理论力学(机械工业出版社)第十章动量定理习题解答

习 题10-1 计算图10-7所示各种情况下系统的动量。

(1) 如图10-7a 所示，质量为m 的匀质圆盘沿水平面滚动，圆心O 的速度为0v ；(2) 如图10-7b 所示，非匀质圆盘以角速度ω绕O 轴转动，圆盘质量为m ，质心为C ，偏心距OC=a ；(3) 如图10-7c 所示，胶带轮传动，大轮以角速度ω转动。

设胶带及两胶带轮为匀质的；(4) 如图10-7d 所示，质量为m 的匀质杆，长度为l ，绕铰O 以角速度ω转动。

图10-7(a) 0v p m =； (b) ωma p =（方向与C 点速度方向相同）；(c) 0=p ；(d) 2ωml p = （方向与C点速度方向相同）。

10-2 如图10-8所示，椭圆规尺AB 的质量为2m 1，曲柄OC 的质量为m 1，而滑块A 和B 的质量均为m 2。

已知：OC =AC =CB = l ；曲柄和尺的质心分别在其中点上；曲柄绕O 轴转动的角速度ω为常量。

当开始时，曲柄水平向右，试求此时质点系的动量。

图10-8方法一CAB COC B B A A m m m m v v v v p +++=2CC B A m m m m v v v v 112222+++=C B A m m v v v 1225)(++=因)c o s s i n (j i v ϕϕω+-=l Cj v ϕωcos 2l A = i v ϕωs i n 2l B -=故)cos sin (25)sin 2cos 2(12j i i j p ϕϕωϕωϕω+-+-=l m l l m)cos sin (24521j i ϕϕω+-+=l m m (与v C 方向相同)方法二规尺AB 、滑块A 和B 质心C 处，质量为2(m 1+m 2) 因此系统质心在OC 上，离O 轴距离mlm m ml m m l m 245)(2221211+=++⨯=ξ质心速度ωξωξl m m m m 24521+===v p (方向垂直于OC )10-3 跳伞者质量为60kg ，自停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m 后，将降落伞打开。

设开伞前的空气阻力略去不计，伞重不计。

开伞后阻力不变，经5s 后跳伞者的速度减为4.3m/s 。

试求阻力的大小。

gh v 21=222122t ghv t v v a -=-=22)2(t gh v m ma F mg -==-)2(22t gh v g m F --=N7.1067)9944.78.9(60)51008.923.48.9(60=+=⨯⨯--=10-4 图10-9所示浮动起重机举起质量为m 1=2000kg 的重物。

设起重机质量为m 2=20000kg ，杆长OA =8m ；开始时与铅直位置成60°角。

水的阻力与杆重均略去不计。

当起重杆OA 转到与铅直位置成30°角时，试求起重机的位移。

图10-9设起重机向左移动s ，则重物向右移动)30sin 60(sin s OA -︒-︒质心运动守恒x C =常量0])30sin 60(sin [21=--︒-︒s m s OA m 211)30sin 60(sin m m OA m s +︒-︒=m2662.0220002/)13(82000=-⨯⨯=10-5 如图10-10所示，两小车A 和B 的质量分别为600kg 和800kg ，在水平轨道上分别以匀速v A =1m/s ，v B =0.4m/s 运动。

一质量为40kg 的重物C 以俯角30°，速度v C =2m/s 落入A 车内，A 车与B 车相碰后紧接在一起运动。

试求两车共同的速度。

摩擦忽略不计。

图10-10动量守恒︒++=30cos 1C C B B A A x v m v m v m p v m m m p C B A x )(2++=v m m m v m v m v m C B A C C B B A A )(30cos ++=︒++CB AC C B B A A m m m v m v m v m v ++︒++=30cosm/s6870.0144034092040800600232404.08001600=+=++⨯⨯+⨯+⨯=10-6 平台车质量m 1=500kg ，可沿水平轨道运动。

平台车上站有一人，质量m 2=70kg ，车与人以共同速度v 0向右方运动。

如人相对平台车以速度v r =2m/s 向左方跳出，不计平台车水平方向的阻力及摩擦，试问平台车增加的速度为多少? 动量守恒0211)(v m m p x +=)()(r 02012v v v m v v m p x -+++=∆∆021r 0201)()()(v m m v v v m v v m +=-+++∆∆m/s2456.05701407050027021r 2==+⨯=+=m m v m v ∆10-7 如图10-11所示，质量为m 1的平台AB 放于水平面上，平台与水平面间的动滑动摩擦因数为 。

质量为m 2的小车D ，由绞车拖动，相对于平台的运动规律为s=0.5bt 2，其中b 为常数。

不计绞车的质量，试求平台的加速度。

图10-11设平台向左运动的速度为v ，则小车D 向右运动的速度为v r - v)(r 21v v m v m p x -+-= gm m F F ex )(21N +==∑μμ由动量定理eixx F tp ∑=d d得gm m a a m a m )()(21r 21+=-+-μ212122121r 2)()(m m gm m b m m m gm m a m a ++-=++-=μμ10-8 图10-12所示机构中，鼓轮A 质量为m 1。

