中心极限定理典型习题
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
习题五
习题五 大数定律与中心极限定理一、填空题1．设随机变量~[0,1]X U ，由切比雪夫不等式可得(12P X -≥≤ 0.25 ； 2．设()1,()4,E X D X ==则由契比雪夫不等式有(57)P X -<<=98； 3．设12,,...,,...n X X X 是相互独立的随机变量序列，且2(),()0i i E X D X μσ==≠(1,2,...)i =，则对10,lim ()ni n i P X n εμε→∞=∀>-≥=∑ 0 ；4．设随机变量,X Y ，已知()2,()2,()1,()4,0.5,E X E Y D X D Y ρ=-====- 则由契比雪夫不等式有(6)P X Y +≥≤ 1/12 ；5．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是7300，标准差是700。
利用契比雪夫不等式估计每毫升血液中的白细胞数在5200至9400之间的概率p =98； 6．设n ξ是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，p 为A 在每次试验中出现的概率，则对0,lim ()nn P p nξεε→∞>-≥= 0 ；7．假设某一年龄女童的平均身高为130厘米，标准差是8厘米。
现在从该年 龄段的女童中随机地选取五名儿童测其身高，估计它们的平均身高在120至140 厘米的概率为259改； 8．设12,,...,,...n X X X 是相互独立的随机变量序列，且都在[-1,1]服从均匀分布，则1lim (ni n i P X →∞=≤=∑0.5改；二、选择题1．设随机变量X 的方差()D X 存在，0a >，则()(1)X E X P a->≤（ C ）A ．()D X B. 1 C.2()D X aD. 2()a D X . 2. 设(),()E X D X 都存在,则对于任意实数,()a b a b >,可以用契比雪夫不等式估计出概率( D ).A ．()P a X b << B. (())P a X E X b <-<C. ()P a X a <<D. ()P X b a ≥-3. 设随机变量2~(,)X N μσ，随σ的增大()P X μσ-<（ C ）A ．单调增大 B. 单调减小 C. 保持不变 D. 增减不变. 4．设随机变量X 的方差存在，并且满足不等式2(()3)9P X E X -≥≤，则一定有（ D ）A ．()2D X = B. 7(()3)9P X E X -<<C. ()2D X ≠D. 7(()3)9P X E X -<≥5．设X 为连续型随机变量，且方差存在，则对任意常数C 和0ε>，必有（ C ）A ．()E X CP X C εε--≥=B. ()E X CP X C εε--≥≥C. ()E X CP X C εε--≥≤D. 2()E X CP X C εε--≥≤6. 已知129,,...,X X X 是独立同分布的随机变量序列，且()1,()1,i i E X D X ==则对0,ε∀>下列式子成立的是（ B 改 ）A ．921(1)1i i P X εε=-<≥-∑ B ．9211(1)19i i P X εε-=-<≥-∑C ．921(1)1i i P X εε-=-<≥-∑ D ．9211(1)19i i P X εε-=-<≥-∑D 改291911)191(-=-≥<-∑εεi i X P7．已知121000,,...,X X X 是独立同分布的随机变量，且~(1,)(1,...,1000)i X B p i =则下列不正确的是（ C ）A ．1000111000i i X p =≈∑ B ．10001~(1000,)i i X B p =∑ C.10001()()()i i P a X b b a φφ=<<≈-∑D．10001()i i P a X b φφ=<<≈-∑8．设 12,,...,n X X X 相互独立，12,...,n n S X X X =+++，则根据列维——林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，n S 近似服从正态分布，只要12,,...,n X X X （ B ）A ．有相同的数学期望 B. 有相同分布C. 服从同一指数分布D. 服从同一离散型分布.三、解答题1．每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为1.5 ，求在100次 射击中有180到达220发炮弹命中目标的概率． 解：设X 为在100次射击中炮弹命中目标的次数 由林德伯格—列维定理知)1,0(~5.11002100N X ⨯⨯-)5.110021002205.110021005.11002100180()220180(⨯⨯-<⨯⨯-<⨯⨯-=<<X P X P )63.15.1100210063.1(<⨯⨯-<-=X P 1)63.1(2)63.1()63.1(-Φ=-Φ-Φ=0.89682．由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件 能正常工作的概率为90% ．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件正常工作，求整个系统能正常运行的概率． 解：设X 为正常工作的部件数 由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知)85(≥X P )1.09.01009.0100851.09.01009.0100(⨯⨯⨯-≥⨯⨯⨯-=X P -=1)1.09.01009.0100851.09.01009.0100(⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-X P )35(1-Φ-=)35(Φ==0.95153．设有 30 个同类型的某电子器件1230,,...,X X X ，若(1,...,30)i X i =的寿命服从参数为0.1λ=的指数分布，令T 为 30 个器件正常使用的总计时间，求(350)P T >解：由林德伯格—列维定理知(350)P T >=)10030300350100301030(⨯->⨯⨯-T P =)30/53010300(1≤--T P =)30/5(1Φ-=0.18144．在天平上重复称量一重为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)N μ，若以n X 表示n 次称量结果的平均值，问n 至少取多大，使得(0.1)0.5n P X μ-≥<．解：由林德伯格—列维定理知(0.1)0.5n P X μ-≥< 5.0)/2.01.0/2.0(___<≥-nnX P n μ5.0)/2.01.0/2.0(1___<≤--nnX P n μ[])/2.01.0()/2.01.0(1nn -Φ-Φ-=)/21(22n Φ-5.0< 2≥n5．某单位设置一电话总机，共有 200 门电话分机，每门电话分机有 5%的时间要用外线通话，假设各门分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机至少要配置多少条外线，才能以90%的概率保证每门分机要使用外线时，有外线可供使用． 解：用X 表示200个分机中同时需要使用外线的台数。
中心极限定理习题课
