弹塑性力学计算题终稿
弹塑性力学部分习题及答案
1 εij = (ui, j +uj,i ) 2
σji, j
(i, j =12,3) ,
E 1 ν = 2(uj,ij +ui, jj ) +1−2νuk,kjδij (1+ν)
5Байду номын сангаас
20112011-2-17
题1-3
E 1 ν (uj,ij +ui,jj ) + σji, j = uk,ki 2 (1+ν) 1−2ν
3
2c
l
y
解： 1、将 Φ 代入
∇ 4Φ =0 满足, 为应力函数。 满足, Φ 为应力函数。
2、求应力（无体力） 求应力（无体力）
20112011-2-17 20
题1-13 3 3F xy q 2 Φ= xy− 2 + y 4c 3 2 c
2
o
x
2c
l
y
2
∂φ 3F xy ∂φ σx = 2 = − 3 +q, σy = 2 =0, ∂y 2c ∂x y2 ∂φ 3F τxy =− = − 1− 2 ∂x∂y 4c c
z l y
F = −ρg bz
x
x
20112011-2-17
8
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 等截面直杆（无体力作用），杆轴 ）， 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u =−kyz v =kxz
w=k ( x, y) ψ
为待定常数， 其中 k 为待定常数，ψ(x‚y)为待定函数， 为待定函数 试写出应力分量的表达式和位移法方程。 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2
弹塑性力学最后例题
u y
2
]dxdy
经推导得：
U = E 4 1 - n2
(
)
p2 b
å
n
k= 1
k 2B k2
3
(3)由 =0 变分方程确定系数 Bk ：
Bk 0 k 1 Bk
n
即 或：
U =
0 Bk
k 1,2 n
E 4 1 - n2
(
)
p2 b
å
n
k= 1
k 2B k2
抖 U = 抖 Bk = -
V = Bk
ò f v dA
y k
ò
b
0
b = rg cos k p - 1) ( kp
k py r g sin dy b
(k = 1, 2 L n )
4
得：
E 2 1- n
(
2
)
p 2k 2 ? Bk b
2b rg pk
(k = 1, 3, 5 L )
这是k个独立方程，可求出k个待定系数 Bk。 解得：
Bk = 4 1 - n 2 b2 k pE
3 3
(
)
rg
(k = 1, 3, 5 L )
(4) 位移解答
u 0
b 处的竖向位移为： 令： y 2
b
4 (1 2 )b2 y 1 3 y 1 5 y v( y ) g (sin 3 sin 3 sin ) 3 E b 3 b 5 b
6
题3 张量证明
求证 证明
J 2 Sij ij
J 2 J 2 Skl ij Skl ij S kl 1 S S mn mn 2 ij 1 pp kl kl 3
弹塑性力学部分习题及答案
e kk
2019/8/31
4
题1-3
e kk
ij (1 E )( ij 1 2 e ij) (i,j 1 ,2 ,3 )
j,i j (1 E )( j,i j 1 2 k,jk ij ) (i,j 1 ,2 ,3 )
i1 2ui,j
j
Guj,jiGi,ju j
代入 j,ij F b i0 (i,j 1 ,2 ,3 )
得
G 2 u i G u j,j iF b i0在 V 上
2019/8/31
7
题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
，且设 ur 表达式为
ur C1rC r2(18 E 2)2r3
b
ra
x
试由边界条件确定 C1 和 C2 。
y
解： 边界条件为： (r）r=a=0, (r）r=b=0
应力r（平面
应力问题）：
r 1E2(ddrururr)
2019/8/31
32
题1-16 由边界条件确定 C1 和 C2 ：
v g l x y E
y
l
式中 E、 为弹性模量和泊松系数。
试（1）求应力分量和体积力分量；
hh
（2）确定各边界上的面力。
x
解： 1、求应变
x u x E g l x , y y v E g (l x )
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15
x
x=ax、y=ax、xy= -ax
3、求应变
x=ax、y=a(2x+y-l-h)、 xy= -ax
弹塑性力学习题及问题详解
本教材习题和参考答案与局部习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。
答案 (1)pi iq qj jkpk δδδδδ=;答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;解：(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：假如ijji a a =，如此0ijk jk e a =。
