【公开课课件】7.4二项式定理

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二项式定理(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)

二项式系数的和.
典型例题
例4 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
（1）二项式系数之和为：90 + 91 + 92 +. . . +99 = 29 .
1
1
2
3
4
= 2 (1+12x+54x +108x +81x )= 2

12
+ +54+108x+81x2.

(2)原式=C0 (x+1)n+C1 (x+1)n-1(-1)+C2 (x+1)n-2·(-1)2+…+C (x+1)n-k(-1)k
+…+C (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
式中的Cnk − 叫做二项展开式的通项，记作 Tk+1 ，为展开式的
第k+1项.
r

1
Tk+1=Cnk −
第 k+1项
探究新知
二项展开式的特点：
1、总共n+1项；
2、a按照降幂排列，b按照升幂排列，每一项中a、b的指数和为n；
3、第k+1项的二项式系数为Cnk .
探究新知
（3）当a=1,b=1时，
(1+1)n=
Cn0 + Cn1 +. . . +Cnn = 2
典型例题
1 6
例1 求 ( + ) 的展开式.

新教材选择性必修二7.4.1二项式定理课件(37张)

9．二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________；二项式系数是
__________.(用数字作答)
【解析】根据二项式的展开式通项公式可得Tr＋1＝C
r 5
x5－ryr，可得含x2y3的项为C
3 5
x2y3，所以其系数为10，二项式系数为C53 ＝10.
答案：10 10
10．设n∈N*，则C1n ＋Cn2 6＋C3n 62＋…＋Cnn 6n－1＝________．
x－2x n 展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
【解析】(1)因为T3＝C2n (
x
)n－2－2x
2
＝4C2n
n－6 x2
，
T2＝C1n (
x
)n－1－2x
＝－2C1n
n－3 x2
，
依题意得4C2n ＋2Cn1 ＝162，所以2Cn2 ＋Cn1 ＝81，所以n2＝81，n＝9.
二项式定理二项式定理
基础认知·自主学习
【概念认知】
二项式定理
(a＋b)n＝ C 0 n a n ＋ C 1 n a n － 1 b ＋＋ C n r a n － r b r ＋＋ C n n b n ( n N * ) ．这个公式叫作二项式定
理，右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有_n_＋__1_项，其中
【解析】(1)根据题意得：C1m ＋Cn1 ＝7，即 m＋n＝7①，
f(x)的展开式中的x2的系数为C2m
＋C2n
m（m－1）＝2
n（n－1）＋2
m2＋n2－m－n
＝
2

《二项式定理性质》课件

二项式定理有哪些性质？
性质1
二项式系数对称性：$C_n^k = C_n^{n-k}$
性质3
二项式展开定理：$(a+b)^n$中的每一项的系数为$C_n^k$
性质2
二项式系数递推关系：$C_n^k = C_{n-1}^{k1}+C_{n-1}^k$
性质4
二项式定理的逆定理：$(x-y)^n$的展开可以通过$(-1)^kC_n^kx^{n-k}y^k$得到
《二项式定理性质》PPT 课件
二项式定理是数学中一项重要的定理，用于展开任意次数的二项式的乘方。它具有丰富的性质和广泛的应用，是数学竞赛和研究中必备的基本知识。
什么是二项式定理？
二项式定理是用于展开任意次数的二项式的乘方的重要定理，可以快速求解一些复杂的数学问题。它对于理解和应用排列组合等数学概念具有重要意义。
二项式定理的公式是什么？
二项式定理的公式为：$(a+b)^n = C_n^0a^n+b^0+C_n^1a^{n-1}b^1+...+C_n^ka^{n-k}b^k+...+C_n^na^0b^n$
二项式定理的历史背景是什么？
二项式定理最早由中国数学家杨辉在《详解九章算术》中提出，后由法国数学家帕斯卡在《论阿比尔法列数》中给出准确的数学证明，奠定了它在数学中的重要地位。
二项式定理的推导方法有哪些？
1 杨辉三角形法
2 组合数法
Байду номын сангаас
3 数学归纳法
通过构建杨辉三角形，可以直接读取出二项式系数，从而得到二项式定理的展开结果。
利用组合数的性质，结合二项式系数的定义，可以推导出二项式定理的公式。