则 k 服从参数为 n 100 , p 0 . 05 的二项 ,
100 99 98 2 0 .95 0 .05 2
由泊松定理知,
1 P { k 3 } 故 P { k 3 }
Y 即 ~ 2(2) 8
故 1 C 8
X ,X ,X ,X 是 N0,2 3） 设 来 自 正 态 总 体 Y X X X X 的 样 本 ， 令 则 1 C CY ~ 2. 当 时
2 1 2 3 4
2 2 1 2 3 4
2
二 、 选 择 题
1） 设 未知， X ,X ,X 为样本，则下列选项中不是 统计量的是 C A） X X X B ） max X , X , X
则随机变量之和的标准化变量 n n n n X k E X k X k k k 1 k 1 k 1 Z n k 1 Bn n D X k k 1 的分布函数 F ( x ) 对于任意 x 满足 n
n n X k k k 1 k 1 lim F (x )lim P x n n n B n t2 x 1 2 e d t ( x ). 2 π
X X P 1.96 1 .96 2 P 10 10
2 2 ( 1 . 96 ) 0 . 05 ,
设 k 为 100 次独立测量中事件 { X 19 . 6 } 出现 的次数 ,
1 P { k 3 } 故 P { k 3 }
独立同分布的中心极限定理
设随机变量 X ,X , ,X , 相互独立 ,服从 1 2 n 同一分布 ,且具有数学期望 和方差： E (X , k)
沪教版五年级上册 中心极限定理的计算提优练习卷
沪教版五年级上册中心极限定理的计算
提优练习卷
沪教版五年级上册中心极限定理的计算提优练卷
题目一
已知函数 $y = \frac{1}{x}$，求函数 $y = \frac{1}{x}$ 在区间$[1, 3]$ 上的定积分值。
解答一
根据定积分的定义，区间 $[1, 3]$ 上的定积分可以表示为 $I = \int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx$。
利用定积分的性质，我们可以将上述定积分转化为函数的原函数求值：$I = [\ln|x|]_{1}^{3} = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3)$。
所以，函数 $y = \frac{1}{x}$ 在区间 $[1, 3]$ 上的定积分值为$\ln(3)$。
题目二
已知函数 $y = \sqrt{x}$，求函数 $y = \sqrt{x}$ 在区间 $[0, 4]$ 上的定积分值。
解答二
根据定积分的定义，区间 $[0, 4]$ 上的定积分可以表示为 $I = \int_{0}^{4} \sqrt{x} dx$。
利用定积分的性质，我们可以将上述定积分转化为函数的原函数求值：$I = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} = \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} =
\frac{16}{3}$。
所以，函数 $y = \sqrt{x}$ 在区间 $[0, 4]$ 上的定积分值为$\frac{16}{3}$。
以上是本文档中心极限定理的计算提优练习卷的部分题目和解答。
如有需要，请进一步补充练习题目。
大数定律与中心极限定理
习题四 大数定律与中心极限定理一、填空题1．设随机变量，由切比雪夫不等式可得~[0,1X U]1(2P X −≥≤ 。
2．设1,4EX DX ==，则由契比雪夫不等式有(57)P X −<< 。
3．设是相互独立的随机变量序列，且1,,,n X X ""2,0i i EX DX µσ==≠ (1,2,)i =",则对0,ε∀> 1lim ()ni n i P X n µε→∞=−≥∑= 。
4．设随机变量和Y ，已知X 2,2,1,4,0.5EX EY DX DY ρ=−=====−， 则由契比雪夫不等式有(6P X Y +≥≤)5．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是7300，标准差是700。
利用契比雪夫不等式估计每毫升血液中的白细胞数在5200至9400之间的概率p 。
6．设n ξ是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，p 为A 在每次试验中出现 的概率，则对0ε>，有lim ()n n P p n ηε→∞−≥= 。
7．假设某一年龄女童的平均身高为130厘米，标准差是8厘米。
现在从该年 龄段的女童中随机地选取五名儿童测其身高，估计它们的平均身高在120至140 厘米的概率为 。
8．设是相互独立的随机变量序列，且都在[-1,1]服从均匀分 1,,,n X X ""布，则1lim (n i n i P X →∞=≤∑= 。
二、选择题1．设随机变量的方差X DX 存在，0α>，则1X EX P α⎛−⎞>≤⎜⎟⎝⎠（ ）。
A．DX ； B. 1; C. 2DXα; D. 2DX α. 2. 设,EX DX 都存在,则对于任意实数,可以用契比雪夫不等式估计出概率( ).,()a b a b > A．(P a X b )<<； B. ()P a X EX b <−<;C. (P a X a )<<;D. ()P X EX b a −≥−.3. 设随机变量2~(,X N )µσ，随σ的增大，()P X µσ−<（ ）。
概率论及数理统计教程习题(第四章大数定律及中心极限定理)
习题10 (切比雪夫不等式)•填空题1.设随机变量X的数学期望E(X) ,方差D(X) 2,则由切比雪夫不等式，得P(X 3 )2.随机掷6枚骰子，用X表示6枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得P(15 X 27)3.若二维随机变量(X,Y)满足，E(X) 2，E(Y) 2，D(X) 1，D(Y) 4，R(X,Y) 0.5，则由切比雪夫不等式，得P(X 丫 6)4.设X1, X2， ,X n，是相互独立、同分布的随机变量序列，且E(X i) 0, D(X i) 一致有n界(i 1,2, ,n,)，则lim P( X i n) .ni 1二•选择题1.若随机变量X的数学期望与方差都存在，对 a b，在以下概率中，( )可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。
①P(a X b)；②P(a X E(X)b)；③P( a X a)；④P(X E(X)b a).12.随机变量X服从指数分布e()，用切比雪夫不等式估计P(X | -) ( )①；②2③4；④-.)1.lim P(nX i 2三•解答题1.已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X 是一个随机变量，若 E(X) 7300,D(X ) 7002，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。