〔需证明〕a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：因为123111123222123333i i i i i i i i i i i i i ii ii i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以123111123222123333123111123222123333det det()i ii i i i i ii i i i i ii ii i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即得 1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
弹塑性力学试题答案完整版
欧拉描述便于对固定空间区域特别是包含流动、大变形和物质混合问题的建模。 5）转动张量：表示刚体位移部分，即
0
Wij
=
1
2
v x
−
u y
1 2
w x
−
u z
1 2
u y
−
v x
0
1 2
w y
−
v z
1 2
u z
−
w x
1 2
v z
−
w y
0
6）应变张量：表示纯变形部分，即
22）小应变张量：（P33） 23）弹性模量：E 的数值随材料而异，是通过实验测定的，其值表征材料抵抗弹性变形的能力，其量纲
为 ML-1T-2 ，其单位为 Pa。
E 是度量物体受力时形变大小的物理量。指在弹性限度内，应力与应变的比值。 弹性模量又分纵向弹性模量（杨氏模量）和剪切弹性模量。杨氏模量为正应力与线应变之比值；剪切弹 性模量为剪应力与剪应变之比值。对同一种材料，在弹性极限内，弹性模量是一常数。 24）相容方程（P38）： 25）变分原理：
弹塑性力学 2008、2009 级试题
一、简述题 1）弹性与塑性
弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。
应力状态：某点处的 9 个应力分量组成的新的二阶张量 。
( ) ( ) 个独立的应力分量的函数，即为 f = 0 ， f ij 即为屈服函数。
10）不可压缩：对金属材料而言，在塑性状态，物体体积变形为零。
11）稳定性假设（P56）：即德鲁克公社，包括：1.在加载过程中，应力增量所做的功 dWD 恒为正；2.在
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第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。
己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。
解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
弹塑性力学习题集很全有答案
直边及斜边上的边界条件，确定常数 a、b、c、d。
2—16* 已知矩形截面高为 h，宽为 b 的梁受弯曲时的正
应力σ z
=
My J
=
12M bh 3
y ，试求当非纯弯时横截面上的剪应力公
式。（利用弹塑性力学平衡微分方程）
题 2—15 图
12 6 0
2—17
已知一点处的应力张量为： σ ij
=
6
10
题 2—4 图
2—5* 如题 2—5 图，刚架 ABC 在拐角 B 点处受 P 力，已知刚架的 EJ，求 B、C 点的 转角和位移。（E 为弹性模量、J 为惯性矩）
2—6 悬挂的等直杆在自重 W 的作用下如题 2—6 图所示。材料比重为 γ ，弹性模量为 E，横截面积为 A。试求离固定端 z 处一点 c 的应变 ε z 与杆的总伸长 ∆l 。
P8 ，正应力 σ 8 ，剪应力τ 8 。 2—25 试求各主剪应力τ1 、τ 2 、τ 3 作用面上的正应力。 2—26* 用应力圆求下列(a)、(b) 图示应力状态的主应力及最大剪应力，并讨论若(b)
图中有虚线所示的剪应力τ ′ 时，能否应用平面应力圆求解。
题 2—26 图
2—27* 试求：如(a) 图所示，ABC 微截面与 x、y、z 轴等倾斜，但τ xy ≠ 0, τ yz ≠ 0, τ zx ≠ 0, 试问该截面是否为八面体截面？如图(b) 所示，八面体各截面上的τ 8 指向是否垂直棱边？
题 2—13 图
题 2—14 图
2—14* 如题 2—14 图所示的变截面杆，受轴向拉伸载荷 P 作用，试确定杆体两侧外
表面处应力 σ z （横截面上正应力）和在材料力学中常常被忽 略的应力 σ x 、τ zx 之间的关系。
演示文稿弹塑性力学习题
求解图示问题的应力及位移，设在A点的位 移和转角均为零。
第三十一页，共55页。
第三十二页，共55页。
F
Fb/2
O
x
bb h
A y (h b, 1)
解： 应用应力函数求解：
(1) 校核 相容方程 4Φ 0 ，满足.