二项式定理ppt

二项式定理简介二项式定理是高中数学中的一个重要定理，是关于二项式展开的公式。

二项式展开是将一个二项式的幂次展开成一系列项的乘积的形式。

它在数学和物理等领域中都有重要的应用。

本文将详细介绍二项式定理的定义、推导过程以及应用。

定义在数学中，二项式指两项的和，具体表示为：(a + b)^n二项式定理给出了这个二项式的展开式，形式如下：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1)b^1 +C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)a^1 b^(n-1) +C(n,n)a^0 b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的方式数。

推导过程为了推导出二项式定理，我们可以通过数学归纳法进行演绎。

下面是推导的过程：Step 1:当n = 1时，二项式定理成立。

因为此时(a +b)^1 = a + b。

Step 2:假设当n = k时，二项式定理成立。

即(a + b)^k = C(k,0)a^k b^0 + C(k,1)a^(k-1)b^1 + ... + C(k,k-1)a^1 b^(k-1) + C(k,k)a^0 b^k。

Step 3:考虑当n = k+1时，我们可以将(a + b)^(k+1)展开为(a + b) * (a + b)^k。

通过展开乘法运算，我们可以得到：(a + b) * (a + b)^k = a * (a + b)^k + b * (a + b)^k = a * (C(k,0)a^k b^0 + C(k,1)a^(k-1)b^1 + ... + C(k,k-1)a^1 b^(k-1) + C(k,k)a^0 b^k) + b * (C(k,0)a^k b^0 + C(k,1)a^(k-1)b^1 + ... +C(k,k-1)a^1 b^(k-1) + C(k,k)a^0 b^k)。

Step 4:对上式进行整理和合并同类项，可以得到(a +b)^(k+1)的展开式：(a + b)^(k+1) = C(k,0)a^(k+1)b^0 + (C(k,1) + C(k,0))a^k b^1 + ... + (C(k,k-1) + C(k,k))a^1 b^k + C(k,k) a^0 b^(k+1)。

二项式定理优质课课件

1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，
其2)中CCnrrn（a nr=r0b,r1,叫2,做…二…项,展n）开叫式做的通二项项，式用系Tr数+1表示；，
该项是指展开式的第 r+1 项.
即T C r 1
ranrbr
n
r Z,且0 r n
二项式定理
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnra b nr r Cnna0bn
练习：(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
问：展开式中第四项为？第四项的系数为？
第四项的二项式系数为？
那么对于 (2 x)5 的展开式呢？
为几次？展开式项的
(a b)(a b)(a b)
C31
排列方式如何？（按照a
(a b)(a b)(a b)
的降次幂还是升次幂排
列的？）
展开式： (a b)3 C30a 3 C31a 2b C32ab2 C33b3
探究3 仿照上述过程,推导(a b)4 的展开式.
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
把各项的系数 Cnk , (k 0,1,2,3n)叫做二项式系数
即（1）二项式系数: Cnk , (k 0,1,2,3n)
式中 Cnk a nkbk 叫做二项展开式的通项，为展开式的第k+1项，用 Tk 1 表示
T3 T21
1
2
22
C42

