用Zorn引理证明代数问题

故 )’ */ )- ’ !) 这与 ! ) ’ # 相矛盾 ! 于是 ! ’ #， ! 为 " 的一个上界， 由 "#$% 引理，# 存在极大元 素 $% 下面证明 2 为素理想： 假设存在 )/ 1’ 2+ 使 )1 ’ $ 且 )@ $/ 1@ $% 令 ; + $ < )2， 0 + $< 12， 则 )’ ;， 故 $> ; 且 $* ;! 因 $ 为 # 的极 大元， 故 ;@ #， 即存在 8’ 3/ )8 ’ ;! 同理存在 =’ 3/ ) = ’ 0，于是 )8 )> ’ ;? 即 ) 8 < = ’ ;0% 由 于 ;0 + @ $ < )2 A @ $ < 12 A + $ $ < )2 故 )8 < =’ $， 这与 $ $ < )12 2: $ < )12 : $， 为 # 的极大元相矛盾 % 所以 $ 为素理想 ! 问题 3： 若整环 4 满足条件： 对于任一因子降 链 ). ; )’ + )3 ; ). + 5+ ) - 5 ’ ; )- + 5都存在 4 使 则 2 中任一非零非单 )4 ; )4 5 ’ + )4 5 ’ ; )4 5 . + 5 ， 位的元素可分解成有限个不可约元之积 ! 证明：用反证法，假设 2 中存在非零非单位 的元素不能分解成有限个不可约元之积，用 # 表 示这样的元素的的集合， 则由假设 #* !% 令 " ( # 则 " 是由非空集合构成的非空集族， 由 . 6 ) !* ， 选择公理，存在上的一个选择函数 & ’ " & #/ 8 ! ’ "/ & , ! - ’ !! 对于 )’ #， 用 # , ) - 表示 ) 在 # 中全部真因 子的集合，即 # , ) - ( ) 1’ 1 ; ) 且 1 与 ) 不相 伴 *， 下面证明 # , ) - * ! ：) 不是不可约的， 否则 与 )’ # 矛盾 ! 若 ) + 16，则 1 或 6 非单位，且 1 ’ # 或 6’ #， 因为： 否则 1@ # 且 6@ #， 即 1/ 6 都能分解成有限个不可约元之积，因而 ) 也能分 解成有限个不可约元之积，这与 ) ’ # 矛盾 % 于 是，1 ’ # , ) - 或 6’ # , ) - ， 故 7 , ) - * ! ! 显然 # , ) - ’ "! 下面用选择函数 & 构造因子降链： 令 # 0 ( #+ 则 )0 ’ #， 于是 # , ) 0 - * !! 令 )’ ( & )0 ( & , # 0 - ， , # , )0 - - ， 则 )’ ’ # , )0 - ， 即 )’ ; )0 且 )’ 与 )0 不 相 伴 ! 再 令 ). ( & , # , ) ’ - - ， 则 ). ’ # , )’ - ，即 ). ; )’ 且 ). 与 )’ 不相伴 ! 假设已构造出 )0 + )’ + 5 + )- 满足 ). 5 ’ ; ). 且 ). 5 ’ 与 ). 不相伴 ! # , )- - * !， 令 )- 5 ’ ( & , # , )- - - ， 则 )- 5 ’’ # , )- - ， 即 )- 5 ’ ; )- 且 ) - 5 ’ 与 )- 不相伴 ! 由归纳法，可构造出： )0 + )’ + 5+ )- + 5满足 )- 5 ’ 且 )- 5 ’ 与 )- 不相伴 ! 这与已知条件矛盾， 所以 #* ! ! 问题 &：交换环 2 满足：对于每个理想升链 3’ > 3. >…> 3- > 3- < ’ > …存 在正 整 数 4 使 34 + 34 < ’ + 34 < . + …，则 2 的任一由理想组成的 非空集合按包含关系都有极大元 % 证明： 用反证法， 假设存在由 2 的理想组成
定理 ’（ ：? !， !"#$ 引理） , A 设为一个非空偏 序集，若 ! 的每个链在 ! 中有上界， 则 ! 有极大 元% 定理 *（ !"#$ 引理的另一种形式 ） 设 ! 为非空 集族， 其每一成员为集合， 按包含关系 ? !B : A 构 成偏序集， 若 ! 的每个链的成员的并仍为 ! 的成 员， 则 ! 有极大元 % 定理 , （ 选择公理） 设 * 为由非空集合构成 的非空集族，* & F ( ) ; ) ’ + 指标集 G B * * " 且 每个 ( ) * " ， 则 存 在 * 上 一 个 函 数 ,- * & 使 ,? ( A ’ ( ， 8 )’ + 称 <(，