(2) 求应力分量 ，在无体力时，得
σ y 6 Ax2B, σ x xy 0.
xy
2 gx2 (3
y2 b3
3) 4b
2 gy(
y3 b3
3y 10b
b )。 80 y
第二十八页，共55页。
例题3 已知
(a) Φ Ay2 (a2 x2 ) BxyC(x2 y 2 ); (b) Φ Ax4 Bx3 yCx2 y 2 Dxy2 Ey4 ,
试问它们能否作为平面问题的应力函数？
A y4 2B y3 3Gy2 2Hy I
2 3
第二十二页，共55页。
5. 考察边界条件：
主要边界 y b / 2上,有
(σ y
) y b / 2
2gx,得
x(A b3 8
B b2 4
C
b 2
D)
2
gx;
(a)
(σ y
) yb / 2
0, 得 x( A b3 B b2
84
C b D) 0; 2
由 u x
x
F (1
2Eb
3x ), 2b
对x积分得
u
F (x
2Eb
3x2 ) 4b
f1( y);
由 v y
y
F (1 2Eb
3x ), 2b
对y积分得
v
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第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。
己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。
解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
弹塑性力学习题集(有图)
~弹塑性力学习题集[殷绥域李同林编!)~中国地质大学·力学教研室二○○三年九月》目录弹塑性力学习题 (1)第二章应力理论.应变理论 (1)；第三章弹性变形.塑性变形.本构方程 (6)第四章弹塑性力学基础理论的建立及基本解法 (8)第五章平面问题的直角坐标解答 (9)第六章平面问题的极坐标解答 (11)第七章柱体的扭转 (13)]第八章弹性力学问题一般解.空间轴对称问题 (14)第九章* 加载曲面.材料稳定性假设.塑性势能理论 (15)第十章弹性力学变分法及近似解法 (16)第十一章* 塑性力学极限分析定理与塑性分析 (18)第十二章* 平面应变问题的滑移线场理论解 (19)`附录一张量概念及其基本运算.下标记号法.求和约定 (21)习题参考答案及解题提示 (22)>前言弹塑性力学是一门理论性较强的技术基础课程，它与许多工程技术问题都有着十分密切地联系。
应用这门课程的知识，能较真实地反映出物体受载时其内部的应力和应变的分布规律，能为工程结构和构件的设计提供可靠的理论依据，因而受到工程类各专业的重视。
·《弹塑性力学习题集》是专为《弹塑性力学》（中国地质大学李同林、殷绥域编，研究生教学用书。
）教材的教学使用而编写的配套教材。
本习题集紧扣教材内容，选编了170余道习题。
作者期望通过不同类型习题的训练能有助于读者理解和掌握弹塑性力学的基本概念、基础理论和基本技能，并培养和提高其分析问题和解决问题的能力。
鉴于弹塑性力学课程理论性强、内容抽象、解题困难等特点，本书对所编习题均给出了参考答案，并对难度较大的习题给出了解题提示或解答。
本习题集的编写基本取材于殷绥域老师编写的弹塑性力学习题集，由李同林老师重新修编，进一步充实而成。
书中大部分内容都经过了多届教学使用。
为保证教学基本内容的学习，习题中带“*”号的题目可酌情选做。
由于编者水平所限，错误和不妥之处仍在所难免，敬请读者指正。
<编者2003年9月@弹塑性力学习题"第二章 应力理论·应变理论2—1 试用材料力学公式计算：直径为1cm 的圆杆，在轴向拉力P = 10KN 的作用下杆横截面上的正应力σ及与横截面夹角︒=30α的斜截面上的总应力αP 、正应力ασ和剪应力ατ，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。
弹塑性力学习题集_很全有答案_
σ y = cx + dy − γy , τ xy = − dx − ay ，其它应力分量为零。试根据
直边及斜边上的边界条件，确定常数 a、b、c、d。 2—16* 已知矩形截面高为 h， 宽为 b 的梁受弯曲时的正 My 12 M 应力 σ z = = y， 试求当非纯弯时横截面上的剪应力公 J bh 3 式。 （利用弹塑性力学平衡微分方程）
题 2—15 图
12 6 0 2—17 已知一点处的应力张量为： σ ij = 6 10 0 MPa ，试求该点的最大主应力及 0 0 0 其主方向。 2—18* 在物体中某一点 σ x = σ y = σ z = τ xy = 0 ，试以 τ yz 和 τ zx 表示主应力。
3—1
