数学教学中的反例教学研究

○A基础理论○B应用研究○C调查报告●D其他本科生毕业设计（论文）数学教学中的反例教学研究二级学院：数学与计算科学学院专业：数学与应用数学年级：2009级学号：**********作者姓名：陈颖指导教师：梁英讲师完成日期：2013年5月1日目录1 研究背景 (1)1.1学生的数学学习现状 (1)1.2文献评述，研究现状 (2)1.3本文的工作 (2)2 关于数学反例 (2)3开展反例教学的三种典型情况 (3)3.1数学概念中的反例教学 (3)3.1.1数学概念的易错易混淆性 (3)3.1.2数学概念中的典型反例教学 (4)3.1.3关于数学概念反例教学的作用 (6)3.2数学性质、定理中的反例教学 (6)3.2.1数学的性质、定理教学 (6)3.2.2数学性质、定理的典型反例教学 (7)3.2.3反例有助突出定理、性质的关键词 (9)3.3数学解题过程中的反例教学 (10)3.3.1数学题的求解与反例的构造 (10)3.3.2构造反例解题的应用举例 (10)3.3.3反例在解决问题中的意义 (15)4 小结 (15)4.1数学中反例教学的功能 (15)4.2反例教学的注意事项................................................................................................16数学教学中的反例教学研究作者陈颖指导教师梁英讲师（湛江师范学院数学与计算科学学院，湛江 524048）摘要：本文从概念教学、定理教学及解题教学三个方面，论述了反例教学的方法和作用。

关键词：反例；数学教学；概念教学；定理教学；解题教学Study on the Counter Examples in Mathematical TeachingChen YingMathematics and Computational Science School, Zhanjiang Normal College, Zhanjiang, 524048ChinaAbstract: Methods and effect of counter examples teaching are discussed from concept teaching,theorem teaching and problem-solving teaching.Key Words: counter example;mathematical teaching; concept teaching;theorem teaching;problem- solving teaching1 研究背景我们知道，《全日制数学义务教育课程标准（实验版）》中强调：“能够通过观察、实验、归纳、类比获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”；“通过具体例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的”，这表明反例的教学应始终贯穿于教师的教和学生的学的整体过程中．1.1学生的数学学习现状学生往往不够重视概念、定理中的条件和关键词，加上部分学生一直习惯被动学习，又或者学不得法，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背，赶做作业，乱套题型．同时学生的认知水平和要求掌握的知识能力之间存在矛盾，倾向“题海战术”和“大运动量”重复训练，结果是事倍功半，收效甚微．从心理学角度来看，无论处于哪个年龄阶段的学生的自我认知都不够完全清晰、准确，应试教育的氛围容易导致学生的功利性过强，性格浮躁和对学习的目的定位有偏．加上社会舆论，学生加强对数学考试分数的重视，忽略基本知识的重要性和必要性．基于以上原由，开始研究反例在数学教学中作用．1.2文献评述，研究现状《高中数理化》2011年第14期的一篇文章“浅谈反例在数学教学中的作用”[2]主要研究代数方面的反例，强调能够强化学生对知识的理解，培养思维能力和提高解题速度．该杂志的第80期的一篇文章“浅谈数学反例教学”[3]从精神层面上评价反例教学：一个错误概念的解决能催人奋进，一个错误判断的落实能使人豁然开朗，一种错误的推理方法的矫正能使人回味无穷，反例教学犹如黑夜中的星辰，给人以鼓舞和希望，反例教学恰似大海中的航标灯，照亮学生避免触及知识海洋中的暗礁，能让师生共同分享到成功的喜悦，终生受益．《新课程（中旬）》2012年07期“注重数学反例教学 培养学生的创新能力”[4]一文，研究数学的特性、思想方法和作用，突出培养学生的创新能力．