香农采样定理

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香农奈奎斯特采样定理

香农奈奎斯特采样定理

香农奈奎斯特采样定理
香农-奈奎斯特采样定理(Shannon-Nyquist Sampling Theorem)是一项基本的信号处理原理,它规定了一个连续时间信号的采样频率应该至少是该信号中最高频率成分的两倍,以便在离散时间中完整地重构原始信号。

这个定理是由克劳德·香农(Claude Shannon)和哈里·奈奎斯特(Harry Nyquist)在20世纪初提出的。

具体来说,香农-奈奎斯特采样定理表述如下:
如果一个连续时间信号的最高频率成分为f_max,那么为了在离散时间中准确地重建原始信号,采样频率f_s(采样率)必须满足:
f_s ≥ 2 * f_max
这意味着采样频率应至少是信号中最高频率的两倍。

如果采样频率不满足这个条件,就会出现所谓的"混叠"或"奈奎斯特折叠",导致信号在离散时间中无法准确还原。

香农-奈奎斯特采样定理在数字信号处理、通信系统、音频处理、图像处理和各种数据采集应用中具有重要作用。

它强调了适当选择采样频率的重要性,以避免信息丢失和混叠问题,确保准确的信号重建。

因此,合理的采样频率选择是数字信号处理的基本原则之一。

简述采样定理的基本内容

简述采样定理的基本内容

简述采样定理的基本内容采样定理,也被称为奈奎斯特定理(Nyquist theorem)或香农-奈奎斯特采样定理(Shannon-Nyquist sampling theorem),是在信号处理领域中至关重要的一条基本原理。

它对数字信号处理、通信系统以及采样率等方面具有重要的指导意义。

1. 采样定理的基本内容采样定理表明,如果要正确恢复连续时间信号的完整信息,就需要以至少两倍于信号最高频率的采样频率对信号进行采样。

采样频率应该大于等于信号最高频率的两倍,即Fs >= 2 * Fmax。

采样定理的原理基于奈奎斯特频率,奈奎斯特频率是指信号频谱中的最高频率成分。

如果采样频率小于奈奎斯特频率的两倍,那么采样信号中将出现混叠现象,即频谱中的不同频率成分相互干扰,导致原信号无法准确恢复。

2. 采样定理的应用采样定理在多个领域都有广泛的应用,以下是几个常见的应用领域:音频处理:在音频信号的数字化处理中,采样定理保证了通过合适的采样率可以准确还原原始音频信号,同时避免了音频信号的混叠现象。

这就是为什么音频 CD 的采样率是44.1kHz,超过人类可听到的最高频率20kHz的两倍。

通信系统:在数字通信系统中,为了正确传输模拟信号,信号需要经过模数转换(采样)和数模转换两个过程。

采样定理确保了在采样时不会丢失信号的信息,同时在接收端通过恢复出原始信号。

这对于保证通信质量和准确传输数据来说非常关键。

图像处理:在数字图像采集中,采样定理用于设置合适的采样率,以避免图片出现信息丢失和混叠现象。

在数字摄影中,也需要根据采样定理来选择适当的像素密度,以保证图像的质量和细节。

3. 采样定理的局限性和改进采样定理的一个重要前提是信号是带限的,即信号的频谱有一个上限,超过这个上限的频率成分可以被忽略。

然而,在实际应用中,许多信号并不是严格带限的,因此采样定理可能无法完全适用。

为了克服采样定理的局限性,一种常见的方法是使用过采样(oversampling)技术。

采样定理的意义和用途

采样定理的意义和用途

采样定理的意义和用途1. 引言采样定理(Sampling Theorem)是信号处理中的重要概念,它指出了在进行信号采样时需要满足的一定条件。

这个定理的提出和发展对于数字信号处理领域具有深远的影响。

本文将详细介绍采样定理的意义和用途,并探讨其在实际应用中的重要性。

2. 采样定理的定义采样定理,又称为奈奎斯特-香农采样定理(Nyquist-Shannon Sampling Theorem),由克努特·奈奎斯特(Harry Nyquist)和克努特·香农(Claude Shannon)分别在20世纪20年代和40年代提出。

根据采样定理,如果一个连续时间信号的带宽有限,并且其最高频率分量为f_max,那么为了完全恢复该信号,我们需要以大于2f_max的频率进行采样。

具体而言,在进行信号采样时,我们需要以至少2倍于信号最高频率分量f_max的频率进行取样。

3. 采样定理的意义3.1 允许从连续时间转换为离散时间采样定理的意义之一是允许我们将连续时间信号转换为离散时间信号。

在实际应用中,很多信号需要以数字形式进行处理和传输,而数字系统只能处理离散时间信号。

通过采样定理,我们可以将连续时间信号进行采样,得到等间隔的离散时间序列。

3.2 保证采样后的信号不失真另一个重要的意义是采样定理保证了采样后的信号不会失真。

在满足采样定理条件下,我们可以通过插值算法将离散时间序列重新还原为连续时间信号,从而实现对原始信号的完全恢复。

这对于许多应用来说至关重要,例如音频和视频压缩、通信系统等。

3.3 提供了对频谱分析的基础采样定理还提供了对信号频谱进行分析的基础。

通过将连续时间信号进行频谱分析,并观察其带宽和最高频率分量,我们可以确定合适的采样频率,并以此进行取样。

这有助于避免混叠现象(Aliasing)的发生,确保采样后得到的离散时间序列能够准确反映原始信号的频谱特性。

4. 采样定理的应用4.1 音频和视频处理在音频和视频处理领域,采样定理被广泛应用于信号的采样、压缩和重构。

香农采样定理

香农采样定理

采样定理由于数字化和计算机技术的广泛应用,使传感与系统互连时必须考虑接口界面问题。

大多数传感器是用来获取连续的模拟信号的,这种信号是数字系统或计算机系统无法接收的输入。

因此,传感器系统设计中,除了硬件接口外,还要考虑软件接口问题。

这就是所谓采样定理。

传感器检测/监视系统大多是利用基于离散数字信号的连续采样硬件系统。

它们利用采得的离散数字信号再现传感器获得的连续模拟信号。

1.香农采样定理该采样定理表述为,如果信号中所包括的频率不高于,则可由一系列相隔1/(2)时间的抽样值所确定。

该定理的物理含义是,遵循香农采样定理对连续模拟信号进行周期性的离散采样,所采得的离散信号数列可以保持频率特性不变,即不发生混频(叠)现象。

图1表示了模拟信号A 的两类离散采样结果。

其中图a表示遵从香农采样定理对模拟信号A进行采样后,按采样系列值恢复得到的信号B与信号A相比不发生“混叠”现象,即两者的信号频率相等。

图b 表示不遵从香农采样定理采得的信号B′与信号A频率不一致,发生“混叠”现象。

图1 模拟信号A采样与“混叠”现象a)遵循采样定理,不发生“混叠”现象;b)不遵循采样定理,产生“混叠”现象为了便于应用,可以把香农采样定理表述为,离散采样的频率应大于或等于被采样信号包含的最高频率的两倍。

其数学表达形式可以为≥2(1)例如:对频率100kHz~1MHz的声发射信号进行采样时,其最高频率为=1MHz,故按采样定理,其采样频率应该是≥2=2×1MHz=2MHz。

由式(1)可知,采样的间隔(周期)T S应为1/T S≥2(2)或T S≤1/(2)(3)上例的采样周期是T S≤1/(2)=1/2×1MHz=0.5μs2.工程采样的考虑由于工程要求的不同,应用采样定理时有不同的考虑。