用
!"#$ 引 理 证 明 代 数 问 题
山 ’ 张 弓 文 ，邵
全*
? ’% 沈阳大学 基础部，辽宁 沈阳 ’’--CC； *% 沈阳工业大学 理学院，辽宁 沈阳 ’’--*, A
摘
要：在引入 !"#$ 引理及其等价命题的基础上， 分析了用 !"#$ 引理证明代数问题的一般方法， 并
以此方法证明代数问题， 如满足已知条件的集合的存在性和满足条件的任意一个元素都具有某种性 质这类问题 % 关 键 词： !"#$ 引理；链 ；上界；极大元；选择函数 文献标识码： + 中图分类号： & ’()% *
. ’ . 0 0 0
组， 故 !, 也是 ( 中线性无关的向量组， 所以 ! 也 是 ( 中一个线性无关的向量组 ! 由 ! ’ # 有 !" 是在 # 中的一个上界，根据 线性无 "#$% 引理， # 有一个极大元 0 ! 下面证明： 关的向量组 0 是 ( 的基 ! 假设 0 不是 ( 的基， 于是= 1 ’ (/ 1 不能由 0 中任何有限个向量线性表示， 则 0< )1* 是线 性无关的向量组，这与 0 为 # 极大元矛盾 % 所 以 0 是 ( 的基 ! 问题 .：设 2 是交换幺环， )’ 2/ )- *0 , 8 则至少存在一个素理想 $ 不含 ) 的任何 -’ 3 - ， 4 方幂 ) , 8 4’ 3 - ! 证明：构造集合 # ( ) ! 5 2 ; ! ? ) )- ; -’ 3 * ( ! * / #* ! 因 , 0 - ’ #，# 在理想的包含关系 下构成偏序集 ! 设 " ( ) !) ; )’ * * 为 # 的任一 个链， 下面证明： ! + < ! ) ’ #!
) ) ) ) ’ +
, 为 * 上的一个
选择函数 % 即存在着某种规律使从每个 ( ) ? ) ’ + A 中可同时挑出一个元素 % 定理 C（ 良序定理） 每个集合都存在一个良序 % !"#$ 引理、选择公理、良序定理三个命题两 两等价，其中任一个命题作为公理都可以推出其 它两个命题 %
,
用 !"#$ 引理证明问题的一般思路
) ’ +
收稿日期：*--’ H -E H *K 作者简介：张 弓文 ? ’J)K H A ， 女， 黑龙江佳木斯人， 沈阳大学讲师， 硕士生 %
山
’.0
沈 阳 工 业 大 学 学 报
第 百度文库3 卷
则 ! 为 " 在 # 中的一个上界 ! 由 "#$% 引理， # 有一个极大元 $% 接下来要证 $ 为满足已知条件 的集合， 一般用反证法： 假设 $ 不是， 则推出与 $ 为 # 极大元相矛盾的结果 ! 由于选择公理与 "#$% 引理等价， 一些代数问 题，如证明满足条件的任意一个元素都具有某种 性质 ! 若对任意性很难直接证明， 可用反证法： 假 设存在不满足要求的一个非空集合 # ，构造由 # 的非空集合构成的非空集族 "， 则由选择公理， 存 在 " 上的一个选择函数 &’ " & # ，再用选择函数 构造出与已 知条件矛盾的结果 ! 于是假设不成 立， 任意性得证 !
对于某些代数问题，如证明满足已知条件的
集合的存在性， 很难用直接的方法找到符合条件 的集合 % 此时， 可考虑是否可以用 !"#$ 引理， 先 构造出符合某些条件的非空集合构 成的非空集 族 !. 任取 ! 的一个链 * D F ( ) ; )’ + G ，欲证明 * 在 ! 中有一个上界，一般证明 ( & < ( ) ’ !，
) ’ *
先证 ! 5 2’ 8 1/ 6’ !/ = "/ #’ * + 使 1 ’ ! " / 6’ ! #+ 不妨设 !" > !#+ 则 1 7 6’ ! #， 故 17 6 ’ ! #! 8 8 ’ 2/ 81 ’ ! " > ! ，所以 ! 5 2% 再证 ! ? 9 ) - ; -’ 3 : + !： 假设= -’ 3/ )- ’ !+ 则 =
第 *, 卷 增 刊 * - - ’ 年 ’’ 月 !!!!!!!" " ! 数学 ! " "!! !!!!!