转轴O 为其质心。

重物B 的质量为m 2，重物C 的质量为m 3。

斜面光滑，倾角为θ。

已知重物B 的加速度为a ，试求轴承O 处的约束反力。

图10-12由质心运动定理e yCy e x Cx Fma F ma ∑=∑=得θθsin cos N 3F F a rR m Ox -=θθθθθsin cos cos sin cos 3N 3mg a rR m F a rR m F Ox +=+=θθcos )(sin N 32123F g m m m F a m a rR m Oy +++-=- θθcos )(sin N 32123F g m m m a m a rR m F Oy -+++-=θθ232123cos )(sin mg g m m m a m a rR m -+++-=10-9 如图10-13所示，质量为m 的滑块A ，可以在水平光滑槽中运动，具有刚性系数为k 的弹簧一端与滑块相连，另一端固定。

杆长度为l ，质量可忽略不计，A 端与滑块铰接，B 端装有质量为m 1的小球，在铅垂面内绕A 点转动。

设在力偶M 作用下转动角速度w 为常数。

试求滑块A 的运动微分方程。

图10-131111sin )sin (m m t l m x m m t l x m mx x C ++=+++=ωω质心运动定理e x C F xm m ∑=+ )(1 kx t l m x m m -=-+ωωsin )(211t l m kx xm m ωωsin )(211=++tm m l m x m m k xωωsin 1211+=++10-10 如图10-14所示，均质杆OA 长2l ，质量为m ，绕着通过O 端的水平轴在铅直面内转动，转到与水平线成f 角时，角速度与角加速度分别为w 及a 。

试求此时O 端的反力。

图10-14由质心运动定理e yCy e x Cx Fma F ma ∑=∑=得OxC C F a a m =--)sin cos (τnϕϕ)sin cos ()sin cos (2τnϕαϕωϕϕ+-=+-=ml a a m F C C OxmgF a a m Oy C C -=-)cos sin (τn ϕϕmgml mg a a m F C C Oy +-=+-=)cos sin ()cos sin (2τnϕαϕωϕϕ10-11 在图10-15所示曲柄滑杆机构中，曲柄以等角速度 绕O 轴转动，开始时，曲柄OA 水平向右。

已知曲柄质量为m 1，滑块A 的质量为m 2，滑杆的质量为m 3，曲柄的质心在OA 的中点，OA = l ；滑杆的质心在C 点，而2/l BC=。

试求：（1）机构质心的运动方程；（2）作用在O 点的最大水平力。

图10-15ml t l m t l m t l m x C )2cos (cos cos 2321+++=ωωω)(2c o s )22()(23213213213m m m tl m m m m m m lm +++++++=ωmtl m t l m y C ωωs i n s i n 221+=)(2s i n )2(32121m m m t l m m +++=ω质心运动定理ex C F xm ∑=OxF tl m m m =++-2cos )22(2321ωω 2cos )22(2321tl m m m F Ox ωω++-=2)22(2321max ωl m m m F Ox ++=10-12 如图10-16所示，均质杆AB 长l ，直立在光滑的水平面上，试求它从铅直位置无速地倒下时，端点A 相对图示坐标系的轨迹．图10-16任意位置时0=∑exF ，初始速度为零，故质心运动守恒0=C x ，质心沿铅垂方向向下运动θco s2l x A =θs i n l y A =故1)()2(22=+ly lx A A2224ly x A A =+10-13 图10-17所示水平面上放一均质三棱柱A ，在其斜面上又放一均质三棱柱B ，两三棱柱的横截面均为直角三角形。

三棱柱A 的质量m A 为三棱柱B 质量m B 的三倍，其尺寸如图示，若各处摩擦不计，初始时系统静止。

试求当三棱柱B 沿三棱柱A 滑下接触到水平面时，三棱柱A 移动的距离。

图10-17任意位置时0=∑e xF，初始系统静止，故质心运动守恒x C =常量3231b m a m x B A C ⨯+⨯=设三棱柱A 向左移动s ，则三棱柱B 向右移动s b a --)32()3(2s b a b m s a m x B A C --+⨯+-⨯=12C C x x =0)(=--+-s b a m s m B A4)(b a m m b a m s BA B -=+-=10-14 试求题10-13中三棱柱A 运动的加速度及地面的支持力。

任意位置时0=∑exF ，0=Cx a设三棱柱A 向左运动的加速度为a A ，三棱柱B 沿斜面运动的相对加速度为a r0)c o s (r =-+-A B A A a a m a m θ θcos )(r B AB A m a m m a +=三棱柱Bθθsin )cos (r g m a a m B A B =-θθθsin ]cos cos )([g m a m a m m m B A B AB A B =-+θθθsin cos cos )(2g m a m m m B A B B A =-+gm m g m a B A B A θθθθθθ22sin 3cos sin sin cos sin +=+=ga θθ2r sin 3sin 4+=系统eyCy F ma ∑=gm m F a m B A B )()sin (N r +-=-θθθθ22r N sin 3sin 4)(sin )(+-+=-+=gm g m m a m g m m F B B A B B A)sin 3(sin 4422θθ+-=gm g m B Bgm B θ2sin 312+=。