7.4二项式定理课件-湘教版数学选修2-3PPT

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1（) x－1 ）16 的二项展开式中第4项是________.
x
(2)展开（1 1 ）4 为__________.
x
(3)(1+x)7的展开式中x2项的系数是_________.
【解析】(1)展开式的通项公式为 Tr1
C1r6
x16r（ 1 ）r x
(4)通项公式是在(a+b)n这个标准情势下而言的，如(a-b)n的
二项展开式的通项公式是 Tr1 1r Cnr anrbr (只需把-b看成b代
入二项式定理)，这与 Tr1 Cnr anrbr 是不同的，在这里对应项的
二项式系数是相等的，都是 Crn，但项的系数一个是
1r
C
r n
，一
个是 Crn ，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念.
2x
【解题探究】
1.题(1)中x2y3是二项式（1 x 2y）5的展开式中的第几项？
2
2.题(2)中二项展开式中的常数项有什么特征？【探究提示】1.由通项公式可知，x2y3是二项式（1 x 2y）5 展
2
开式中的第4项.
2.对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
【自主解答】(1)选A.因为
令6-3r=0，得r=2，所以T3 C（62 a）2 60.
a）r x ， 63r
所以15a=60，所以a=4.
答案：4
【拓展类型】二项式定理的应用(整除问题) 【备选例题】(1)8011被9除的余数为______. (2)证明：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.
【解析】(1)因为8011
公式_右__边__的__式__子__ 各项的系数_C_kn_(_k_＝_0_,_1_, 2_,__,_n_)_

二项式定理课件

展开式的性质
二项式定理的展开式具有一些重要的性质，这些性质在后续的应用中非常重要。
例如，二项式定理的展开式中的每一项都是正整数幂次的乘积，而且每一项的系数都是组合数。此外，二项式定理的展开式具有对称性，即第i+1项和第n-i+1项是相等的。
03
二项式定理的扩展
二项式定理的推广
推广到多项式
详细描述
通过二项式定理，可以计算出多个独立事件的概率和期望值，这在概率论中非常重要，如计算彩票中奖概率、股票投资风险评估等领域都有应用。
微积分中的二项式定理应用
总结词
在微积分中，二项式定理常用于求幂级数的展开式。
详细描述
利用二项式定理，可以求出幂级数的展开式，这在微积分中非常重要，如求解微分方程、积分变换等领域都有应用。
04
二项式定理的应用实例
组合数学中的二项式定理应用
总结词
在组合数学中，二项式定理常用于计算组合数和排列数。
详细描述
利用二项式定理，可以快速计算出给定集合的组合数或排列数，这些计算在组合数学中非常重要，如排列组合问题、概率论等领域都有广泛应用。
概率论中的二项式定理应用
总结词
在概率论中，二项式定理常用于计算概率和期望值。
二项式定理在组合数学、概率论和统计学等领域有广泛的应用。
二项式定理的定义
01
二项式定理描述了一个二项式展开后的系数规律，即$(a+b)^n$ 的展开式中的每一项系数。
02
二项式定理的系数可以用组合数表示，即$C(n, k)$，表示从n个不同项中选取k个的组合方式数目。
二项式定理的应用场景
组合数的性质
二项式定理中的组合数具有一些重要的性质，如对称性、递推关系等，这些性质在解决数学问题时非常有用。

二项式定理公开课课件

k nBiblioteka nkb ）b （k
n
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
b C a
nk
b C b
k n n
n
(n N )
*
证明:
(a+b)n是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时有两种选择选a 或选b,而且每个(a+b)中的a或b都选定才能得到展开的一项。在合并同类项之前,由分步乘法计数原理,(a+b)n的展开式共有2n项,而且每一项都是 an-kbk(k=0，1，2，…，n) 的形式. 对应的项an-kbk是由对于某个k (k∈{ 0,1,2,…,n }), n-k个（a+b）中选a, k个（a+b）中选b得到的.由于b选定后, a的选法也随之确定,
k n
n
二项式展开式
2.方法收获：正确区分“项的系数”和“二项式系数” 3.思维收获归纳猜想的数学思想从特殊 —— 一般 —— 特殊，类比思想，
P 布置作业：37习题1.3的第2、4（1）（2）
杨辉三角
(a b) (a b) (a b) (a b) (a b) (a b)
（一）、复习引入
我们已经学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾？（1）两个计数原理的内容是什么？（2）排列的定义与排列数的公式是什么？（3）组合的定义与组合数的公式是什么？
回顾结果
（1）分类加法计数原理：完成一件事，有两类方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m＋ n种不同的方法. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成两个步骤。做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m×n种不同的方法（2）一般地,从n个不同的元素中 , 任取m(m≤n)个元素 , 按照一定的顺序排成一列 , 叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列. m An （3）一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