安徽师范大学的一篇论文《反例的来源和潜在动能》[5]从定义、特殊化和运动变化等方面谈反例获得的思维过程，说明反例是进一步提出问题的一个源泉．1.3本文的工作本文针对概念和定理、性质的学习，求解问题过程中易错点，利用初高中、大学数学的典型的反例，对反例在教学中若干应用进行归纳，论述反例在每个阶段、不同内容的数学学习中的优越性，旨在促使学生重视反例，主动从典型反例量的积累到构造反例产生质的飞跃，并能够利用反例这一有力武器解决问题． 2 关于数学反例数学反例是简明有力的否定．一个重要的猜想，数学家费尽方法与精力都未必能够证明，但是若有人能够举出一个反例，这个问题便轻易得到解决．例如，费马数221nn F =+是以数学家费马命名一组自然数，所有具有形式21n +的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数．已知的费马素数只有0F 至4F 五个．一百多年后，欧拉否定了这一猜想，指出当5n =时，有分解式：3252142949672976416700417F =+==⨯． 与数学反例相关性最强的是反例教学法．反例教学法脱胎于首创于哈佛大学的案例教学法[1]，最早被运用于19世纪后半叶的法律教学中，教师选择个别犯罪案例进行剖析，让学生学习法学的基本知识和理论，以后被运用于医学、心理学、管理学等学科研究与教学之中．反例不是错误的例子，是用本身正确的例子，说明其他问题的不正确性．反例教学比较耗费时间和精力，如果反例庞杂，则教师和学生会为反例的数量和细节所拖累，造成事倍功半，倘若是教师信手拈来的几个反例，那么其教学意义就十分有限，因此，反例必须典型、精制、简炼．由于平时接触的命题大部分是真命题，学生的惯性思维就知道想方设法去证明结论的正确．反例正好能够弥补学生的这一思维缺陷，让学生从另外一个角度去思考，将苦思冥想不能正面证明的难题，用否定的方式轻而易举地解决．反例能够打破思维定势，优化认知结构，将难以说清、容易混淆的问题变得通俗易懂，更具说服力．学生误认为构造反例是一件很困难的事情，教师在进行教学时，不能够仅仅停留在恰当使用反例的层面上，要善于引导学生分析反例、构造反例，实际上就是为学生创设探索情境的过程，从而训练学生的创造思维和辩证思维，知道什么地方该详，什么地方可略，什么地方该精雕细刻，什么地方可以一带而过，使学生对所学的新知识由“懂”到“会”，由“会”到“熟”，“熟”到“活”，由“活”到“悟”．通常情况下，反例的构造并不具有唯一性，因而要求学生对命题涉及的概念有透彻的理解，并能在已获知识基础上，展开充分想象，所以说教师指导学生构造反例对提高其创造性具有良好诱导作用．3 开展反例教学的三种典型情况3.1 数学概念中的反例教学3.1.1 数学概念的易错易混淆性数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式．一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的，是数学教学的重要内容，是推导、运用数学定理和公式的逻辑基础，是提高解题能力的大前提．教育心理学研究表明，人们在获得一个正确认识的过程中，往往要经历正反两方面的比较和鉴别，才能完整地将新知同化于原有的知识结构中．在课堂教学中，数学概念一般采用正面阐述的形式，只是回答了什么情况下“是”的问题，导致学生对关键字的理解不够透彻，不能真正理解概念的本质，只是机械地记住概念．这样一来，当学生遇到名称相近或结构类似的概念，就容易造成理解和运用上的混淆．所以，教师要引导和帮助学生回答什么情况下“不是”的问题，从而抓住概念的本质，从认知的反方向帮助学生“吃透”概念．3.1.2 数学概念中的典型反例教学例1 如图1，AB 与B C ''不是一组平行线，AB 与C D ''是一组平行线．在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线．在平行线的概念教学中，学生能够主动重视关键词之一“永不相交”，但是往往忽略另一关键词“在同一平面内”，以致不少学生认为AB 与B C ''不可能相交， 图1所以是平行线．但是，AB 在平面ABCD 内，也可看作在平面ABB A ''内，B C ''在平面A B C D ''''内，也可视为在平面BCC B ''内，明显两线不在同一平面内，则AB 与B C ''不平行；此外，AB 与C D ''都在平面ABC D ''上，故AB 与C D ''平行．因此，通过此例能够加深“在同一平面内”的理解，从而准确把握平行线的概念．例2 异面直线是指（ ）．A.空间中两条不相交的直线．B.平面内一条直线与平面外一条直线．