2.如果X-X 2, ,X n 是相互独立、同分布的随机变量序列，E(X i )3.设X i ，X 2， ,X n ，是相互独立、同分布的随机变量序列,E(X i 4)存在，且一致有界(i 1,2, ,n,).对任意实数 0，证明D(X i )8 (i 1,2, ,n) •记 XX i ， 由切比雪夫不等式估计概率p(X 4).E(X i ) 0，D(X i )•填空题1.若随机变量X 服从正态分布 N(2,4)，则P(X 3)P(0 X 4) ________________ ，P(X 1)5.随机变量X 1,X 2相互独立，且都服从标准正态分布，记丫 2 3X 1 4X 2，则丫概率密度f Y (y)_________________ . ________________•选择题6.若随机变量 X 1,X 2 ,,X n 相互独立，且X i ~ N(,2) (i 1 n1,2, ,n),则 D(— X i )n i 1( )①2 ；②n2; ③2/n ；④2/n 2.7.若随机变量 X,Y 相互独立, 且都服从正态分布N(:,2).设X Y ,X Y ，则cov(,)( ).①2 2 ;②1 ;③ 1;④0.X Y8.若随机变量 X,Y 满足 X ~ N(1, 32) , Y ~ N(0, 42) , R(X,Y) 1/2，则 D( ) 3 2( ).④2.11 (特征函数)2.若随机变量X ~ N (2)，且 P(X c) P(X c)，则 c3.若随机变量X ~ N(2, 2)，且P(2 X4) 0.3，则 P(X 0)4.若X 服从正态分布 N ( 2)，记 P( k X当 0.9时，k，当 0.95 时，k•解答题1.某种电池的寿命X (单位：h )服从正态分布N(300, 352) . (1)求寿命大于250小时的概率，(2)求x，使寿命在300 x之间的概率不小于092.测量某一目标的距离时，随机误差X ~ N(0, 402)(单位：m)(1)求P(X 30)，(2)若作三次独立测量，求至少有一次测量误差的绝对值不超过30米的概率。
大数定律及中心极限定理习题及答案
第 5 章 大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量μξ=)(E ，方差2σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 91 . 2.设nξξξ,,, 21是n 个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑==ni in1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n211-. 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =,1(1,2,,9)i DX i ==, 令91i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式直接可得{}≥<-ε9X P 291ε-. 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有22{||}P X σμεε-≥≤, 或者22{||}1.P X σμεε-<≥-由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以999111()()19,i i i i i E X E X E X μ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑9992111()()19.i i i i i D X D X D X σ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑4. 设随机变量X 满足：2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 116≤. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则对任意的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤=5、设随机变量2σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 43.6、设n ξξξ,,, 21为相互独立的随机变量序列，且),,( 21=i i ξ服从参数为λ的泊松分布，则≤-∑=∞→}{lim x n n P ni in λλξ1∞--xt dt e22 .7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则≈≤<}{b a P n η⎰-----)1()1(2221p np np b p np np a t dt e π.8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<=, 那么, 对于任一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞-<= 0 .9. 设12,,,n X X X 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指{}=<->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}=≥->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 0 。
中心极限定理应用[五篇范例]
![中心极限定理应用[五篇范例]](https://img.taocdn.com/s3/m/2aa288a0dc88d0d233d4b14e852458fb770b382f.png)
中心极限定理应用[五篇范例]第一篇：中心极限定理应用中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。
【关键词】：中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。
随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。
极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。
中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。
因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。
二、定理及应用1、定理一（林德贝格—勒维定理）若ξk1，=a,ξ2，…是一列独立同分布的随机变量，且EξDξk=kσ⎰x2(σ2>0),k=1,2,…则有limp(k=1n→∞∑ξn-na≤x)=σnn12π-∞e-t22dt。
当n充分大时，∑ξk=1k-naσn~N（0,1），k=1∑ξnk~N（na,nσ）22、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理）在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。
, 错误！未μ找到引用源。
为n次试验中事件A出现的次数,则limp(n→∞n-npnpq≤x)=⎰2π1x-∞e-t22dt其中q=1-p。
这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。
同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。
大数定律与中心极限定理定义与例题
则称随机变量列 { Xn } 依概率收敛到 X ,记作 Xn P X
或
P
lim
n
Xn
X.