为 ε 1 = 1.7 × 10 −4 ， ε 2 = 0.4 × 10 −4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。
3—9 如题 4—9 图示尺寸为 1×1×1cm 的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。 设钢块不变形，试求：在压力 P = 6KN 的作用下铝块内一点应力状态的三个主应力及主应 变，铝的弹性常数 E=70Gpa，ν = 0.33。 3—10* 直径 D = 40mm 的铝圆柱体， 无间隙地放入厚度为 δ = 2mm 的钢套中， 圆柱受
v = b0 + b1 x + b2 y + b3 z w = c 0 + c1 x + c 2 y + c3 z
式中 a 0 L , a1 L , a 2 L 为常数，试证各点的应变分量为常数。 2—29 设已知下列位移，试求指定点的应变状态。
(1) u = (3x 2 + 20) × 10 −2 , v = (4 yx) × 10 −2 ，在（0，2）点处。 (2) u = (6 x 2 + 15) × 10 −2 , v = (8 zy ) × 10 −2 , w = (3z 2 − 2 xy) × 10 −2 ，在（1，3，4）点处。 2—30 试证在平面问题中下式成立： εx + εy =ε′ x + ε′ y
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第二章 应力理论和应变理论2— 15.如 所示三角形截面水 材料的比重 γ，水的比重 γ 1。
己求得 力解 ：σ x = ax+by ， σy =cx+dy- γy ， τxy =-dx-ay ；根据直 及斜 上的 界条件，确定常数 a 、b 、c 、 d 。
解：首先列出OA 、 OB 两 的 力 界条件：OA ：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x= γ1 y ； T y =0σx =-γ1y ； τxy =0代入： σx =ax+by ； τxy =-dx-ay 并 注 意 此 ： x =0得 ： b=- γ1； a=0；OB ： l 1=cos β ； l 2=-sin β， T x =T y =0：x cosxy sin0 yx cosy sin⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ a ）将己知条件： σ x=1xy=-dxyγ y-γ y ； τ； σ =cx+dy-代入（ a ）式得：1 y cos dx sin0L L L L L L L L L bdx coscxdyy sin L L L L L L L L L化 （ b ）式得： d = γ12β；ctgT4n2τ 30° δ 30°30°化 （ c ）式得： c =γctg β -2γ 13y10x10Ox12 6τxy103 Pa2— 17.己知一点 的 力 量6 10 00 0δ y求 点的最大主 力及其主方向。
x题1-3 图解：由 意知 点 于平面 力状 ，且知：σx =12×O103σ y =10× 103 τ xy =6× 103，且 点的主 力可由下式求得：β212 101221.2xyxy21023n 22xy22610βγ 1y113710311 6.0828 10317.083 10 3 Paγ34.91724 10BA然：y117.083 10 3Pa2 4.917 10 3Pa30σ 1 与 x 正向的 角 ： （按材力公式 算）c2 xy2 6 12 sin 2tg 2121026xycos2然 2θ 第Ⅰ象限角： 2θ=arctg （ +6） =+80.5376 °则：θ=+40.2688 B 40° 16＇或（-139° 44＇）2— 19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τzx=b，试计算出主应力σ1、σ2、σ3 并求出σ2 的主方向。
弹塑性力学部分习题及答案
解
根据梁的弯曲变形公式，y = Fx/L(L - x)，其中y为挠度，F 为力，L为梁的长度。代入题目给定的数据，得y = (frac{300 times (4 - x)}{8})。当x = 2时，y = (frac{300 times (4 - 2)}{8}) = 75mm。
习题三答案及解析
解析
和变形情况。
04
弹塑性力学弹塑性力学的基本假设。
答案
弹塑性力学的基本假设包括连续性假设、均匀性假设、各向同性假设和非线性假设。连 续性假设认为物质是连续的，没有空隙；均匀性假设认为物质的性质在各个位置都是相 同的；各向同性假设认为物质的性质在不同方向上都是相同的；非线性假设认为弹塑性