C.分别位于两个不同平面内的两条直线．D.不同在任何一个平面内的两条直线．在立体几何中关于异面直线的定义：“不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线”．学生常常将定义中的“任何”忽略或者理解有偏差，所以本题易错选A ．异面直线概念可用实物粉笔盒或者立体几何图正方体、长方体中的边关系列举反例，如图1，11C D AB 与两线不相交，但是在同一平面11ABC D 内，即可排除A ．一般地，教师在空间概念教学中可以举出反例加以巩固．例3 x x y cot tan ⋅=不是函数．误解：由于1cot tan =⋅=x x y ，因变量y 不随x 的变化而变化，故y 不是x的函数．显然，这是函数概念的考查．不少学生片面地理解为：一个变量随着另一个变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系，题中1y =为定值不变化，就不是函数．教科书[1]指出：一般地，给定非空数集B A ,，按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数．教师应该引导学生认识到：在x 的定义域内，对每一个给定的x 值，y 随x 总有唯一确定的值和它对应，只不过在该例子中，当x 变化时，y 的值始终不变，始终为1罢了，集合B 只有一个元素，即{}1B y y ==．由此，通过所举反例的学习，学生认识x 到y 是的函数，并非一定要求y 随x 的变化而变化，同时学生自觉地体会到：对变量x 的每一个确定的值，变量y 有唯一确定的值和它对应，这才是构成函数关系的本质．例4 《数学分析》中“函数极限”的反例教学[9]．定义 设()f x 在0x 空心领域内有定义．若0ε∀，总0δ∃，当00x x δ-时，有()f x Aε-成立，则称A 是()f x 在0x x →时的极限． 反例（1）21()1x f x x -=-在1x =处虽然无定义，但1lim ()2x f x →=．学生能够亲自体会()f x 在1x =处无定义，但极限是存在的．反例（2）定义函数10()0010x f x x x⎧⎪==⎨⎪-⎩，，，尽管()f x 在0x =处有定义(0)0f =，但0x →时无极限．()f x 在0x 处有定义，但()f x 在0x 处的极限与()f x 在0x 处的函数值无关． 反例（3）在函数极限定义中将()f x Aε-改成()f x A ε-，是否有0lim ()x x f x A →=呢？结论是不成立．用反例加以说明：令()sin f x x =,1A =,01x =,则0ε∀，0δ∀，当00x x δ-时，总有()sin 10f x A x ε-=-≤成立，但0lim ()sin 001x x f x →==≠．定义中首先设()f x 在0x 的空心领域内有定义并且00x x δ-，这些都隐含着()f x 在0x 是否存在极限与()f x 在点0x 是否有定义是无关的，但是，学生在理解定义上或在实际应用上，仍误认为若()f x 在点0x 处有极限，那么()f x 在0x 处一定有定义，这是对函数极限定义理解不准确不全面的表现，是一种误解．因此，在教学中，可通过以下三个反例向学生认真分析并指出：定义中条件表明，这说明函数在是否存在极限与函数在处是否有定义无关．例5 《泛函分析》中“完备的度量空间”概念的反例教学[10]．定义 设(,)X X d =是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果对任意给定的正数0ε，存在正整数()N N ε=，使当,m nN 时，必有 (,)n m d x x ε，则称{}n x 是中的柯西点列或基本点列．如果度量空间(,)X d 中每个柯西点列都在(,)X d 中收敛，那么称(,)X d 是完备的度量空间．由定义可知，有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备．这是一个简单且容易理解的反例．3.1.3 关于数学概念反例教学的作用数学反例有助于揭示易错的数学概念的本质．数学概念的教学，不仅要运用正面的例子加以深刻阐明，突出条件和关键词，且要通过合适的反例，从另一个侧面抓住概念的本质，使学生对所学概念进一步反思，从而达到深刻理解和掌握该概念的目的．3.2 数学性质、定理中的反例教学3.2.1数学的性质、定理教学心理学研究表明，对一个新事物的理解和运用，只有建立成功的经验和失败的教训的相互作用下，才能真正理解和灵活运用．