二、大数定律
伯努利大数定律
在 n 重伯努利试验中事件 A 发生的频率n / n 依概 率收敛于 A 发生的概率 p, 即对于任意 0, 有
lim P n
n
n
p
0.
设 X1, X2 , , Xn 独立同服从0-1分布 B(1, p), 则对
Yn X1 X 2 X n E(Y100 ) 100 3.5 350, D(Y100 ) 100 1.712
P{Y100
400}
P
Y100 350 17.1
400 350
17.1
1 0(2.9240) 1 0.9982 0.0018.
例2 用四舍五入法获得用3位小数表示的近似值时,
X2 i
依概率收敛于
2 2
解：
E
(
X
2 i
)
D( Xi
)
E(Xi ) 2 2 2
(i 1,2,)
且X
2 1
,
X
2 2
,,
X
2 n
,相互独立
故
1
n
n i 1
X
2 i
P 2
2
3)设X1, X 2 ,是 相 互 独 立 的 随 机 变 量序 列,
且 它 们 的 期 望 均 为 零, 方 差 为 2 ,则 当n足 够
12
12
P{V 20 5 0.387} 1 P{ V 100 0.387}
100 20
100 20
1
12
0.387
1
(完整word版)第五章大数定律与中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理一、填空题1．设2(),()E X D X μσ==,则由切比雪夫不等式有{||3}P X μσ-≥≤ 1/9 ； 2．设随机变量12,,,n X X X 相互独立同分布，且()i E X μ=，()8i D X =，(1,2,,)i n =， 则由切比雪夫不等式有{}||P X με-≥≤28n ε 。
并有估计{}||4P X μ-<≥ 112n-； 3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且都服从参数为 的泊松分布，则 1lim n i i n X n P x n λλ=→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑ ()x Φ ；4．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和3，方差分别为1和4,而相关系数为0.5-，则根据切比雪夫不等式，{||6}P X Y +≥≤；解：因为 ()()()220E X Y E X E Y +=+=-+=,cov(.)()()0.5141XY X Y D X D Y ρ==-=-， ()()()2cov(.)142(1)3D X Y D X D Y X Y +=++=++⨯-=，故由切比雪夫不等式,231{||6}{|()0|6}612P X Y P X Y +≥=+-≥≤=. 5．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，都服从参数为2的指数分布，则n →∞时，211n n i i Y X n ==∑依概率收敛于 。
解:因为 11(),(),(1,2,,)24i i E X D X i n ===，所以 22111()()()442i i i E X D X E X =+=+=,故由辛钦大数定律，对0ε∀>,有{}2111lim ()lim 12n n n i n n i P Y E Y P X n εε→∞→∞=⎧⎫-<=-<=⎨⎬⎩⎭∑,即 211n n i i Y X n ==∑依概率收敛于21()2i E X =。
大数定律与中心极限定理 定义与例题
三、典型例题
一加法器同时收到 例1 20 个噪声电压 Vk ( k 1 , 2 , 20 ), 设它们是相互独立的随 且都在区间 ( 0 ,10 ) 上服从均匀分布 机变量 , ,记 V
k 1
20
Vk ,
求 P { V 105 } 的近似值 .
解 E (V k ) 5 ,
解：对每台车床的观察作为一次试验，
每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为0.6，共进行200次试验. 用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X~B(200,0.6), 设应供应N千瓦电力,现在的问题是：求满足 P(X≤N)≥0.999 的最小的N.
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np np(1 p)
i1
n
Xi
n
1
n
EX i
i1
0.
切比雪夫不等式
如 果 随 机 变 量 X的 数 学 期 望 EX 和 方 差 DX 存 在 , 则 对于任一正数, 都有 P
X EX
DX
2
证 明 ： 对 于 任 给 正 数 , 由 切 比 雪 夫 不 等 式 ,有 1 D n
i1
n
Xi
n
1
n
EX i
i1
0.
辛钦大数定律
设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 分 布 , 且 数 学 期 望 存 在 ,则 对 于 任 意 0, 有 1 li m P n n
i1
n
X i 0.
例1 判 断 下 列 说 法 的 对 错 , 并 简 述 理 由 : (1 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 具 有 密 度 f ( x ), 则 序 列 X 1 , X 2 , , X n , 满 足 辛 钦 大 数 定 律 . ( 2 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 , 则 X 1 , 2 X 2 , , n X n , 满 足 切 比 雪 夫 大 数 定 律 .
