间，称为 V1 ,V2 ,,Vs 的交空间.
§6.6 子空间的交与和
证：设 dimV1 n1 , dimV2 n2 , dim(V1 V2 ) m 取 V1 V2的一组基 1 , 2 ,, m 由扩基定理，它可扩充为V1的一组基
1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n1 m
它也可扩充为V2的一组基
1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n2 m
若 dimV1 dimV2 n ，则 V1 ,V2 必含非零的公共向量. 即 V1 V2 中必含有非零向量. 证： dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) 又 V1 V2 是V的子空间，∴ dim(V1 V2 ) n 若 dimV1 dimV2 n, 则 dim(V1 V2 ) 0. 故 V1 V2 中含有非零向量.
§6.6 子空间的交与和
注意
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如
V1 {(a ,0,0) a R}, V2 {(0, b,0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集
V1 V2 {(a ,0,0),(0, b,0) a , b R} {(a , b,0) a , b R 且a , b中至少有一是0}
(1)V1 V2 (2)V1 V2 V1 (3)V1 V2 V2
§6.6 子空间的交与和
3、 1 , 2 ,, s ; 1 , 2, , t 为线性空间V中两组向量，
则 L(1 , 2 ,, s ) L( 1 , 2, , t )
L(1 , 2 ,, s , 1 , 2, , t )
则有 V1 且 V2，于是有 V1 V2 .
§6.6 子空间的交与和
即 可被 1 , 2 ,, m 线性表出 令 l11 l2 2 lm m , 则 l11 l2 2 lm m q1 1 qn2 m n2 m 即 l11 l2 2 lm m q1 1 qn2 m n2 m 0 由于 1 , 2 , , m , 1 , 2 , , n2 m 线性无关，得
k1 k2 km p1

pn1 m 0
所以，1 , 2 , , m , 1 , 2, , n1 m , 1 , 2 , , n2 m 线性无关. 因而它是 V1 V2 的一组基. ∴ dim(V1 V2 ) m ( n1 m ) ( n2 m ) n1 n2 m