中考数学压轴题精选(几何综合题)

中考数学压轴题(几何综合题）

1、如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝6厘米，D是BC的中点．点E从A 出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1厘米/秒的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值；

（2）当a＝1

2

时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；

（3）当a＝2时，是否存在某个时间，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；

若不存在，请说明理由．

解：（1）∵t＝2，∴CF＝2厘米，AE＝2a厘米，

∴EC＝(4－2a ) 厘米．

∵△ECF∽△BCA．∴EC CF CB AC

=

∴422

64

a

-

=．∴

1

2

a=．

（2）由题意，AE＝1

2

t厘米，CD＝3厘米，CF＝t厘米．

∵EG∥CD，∴△AEG∽△ACD．∴EG AE

CD AC

=，

1

2

34

t

EG

=．∴EG＝

3

8

t．

∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，∴EG＝DF．

当0≤t＜3时，3

3

8

t t

=-，

24

11

t=．

当3＜t≤6时，3

3

8

t t=-，

24

5

t=．

综上

24

11

t=或

24

5

（3）由题意，AE＝2t厘米，CF＝t厘米，可得：△AEG∽△ACD

AG＝5

2

t厘米，EG＝

3

2

t，DF＝3－t厘米，DG＝5－

5

2

t（厘米）．

G

D B

A

C F

E

（第27题）

D B

A

C

备用图

图1

若∠GFD ＝90°，则EG ＝CF ，3

2t ＝t ．∴t ＝0，舍去．

若∠FGD ＝90°，则△ACD ∽△FGD ．∴

AD FD CD GD =

，535352

t t -=-．∴t ＝3219

． 综上：t ＝

32

19

，△DFG 是直角三角形． 2、如图，矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝10，点E 为AD 上一点，且AE ＝AB ，点F 从点E 出发，向终点D 运动，速度为1cm/s ，以BF 为斜边在BF 上方作等腰直角△BFG ，以BG ，BF 为邻边作□BFHG ，连接AG ，设点F 的运动时间为t 秒．

（1）试说明：△ABG ∽△EBF ；

（2）当点H 落在直线CD 上时，求t 的值；

（3）点F 从E 运动到D 的过程中，直接写出HC 的最小值．

备用图 解：（1）根据SAS 证明△ABG ∽△EBF ； （2）作GI ⊥AD 于点I ，HJ ⊥AD 于点J ，

显然EF ＝t ， 由（1）之AG

EF

，且∠BAG ＝∠BEF ＝135°，从而∠GAE ＝45°， 则AI ＝GI ＝

12

t ， 由△GIF ≌△FJH ，得GI ＝FJ ＝12

t ， 则AJ ＝AE ＋EF ＋FJ ＝2＋t ＋

12t ＝2＋32

t ， 当点H 在直线CD 上时，AJ ＝AD ＝10，求得t ＝16

3

； （3）HC

的最小值为．

3、如图，△ABC 中，⊙O 经过A 、B 两点，且交AC 于点D ，连接BD ，∠DBC ＝∠BAC ． （1）证明BC 与⊙O 相切；

（2）若⊙O 的半径为6，∠BAC ＝30°，求图中阴影部分的面积．

证明：（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．∵BE是⊙O的直径，

∴∠BDE＝90°，

∴∠EBD+∠E＝90°，

∵∠DBC＝∠DAB，∠DAB＝∠E，

∴∠EBD+∠DBC＝90°，

即OB⊥BC，

又∵点B在⊙O上，

∴BC是⊙O的切线；

（2）连接OD，

∵∠BOD＝2∠A＝60°，OB＝OD，

∴△BOD是边长为6的等边三角形，

∴S

△BOD

＝×62＝9，

∵S

扇形DOB

＝＝6π，

∴S

阴影＝S

扇形DOB

﹣S

△BOD

＝6π﹣9．

4、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF＝90°．求证：BE＝AF；

（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°．

①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN＝AM；

②当点M在点A，D之间，且∠AMN＝30°时，已知AB＝2，直接写出线段AM的长．

解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝45°，

∵AD⊥BC，

∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝45°，

∴∠CAD＝∠B，AD＝BD，

∵∠EDF＝∠ADC＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE＝AF；

（2）①如图1，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，

∴∠AMP＝90°，

∵∠PAM＝45°，

∴∠P＝∠PAM＝45°，

∴AM＝PM，

∵∠BMN＝∠AMP＝90°，

∴∠BMP＝∠AMN，

∵∠DAC＝∠P＝45°，

∴△AMN≌△PMB（ASA），

∴AN＝PB，