中心极限定理例子
中心极限定理例子
以下是 6 条关于中心极限定理的例子：
1. 你想想看啊，比如说我们学校的每次考试成绩。
一个班有那么多同学，每个人的学习情况都不一样吧，那最终的班级平均分是不是就会呈现出一种比较稳定的状态呀？这就像中心极限定理在起作用呀，那么多各不相同的成绩加在一起，就会趋近于一个固定的趋势呢！
2. 嘿，你再想想彩票的中奖号码！每次开奖那可都是随机的呀，但如果我们观察很多很多期的开奖结果，好像也会有某种规律出现呢，难道这不是中心极限定理在冥冥之中发挥作用吗？
3. 咱就说面包店每天卖出去的面包种类和数量吧。
每天顾客的偏好都不一样呀，有时这种面包卖得多，有时那种卖得多，但是时间一长，整体的销售情况就会比较稳定呢，这不就很神奇嘛，这不就是中心极限定理的体现嘛！
4. 你看那农贸市场里的各种蔬菜水果价格，每天都有波动呢，但长期来看它不会一直疯狂涨或疯狂跌呀，总会在一个范围内波动，这不就像是中心极限定理在掌控着嘛，多有意思啊！
5. 咱家里每个月的水电费也很能说明问题呀！有时候用得多些，有时候用得少些，但长年累月下来，不就有个大概的平均值嘛，这不就是中心极限定理在悄悄发挥作用嘛，你说对不对呀？
6. 想想城市里每天的车流量，那真是变化多端啊！但总体上看，还是能发现一些规律的呢。
难道不是中心极限定理在背后让这些看似杂乱无章的车流量变得有迹可循吗？
结论：中心极限定理真的是无处不在啊，它让我们在看似混乱的世界中找到了一些稳定和规律。
中心极限定理典型习题
400
而 X Xk , 根据独立同分布的中心极限定理，
k 1
400
随机变量
Xk
k 1
4001.1
X
4001.1
400 0.19
400 0.19
近似服从正态分布 N (0, 1),
10
于是 P{ X 450}
P
X
400 1.1 400 0.19
450 400 1.1
400
0.19
1
P
X
4001.1 400 0.19
1.147
1 (1.147) 0.1357;
11
(2)以Y 记有一名家长来参加会议的学生数,
则 Y ~ b(400, 0.8), 由德莫佛－拉普拉斯定理知,
P{Y 340}
P
Y 400 0.8 400 0.8 0.2
三、典型例题
例1 系统由100个相互独立起作用的部件组成，每
个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有
85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。
解：设X是损坏的部件数，则 X~B(100,0.1)。
则整个系统能正常工作当且仅当 X 15.
由德莫佛-拉普拉斯定理有
lim
P{
n
np
x}
(x)
P{V 105} P
V - 20 5
105 - 20 5
20 102 / 12 20 102 / 12
P
V - 100
中心极限定理练习题
中心极限定理练习题中心极限定理是概率统计中非常重要的一条理论，能够帮助我们更好地理解和分析随机现象。
本文将给出一些中心极限定理的练习题，供读者参考和练习。
1. 某市的公交车到达某一站点的时间服从均值为5分钟、标准差为2分钟的正态分布。
现在有100辆公交车陆续到达该站点，请问这100辆公交车的总等候时间的均值和标准差分别是多少？2. 某餐厅的顾客消费金额服从均值为50元、标准差为10元的正态分布。
假设今天有100位顾客光顾该餐厅用餐，请问这100位顾客总消费金额的均值和标准差分别是多少？3. 某工厂生产的产品长度服从均值为30厘米、标准差为2厘米的正态分布。
现在从该工厂随机抽取了100个产品进行质检，请问这100个产品的平均长度和标准差分别是多少？4. 从某超市购买的苹果重量服从均值为200克、标准差为20克的正态分布。
现在随机抽取了100个苹果，请问这100个苹果的平均重量和标准差分别是多少？5. 某公司员工的月工资服从均值为5000元、标准差为1000元的正态分布。
现在从该公司随机抽取了100名员工，请问这100名员工的平均工资和标准差分别是多少？以上是一些关于中心极限定理的练习题，通过计算均值和标准差，可以更好地理解中心极限定理的应用。
在实际应用中，中心极限定理在样本量大且满足一定条件的情况下，能够帮助我们推断总体的统计特征。
请读者根据题目给出的条件，利用中心极限定理的公式进行计算，并得出相应的结果。
在计算过程中，可以使用统计软件或计算器来帮助完成。
通过练习中心极限定理的应用，可以加深对该定理的理解，并帮助我们在实际问题中更好地应用和分析数据。
掌握中心极限定理的应用，对于数据分析和统计推断都非常重要。
希望以上练习题能够对读者有所帮助，加深对中心极限定理的理解。
通过不断练习和应用，我们能够更好地掌握该定理，并在实际问题中灵活运用。
大数定律和中心极限定理例题与解析
要点二
详细描述
中心极限定理是指无论随机变量的个体分布是什么，当样 本量足够大时，样本均值的分布近似正态分布。例如，从 一个总体中随机抽取的100个样本的均值应该接近总体的 均值，并且其分布近似正态分布。
主题总结与启示
• 总结词：大数定律和中心极限定理是概率论中的重要概念，它们揭示了随机现 象的规律性，对于理解和预测随机现象具有重要意义。
大数定律和中心极限定理例题与解 析
目 录
• 引言 • 大数定律例题 • 中心极限定理例题 • 解析与总结
01 引言
主题简介
主题概述
大数定律和中心极限定理是概率论中 的重要概念，它们在统计学、金融、 计算机科学等领域有着广泛的应用。
主题背景
大数定律和中心极限定理分别描述了 在大量数据和独立同分布的情况下， 随机变量的分布规律。
假设我们进行大量的抛硬币实验，每次实验的结果只有两种可能：正面朝上或反面 朝上。根据大数定律，当实验次数足够多时，正面朝上的频率趋近于50%，反面朝 上的频率也趋近于50%。
例题二：抽取彩票
总结词
在抽取大量彩票时，中奖概率趋近于预设的中奖率。
详细描述
假设一张彩票的中奖概率为1%，那么在抽取100张彩票时，根据大数定律，大 约有1张彩票中奖。随着抽取的彩票数量增加，中奖的彩票数量趋近于预设的中 奖率。
例题二：保险精算
总结词
保险精算是中心极限定理在保险业中的一个重要应用 ，用于计算保险费和赔偿金。
详细描述
保险精算是保险业中一项重要的工作，它涉及到如何 合理地计算保险费和赔偿金。在保险精算中，中心极 限定理常常被用来估计某个事件发生的概率。例如， 一个保险公司可能会根据中心极限定理来估计某个特 定人群在未来一年内发生特定事件的概率，从而制定 相应的保险费和赔偿金方案。通过中心极限定理，保 险公司可以更准确地预测风险，从而做出更合理的决 策。