1)把香农采样定理作为近似准则使用,严格地讲,采样定理只适于窄带信号的采样。

所谓窄带信号指的是信号的频率分散在信号中心频率Ω。

附近一个较窄的频率范围内。

香农定理和奈奎斯特定理

香农定理和奈奎斯特定理

香农定理和奈奎斯特定理引言信息理论是一门研究信息传输和处理的学科,它为我们理解和优化通信系统提供了基础。

在信息理论中,香农定理和奈奎斯特定理是两个非常重要的定理,它们分别揭示了信道容量的上限和采样定理。

本文将深入探讨这两个定理的原理和应用。

香农定理定义香农定理,也称为信息论的基石,由克劳德·香农于1948年提出。

它给出了在存在噪声的通信信道中传输信息的极限。

香农定理表明,在给定噪声水平的情况下,通过增加传输速率和使用更复杂的编码方案,可以无限接近信道的容量。

信息熵信息熵是香农定理的核心概念之一。

它衡量了信息的不确定性和随机性。

对于一个离散随机变量X,其信息熵H(X)定义为:H(X) = -Σ P(x)log2P(x)其中,P(x)是X取值为x的概率。

信道容量信道容量是指在给定的信道条件下,能够传输的最大信息速率。

根据香农定理,信道容量C可以通过下式计算:C = B log2(1 + S/N)其中,B是信道带宽,S是信号的信噪比,N是噪声的功率谱密度。

应用香农定理对通信系统的设计和优化具有重要意义。

通过理解信道容量的上限,我们可以选择合适的调制方案、编码方案和信道编码率,以最大限度地提高通信系统的性能。

奈奎斯特定理定义奈奎斯特定理,也称为奈奎斯特-香农采样定理,由哈里·奈奎斯特于1928年提出。

它给出了采样定理的一个重要结果,即信号在采样时需要满足一定的采样定理,以便在恢复过程中不产生信息丢失。

采样定理奈奎斯特定理指出,对于一个带宽为B的信号,为了完全恢复原始信号,需要以不低于2B的采样率进行采样。

也就是说,采样频率应该是信号带宽的两倍以上。

奈奎斯特频率奈奎斯特频率是指信号带宽的一半,也是信号采样频率的上限。

如果采样频率低于奈奎斯特频率,会导致采样失真,无法准确恢复原始信号。

应用奈奎斯特定理在信号处理和通信系统中具有广泛的应用。

在数字音频和视频领域,采样定理被广泛应用于音频和视频信号的数字化和压缩。

时域取样定理

时域取样定理

时域取样定理时域取样定理,也称为奈奎斯特定理或奈奎斯特-香农采样定理,是一项关于信号处理的基本原理。

它指出,为了准确地重构一个连续时间信号,我们需要对该信号进行一定的采样,使得采样频率至少是信号中最高频率的两倍。

这个定理的应用非常广泛,涉及到音频、视频、通信等领域。

时域取样定理的核心思想是,通过对连续时间信号进行采样,可以将其转化为离散时间信号。

在离散时间下,信号的值只在特定的时间点上存在,而在这些时间点之间的值则通过插值的方式来估计。

通过采样和插值,我们可以将连续时间信号转化为数字信号,从而方便地进行数字信号处理。

为了更好地理解时域取样定理,我们可以通过一个简单的例子来说明。

假设有一个连续时间信号,频率范围为0 Hz到10 Hz。

根据奈奎斯特定理,我们需要以至少20 Hz的采样率对该信号进行采样。

也就是说,我们需要每秒钟进行至少20次采样,才能够准确地重构出原始信号。

如果我们采样率过低,比如每秒钟只进行10次采样,那么就无法完整地捕捉到信号中的高频成分。

这会导致采样后的数字信号与原始信号存在差异,甚至无法正确地还原原始信号。

这种现象通常被称为混叠效应(aliasing)。

混叠效应会导致信息的丢失和失真。

为了避免混叠效应,我们需要确保采样频率高于信号中最高频率的两倍。

这样,我们就能够准确地捕捉到信号中所有的频率成分,并能够在数字信号处理的过程中进行准确的重建和分析。

时域取样定理的应用非常广泛。

在音频领域,CD音质的采样率为44.1 kHz,而DVD音质的采样率为48 kHz。

这些高采样率可以保证音频信号的高保真度。

在视频领域,常见的视频格式如MPEG、AVI等也都采用了高采样率,以确保视频信号的清晰度和流畅度。

除了音频和视频领域,时域取样定理在通信领域也具有重要的应用。

例如,在无线通信中,需要对模拟信号进行数字化处理,以便进行调制、解调、编码和解码等操作。

时域取样定理为这些数字信号处理的步骤提供了重要的理论基础。

简述采样定理的基本内容

简述采样定理的基本内容

采样定理的基本内容1. 什么是采样定理采样定理(Sampling Theorem)是数字信号处理中的一个基本理论,也被称为奈奎斯特定理(Nyquist Theorem)或香农定理(Shannon Theorem)。

它描述了如何在连续时间域中对信号进行采样,以便在离散时间域中能够完全还原原始信号。

2. 采样定理的基本原理采样定理的基本原理是:当一个信号的带宽不超过采样频率的一半时,我们可以通过对信号进行采样并以一定的频率进行重建,从而完整地恢复原始信号。

3. 采样定理的数学表达采样定理可以用数学方式表达如下: - 一个信号的最高频率为B,则采样频率Fs 应满足Fs > 2B,即采样频率必须是信号最高频率的2倍以上。

- 采样频率过低会导致混叠现象,也称为折叠现象(Aliasing),即原始信号的高频部分在采样后被混叠到低频部分。

- 采样频率过高不会引起混叠现象,但会浪费存储和计算资源。

4. 采样定理的应用采样定理在数字信号处理中有着广泛的应用,包括但不限于以下几个方面:4.1 通信系统在通信系统中,采样定理保证了信号的完整传输。

发送端将模拟信号进行采样,并通过数字信号处理技术将其转换为数字信号,然后通过传输介质传输到接收端。

接收端将数字信号还原为模拟信号,以便接收者能够恢复原始信息。

4.2 数字音频在数字音频领域,采样定理被广泛应用于音频录制和播放。

音频信号在录制过程中通过模拟转换器(ADC)进行采样,并以数字形式存储。

在播放过程中,数字音频通过数字转换器(DAC)转换为模拟信号,以便音箱或耳机能够播放出声音。

4.3 数字图像在数字图像处理中,采样定理被用于图像的采集和显示。

采样定理保证了图像的细节在数字化过程中不会丢失。

图像传感器将连续的光信号转换为数字图像,然后在显示器上以像素的形式显示出来。

4.4 数据压缩采样定理对数据压缩也有重要意义。

在信号的采样过程中,我们可以通过降低采样频率来减少数据量,从而实现信号的压缩。

采样定理

采样定理

1 采样定理,又称取样定理,香农采样定理,奈奎斯特采样定理,是信息论,特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。

另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

2 采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系,是连续信号离散化的基本依据。

取样定理论述了在一定条件下,一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值(或称样本值)表示。

这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息,利用这些样本值可以。

采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。

3 所谓“取样”就是利用取样脉冲序列乘以连续时间信号,从中“抽取”一系列离散样本值的过程。

如果脉冲序列是周期冲激序列,则称为冲激取样;如果脉冲序列是矩形脉冲序列,则称为矩形脉冲取样。

取样的模型取样信号图4 1924年奈奎斯特(Nyquist)就推导出在理想低通信道的最高码元传输速率的公式:理想低通信道的最高码元传输速率W=2B Baud (其中W是理想)理想信道的极限信息速率(信道容量)C = B * log2 N ( bps )在进行模拟/数字信号的转换过程中,当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>=2fmax),采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息,一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5~10倍。

从下图中取样信号的频谱可以看出,。

6 采样定理有许多表述形式,但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。

时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt),f(t1±2Δt),...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F,便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。

取样工作原理

取样工作原理

采样工作原理采样定理,又称香农采样定理,奈奎斯特采样定理,是信息论,特殊是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论。

E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德•香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。

此外,V. A. Kotelnikov也对这个定理做了重要贡献。

1简介在进行模拟/数字信号的转换过程中,当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax 的2倍时(fs.max>=2fmax),采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息,一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5〜10倍;采样定理又称奈奎斯特定理。

1924年奈奎斯特(NyqUiSt)就推导出在抱负低通信道的最高码元传输速率的公式:抱负低通信道的最高码元传输速率B=2W Baud (其中W是抱负)抱负信道的极限信息速率(信道容量)C = B* Iog2 N ( bps )采样过程所应遵循的规律,又称取样定理、抽样定理。

采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系,是连续信号离散化的基本依据。

采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的,因此称为奈奎斯特采样定理。

1933 年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这肯定理,因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。

1948年信息论的创始人C.E.香农对这肯定理加以明确地说明并正式作为定理引用,因此在很多文献中又称为香农采样定理。

采样定理有很多表述形式,但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。

采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样掌握理论等领域得到广泛的应用。

2时域和频域采样定理时域采样定理频带为F的连续信号。

可用一系列离散的采样值f(d),∕(H + ∆^ fm±2At), ...来表示,只要这些采样点的时间间隔AtW1∕2F,便可依据各采样值完全恢复原来的信号/(f)o这是时域采样定理的一种表述方式。

香农采样定理

香农采样定理

采样定理由于数字化和计算机技术的广泛应用,使传感与系统互连时必须考虑接口界面问题。

大多数传感器是用来获取连续的模拟信号的,这种信号是数字系统或计算机系统无法接收的输入。

因此,传感器系统设计中,除了硬件接口外,还要考虑软件接口问题。

这就是所谓采样定理。

传感器检测/监视系统大多是利用基于离散数字信号的连续采样硬件系统。

它们利用采得的离散数字信号再现传感器获得的连续模拟信号。

1.香农采样定理该采样定理表述为,如果信号中所包括的频率不高于,则可由一系列相隔1/(2)时间的抽样值所确定。

该定理的物理含义是,遵循香农采样定理对连续模拟信号进行周期性的离散采样,所采得的离散信号数列可以保持频率特性不变,即不发生混频(叠)现象。

图1表示了模拟信号A 的两类离散采样结果。

其中图a表示遵从香农采样定理对模拟信号A进行采样后,按采样系列值恢复得到的信号B与信号A相比不发生“混叠”现象,即两者的信号频率相等。

图b 表示不遵从香农采样定理采得的信号B′与信号A频率不一致,发生“混叠”现象。

图1 模拟信号A采样与“混叠”现象a)遵循采样定理,不发生“混叠”现象;b)不遵循采样定理,产生“混叠”现象为了便于应用,可以把香农采样定理表述为,离散采样的频率应大于或等于被采样信号包含的最高频率的两倍。

其数学表达形式可以为≥2(1)例如:对频率100kHz~1MHz的声发射信号进行采样时,其最高频率为=1MHz,故按采样定理,其采样频率应该是≥2=2×1MHz=2MHz。