《二项式定理》(课件)

复习引入
一
二
三
四
问题1：4个容器中有相同的红、
黑玻璃球各一个，从每个容器中取一个球，有多少不同的结果？
一
二
三
四
4个红球 3个红球 2个红球 1个红球 0个红球 0个黑球 1个黑球 2个黑球 3个黑球 4个黑球
问题2：(a+b)4展开后有哪些项？各
项的系数分别是什么？
问题2：(a+b)4展开后有哪些项？各
提出问题： 1. 在n=1，2，3时，写出并研究(a+b)n 的展开式. a+b (a+b)1=____________________ ， (a+b)2=____________________ ， a2+2ab+b2 (a+b)3=____________________. a3+3a2b+3ab2+b3
二项式定理：
例题分析
1. 求二项式的展开式:
[例1]
1. 求二项式的展开式:
[例1] [例2]
2. 展开式的指定项:
[例3]
3. 求指定项的系数:
[例4]
① 项数：共n+1n逐项递减到0，
是降幂排列；b的指数从0逐项递增到n，
是升幂排列.
结合左边的次数分析：
展开式中的项数、次数(a、b各自
次数)每一项的系数规律.
2. 在n=4时，猜测(a+b)4的展开式. (a+b)4=_________________________.
2. 在n=4时，猜测(a+b)4的展开式. (a+b)4=_________________________. a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

二项式定理课件(公开课)

b4 都不取 b 取一个 b 取两个 b 取三个 b 取四个 b
系数
C0 4
C1 4
2 C4
C3 4
C4 4
(a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
归纳提高将(a + b) n展开的结果又是怎样呢？发现规律 (a b)( a b) (a b) n 对于（a+b） =
问题一：的展开式共有多少项？为什么？每一项是怎么构成的？
共 2 2 2 8 项
问题二 :
若，式中又是什么？，则展开
(a+b)3 = C30a3 + C31a2b + C32ab2 + C33 b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
问题三：
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？问题：
1 4 例1：展开（1＋ ) x
x 系数和第六项的系数.
例二：展开 (2 x
1
) ，并求x 1) 解: ( 2 x x x 1 6 1 5 2 4 3 [(2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) x 3 3 4 2 5 1 6 0 C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) ]
n个
的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r 个括号中取b(其余括号中取a)的组合数 Cnr.那么，我们能不能写出(a+b)n的展开式？引出定理，总结特征 (a+b)n = Cn0an + Cn1an-1b + Cn2an-2b2 +

二项式定理优质课课件

二项式定理的应用
展开多项式
通过二项式定理，我们可以展开一个多项式，以便进行进一步的计算和分析。
概率计算
在概率计算中，二项式定理可以帮助我们计算不同事件发生的概率，从而解决一些实际问题。
组合问题
二项式定理在组合问题中有广泛应用，帮助我们计算排列组合的可能性。
二项式定理的拓展
1
二项式系数推广
其中，C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
二项式定理的证明
1 数学归纳法
使用数学归纳法可以证明二项式定理。我们将根据n的值来进行归纳证明该定理。
2 组合数的递推关系
利用组合数的递推关系可以简化二项式定理的证明过程，使其更加清晰和简洁。
3 数学推导与变换
通过数学推导和变换，我们可以将二项式拆分为多个组合数的和，证明定理的成立。
二项式定理优质课课件
让我们深入探索二项式定理，了解它的定义、公式、证明、应用、拓展以及可能的易错点，并最终总结这一重要的数学概念。
什么是重要的定理，并在代数、概率和组合等领域有广泛应用。
二项式定理的公式
二项式定理的公式如下所示： (a + b)n = C(n, 0)anb0 + C(n, 1)an-1b1 + ... + C(n, n-1)a1bn-1 + C(n, n)a0bn
2
二项式系数推广了二项式定理中的组合数，使其适用于更广泛的数学问题。
3
多项式定理
多项式定理是二项式定理的推广，用于展开多项式的幂。
二项式定理在实际中的变形
二项式定理在实际问题中可能出现一些变形和扩展，需要根据具体情况进行调整和应用。
二项式定理的易错点