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文章编号： ’--- H ’)C) ? *--’ A I’ H -’’J H -,
个线性无关的向量组， 即 ! ’ #! 设 !, ( ) )’ + ). + 5 + )- * 是 ! 的任一非空有限 子集， 对 8 )’ ’ !/+ = ) .’ */ ). ’! ) + 由于 " 是一 个链， 存在某个 )0 ’ * 使! ) / ! ) / 5 / ! ) 都包含在 ! ) 内，故 !,> ! ) ! 因 !) 是 ( 中线性无关的向量
’
基本概念
*
!"#$ 引理及其等价命题
定义 ’： 给定 集 合 ! 和 ! 上 的一 个 关系 “ ,” ， 若对于任何的 "# $# % ’ ! 满足： ?’） ", "@ ?*） 若 " , $# $ , "# 则 " & $ ； ?,） 若 " , $# $ , %# 则 " , % % 则称 “ 是一个偏序， ? !， ,” , A 是一个偏序集 % 定义 * ： 给定偏序集 ? ! ， 对于 8 "# $ ’ , A， ! B 若 " , $ 或 $ , " 至少有一个成立， 则称 " 与 $ 可比较 % 当 " , $ 且 " * $ 时， 记作 " ’ $ % 定义 ,： 给定偏序集 ? ! B , A ，( 为 ! 的一个 子集， 若 ( 中任何两个元素都可以比较， 则称 ( 为 ! 的一个链 % 定义 C： 给定偏序集 ? !B , A ， 对于元素 !’ ! ，若不存在 " ’ ! 使 " ’ ! （ ! ’ "） ，即若 !, " 9 " D !（ " , ! 9 " & !） ，则称 ! 为 ! 的一个 极大元 （ 极小元 ） % 定义 (：设 ( 为偏序集 3 的一个子集，对于 元素 ! ’ ! ， 若对 8 " ’ (# " , ) （ ， 则称 ) ) , "） （ ） 为集合 ( 的一个上界 下界 % 定义 )： 设 ( 为偏序集 ! 的一个子集， 若 ( （ ） 有一个上界 下界 )’ ( ， 则称 ) 为集合 ( 的一 （ ） 个最大元 最小元 % 定义 E： 集合 ! 上有一个偏序 “ ,” ， 若对 ! “ ” 的每个非空子集有最小元， 则称 , 为良序，! 为良序集合 %
增刊
山 张弓 文 等 Y 用 29B> 引理证明代数问题
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的 非空集合 ! 没有 极大元 " 令 # $ ! ! 的一 切 非空子族 " ， 则 #* ! ， 由选择公理， 存在选择函 数 % & # & !" 下面用选择函数构造理想升链： 取 !# $ !% ’& $ % ’ !# ( ， 则 ’& ’ !# ) 令 !& $ ! ! 中真包含 ’& 的一切理想 " ， 则 !& * ! ： 否则 ’& 为 ! 的极大元， 与假设矛盾 ) 且 !& 没有极大元： 假设 !& 有极大元 () 8 *’ !，若 (: * ，则 ’& > ( > *% ’& * ( ， 从而 *’ !& " 由于 ( 为 !& 极大元， 故 *$ 于是 ( 是 ! 的一个极大元， 这与假设矛盾 ) (， ’ ( 取 ’* $ % !& ， 则 ’* ’ !& 即 ’& > ’* % ’& * ’* ) 令 !* $ ! !& 中真包含 ’* 的一切理想 " ) 再取 ’+ $ % ’ !* ( ， 则 ’+ ’ !& 即 ’* > ’+ ) ’* * ’+ 如此可以递
&
用 "#$% 引理证明代数问题的例子
问题 ’： 证明数域上的向量空间的基存在 ! 证明： 令 # ( ) ( 中一切线性无关的向量组 * ， 则 #* !+ , # + : - 是偏序集， 设 " ( ) !) ; )’ * * 为 # 的任一个链， 下面证明：! + < ! ) 也是 ( 中一
) ’ *