由式(1)可知,采样的间隔(周期)T S应为1/T S≥2(2)或T S≤1/(2)(3)上例的采样周期是T S≤1/(2)=1/2×1MHz=0.5μs2.工程采样的考虑由于工程要求的不同,应用采样定理时有不同的考虑。

1)把香农采样定理作为近似准则使用,严格地讲,采样定理只适于窄带信号的采样。

所谓窄带信号指的是信号的频率分散在信号中心频率Ω。

附近一个较窄的频率范围内。

香农采样定理

香农采样定理

香农采样定理采样定理,又称香农采样定理,奈奎斯特采样定理,是信息论,特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德•香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。

另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号(即时间或空间上的连续函数)转换成一个数值序列(即时间或空间上的离散函数)。

采样定理指出,如果信号是带限的,并且采样频率高于信号带宽的一倍,那么,原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制,也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。

采样定理是指,如果信号带宽小于奈奎斯特频率(即采样频率的二分之一),那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

大多数应用都要求避免混叠,混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样简介从信号处理的角度来看,此采样定理描述了两个过程:其一是采样,这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号;其二是信号的重建,这一过程离散信号还原成连续信号。

连续信号在时间(或空间)上以某种方式变化着,而采样过程则是在时间(或空间)上,以T为单位间隔来测量连续信号的值。

T称为采样间隔。

在实际中,如果信号是时间的函数,通常他们的采样间隔都很小,一般在毫秒、微秒的量级。

采样过程产生一系列的数字,称为样本。

样本代表了原来地信号。

每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点,而采样间隔的倒数,1/T即为采样频率,fs,其单位为样本/秒,即赫兹(hertz)。

信号的重建是对样本进行插值的过程,即,从离散的样本x[n]中,用数学的方法确定连续信号x(t)。

从采样定理中,我们可以得出以下结论:如果已知信号的最高频率f H,采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。

这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率,通常表示为f N.相反,如果已知采样频率,采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最咼信号频率。

奈克斯特采样定律

奈克斯特采样定律

奈克斯特采样定律一、定理内容1. 定义- 奈奎斯特采样定理(Nyquist Sampling Theorem),也称为香农采样定理。

它指出,为了不失真地恢复模拟信号,采样频率f_s必须大于等于模拟信号最高频率f_{max}的两倍,即f_s≥2f_{max}。

- 例如,如果一个模拟信号的最高频率为50Hz,那么采样频率至少要达到100Hz才能保证信号能够被准确地重建。

2. 原理- 从频域的角度来看,当对一个模拟信号进行采样时,采样操作相当于在频域对原信号的频谱进行周期性延拓。

如果采样频率不满足奈奎斯特采样定理,即f_s < 2f_{max},那么这些延拓后的频谱就会发生混叠(Aliasing)现象。

混叠会导致原信号的频谱发生畸变,从而在重建信号时无法准确恢复原模拟信号。

- 例如,假设有一个频率为f_1的正弦信号,采样频率为f_s,当f_s<2f_1时,在频域中会出现与原信号频率不同但看起来像是原信号的频谱成分,这就是混叠的结果。

二、定理的重要性1. 在数字信号处理中的应用- 奈奎斯特采样定理是数字信号处理的基石。

它使得模拟信号能够转换为数字信号进行处理。

在现代通信系统中,如音频、视频的数字化传输和存储,都依赖于这个定理。

- 例如,在音频CD的制作中,人耳能够听到的声音频率范围大约是20Hz - 20kHz,根据奈奎斯特采样定理,采样频率选择为44.1kHz,这样就可以准确地将模拟音频信号转换为数字信号,并且在播放时能够还原出高质量的声音。

2. 在图像和视频处理中的意义- 在图像和视频处理领域,奈奎斯特采样定理同样重要。

对于图像来说,它决定了图像采样的密度。

如果采样密度不足(违反奈奎斯特采样定理),图像会出现模糊、锯齿等失真现象。

- 在视频处理中,视频信号可以看作是一系列连续的图像帧,采样定理影响着视频的帧率和每帧图像的采样参数等,以确保视频的高质量显示。

三、定理相关的计算与示例1. 计算采样频率- 已知模拟信号的最高频率,根据奈奎斯特采样定理计算采样频率是常见的应用。

采样定理简介

采样定理简介

一、采样定理简介采样定理,又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律,是信息论,特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。

另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号(即时间或空间上的连续函数)转换成一个数值序列(即时间或空间上的离散函数)。

采样得到的离散信号经保持器后,得到的是阶梯信号,即具有零阶保持器的特性。

如果信号是带限的,并且采样频率高于信号最高频率的一倍,那么,原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制,也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。

采样定理是指,如果信号带宽小于奈奎斯特频率(即采样频率的二分之一),那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

大多数应用都要求避免混叠,混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样过程所应遵循的规律,又称取样定理、抽样定理。

采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系,是连续信号离散化的基本依据。

采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的,因此称为奈奎斯特采样定理。

1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理,因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。

1948年信息论的创始人.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用,因此在许多文献中又称为香农采样定理。

采样定理有许多表述形式,但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。

采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。

时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt),f(t1±2Δt),...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F,便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。

香农采样定理的心得和体会感悟

香农采样定理的心得和体会感悟

香农采样定理的心得和体会感悟一、香农采样定理的意义香农采样定理,又被称作奈奎斯特采样定理,是由著名的通信理论专家克劳德·香农在1949年提出的。

该定理阐述了一个信号能够被准确重构的最低采样频率。

具体来说,如果一个信号的最高频率为 f,那么它的采样频率应该至少为 2f 才能够准确地还原原始信号。

二、香农采样定理的数学原理香农采样定理的数学原理其实并不复杂,它可以通过奈奎斯特定理来解释。

奈奎斯特曾经证明,一个信号最多包含的信息等于其带宽的一半。

也就是说,如果一个信号的带宽为 B,那么它最多包含 B/2 的信息量。

根据香农采样定理,要想完整地采样一个信号,就需要以至少2B 的频率进行采样。

香农采样定理实际上是奈奎斯特定理在时域上的具体应用。

三、香农采样定理的应用香农采样定理在通信和信号处理领域有着广泛的应用。

在数字信号处理中,我们经常会遇到需要对连续信号进行采样、量化和编码的情况,而采样过程中最重要的就是要确定采样的频率。

香农采样定理给出了一个明确的指导,即采样频率至少要是信号带宽的两倍,这样才能够保证信号不会失真。

在数字通信中,根据香农采样定理,我们可以确定一个频率范围内的信号是否能够被准确地还原,从而帮助设计更加高效的通信系统。

四、香农采样定理的启示通过学习和理解香农采样定理,我们可以得到一些有益的启示。

我们应该意识到,信号的采样频率是至关重要的。

如果采样频率不足,那么就会导致信号失真,从而影响后续的信号处理和传输。

我们应该重视数学原理的应用。

虽然香农采样定理的数学原理并不复杂,但是却能够指导我们设计和实现更加可靠的通信系统。

我们应该持续关注科学技术的发展。

香农采样定理是在数字通信领域的一个重要理论成果,它的提出极大地推动了数字通信技术的发展,而我们也应该不断地学习和掌握最新的科学技术知识,从而保持自己的竞争力。

五、香农采样定理的心得体会学习和理解香农采样定理是一件非常有意义的事情。

通过对这一定理的研究,我们不仅可以了解信号的采样和重构原理,还可以得到一些启示和体会。

奈奎斯特香农采样定理

奈奎斯特香农采样定理

奈奎斯特香农采样定理奈奎斯特香农采样定理,这个名字听起来就像是从某个复杂的科技小说里跳出来的对吧?它说的就是一种很简单却又非常重要的概念,关系到我们生活中无处不在的声音和图像,简直是科技界的“金科玉律”。

你想啊,咱们每天听音乐、看视频,甚至打电话,背后都藏着这些“黑科技”的秘密,真是让人感到神奇!这个定理告诉我们,要想把模拟信号转换成数字信号,得遵循一定的规则,不然就像你用滤网滤果汁,结果留下的全是果肉,喝起来那叫一个别扭。