习题二答案及解析
01 02 03 04
解析
选择题主要考察基本概念的理解，如能量守恒定律、牛顿第二定律等 。
填空题涉及简单的力学计算，如力的合成与分解、牛顿第二定律的应 用等。
计算题要求应用能量守恒定律和牛顿第二定律进行计算，需要掌握基 本的力学原理和公式。
习题三答案及解析
01
答案
02
选择题
03
1. A
2. 解
根据牛顿第二定律，F = ma，其中F为力，m为质量，a 为加速度。代入题目给定的数据，得a = (frac{400}{5}) = 80m/s(}^{2})。再根据运动学公式s = ut + (frac{1}{2})at(}^{2})，得s = 10 × 2 + (frac{1}{2} times 80 times (2)^2) = 108m。
04
计算题要求应用胡克定律和动量守恒定律进行计算，需要掌握基本的 力学原理和公式。
习题二答案及解析
弹塑性力学计算题终稿
弹塑性力学计算题终稿1试根据下标记号法和求和约定展开下列各式（式中i、j = x、y、z）：①?ij?ij ；②xi?j；2在物体内某点，确定其应力状态的一组应力分量为：0，0，0，0，?x= ?z= ?y= ?xy= ?yz=3a，?zx=4a，知a?0。
试求：1 该点应力状态的主应力?1、?2和?3；2 主应力?1的主方向；3主方向彼此正交；解：由式（2—19）知，各应力不变量为、，代入式（2—18）得：也即（1）因式分解得：（2）则求得三个主应力分别为。
设主应力与xyz三坐标轴夹角的方向余弦为、、。
将及已知条件代入式（2—13）得：（3）由式（3）前两式分别得：（4）将式（4）代入式（3）最后一式，可得0=0的恒等式。
再由式（2—15）得：则知；（5）同理可求得主应力的方向余弦、、和主应力的方向余弦、、，并且考虑到同一个主应力方向可表示成两种形式，则得：主方向为：；（6）主方向为：；（7）主方向为：；（8）若取主方向的一组方向余弦为，主方向的一组方向余弦为，则由空间两直线垂直的条件知：（9）由此证得主方向与主方向彼此正交。
同理可证得任意两主应力方向一定彼此正交。
3一矩形横截面柱体，如图所示，在柱体右侧面上作用着均布切向面力q，在柱体顶面作用均布压力p。
试选取：??y(Ax3?Bx2?Cx)?Dx3?Ex2做应力函数。
式中A、B、C、D、E为待定常数。
试求：（1）上述?式是否能做应力函数；（2）若?可作为应力函数，确定出系数A、B、C、D、E。
（3）写出应力分量表达式。
（不计柱体的体力）解：据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即：；由此可知应力函数可取为：（a）将式（a）代入，可得：(b)故有：；(c)则有：；(d)略去中的一次项和常数项后得：(e)相应的应力分量为：(f)边界条件：①处，，则；(g)②处，，则；(h)③在y = 0处，，，即由此得：，再代入式（h）得：；由此得：（i）由于在y=0处，，积分得：（j），积分得：（k）由方程(j ) (k)可求得：，投知各应力分量为：(l)据圣文南原理，在距处稍远处这一结果是适用的。
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1试根据下标记号法和求和约定展开下列各式（式中i 、j = x 、y 、z ）：① ij ij σε ； ② j i x '；2在物体内某点，确定其应力状态的一组应力分量为：x σ= 0，y σ= 0，z σ=0，xy τ= 0，yz τ=3a ，zx τ=4a ，知0a >。
试求：1 该点应力状态的主应力1σ、2σ和3σ；2 主应力1σ的主方向；3主方向彼此正交；解：由式（2—19）知，各应力不变量为、，代入式（2—18）得：也即 （1）因式分解得：（2）则求得三个主应力分别为。
设主应力与xyz 三坐标轴夹角的方向余弦为、 、 。
将 及已知条件代入式（2—13）得：（3）由式（3）前两式分别得：（4）将式（4）代入式（3）最后一式，可得0=0的恒等式。
再由式（2—15）得：则知；（5）同理可求得主应力的方向余弦、、和主应力的方向余弦、、，并且考虑到同一个主应力方向可表示成两种形式，则得：主方向为：；（6）主方向为：；（7）主方向为：；（8）若取主方向的一组方向余弦为，主方向的一组方向余弦为，则由空间两直线垂直的条件知：（9）由此证得主方向与主方向彼此正交。
同理可证得任意两主应力方向一定彼此正交。
3一矩形横截面柱体，如图所示，在柱体右侧面上作用着均布切向面力q，在柱体顶面作用均布压力p。
试选取：3232ϕ=++++y Ax Bx Cx Dx Ex()做应力函数。
式中A、B、C、D、E为待定常数。