在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来．在教学过程中，教师往往过于偏重演释论证的训练，把注意力放在培养学生的逻辑思维能力上，容易导致学生对所给条件理解不透彻，不能抓住它的本质属性，只是机械地记忆定理和公式的结构．忽视反例在定理教学中扮演的重要角色，可能导致一下情况出现：一些“自我感觉良好”的学生在自学或者做题时，容易忽略甚至无法将数学题中的隐含条件挖掘出来，不能使题设清晰化、具体化、找出正确的解题思路．3.2.2数学性质、定理的典型反例教学例 6 （辨析题）如图2所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，因为B A 1∥1CD ，1CD ⊥D C 1，所以D C 1⊥B A 1，又11B A 是B A 1在平面11D B 内的射影，故D C 1⊥11B A ．事实上，因为11B A ∥11D C ，︒=∠4511D DC ，所以D C 1与11B A 所成的角为45º，并不垂直．三垂线定理的 内容是在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线 图2 垂直．造成上述错误的原因是学生学习《三垂线定理及逆定理》时，往往忽视“平面内的一条直线”中“内” 的特定条件，忽视了“D C 1不在平面11D B 内”，用这个反例来说明定理中“内”字的重要性，使学生的体会尤为深刻．例7 求和：ααααn cos cos cos cos 32++++ .误解：由题可得，数列{}cos n α是首项为cos α，公比为cos α的等比数列．由等比数列求和公式可得：cos (1cos )1cos n n S ααα-=- （1） 首先，学生容易忽略cos 0α=的情况．当cos 0α=时，原式结果为0．更普遍的是，学生在学习了等比数列前n 项和公式后，在求等比数列前n 项和时往往直接应用公式qq a S n n --=1)1(1， （2）而不考虑公比是否等于1．因此，在例7中，多数学生都能熟练地套用公式（2），得到（1）式，但大多数学生都忽略了公式（2）的限制条件是1q ≠，也就是1=αcos 这种情况也应另类考虑．0=αcos 时，{αn cos }不是等比数列；当1=αcos 时，{αn cos }虽是等比数列，但q =1，因此求和时也不能套用上面的公式．这一反例可以促进学生对等比数列分类条件的重视，使学生知道对待每一个数学问题，必须仔细观察，培养自己敏锐的观察力和丰富的想象力，提高数学思维的严密性．例8 《高等几何》中仿射不变量性质的反例教学．由共线三点的简比是仿射不变量，可推出线段的中点、三角形的中线和重心均具有仿射不变性，而两直线的垂直、三角形的角平分线均不具有仿射不变性．例如图3，在等腰三角形ABC 与非等腰三角形A B C '''之间，一定存在一个仿射T 使 图3C B A ABC '''∆=∆T )(．设D 为BC 中点，则AD 为BAC ∠的平分线且AD BC ⊥，若D '为C B ''的中点，即D D T '=)(，而D A ''不是C A B '''∠的平分线且A D ''不垂直于C B ''．例9 有关《数学分析》中微分中值定理的反例教学．在讲授微分中值定理时，学生易将其理解为对一切可微函数均有效，其实它只适应实分析，此时可用如下反例加深学生对微分中值定理的理解．设()cos sin f x x i x =+，不难知道()f x 处处连续而且可微，但找不到一个区间[],a b ()a b 在a 与b 之间存在某一个数ξ，使(cos sin )(cos sin )(sin cos )()b i b a i a i b a ξξ+-+=-+-， （3） 假定（3）式成立，将上式两边取绝对值的平方可得()222)()sin (sin cos cos a b a b a b -=-+-．故 2222sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a b a b . 由于没有一个正数η，使sin ηη=，因而矛盾，故（3）式不能成立，究其原因是()f x 的值域含有虚数元不属于定理中的所指实数范围．例10 《离散数学》中哈密顿图判定定理的反例教学[11]．哈密顿图的判定定理（必要条件）设无向图E V G ,=是哈密顿图，则对于任意V V ⊂'，且V '≠∅，均有()p G V V ''-≤，其中()p G V '-为V G '-的连通分支数．图4问题：图4是否哈密顿图？正解：取{}26,V v v '=，则'1()32p G V V -==，所以该图不是哈密顿图．