简单来说,奈奎斯特说的就是“采样频率得高于信号最高频率的两倍”。

听上去有点拗口,其实这意思就是,假如你想把一个声音记录下来,得以足够快的速度来“抓住”声音的变化。

不然呢?你可能会错过很多精彩瞬间,留下的全是模糊不清的回忆。

就像你看风筝在空中飞舞,你得在合适的时机放线,否则那风筝就可能掉下来,成了一团乱麻。

想象一下你在参加一个音乐会,台上的乐队嗨翻天。

你要是只用一个很慢的相机拍照,那最后得到的图片就像是“马戏团里遛狗”,完全捕捉不到音乐的那种激情。

奈奎斯特的定理告诉我们,要用足够快的“快门”,这样才能把那些瞬间完美地记录下来。

哎呀,听起来是不是有点专业,但其实就像日常生活中,我们总是要“跟上节奏”,不然就会掉队!再来聊聊香农,这位老兄可真是个聪明人。

他用他的理论告诉我们,不光是采样的速度,信号本身的质量也非常重要。

想想你在家里用的WiFi,信号强不强,直接影响你追剧的体验。

如果信号不好,视频就会卡得让人想砸电视,简直让人心烦意乱。

香农说,要保证信息的质量,就得让信号尽量清晰。

就像你和朋友聊天,听不清楚对方说什么,那肯定会“误会一场”,最后大家都尴尬得不知道说什么。

这些理论的应用,真的是无处不在啊!现在很多音频和视频技术都建立在这两个大佬的理论基础上。

我们用手机录音,听到的清晰声音其实就是它们的功劳。

还有那些高品质的音乐流媒体服务,想想那音乐在你耳边环绕的感觉,简直美妙无比。

奈奎斯特和香农就像幕后英雄,让我们的生活变得丰富多彩,真是令人佩服。

香农采样定理

香农采样定理
现代控制理论
2.6.1 线性定常系统状态方程的离散化 系统状态方程: x t Ax t Bu t ,
k j 0


k 1
现代控制理论
系统状态方程的解为
x(k ) G k x(0) G k j 1Hu( j )
j 0
k 1
仿照线性连续系统的状态转移矩阵的概念,定义线性定常离 散系统的状态转移矩阵为
k kT G k
此状态转移矩阵具有以下性质:
j k0
k 1
现代控制理论
取Z变换得: zX z zX 0 GX z HU z
-1 -1
2.5.2 Z变换法 线性定常离散时间系统状态方程为: x k 1 Gx k Hu k , k 0,1, 2,
,
X z ZI G zX 0 ZI - G HU z
n1 (t )Gn1
0 1 x k 1 x k 2 3
解: 特征值
1 x 0 0
I G

1
2 3
1 2 0
1 1, 2 2
Gk 0 (k )I 1 (k )G
j 0
k 1
现 ) Cx (k ) Du(k )
k 1 j 0
k 0,1, 2,
C k x 0 C k j 1 Hu j Du(k )
第一项是零输入响应;第二、三项是系统的零状态响应。 若初始时刻 k h ,系统初始状态为x h ,则离散系统的状态 方程的解可表示为
1 5 5 4 k k k k ( 0.2) ( 0.8) ( 0.2) ( 0.8) 3 3 3 3 0.8 (0.2) k 0.8 (0.8) k 1 (0.2) k 4 (0.8) k 3 3 3 3