试求：（1）上述ϕ式是否能做应力函数；（2）若ϕ可作为应力函数，确定出系数A、B、C、D、E。
（3）写出应力分量表达式。
（不计柱体的体力）解：据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即：；由此可知应力函数可取为：（a）将式（a）代入，可得：(b)故有：； (c)则有：； (d)略去中的一次项和常数项后得：(e)相应的应力分量为：(f)边界条件：①处，，则； (g)②处，，则； (h) ③在y = 0处，，，即由此得：，再代入式（h）得：；由此得：（i）由于在y=0处，，积分得： （j ） ，积分得：（k ）由方程(j ) (k)可求得：，投知各应力分量为：(l)据圣文南原理，在距处稍远处这一结果是适用的。
4 一杆件在竖向体力分量F y （F y =常量，指向朝下）的作用下，其应力分量分别为： （平面应力问题）21=+==z y x C y C σσσ00===zx yz xy τττ 以上各式中的C 1、C 2为待定常数。
试根据图示杆件的边界条件和平衡微分方程确定系数 C 1 和C 2 。
解：首先将各应力分量点数代入平衡微分方程，则有：得：显然，杆件左右边界边界条件自动满足，下端边界的边界条件为：， ， ， ， 。
即：或：5 试说明下列应变状态是否可能存在：222()00000ij c x y cxy cxy cy ε⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（,,,i k x y z =） 上式中c 为已知常数，且0c ≠。
解：已知该点为平面应变状态，且知：k 为已知常量。
则将应变分量函数代入相容方程得：2k+0=2k 成立，故知该应变状态可能存在。
6一很长的（沿z 轴方向）直角六面体，上表面受均布压力 q 作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。
若选取ϕ＝ay 2做应力函数。
试求该物体的应力解、应变解和位移解。
（ 提示：① 基础绝对刚性，则在x ＝ 0处，u ＝ 0 ； ② 由于受力和变形的对称性，在y ＝ 0处，v ＝ 0 。
）解：，满足，是应力函数。
相应的应力分量为：，，； ①应力边界条件：在x = h 处，②将式①代入②得： ，故知：， ， ； ③由本构方程和几何方程得：④积分得： ⑤ ⑥在x=0处u=0，则由式⑤得，f 1(y)= 0； 在y=0处v=0，则由式⑥得，f 2(x)=0；因此，位移解为：7 已知一半径为R ＝ 50 mm ，厚度为t ＝ 3 mm 的薄壁圆管，承受轴向拉伸和扭转的联合作用。
设管内各点处的应力状态均相同，且设在加载过程中始终保持1Z zθτσ=，（采用or z θ柱坐标系，r 为径向，θ为环向，z 为圆管轴向。
）材料的屈服极限为s σ＝ 400 MPa 。
试求此圆管材料屈服时（采用Mises 屈服条件）的轴向载荷P 和轴矩M s 。
（ 提示：Mises 屈服条件：2222122331()()()2s σσσσσσσ-+-+-= ；）解：据题意知一点应力状态为平面应力状态，如图示，且知 ，则，且= 0。
代入Mises 屈服条件得：即：解得： 200 MPa ；轴力：P= = 2×50×10－3×3×10－3×200×106=188.495kN扭矩：M= = 2×502×10－6×3×10－3×200×106=9.425 kN · m8已知一点的应变状态ij ε为：4100.1-⨯=x ε，4100.5-⨯=y ε，4100.1-⨯=z ε，4100.2-⨯=xy γ，4100.2-⨯=yz γ，4100.6-⨯=zx γ。
试将其分解为球应变状态与偏斜应变状态。
解：；；9一厚壁圆筒，内半径为a ，外半径为 b ，仅承受均匀内压q 作用（视为平面应变问题）。
圆筒材料为理想弹塑性，屈服极限为s σ。
试用Tresca 屈服条件，分析计算该圆筒开始进入塑性状态时所能承受的内压力q 的值。
已知圆筒处于弹性状态时的应力解为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=222221rb a b q a r σ； 0=θτr ；⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=222221r b a b q a θσ； 0=z θτ；()θσσσ+=r z 21；0=zr τ；上式中：a ≤r ≤b 。
（16分）解：由题目所给条件知：则由Tresca 条件：知：则知：10在平面应力问题中，若给出一组应力解为：x ax by σ=+，y cx dy σ=+，xy ex fy τ=+，0===yz zx z ττσ式中a 、b 、c 、d 、e 和f 均为待定常数。