二项式定理课件ppt

二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广，它具有与组合数相同的性质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进行了研究和推广，使其成为现代数学中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理解二项式定理的概念和变形方式，进一步提高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣

7.4.1二项式定理(第1课时)(教学课件)-高中数学苏教版(2019)选择性必修第二册

x
1
＋x4.
(3)

2

1 6
1
1
x－＝C 06 (2 x) 6 ＋C 16 (2 x) 5·－＋C 26 (2 x) 4 － 2
x
x
x

＋…＋C66 (2

x)0·－

1 6
60 12 1
3
2
－
2 ＋ 3.
＝64x －192x ＋240x－160＋
(
A. 3
【解析】
B. 4
C. 5

1n

因为x－x 的展开式的第

)
D. 6
－
r＋1 项为 Tr＋1＝Cnr xn r(－1)rx

1

n
r
r n-2r
＝Cn (－1) x ，若x－ x 的展开式中存在常数项，则

－r
n－2r＝0，即
n＝2r.又 n∈N*，r∈N，所以 n 为正偶数．故选 BD.
b，左边＝右边，所以等式成立．
②假设当 n＝k 时等式成立，即(a＋b)k＝C0k ak＋C1k ＋…＋Ckk bk，
内容索引
那么当 n＝k＋1 时，(a＋b)k+1＝(a＋b)k(a＋b)＝(C0k a k＋C1k ak-1b
－
＋…＋C rk a k rbr ＋…＋C kk b k)(a＋b)＝C 0k a k+1 ＋C 1k a kb＋…＋C rk+1 a k
－
－
b ＋…＋Ckk abk＋C0k akb＋…＋Crk ak rbr+1＋…＋Ckk-1 abk＋Ckk bk+1＝

高中数学二项式定理公开课精品PPT课件

1.3 二项式定理第一课时二项式定理

1．二项式定理公式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnn－1abn－ 1＋Cnnbn所表示的规律叫作二项式定理． 2．(1)(a＋b)n的二项展开式中共有n＋1项； (2)二项式系数：Cnk(k∈N)； (3)二项展开式的通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n， k∈N，n∈N*)它是展开式的第k＋1项．
3 2x2
)0＋C51(2x)4(－
3 2x2
)＋C52(2x)3(－
3 2x2
)2＋C53(2x)2(－
3 2x2
)3＋C54(2x)(－
3 2x2
)4＋C55(－
3 2x2
)5＝32x5－120x2
＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
例4 已知在(3 x－ 3 )n的展开式中，第6项为常数项． 3 x
(1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
【思路】解答本题可先借助通项公式，利用第6项为常数项求n，然后再根据通项公式即可求得(2)，(3)．
【解析】 (1)通项公式为 Tk＋1＝Cnkxn－3 k(－3)kx－k3＝Cnk(－3)kxn－32k. ∵第6项为常数项，∴k＝5时有n－32k＝0，即n＝10. (2)令n－32k＝2，得k＝12(n－6)＝2. ∴所求的系数为C102(－3)2＝405.
【答案】 C
探究3 (1)求二项展开式的特定项的常见题型： ①求第k项，Tk＝Cnk－1an－k＋1bk－1； ②求含xk的项(或xpyq的项)； ③求常数项； ④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的常用方法： ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；