采样周期的选取

采样周期的选取

8-1 采样周期的选取8-1-1 采样定理采样定理也称香农(Shannon)定理,其结论如下:如果采样角频率ωs (或频率f s )大于或等于2ωm (或2f m ),即(8-1) 式中ωm (或f m )是连续信号频谱的上限频率,见图8-1,则经采样得到的脉冲序列能无失真 的再恢复到原连续信号.从物理意义上来理解采样定理那就是,如果选择这样一个采样频率,使得对连续信号所含的最高频率来说,能做到在其一个周期内采样两次以上,则在经采样获得的脉冲序列中将包含连续信号的全部信息.反之,如果采样次数太少,即采样周期太长,那就做不到无失真的再现原连续信号.8-1-2 采样周期的选取采样周期T 0是数字控制系统设计的一个关键因素,必须给以充分注意.工程实践证明,采样周期T 0根据表8-1给出的参考数据选取时,可以取得满意的控制效果.对于随动系统,采样周期的选取在很大程度上取决于系统的性能指标.在一般情况下, 控制系统的闭环频率响应具有低通滤波特性,当随动系统输入信号的频率高于其闭环幅频特性的谐振频率ωr 时,信号通过系统将会很快衰减,而在随动系统中,一般可近似认为,开环频率响应幅频特性的剪切频率ωc 与闭环频率响应幅频特性的谐振频率ωr 相当接近,即幅频特性的谐振频率ωc ≈ωr .也就是说,通过随动系统的控制信号的最高频率分量ωc ,超过ωc 的分量通过系统时将被大幅度的衰减掉.根据工程实践经验,随动系统的采样频率ωs 可选为ωs ≈10ωc (8-2) 考虑到T 0=2π/ωs ,则按式(8-2)选取的采样周期T 0与系统剪切频率ωc 的关系为(8-3)从时域性能指标来看,采样周期T 0通过单位阶跃响应的上升时间t r 及调整时间t s 可按下列经验关系式选取,即(8-4)(8-5)8-2 信号保持信号保持是指将离散信号—脉冲序列转换成(或恢复到)连续信号的转换过程.用于ms ωω2≥0ωωm-ωm|ε(j ω)|图8-1连续信号频谱cT ωπ150=s t T 4010=控制过程采样周期(s)流量 压力 液面15 5表8-1 采样周期T 0的参考数据 r t T 1010=这种转换过程的元件称为保持器.从数学意义上来讲,保持器的任务是解决各采样时刻 之间的插值问题.8-2-1 零阶保持器零阶保持器是在数字控制系统中应用最广泛的且具有常值外推功能的保持器,用 符号H 0来表示.也就是说,对于零阶保持器有下式成立,即(8-6) 式中αp 为常值,η的变化范围是0≤η≤T 0.显然,在η=0时,式(8-6)也成立,这时有(8-7) 由式(8-6)及(8-7)求得(8-8) 式(8-8)说明零阶保持器是一种按常值规律外推的保持器.它把前一个采样时刻nT 0的采 样值ε(nT 0)不增不减的保持到下一个采样时刻(n+1)T 0到来之前的一瞬间.当下一个采 样时刻(n+1)T 0到来时,应以ε[(n+1)T 0]为常值继续外推.也就是说,任何一个采样时刻的 采样值只能作为常值保持到下一个相邻的采样时刻到来之前,其保持时间显然是一个 为采样周期T 0.零阶保持器的输出信号εH (t)如图8-2所示零阶保持器的时域特性g H1,宽度为T 0的方脉冲.高度等 于1,;宽度等于T 0,说明零阶保持器对采样值 G H (s)为 从图8-2看到,经由零阶保持器转换得到的连续信号具有阶梯形状,它并不等于采样前 的连续信号ε(t).平均地看,由零阶保持器转换得到的连续信号(图8-2中的点划线特性)在 时间上要迟后于采样前的连续信号.式表明,这个迟后时间等于采样周期的一半,即T 0/2.8-2-2 一阶保持器一阶保持器是一种基于两个采样值ε(nT 0)与ε[(n+1)T 0]按线性外推规律保持脉冲序 列ε*(t)的保持器.线性外推函数的斜率为 ,而外推函数值为 式中 η=t -nT 0; nT 0≤t ≤(n+1)T 0.基于线性外推规律得到的一阶保持器的输出信号εH (t)示于图8-4.根据输出信号εH (t)可求取一阶保持器的时域特性g H (t),并由时域特性g H (t)求得相应的频率响应为从式(8-12)可见,,其平均相移 .因此,数字控制系统普遍采用零阶保持器.()pnT ατε=+0()00αε=nT ()()0000,T nT nT <≤=+τετεss G H (8-9)()20022sin Tj H e T T T s G ωωω-=(8-10)()()[]{}0001T T n nT --εε()()()()[]τεεετε000001T T n nT nT nT --+=+()()()0020020022sin 1T arctg T j H e T T T T j G ωωωωωω--⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=8-3 Z 变换8-3-1 Z 变换1. 设连续时间函数x(t)可进行拉氏变换,其象函数为X(s).考虑到t<0时x(t)=0,连续时间函数经采样周期为T 0的采样开关后,得到脉冲序列为 对上式进行拉氏变换,得到(8-13) 因复变量s 含在指数函数e -nT0s 中不便计算,故引进一个新变量(8-14) 将式(8-14)代入式(8-13),求得以z 为变量的函数X(z),即(8-15) 式(8-15)所示X(z)称为离散时间函数—脉冲序列x *(t)的Z 变换,记为X(z)=Z[x *(t)].连续时 间函数x(t)与相应的采样脉冲序列x *(t)具有相同的Z 变换,即(8-16) 2. 求取离散时间函数—脉冲序列的变换有多种方法,下面举例说明其中的三种. (1) 级数求和法将式(8-15)写成展开形式,即(8-17) 式(8-17)是离散时间函数x *(t)Z 变换的一种级数表达形式.显然,只要知道连续时间函数 x(t)在采样时刻nT 0(n=0,1,2,…∞)上的采样值x(nT 0),便可通过式(8-17)求取其Z 变换的展 开形式.例1. 试求取单位阶跃函数1(t)的Z 变换.解 单位阶跃函数1(t)在所有采样时刻上的采样值均为1,即1(nT 0)=1, n=0,1,2,…∞ 根据式(8-17)求得在上式中,若|z|>1,则上式可写成下列闭式,即(8-18)()()()∑∞=*-=000n nT t nT x t x δ()()∑∞=-*=000n snT e nT x s X sT e z 0=()()∑∞=-=00n nz nT x z X ()[]()[]()z X t x Z t x Z ==*()()()()()⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---n z nT x z T x z T x x z X 0201020()⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---n z z z z 2111()11111-=-=-z zz z因为式中ζ=Res,所以条件|z|>1意味着ζ>0.这也就是单位阶跃函数能进行拉氏变换的条件.(2) 部分分式法设连续时间函数x(t)的拉氏变换X(s)为复变量s 的有理函数,并具有如下形式:其中M(s)及N(s)分别为复变量s 的多项式,并且有degM(s)≤degN(s),以及degN(s)=n. 将X(s)展开成部分分式和的形式,即式中 s i —N(s)的零点,即X(s)的极点;由拉氏变换知,与A i /(s+s i )项对应的原函数 ,又根据式便可求得因此,函数x(t)的Z 变换由相函数X(s)求得为(8-20) 例2. 试求取具有拉氏变换为α/[s(s+α)]的连续时间函数x(t)的Z 变换.解 首先写出x(t)的拉氏变换X(s)的部分分式展开式,即其次对上式逐项求取拉氏变换,得到最后根据上列时间函数逐项写出响应的Z 变换,即得连续时间函数x(t)的变换,即(3) 留数计算法已知连续时间函数x(t)的拉氏变换相函数X(s)及其全部极点s i (i=1,2,…,n),则x(t)的Z 变换可通过下列留数计算式求得,即()()()s N s M s X =0T s T e e z σ==∑=+=ni ii s s A s X 1)(()()i i i s N s M A =为常系数;()()is s i s N ds d s N ==t s i i eA -[]00111T T t e z zz e e Z ααα-----=-=T s i i i i ez z A s s A Z --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+()∑=--=ni T s i i e z z A z X 1()()ααα+-=+=s s s s s X 11T e t t x α--=)(1)(()()()0001112T T T T e z e z e z e z z z z z X αααα----++--=---=式中 r i —重极点s i 的个数;n —彼此不等的极点个数.常用时间函数的Z 变换及其相应的拉氏变换列入表8-1.例3. 试求取连续时间函数的Z 变换.解 首先写出x(t)的拉氏变换,即由上式求得X(s)的重极点s i =0,其个数r i =2,以及n=1.其次根据式(8-22)求取的Z 变换,即(8-23)8-3-2 Z 变换的基本定理(1) 线性定理设连续时间函数x(t),x 1(t)及x 2(t)的Z 变换分别为X(z), X 1(z)及X 2(z),并设α为常数或与 时间t 及复变量z,则有(8-24)(8-25) 式(8-24)及(8-25)所表达的便是Z 变换的线性定理. (2) 迟后定理设连续时间函数x(t)当t<0时为零,且具有Z 变换,则有(8-26)式(8-26)所示为Z 变换的迟后定理,它说明当原函数x(t)在时间上产生k 个采样周期(kT 0) 的迟后时,其相应的Z 变换具有通过z -k 表示的k 步负偏移或k 步迟后. (3) 终值定理设连续时间函数x(t)的Z 变换为X(z),并设X(z)不含z=1的二重以上极点,以及在z 平面 单位圆外无极点,则x(t)的终值通过其Z 变换X(z)求之为(8-27) 式(8-27)所表达的便是Z 变换的终值定理.8-3-3 Z 反变换(1) 长除法()()∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ni T s i i e z z s X res z X 10()()()i i i i s s ni sT r i r r ie z z s X s s ds d r ==--∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅-1110!11()()()()20022110!1210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅-⋅-==z z T e z z s s ds d z X s sT 21)(s s X =⎩⎨⎧≥<=0,0,0)(t t t t x ()[]()z X t x Z αα=()()[]()()z X z X t x t x Z 2121±=±()[]()z X z kT t x Z k ⋅=--0()()()[]z X z t x z t 1lim lim 1-=→∞→将连续时间函数x(t)的Z 变换X(z)展开成z -1的无穷级数,即(8-28) 设象函数X(z)为复变量z 的有理函数,即 式中通过分子多项式M(z)除以分母多项式N(z)的长除法,可得到具有式(8-28)所示形式的无 穷级数.级数中z -n 项系数x(nT 0)(n=0,1,2,…,∞)将是采样脉冲序列x*(t)的脉冲强度.因此, 根据x(nT 0)(n=0,1,2,…,∞)便可写出原函数x*(t),即注意 应用长除法求取式(8-28)所示无穷级数时,多项式M(z)及N(z)均需写成z -1的升幂 形式.例4 试求取 的反变换x*(t). 解 由 应用长除法求得对照式(8-28),由上得到X(0)=0 X(T 0)=10 X(2T 0)=30 X(3T 0)=70 因此,脉冲序列x*(t)可写成(2) 部分分式法由已知的象函数X(z)求出极点z 1, z 2,…, z n ,再将X(z)/z 展开成部分分式和的形式,即由X(z)/z 求取X(z)的表达式X(z),即最后,逐项的通过查Z 变换表求取A i z/(z-z i )对应的Z 反变换,并根据这些反变换写出与象 函数X(z)对应的原函数x*(t),即()()()()()⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---n z nT x z T x z T x x z X 0201020()()()z N z M z X =();22110m m z b z b z b b z M ---++++= ();22110k k z a z a z a a z N ---++++= .m k ≥()()()∑∞=-=000*n nT t nT x t x δ()()()2110--=z z z z X ()()()211231102110---+-=--=z z zz z z z X () ++++=----4321150703010z z z z z X ()()()()()+-+-+-+-=*0000415037023010T t T t T t T t t x δδδδ()∑=-=n i iiz z A z z X 1()∑=-=ni ii z z zA z X 1(8-29) 式中Z -1[·]是对括号内的象函数求Z 反变换的符号.例5 试应用部分分式法求取 的Z 反变换.解 将原式展开成部分分式和的形式,即由上式求取,即 通过查变换表,求得最后,写出对应的原函数为其中即由此求得X(0)=0 X(T 0)=10 X(2T 0)=30 X(3T 0)=70 (3) 留数计算法应用留数及算法求取已知X(z)的Z 反变换,首先求取x(nT 0)(n=0,1,2,…),即其中留数和 可写为式中z i (i=1,2,…,l)为X(z)彼此不相等的极点,这些极点的总数为l; r i 为重极点z i 的重复个数. 其次由求得的x(nT 0)可写出与已知象函数X(z)对应的原函数—脉冲序列例6. 试求取X(z)=z / (z-γ)(z-1)2的Z 反变换.解 应用留数及算法求取X(z)的Z 反变换.首先根据已知的X(z),通过式(8-30)计算出 x(nT 0).为此,由X(z)求得其极点为z 1=γ及z 2=1,其中z 1为单极点,即r 1=1, z 2为二重极点,即()()∑∞=--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=*001n i i nT t z z z A Z t x δ()()()2110--=z z zz X ()210110-+--=z z z z X ()210110-+--=z z z z z X 111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--z z Z n z z Z 221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--()()()∑∞=-⋅+-=*002110n n nT t t x δ()()(),2,1,021100=+-=n nT x n ()[]∑-⋅1n z z X res ()()[]∑-⋅=1n z z X res nT x ()[]()()()[]ii i i z z li n ri r r i n z z X z z dz d r z z X res ==----∑∑⋅-⋅-=⋅11111!11()()()∑∞=-=*000n nT t nT x t x δr 2=2.由式(8-30)计算出最后,求得已知X(z)的Z 反变换为8-4 脉冲传递函数脉冲传递函数的定义是,输出脉冲的序列的Z 变换与输入脉冲序列的Z 变换之比.如 图8-5所示开环线性数字控制系统的连续部分的脉冲传递函数G(z)为脉冲传递函数G(z)可通过连续部分的传递函数G(s)来求取.图8-6所示为线性数字控制系统开环方框图的三种形式.其中G 0(s)为前向通道传递 函数,H(s)为主反馈通道传递函数;图(a)为单位反馈系统方框图,图(b)及(c)为非单位反馈 系统方框图.下面分三种情况分析线性数字控制系统的开环脉冲传递函数. (1) 串联环节间无同步采样开关隔离时的脉冲传递函数图8-7(a)所示串联环节间无同步采样开关隔离时,其脉冲传递函数G(z)=c(z)/ε(z)由 描述连续工作状态的传递函数G 1(s)与G 2(s)的乘积G 1(s)G 2(s)来求取,记为(8-33) 设二串联环节的传递函数分别为G 1(s)=1/(0.1s+1)及G 2(s)=1/s.求取它们之间无同步 采样开关隔离时的脉冲传递函数,按式(8-33)要求,首先计算然后由G(z)=Z[G 1(s)G 2(s)]求得脉冲传递函数对于图(8-6)(a)所示单位反馈线性数字控制系统,其开环脉冲传递函数其中G 0(s)可以是若干(如m 个)无同步采样开关隔离的串联环节的等效传递函数.在这种 情况下,开环脉冲传递函数G(z)为(8-34)对于图(8-6)( b)所示非单位线性数字控制系统,其开环脉冲传递函数 (2) 串联环节间有同步采样开关隔离时的脉冲传递函数图8-7(b)所示串联环节间有同步采样开关隔离时,其脉冲传递函数G(z)=c(z)/ε(z)等 于各串联环节的脉冲传递函数G 1(z)与G 2(z)之积,即(8-35) 其中G 1(z)=Z[G 1(s)]及G 2(z) =Z[G 2(s)]分别由相应的传递函数G 1(s)及G 2(s)求取.设图8-7(b)中的G 1(s)=1/(0.1s+1)及G 2(s)=1/s.按式(8-35)求取它们之间有同步采样开关()()()()()()()()112212011!1211=-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---⋅-+--⋅-=z n z n z z z z z dz d z z z zz nT x γγγγ()()(),2,1,0111122=---+-=n n n γγγγ()()()()∑∞=-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=*00221111n n nT t n t x δγγγγ()()[]()[]()()z z C t Z t c Z z G εε=**=()()()101111.0121+-=+=s s s s s G s G ()()()()()10102111T T e z z e z z G G z G -----==()()()[]()z G G s G s G Z z G 2121==()()[]()z G s G Z z G 00==()()()()[]()z G G G s G s G s G Z z G m m 2121==()()()[]()z H G s H s G Z z G 00==()()()z G z G z G 21=隔离时的脉冲传递函数,首先需计算然后由式(8-35)求得脉冲传递函数为对于图8-6(c)所示非单位反馈线性数字控制系统,由式(8-35)求得其开环脉冲传递 函数为其中若G 0(s)为若干个环节无同步采样开关隔离时的串联传递函数,则相应的G 0(z)需按 式(8-34)求取.