徐静老师提供-第四章 大数定律与中心极限定理试题
大数定律与中心极限定理试题（一）答案 (King 注:此为徐静老师提供,供大家参考)一. 填空题（每小题3分，共15分）1，1/2 2, 1/12 3,()x Φ 4, 16__ 5, 21()2i E X = 二. 选择题（每小题3分，共15分）1, C 2, B 3,B 4, B 5, A 三、计算题（每小题10分,共40分）1, 解：设i X 为选择第i 题所得到的分数，由题设，i X 服从分布01,(1,2,,100)3/41/4i X i P⎛⎫= ⎪⎝⎭，另设总得分为X ，则12100X X X X =+++，且175~(100, ), ()25, ()44X B E X D X ==，由德莫弗–拉普拉斯定理{}{}3513511P X P X P >=-≤=-≤===-近似Φ，查正态分布表可得 {}()351 2.1310.98960.0104P X >===-=-=近似Φ.2, 解：（1）X 服从二项分布，参数：100,0.2n p ==，即~(100,0.2)X B ，其概率分布为 100100()0.20.8, 0,1,,100kk k P X k C k -===；（2）()20, ()(1)16E X np D X np p ===-=， 根据德莫弗–拉普拉斯定理{}1420203020201430 1.5 2.54444X X P X P P ----⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭(2.5)( 1.5)(2.5)[1(1.5)]≈--=--ΦΦΦΦ(2.5)(1.5)10.9940.93310.927=+-=+-=ΦΦ3, 解：设),...,2,1(n i X i =是装运的第i 箱的重量(单位:千克),n 是所求箱数.由条件可以把n X X X ,,,21 视为独立同分布随机变量,而n 箱的总重量n n X X X T +++= 21是独立同分布随机变量之和.由条件知5;i EX ==50i ET n ==(单位:千克).根据列维-林德伯格中心极限定理,n T 近似服从正态分布(50,25)N n n .箱数n 决定于条件{5000}0.977(2)n p T P φφ≤=≤≈>=.由此可见2>,从而98.0199n <,即最多可以装98箱. 4, 解：设11ni i X X n ==∑，由题设，11()()0nii E X E X n ===∑，从而{}{}111lim lim 1lim 1lim ()1n n i i n n n n i i P X n P X P X P X E X n →∞→∞→∞→∞==⎧⎫⎧⎫<=<=<=-<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑， 即 {}1lim lim ()1n i n n i P X n P X E X →∞→∞=⎧⎫<≥-<⎨⎬⎩⎭∑，由切比雪夫大数定律，知对10ε=>，有{}1lim lim ()11n i n n i P X n P X E X →∞→∞=⎧⎫<≥-<=⎨⎬⎩⎭∑，1lim n i n i P X n →∞=⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∑=1. 四，证明题（每小题10分,共30分）1，证明：（1）贝努里大数定律 设A n 是n 次独立重复实验中A 发生的次数，在每次实验中A 发生的概率为p ，则0>∀ε，有1}|{|lim =<-∞→εp nn P An . 棣莫弗-拉普拉斯定理 设随机变量),2,1( =n n η服从参数为p n ,的二项分布， 则x ∀有22lim }t xn P x dt -→∞≤=⎰. （2）∑==ni i A X n 1，因为对任意0>ε，有 }|)(1{|lim 1ε≤-∑=∞→p X n P ni i n})1(|)()1(1{|lim 1εp p n p X p np P ni i n -≤--=∑=∞→11))1((2lim =--Φ=∞→εp p n n .2, 证：设}{n X 是独立同分布随机变量序列，共同分布为1=λ的Poisson 分布，故n DX B DX EX nk k nn n ====∑=12,1，由林德贝尔格---勒维中心极限定理知∞→=→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-=<⎰∑∑∞--==n dt eB EX X P n X P t n n k k k nk k ,21210)()(02112π 由Poisson 分布的可加性知∑=nk k X 1服从参数为n 的Poisson 分布，因而nn k k nk k e k n n X P --==∑∑=<101!)(，但)(0!∞→→-n e n n n n ，所以∞→→+<=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑=--=n e n n n X P e k n nk n n k n n k k ,21!)(!10 成立，结论得证. 3, 证明：依题意，n X X X ,,,21 独立同分布知，22221,,,n X X X 独立同分布，由)4,3,2,1(2==k a EX k ，有,)(22a X E i =.,...,2,1,)(2242n i a a X D i =-=,)(2a Z E n =,)(224n a a Z D n -=因此，根据独立同分布的中心极限定理，当n 充分大时，),1,0(~/)(2242N na a a Z n -- 故，).,~2242n a a a N Z n -（大数定律与中心极限定理试题（二）答案一. 填空题（每小题3分，共15分）1，1/9 2, 1/12 3,1 4,112n- 5, 0.9836二. 选择题（每小题3分，共15分）1, D 2, B 3,C 4, A 5, D 三、计算题（每小题10分,共40分）1. 解：设X 为改进后的灯泡的寿命，由题设，2()2250, ()250E X D X ==，又设n 为使检验通过所需抽取的灯泡数，依题意可建立如下不等式 1222000.997nX X X P n +++⎧⎫>≥⎨⎬⎩⎭，由林德贝格—列维中心极限定理知，0.003⎛=<⎝⎭ΦΦ，查表可得如下不等式: 2.755 2.7513.75189n-⇒⨯=⇒≥，即需随机抽取189只灯泡进行寿命检验，测得的平均寿命才能以95%的概率保证超过2200小时.2.