且已知该组应力解满足相容条件。
试问：这组应力解应再满足什么条件就是某一弹性力学平面应力问题的应力解。
解：应力解应再满足平衡微分方程即为弹性力学平面应力问题可能的应力解，代入平衡微分方程得：则知，只要满足条件a ＝－f ，e ＝－d ，b 和c 可取任意常数。
若给出一个具体的弹性力学平面应力问题，则再满足该问题的应力边界条件，该组应力分量函数即为一个具体的弹性力学平面应力问题的应力解。
11试根据下标记号法和求和约定展开下列各式： 1．a i b ij ; ( i , j = 1,2,3 ) 2．),,,( ; )(21z y x j i u u εi j j i ij =+=''12试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（变程取i ，j = 1、2、3或x 、y 、z 。
） 1. ij ij Ge S 2=2. ii e '解1、2、13已知一弹性力学问题的位移解为：222()2z x y u a μ++=；xy v a μ=；xz w a=-；式中a 为已知常数。
试求应变分量，并指出它们能否满足变形协调条件（即相容方程）。
解：将位移分量代入几何方程得：； ； ；由于应变分量是x 的线性函数，固知它们必然满足变形协调条件：14设如图所示三角形悬臂梁，只受自重作用，梁材料的容重为γ。
若采用纯三次多项式3223Ax Bx y Cxy Dy ϕ=+++ 作应力函数，式中A 、B 、C 、D 为待定常数。
试求此悬臂梁的应力解。
oyBxAγα解：将 式代入 知满足，可做应力函数，相应的应力分量为：（已知Fx ＝0，Fy=γ）边界条件：①上边界：，，，代入上式得：A ＝ B ＝0，②斜边界：，，，，则：得：；于是应力解为：15 试列出图示一变截面薄板梁左端面上的应力边界条件，如图所示。
解：左端面的应力边界条件为：据圣文南原理16 一薄壁圆筒，承受轴向拉力及扭矩的作用，筒壁上一点处的轴向拉应力为2sz σσ=，环向剪应力为θτz ，其余应力分量为零。
若使用Mises 屈服条件，试求： （16分）1） 材料屈服时的扭转剪应力θτz 应为多大？2） 材料屈服时塑性应变增量之比，即：pθεd ∶p r εd ∶p z εd ∶p r θγd ∶p rz γd ∶p z θγd 。
已知Mises 屈服条件为：()()()()[]s zrz r r z z rστττσσσσσσθθθθ=+++-+-+-21222222621解：采用柱坐标，则圆筒内一点的应力状态为：则miss 条件知：解得： ；此即为圆筒屈服时，一点横截面上的剪应力。
已知：则：由增量理论知：则：即：17已知受力物体中某点的应力分量为σx=0,σy=2a,18矩形薄板其边界条件见图，不受横向载荷(q＝0)，但在两个简支边上受有均布弯矩M，在两个自由边上受均布弯矩μM，证明：ω＝f(x)能满足一切条件，并求出挠度、弯矩和反力。
19若φ=axy3+yf1(x)+f2(x)能作为求解平面问题的应力函数，试求f1和f2。
20已知一受力物体中某点的应力状态为：20 3.5032MPa 3.520x xy xz ij yx y yz zx zy z a a a a a aσττστστττσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 式中a 为已知常数，且a ＞0，试将该应力张量ij σ分解为球应力张量ij m δσ与偏应力张量ij S之和。
m σ为平均应力。
并说明这样分解的物理意义。
解：球应力张量作用下，单元体产生体变。
体变仅为弹性变形。
偏应力张量作用下单元体只产生畸变。
塑性变形只有在畸变时才可能出现。
关于岩土材料，上述观点不成立。
21如图所示，楔形体OA 、OB 边界不受力。
楔形体夹角为2α，集中力P 与y 轴夹角为β。
试列出楔形体的应力边界条件。
解：楔形体左右两边界的逐点应力边界条件：当θ＝±α时， ＝0，＝0；以半径为r 任意截取上半部研究知：22如图所示一半圆环，在外壁只受sinq 的法向面力作用，内壁不受力作用。
A端为固定端，B端自由。
试写出该问题的逐点应力边界条件和位移边界条件。
（15分）yB o A xq sinθaba+b2解：逐点应力边界条件：当r＝a 时，＝0，＝0；当r ＝b时，＝qsiθ，＝0；当θ=π时，＝0，＝0；A端位移边界条件：当θ＝0 ，时，ur＝0 ，uθ＝0 ，且过A点处径向微线素不转动，即＝0；或环向微线素不转动，即=0。
23已知受力物体内一点处应力状态为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=22022000x ij σσ（Mpa ）且已知该点的一个主应力的值为2MPa 。