(3) 环节与零阶保持器串联时的脉冲传递函数设零阶保持器的传递函数(1-e -T0s )/s 以及另一串联环节的传递函数为G’2(s),它是复 变量s 的有理分式.显然,在这种情况下,两个串联环节之间无同步采样开关隔离.为求取 总的脉冲传递函数,首先需要计算其中 .由于 不是复变量s 的有理分式,故不能直接按式(8-33)来计算G 1G 2(z),但由看出,G 1(s)G 2(s)代表两个时域特性的组合,其中G 2(s)e -T0s 是时域特性L -1[G 2(s)]在具有 时滞等于一个采样周期T 0的迟后特性.因此,基于Z 变换的迟后定理,求得环节G’2(s)与零 阶保持器串联时总的脉冲传递函数为(8-36) 式中 /s.设与零阶保持器串联的环节的传递函数为其中k 与α为常量.按式(8-36)求得环节G’2(s)与零阶保持器串联的脉冲传递函数为 8-4-2 线性数字控制系统的闭环脉冲传递函数典型线性数字控制系统的方框图如图8-8所示.首先求取在控制信号r(t)作用下线 性数字控制系统的闭环脉冲传递函数.从图8-8可写出下列关系式: C(s)=G 1(s)G 2(s)ε*(s)Y(s)=H(s)C(s) ()()[]0101110T e z z s G Z z G --==()()[]112-==z z s G Z z G ()()()()()10221110T e z z z z G z G z G ---==()()[]()[]()()z H z G s H Z s G Z z G 00=⋅=()()()s s G s G e s G s T '221,10=-=-()()()()()()sT s T e s G s G s G e s G s G 00222211---=-=()()()()()()()s G s G s s G e s G s e s G s G s T s T 21'2'2'2'10011=-=⋅-=--()s T e s G 011--=()()s G s G '22=()()()[]()()[]()[]()[]()()[]s G Z z z s G Z s G Z e s G s G Z s G s G Z z G sT 21122222110----=⋅-=-==()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅-=--αααααs s s k Z z s s k s Z z z G 2211111111()()[]()()00111200T T T T e z z e T e z e T k ααααααα--------++-=(8-37)()α+=s s kG '2ε(s)=R(s)-Y(s) 由上列各式求得(8-38) 其中ε*(s)代表对偏差信号ε(s)进行采样所得脉冲序列的拉氏变换,也就是离散偏差的 Z 变换,即有(8-39) 将式(8-39)代入式(8-38),并对式(8-38)等号两边各项取Z 变换,可得由上式求得偏差信号对于控制信号的闭环脉冲传递函数为(8-40) 考虑到由式(8-40)求出被控信号对于控制信号的闭环脉冲传递函数为其次,求取在扰动信号f(t)单独作用下线性数字控制系统的闭环脉冲传递函数,从 图8-8可写出由上列二式最终求得被控制信号对于扰动信号的闭环脉冲传递函数为 对于单位反馈线性数字控制系统,由于,故式(8-40)~(8-42)分别变成例7. 试求取图8-9所示线性数字控制系统的闭环脉冲传递函数.图中 /s 为 零阶保持器的传递函数;k/s(s+α)为连续部分的传递函数,k 与α均为常数.()()()()()()s s H s G s G s R s *-=εε21()()z s εε=*()()()()z z H G G z R z εε⋅-=21()()()z H G G z R z 2111+=ε()()()z z G G z C ε⋅=21()()()()z H G G z G G z R z C 21211+=()()()()()()()()z C z Hz z z G G z F z G z C ⋅-=+=εε212()()()()()z H z G G z G z F z C 2121+=()()()z G G z R z 2111+=ε()()()()z G G z G G z R z C 21211+=()()()()z G G z G z F z C 2121+=()s T e 01--解 通过Z 变换,根据开环传递函数求取开环脉冲传递函数由式(8-37)求得给定系统的开环脉冲传递函数为 由于给定系统是单位反馈线性数字控制系统,故由上式所示开环脉冲传递函数根据式(8-43)及(8-44)可求得给定系统的闭环脉冲传递函数为8-5 线性数字控制系统的时域分析8-5-1 线性数字控制系统的响应过程应用Z 变换方法分析线性数字控制系统,需根据其闭环脉冲传递函数C(z)/R(z), 通过给定输入信号的Z 变换R(z),求取被控制信号的Z 变换C(z),最后经Z 反变换求取被 控制信号的脉冲序列c *(t). c *(t)代表线性数字控制系统对给定输入信号的响应过程. 基于超调量ζp ,调整时间t s =λT 0(λ为大于零的整数, T 0为采样周期)为稳态误差 等项性能指标,根据线性数字控制系统的响应过程c *(t)便可分析系统的动态与稳态性 能.例 8. 试应用Z 变换方法分析图所示线性数字控制系统.已知r(t)=1(t)以及参数 k=1,α=1及采样周期T 0=1s.解 将已知参数k=1,α=1以及采样周期T 0=1sec 代入在例得到的关于闭环脉冲传递 函数ε(z)/R(z),C(z)/R(z)的表达式求得给定系统的闭环脉冲传递函数为求取给定系统r(t)=1(t)在作用下的单位阶跃响应.为此,将R(z)=z/(z-1)代入上列闭 环脉冲传递函数C(z)/R(z),求得被控制信号的Z 变换 通过长除法,将C(z)展成无穷级数形式,即C(z)=0.368z -1+z -2+1.4z -3+1.4z -4+1.147z -5+0.895z -6+0.802z -7+0.868z -8+0.993z -9+1.077z -10+1.081z -11 +1.032z -12+0.981z -13+0.961z -14+0.973z -15+0.997z -16()()α+⋅-=-s s k s e s G s T 01()()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅-==-αs s k s Z z s G Z z G 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刻上的数值来求取.设线性数字控制系统响应理想单位脉冲δ(t)的响应误差为K *e (t),则该系统响应输 入脉冲序列 的响应误差为响应误差e *(t)在采样时刻的数值为考虑到t<0时r(t)=0,上式可写成若系统的输入信号r(t)对于所有的t,前m 阶导数均存在,则可将r(t-η)展成泰勒级数, 即在式(8-47)中,令t=nT 0及η=kT 0,可得将式(8-48)代入式(8-46),可得 式中()()()∑∞=*-=000n nT t nT r t r δ()()()()()()()()() +-++-+-+=0*00*00*0**220nT t K nT r T t K T r T t K T r t K r t e ee e e ()()()()()[]()()[]()()+++-+-+=022*********e e e e K nT r T n K T r T n K T r nT K r nT e ()()()[]∑∞=-=0000k e T k n r kT K nT e ()()()()()()()()+-++-+-=-∙∙∙∙∙∙t r m t r t r t r t r t r m mm!1!3!232τττττ()[]()()()()()()()() +⋅-+-+-=-∙∙∙000200000!11!21nT r kT m nT r kT nT r kT nT r T k n r m m m()()()()()()()()∑∞=∙∙∙-+⎢⎣⎡-=00020000000!21k e e e nT r kT K kT nT r kT K kT nT r kT K nT e ()()()()()⎥⎦⎤+-+ 000!11nT r kT K kT m m e m m ()()()()00000nT r kT K kT nT r nT K e e ∙∞∞⎥⎤⎢⎡-+⎥⎤⎢⎡=∑∑()∑∞==000k e kT K c ()∑∞=-=0001k e kT K kTc ()()∑∞==00202k e kT K kT c(8-50)系数 c 0,c 1,c 2,…,c m ,…定义为线性数字控制系统的误差系数.从式(8-49)可见,在已知误差系数以及输入信号及其各阶导数情况下,便可求出在采样时刻nT 0上系统响应输入信号 r(t)的稳态误差e *ss (t)的数值e ss (nT 0).如果对于n=0,1,2,…各采样时刻的e ss (0),e ss (T 0), e ss (2T 0),…都按式(8-49)计算出来,则可写出线性数字控制系统响应输入信号r(t)的稳态 误差e *ss (t)下面介绍通过线性数字控制系统的闭环误差脉冲传递函数Φe (z)计算误差系数的 方法. 设(8-51)由于Z -1[Φe (z)]=K *e (t),故对上式取反变换,得到(8-52) 式中将 代入式(8-51),可得取上式对s 的各阶导数,得到在上列各式中,令s=0,可得同理求得()()()∑∞=-=0001k e mmm kT K kT c()()∑∞=*-=000n ss ssnT t nT e e δ()+++++=Φ---k k e z z z z αααα22110()()()()()+-++-+-+=*0020102kT t T t T t t t K k e δαδαδαδα()(),2,1,00==k kT K e k αsT e z 0=()() +++++=Φ=Φ---*=s kT k s T sT e e z e e e es z s T 00002210αααα()[]+++++-=Φ----*s kT k s T s T s T e e k e e e T dss d 000033221032αααα()[] +++++=Φ----*s kT k s T s T s T e e k e e e T dss d 000023322221202232αααα()()[]+++++-=Φ----*s kT k m s T m s T m s T m m me m e k e e e T dss d 0000332210321αααα()()∑∞=*=+++++=Φ002100k e k e kT Kαααα()()∑∞==*-=Φ0000k e s e kT K kT ds s d(8-53)对比式(8-53)与式(8-50),求得(8-54)式(8-53)便是计算线性数字控制系统误差系数的比较实用的关系式.例 9. 试应用误差系数法求取图8-9所示单位反馈线性数字控制系统在参数k=1,α=1 及采样周期T 0=1s 情况下响应输入信号r(t)=t 2/2的稳态误差.解 从例8求得图8-9所示单位反馈线性数字控制系统在给定参数下的闭环误差脉冲 传递函数为将 及T 0=1代入上式,求得根据Φ*e (s)及其导数d Φ*e (s)/ds, d 2Φ*e (s)/ds 2,由式(8-54)分别求得误差系数c 0,c 1及c 2为 c 0 = 0 c 1 = 1 c 2 = 1 最后根据式(8-49)求得稳态误差e *ss (t)在各采样时刻上的数值 从上式可见,给定系统响应 r(t)=t 2/2的稳态误差为离散时间nT 0(T 0=1s)的函数,它说明稳态误差是随时间的推移在增大,当t →∞时,稳态 误差值e *ss (∞)→∞.8-6 最少拍系统的脉冲传递函数1. 在采样过程中,通常称一个采样周期为一拍.在典型控制信号作用下,在各采样时 刻上无稳态响应误差,且能在有限个采样周期内结束响应过程从而完全跟踪控制信号 的离散系统或数字控制系统,称为最少拍或有限拍系统.典型控制信号,如位置阶跃,匀速与匀加速信号的Z 变换分别为()()()()∑∞==*-=Φ00001k e m m s me m kT K kT ds s d ()0=*Φ=s m e m m ds s d c ()()()632.0368.0368.122+-+-==Φz z z z z R z E z e s T ez 0=()()()632.0368.0368.122+-+-==Φ*s s s s ee e e e z R z E z ()()()()∞=-+=∑∞=*,,2,1,05.00n n t n t e n ssδ其一般形式可写成(8-55)其中A(z)为不含因子(1-z -1)的以z -1为变量的多项式.从最少拍系统相应控制信号,即(5-55)无稳态响应误差,即(8-56)角度要求闭环误差脉冲传递函数Φe (z)具有(1-z -1)ν的因子.设(8-56)其中θ(z)是在z=1处既无极点也无零点的z -1有理分式.对于单位反馈系统,有 (8-57)因此由(8-58)求得线性离散系统输出c(t)的Z 变换为(8-59)将式(8-55)及式(8-56)代入式(8-59),求得(8-60) 从式(8-58)或(8-59)看出,为满足线性离散系统响应典型控制信号的响应过程在最少拍内结束从而达到完全跟踪控制信号的要求,需使系统的闭环脉冲传递函数Φe (z)及 Φ(z)所含z -1项数最少.在式(8-56)中,若取θ(z)=1,便能满足上述要求.这时,由式(8-56)及()[]1111--=z t Z ()()21101---=z z T t Z ()()31112021212----+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z T t Z ()()()ν11--=z z A z R ()()()()()()()()11lim 1lim 11111=-⋅Φ-=Φ-=∞--→-→νz z A z z z R z z e e z e z ss ()()()z z z e ϕν⋅-=Φ-11()()z z e Φ-=Φ1()()()z R z z C ⋅Φ=()()[]()z R z z C e ⋅Φ-=1()()()()z z A z R z C ϕ-=()()ν11--=Φz z e(8-57),可得(8-61)(8-62)这便是以无稳态响应误差且在最少拍内结束响应过程从而完全跟踪控制输入为标志的最少拍系统的闭环脉冲传递函数,其中幂指数与系统响应控制输入的类型有关,例如相 应位置阶跃,匀速与匀加速输入时,ν分别取1,2,3.2. 下面分析最少拍系统相应位置阶跃,匀速与匀加速等典型输入时的情况.(1) 当r(t)=1(t),即其中A(z)=1及ν=1,取θ(z)=1时,求得最少拍系统的闭环脉冲传递函数为(8-63)(8-64)根据式(8-63)或(8-64),由式(8-58)~(8-60)求得最少拍系统响应r(t)=1(t)时的输出的变换为(8-65)从式(8-65)可见,最少拍系统经过1拍便可完全跟踪上控制输入r(t)=1(t),见图8-11所示最少拍系统相应位置阶跃输入的响应过程. (2) 当r(t)=t,即其中A(z)=T 0z -1及ν=2,取θ(z)=1时,求得最少拍 系统的闭环脉冲传递函数为(8-66) (8-67)以及最少拍系统响应r(t)=t 时的输出c(t)的Z 变换为(8-68)从式(8-68)可见,最少拍系统经过2拍便可完全跟踪控制输入r(t)=t,见图8-12所示最少拍 系统相应位置阶跃输入的响应过程.()()ν111---=Φz z () +++++=-=----n z z z zz R 211111()()111--=Φ-=Φz z z z e ()+++++=---n z z z z c 211()()++++=-=-----n z nT z T z T z z T z R 02010211021()()2121211---+-=-=Φz z z z e()212---=Φzz z () +++=--n z nT z T z c 0202图8-12 最少拍系统响应匀速输入的响应过程c *tc *t图8-13 最少拍系统响应匀加速输入应过程(3) 当r(t)=t 2/2,即其中,其中A(z)=0.5T 02z -1+0.5T 02z -2及ν=3,取θ(z)=1时,求得最少拍 系统的闭环脉冲传递函数为(8-69) (8-70)以及最少拍系统响应r(t)=t 2/2时的输出c(t)的Z 变换为(8-71)从式(8-71)可见,最少拍系统经过2拍便可完全跟踪控制输入r(t)= t 2/2,见图8-13所示最少拍系统相应位置阶跃输入的响应过程.从图8-11~图8-13看到,当最少拍系统分别经过1拍(ν=1),2拍(ν=2)及3拍(ν=3)完 全跟踪控制输入时,其在各采样时刻上显示出的稳态响应误差均为零. 对于以上三种情况,根据式(8-72)求得数字控制器的脉冲传递函数为(8-73) (8-74) (8-75) 3.按响应过程在尽可能少拍内结束的要求选取闭环脉冲传递函数Φe (z)及Φ(z)的限 制条件,它们是: (1) 闭环脉冲传递函数Φe (s)必须含有与开环脉冲传递函数G(z)的单位圆上或单位圆 外极点相同的零点.(2) 闭环脉冲传递函数Φ(z)必须含有与开环脉冲传递函数G(z)的单位圆上或单位圆 外零点相同的零点.(3) 为使数字控制器脉冲传递函数D(z)在物理上可实现,当开环脉冲传递函数G(z)含 有z -1的因子时,要求闭环脉冲传递函数Φ(z)也含有z -1的因子.又考虑到对于单位反馈线 性离散系统来说,Φ(z)=1-Φe (z),所以闭环脉冲传递函数Φe (z)应为包含常数项等于1的 z -1的多项式.()()()+++++=-+=-------nz T n z T z T z Tz z z T z R 20232022012031112025.425.0121()()321313311-----+-=-=Φz z z z z e ()32133---+-=Φz z z z ()++++=---nz T n z T z T z C 20232022025.42()()()()z z G z z D e e ΦΦ-=1()()()()t t r z G z z z D 11111=⋅-=--()()()()t t r z G z z z z D =⋅--=---1122121()()()()2/11222121t t r z G z z z z D =⋅--=---。