解以)400,,2,1(=kXk记第k个学生来参加会议的家长数, 则kX的分布律为15.08.005.021kkpX易知,1.1)(=kXE,19.0)(=kXD,400,,2,1=k而),1,0(~19.04001.140019.04001.14004001NXXkk近似⨯-=⨯-∑=故：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯->⨯-=>19.04001.140045019.04001.1400}450{XPXP⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⨯--=147.119.04001.14001XP.1357.0)147.1(1=Φ-≈(2) 设Y为只有一个孩子的夫妻对数，则Y ~ B (400,0.8)，⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=≤2.08.04008.04003402.08.04008.0400}340{YPYP9938.0)5.2()2.08.04008.0400340(==⨯⨯⨯-≈ΦΦ即只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率为0.9938．3.解记X i为第i天出售的汽车辆数,则36521XXXY+++= 为一年的总销量,由2)()(==iiXVarXE,知.7302365)()(=⨯==YVarYE利用林德贝格一列维中心极限定理,可得(700)1(700)11(1.11)0.8665P Y P Y>=-≤≈-Φ=-Φ-=.这表明：该销售点一年售出700辆以上汽车的概率近似为0.8665.4.解因为 E∑∑+∞=+∞==⋅=22222lg1lg)(kkn kkckkckX ,而222221111lnln ln ln ln2dx d xx x x x∞∞∞==-=⎰⎰由柯西积分判别法知上述级数收敛,故E(nX)存在,所以由辛钦大数定律知{nX}服从大数定律.四，证明题（每小题10分，共30分）1.（1） 设随机变量X 数学期望()E X 和方差()D X 都存在，则对任意给定的正数ε，成立 {}2()()D X P XE X εε-≥≤.证明 只对X 是连续型随机变量情形给予证明. 设X 的密度函数为()f x ，则有{}()P X E X ε-≥()()d x E X f x x ε-≥=⎰22()[()]()d x E X x E X f x x εε-≥-≤⎰221[()]()d x E X f x x ε+∞-∞≤-⎰2()D X ε=.{}()P X E X ε-≥≤=∑≥-εμ||k x kp ∑≥--εμεμ||22)(k x k k p x∑∞=-≤122)(1k k k p x με2()D X ε=.（2）切比雪夫大数定律 设,,,,12X X X n 是相互独立的随机变量序列,其数学期望与方差都存在，且方差一致有界,即存在正数M ,对任意k （1,2,k =），有()k D X M ≤ 则对任意给定的正数ε,恒有1111lim () 1.n n k k n k k P X E X n n ε→∞==-<=⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑∑证明 因为()1111()nnk kk k EX E X nn ===∑∑,()21111()nnkkk k D XD X nn===∑∑,由切比雪夫不等式,有{}12211()11()1nknnk kkk k D XPX E X nnn εε===-<≥-∑∑∑.由于方差一致有界,因此1(),nk k D X nM =≤∑从而得{}211111()1nnkkk k M PXE Xn nnεε==-≤-<≤∑∑.令n →∞,则有{}1111lim ()1nnkkn k k PXE Xnnε→∞==-<=∑∑.2. 证 已知(),μ=n x E 记()2σ=n X Var ,令(),121∑=+=nk k n kX n n Y 则()(),121μμ=+=∑=nk n k n n Y E ()()(),14141421222212222+≤+=+=∑∑==n n k n k n n Y Var nk nk n σσσ 对任意的0>ε,由切比雪夫不等式得()(),0141222→+⋅≤≤≥-n Y Var Y P n n σεεεμ .+∞→n 即μ−→−Pn Y ,结论得证. 3, 证明：依题意，n X X X ,,,21 独立同分布知，22221,,,nX X X 独立同分布，由,2141,212=⇒==i i i EX DX EX 2322044==-∞⎰dx e x EX x i ，有.,...,2,1,45)(2n i X D i ==,2/)(n S E n =,4/5)(n S D n =因此，根据独立同分布的中心极限定理，当n 充分大时，),1,0(~4/52/N n n S n - 故，).45,2~nn N S n （。
大数定律与中心极限定理 定义与例题(精选)共32页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
Байду номын сангаас
大数定律与中心极限定理 定义与例题 （精选）
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
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1 (0.387) 0.348
9
例4 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长 人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名 家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05， 0.8，0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加 会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求 参加会议的家长数 X 超过450的概率; (2) 求有1 名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.