nyquist-shannon采样定理

nyquist-shannon采样定理

nyquist-shannon采样定理
Nyquist-Shannon采样定理是一个重要的数字信号处理理论,它指出,要正确地采样一个信号,采样频率必须大于信号的最高频率的两倍。

这个定理是由美国电信学家Harry Nyquist 和Claude Shannon在1928年提出的,它是数字信号处理的基础。

Nyquist-Shannon采样定理的核心思想是,要正确地采样一个信号,采样频率必须大于信号的最高频率的两倍。

这是因为,如果采样频率小于信号的最高频率的两倍,那么采样后的信号将会丢失一些信息,从而导致信号失真。

Nyquist-Shannon采样定理的应用非常广泛,它可以用于数字信号处理,数字图像处理,数字音频处理,数字视频处理等等。

它的应用可以帮助我们更好地处理数字信号,从而提高信号的质量。

总之,Nyquist-Shannon采样定理是一个重要的数字信号处理理论,它指出,要正确地采样一个信号,采样频率必须大于信号的最高频率的两倍。

它的应用非常广泛,可以帮助我们更好地处理数字信号,从而提高信号的质量。

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香农采样定理采样定理,又称香农采样定理,奈奎斯特采样定理,是信息论,特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。

另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号(即时间或空间上的连续函数)转换成一个数值序列(即时间或空间上的离散函数)。

采样定理指出,如果信号是带限的,并且采样频率高于信号带宽的一倍,那么,原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制,也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。

采样定理是指,如果信号带宽小于奈奎斯特频率(即采样频率的二分之一),那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

大多数应用都要求避免混叠,混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样简介从信号处理的角度来看,此采样定理描述了两个过程:其一是采样,这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号;其二是信号的重建,这一过程离散信号还原成连续信号。

连续信号在时间(或空间)上以某种方式变化着,而采样过程则是在时间(或空间)上,以T为单位间隔来测量连续信号的值。

T称为采样间隔。

在实际中,如果信号是时间的函数,通常他们的采样间隔都很小,一般在毫秒、微秒的量级。

采样过程产生一系列的数字,称为样本。

样本代表了原来地信号。

每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点,而采样间隔的倒数,1/T即为采样频率,fs,其单位为样本/秒,即赫兹(hertz)。

信号的重建是对样本进行插值的过程,即,从离散的样本x[n]中,用数学的方法确定连续信号x(t)。

从采样定理中,我们可以得出以下结论:•如果已知信号的最高频率f H,采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。

这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率,通常表示为f N•相反,如果已知采样频率,采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。

•以上两种情况都说明,被采样的信号必须是带限的,即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零,或至少非常接近于零,这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。

在第一种情况下,被采样信号的频率成分已知,比如声音信号,由人类发出的声音信号中,频率超过5 kHz 的成分通常非常小,因此以10 kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了。

在第二种情况下,我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计。

这通常是用一个低通滤波器来实现的。

混叠如果不能满足上述采样条件,采样后信号的频率就会重叠,即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。

这种频谱的重叠导致的失真称为混叠,而重建出来的信号称为原信号的混叠替身,因为这两个信号有同样的样本值。

一个频率正好是采样频率一半的弦波信号,通常会混叠成另一相同频率的波弦信号,但它的相位和振幅改变了以下两种措施可避免混叠的发生:1.提高采样频率,使之达到最高信号频率的两倍以上;2.引入低通滤波器或提高低通滤波器的参数;该低通滤波器通常称为抗混叠滤波器抗混叠滤波器可限制信号的带宽,使之满足采样定理的条件。

从理论上来说,这是可行的,但是在实际情况中是不可能做到的。

因为滤波器不可能完全滤除奈奎斯特频率之上的信号,所以,采样定理要求的带宽之外总有一些“小的”能量。

不过抗混叠滤波器可使这些能量足够小,以至可忽略不计。

减采样当一个信号被减采样时,必须满足采样定理以避免混叠。

为了满足采样定理的要求,信号在进行减采样操作前,必须通过一个具有适当截止频率的低通滤波器。

这个用于避免混叠的低通滤波器,称为抗混叠滤波器。

[编辑]參考資料• E. T. Whittaker, "On the Functions Which are Represented by the Expansions of the Interpolation Theory," Proc. Royal Soc. Edinburgh, Sec. A, vol.35, pp.181-194, 1915•H. Nyquist, "Certain topics in telegraph transmission theory," Trans.AIEE, vol. 47, pp. 617-644, Apr. 1928.•V. A. Kotelnikov, "On the carrying capacity of the ether and wire in telecommunications," Material for the First All-Union Conference on Questions of Communication, Izd. Red. Upr. Svyazi RKKA, Moscow, 1933 (Russian).• C. E. Shannon, "Communication in the presence of noise", Proc. Institute of Radio Engineers, vol. 37, no.1, pp. 10-21, Jan. 1949.光学基础知识:摄影镜头调制传输函数MTF解读镜头是摄影师和摄影爱好者投资最高的设备之一,也是决定拍摄质量的最重要的因素。

因此,镜头的质量,历来受到极大的重视。

我们当然会很关心摄影镜头的测量方法。

摄影的最终产品是照片,所以,根据拍摄照片的质量来评价镜头质量,这是我们最先想到的,也是最基本的测试镜头的方法。

实拍照片评价镜头质量的优点是结果直截了当,根据效果判断,比较放心。

不过决定照片质量的客观因素很多,而一张照片的“好”与“坏”又需要人的主观判断,很难通过测量得出客观的定量结果。

大量的事实表明,影响拍摄质量最重要的因素是镜头的分辨率和反差。

反差大小可以通过仪器很容易测量,而分辨率就不那么容易了!现在我们经常采用拍摄标准分辨率板的方法测量镜头的分辨率。

将拍摄了标准分辨率板的底片放到显微镜下人工判读,看最高能够分辩多少线条密度。

分辨率的单位是线对/毫米(lp/mm),一黑一白两条线算是一个线对,每毫米能够分辩出的线对数就是分辨率的数值。

由于这种方法还是要受到胶片分辨率的客观影响和人工判读的主观影响,所以并不是最准确最理想的方法。

现在,让我们从另一个角度出发,将镜头看作一个信息传递系统:被拍摄景物反射出来的光线是它的输入信息,而胶片上的成像就是它的输出信息。

一个优秀的镜头意味着它的输出的像忠实的再现了输入方景物的特性。

喜欢音响的朋友都知道,高保真放大器的输出,应当准确地再现输入信号(图1)。

当输入端输入频率变化而幅度不变的正弦信号时,输出正弦波信号幅度的变化反映了放大器的频幅特性。

频幅特性越平坦,放大器性能越好(图2)!图1 放大器准确再现输入信号图2 放大器的频幅特性类似的方法也可以用来描述镜头的特性。

由数学证明可知,任何周期性图形都可以分解成亮度按正弦变化的图形的叠加,而任何非周期图形又可以看作是周期图形片断的组合。

因此,研究镜头对正弦变化的图形的反映,就可以研究镜头的性能!亮度按正弦变化的周期图形叫做“正弦光栅”。

为了描述正弦光栅的线条密度,我们引入了“空间频率”的概念。

一般正弦波的频率指单位时间(每秒钟)正弦波的周期数,对应的,正弦光栅的空间频率就是单位长度(每毫米)的亮度按照图3 正弦光栅典型的正弦光栅如图3所示。

相邻的两个最大值的距离是正弦光栅的空间周期,单位是毫米。

空间周期的倒数就是空间频率(Spatial Frequency),单位是线对/毫米(lp/mm,linepairs/mm)。

正弦光栅最亮处与最暗处的差别,反映了图形的反差(对比度)。

设最大亮度为Imax,最小亮度为Imin,我们用调制度(Modulation)表示反差的大小。

调制度M定义如下:M=(I max-I min)/(I max+I min)很明显,调制度介于0和1之间。

调制度越大,意味着反差越大。

当最大亮度与最小亮度完全相等时,反差完全消失,这时的调制度等于0。

我们将正弦光栅置于镜头前方、在镜头成像处测量像的调制度,发现当光栅空间频率很低时,像的调制度几乎等于正弦光栅的调制度;随着空间频率的提高,像的调制度逐渐单调下降;空间频率高到一定程度,像的调制度逐渐降低到0、完全失去了反差!正弦信号通过镜头后,它的调制度的变化是正弦信号空间频率的函数,这个函数称为调制传递函数MTF(Modulation Transfer Function)。

对于原来调制度为M的正弦光栅,如果经过镜头到达像平面的像的调制度为M ’ ,则MTF函数值为:MTF值= M ’ / M可以看出,MTF值必定介于0和1之间,并且越接近1、镜头的性能越好!如果镜头的MTF值等于1,镜头输出的调制度完全反映了输入正弦光栅的反差;而如果输入的正弦光栅的调制度是1,则输出图像的调制度正好等于MTF 值!所以,MTF函数代表了镜头在一定空间频率下的反差。

MTF综合反映了镜头的反差和分辨率特性,MTF是用仪器测量的,因而可以完全排除胶片等客观因素的影响和人工判读的主观因素影响,是目前最为客观最为准确的镜头评价方法。

MTF值不但受镜头像差影响,还要受到空间频率、光圈和像场大小三个变量的影响,所以一般绘制二维的MTF曲线时都是固定空间频率、光圈和像场三个变量中的两个、剩余一个作为横坐标,并且以MTF值作为纵坐标。

镜头是以光轴为中心的中心对称结构,像场中心各个方向的MTF值是相同的。

但是受到镜头像散的影响,在偏离中心的位置,沿切线方向的线条与沿径向方向的线条的MTF值往往是不同的!我们将平行于直径的线条产生的MTF曲线称为弧矢曲线,标为S (sagittal),而将平行于切线的线条产生的MTF曲线称为子午曲线,标为M(meridional)。

这样,我们绘制的MTF曲线一般有两条:S 曲线和M图4 子午方向和弧矢方向空间频率很低时,MTF值趋于一个接近于1的固定值。

这个值实际就是镜头对大面积色块的反差,反映了镜头固有的反差值。

随着空间频率增高,MTF 值逐渐下降,直到趋于0。

人眼对反差为0.05的影像尚能分辩,而当反差低于0.02时就完全不能察觉了。

所以一般选定MTF值为0.03时的空间频率作为镜头的目视分辨率。

这样,通过MTF曲线的绘制,镜头的反差和目视分辨率就都成为可测量的了!图5是MTF值随空间频率变化的情况,我们称之为“频幅曲线”。

图中,根据低频时的MTF值和MTF等于0.03时的空间频率,可以方便的得出镜头的反差和目视分辨率。

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