P
29500
np(1
np p)
X np np(1 p)
30500 np(1
np
p)
7
30500 np
np (1 p) 29500 np np (1 p )
1
t2
e 2 dt
2π
30500 np 29500 np
np(1 p) np(1 p)
n 90000, p 1 , 3
解：设X是损坏的部件数，则 X~B(100,0.1)。
则整个系统能正常工作当且仅当 X 15.
由德莫佛-拉普拉斯定理有
lim
P{
n
np
x}
(x)
n
npq
P{X 15} P
X 100 0.1
15 100 0.1
100 0.1 0.9 100 0.1 0.9
15 100 0.1 100 0.1 0.9
5 3
0.952.
5
例2 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪 的冲击, 纵摇角大于 3º的概率为1/3, 若船舶遭受 了90 000次波浪冲击, 问其中有29 500～30 500次 纵摇角大于 3º的概率是多少？
解 将船舶每遭受一次海
浪的冲击看作一次试验,
并假设各次试验是独立的,
在90 000次波浪冲击中纵摇角大于 3º的次数为 X, 则 X 是一个随机变量, 且 X ~ b(90000, 1).
400
而 X Xk , 根据独立同分布的中心极限定理，
k 1
400
随机变量
Xk
k 1
4001.1
Xห้องสมุดไป่ตู้
4001.1
400 0.19
400 0.19
近似服从正态分布 N (0, 1),
11
于是 P{ X 450}
P
X
400 1.1 400 0.19
450 400 1.1
400
0.19
3
6
分布律为
P{ X
k}
90
000
1
k
2
90
000
k
,
k 3 3
所求概率为
k 1,,90000.
P{29500 X 30500}
30500
90000
1
k
2
90000k
.
k29501 k 3 3
直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理
P{29500 X 30500}
20
V Vk
k 1
求 PV 105 的近似值。
解： EVk 5, DVk 102 / 12, (k 1,2,,20),
P{V 105} P
V - 20 5
105 - 20 5
20 102 / 12 20 102 / 12
P
V - 100
0.387
20 (10 / 12)
400
0.8
0.2
P
Y 400 0.8 400 0.8 0.2
2.5
(2.5)
0.9938
.
13
2,
由 E( X k ) 0, 得 E( Xk2 ) D( Xk ) [E( Xk )]2 由辛钦定理知
对于任意正数 , 有
lim
n
P
1 n
n k 1
X
k
2
2
1.
1
三、典型例题
例1 系统由100个相互独立起作用的部件组成，每
个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有
85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。
解 (1) 以 Xk (k 1, 2,, 400) 记 第 k 个学生来参加会议的家 长数,
10
(1) 以 Xk (k 1, 2,, 400) 记
长 第则数k 个X, k学的生分来布参律加为会Xp议kk
的家0 0.05
1 0.8
2 0.15
易知 E( Xk ) 1.1, D( Xk ) 0.19, (k 1,2,,400)
1
P
X
4001.1 400 0.19
1.147
1 (1.147) 0.1357;
12
(2)以Y 记有一名家长来参加会议的学生数,
则 Y ~ b(400, 0.8), 由德莫佛－拉普拉斯定理知,
P{Y 340}
P
Y 400 0.8 400 0.8 0.2
340 400 0.8
P{29500 X 30500} 5 2 5 2
2 2 0.9995.
8
n
X k n
lim P{ k1
x}
n
n
1
x t2
e 2 dt
2
例3 一加法器同时收到20个噪声电压，Vk (k 1,2,,20)
设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上
服从均匀分布，记
三、典型例题
例1
设随机变量 X1, X2 ,, Xn ,独立同分布,
且 E( Xk ) 0, D( Xk ) 2 , k 1,2,, 证明对任
意正数 有
lim
n
P
1 n
n k 1
X
k
2
2
1.
解 因为 X1, X2 ,, X n ,是相互独立的，
所以
X12
,
X
2 2
,,
X
n
2
,也是相互独立的，