3.2.3 反例有助突出定理、性质的关键词构造反例能帮助学生牢记关键词，达到正确理解并掌握定理、性质的目的．在教学中要鼓励学生敢于提出问题，要引导学生在某些定理的条件、结论、某些定义的适用范围等要敢于猜想，对不是现成的定理要着眼于发现和创新，自己提出问题，猜想结果，使反例这一工具得以充分应用，这不仅可以使学生的创新能力得以提高，同时更有利于学生开展研究性学习，从而有效地提高教学质量．3.3 数学解题过程中的反例教学3.3.1数学题的求解与反例的构造盖尔鲍姆所说：“一个数学问题用一个反例来解决，使人兴奋，给人的刺激犹如一出好的戏剧”．中学的数学结论按命题结构可分为以下三类：充分条件类，必要条件类，充要条件类．在解题过程中，学生对于前两类结论往往不能准确使用，更严重的是无法发现错误所在．此时，应该让学生学会主动地、自主地在反例中讨论、检验，助其发现问题，分析原因，找到正解．如此一来，不仅能够修正原有的陈述性知识，而且能够增长其策略性知识．从构建主义上说，这就是“自我否定”的过程．扎实的数学基础有赖于反例的构造和使用，同样，构造反例需要调动我们的数学功底．学生能够理解、分析反例固然重要，但学生是更加想知道怎样构造反例．构造反例是一件富有创造性和挑战性的事情，但是也有它一定的方法和原则．当然，反例的构造是相当灵活的，既需扎实的基本知识、基本技能和基本方法，更需充分地想象．3.3.2 构造反例解题的应用举例纵观历年来全国各省中高考数学题、大学考试题，我们可以发现，很多题目我们从正面都是可以得到解答，但是我们更倾向、甚至更自觉地构造反例解题，因为反例能够简化题目同时提高正确率．此外，在数学学习过程中，学生有时由于对知识结构掌握不够完善，或缺乏严谨的学习态度，往往会出现在处理题目时想当然，引起做题出错．所以，开展反例教学，能帮助学生树立严谨的学习态度，养成论证严密、考虑周到而深刻的学风．反例构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性创作性活动，下面则以考试真题为例，列举具有代表性的构造反例的情况．例11 （2002年上海中考题）已知AD 是ABC ∆的角平分线，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，连接DE 、DF ，在不再连接其它线段的前提下，要使四边形AEDF 为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．正确答案不唯一，可以是（1）AB AC =，（2）AE AF =，（3）DE AE =，（4）AC DE //，（5）DC DB =，（6）AFD AED ∠=∠，（7）AFD AED S S ∆∆=等等，都是正解，且容易证明，不再赘述．但是部分学生出现以下答案：（1）DF DE =，（2）)(DF AE AF DE ==，以下通过列举反例一一判断是否正确．第一种情况错误．反例如下．如图5，在一个圆中任作一条弦AD （不是直径），过点D 作圆的一条切线，取AD 的中点T ，过点T 作EF 平行于切线交圆于点E 、F ，连接AE 、AF ，并延长交切线于点B 、C ，再连接DE 、DF ．⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎩⎨⎧=∠=∠⇒=⇒FC AF EB AE TD AT FC AF TD AT EB AE BC EF DFDE CAD EAD DF DE BC EF ////， 上述四个结论根据显然符合题意，但因为AD 不是直径，所以AD 与BC 不垂直，那么AD 与EF也不垂直，即当DF DE =时，四边形AEDF 不一定为菱形．图5第二种情况)(DF AE AF DE ==也是错的，反例如下：作一个直角三角形ABH ，使o AHB 90=∠，o B 5.22=∠，在BH 上截取AH HD =．连接AD ，再作HAD ∠的平分线AC 交BH 于点C ，取AB 的中点E ，作BH EG //，交AD 、AC 、AH 分别于点K 、F 、G ，连接DE 、DF 、FH ， 图6设X FG =，Y KF =，不妨令1=AG ，容易得到1=KG ，2==AH DH ，2=AK ．根据作图6可知5.22=∠=∠=∠==AEG B BAD FCAF BEAE ，因此 2==AK ED .因为AC 平分DAH ∠，所以2:1::==AK AG Y X ，而1=+Y X ，则22-=Y ，于是DH KF EK EF ==-+=+=2222，又因为DH FE //，所以四边形EDFH 为平行四边形.但是，当HF DE =时，因为HF 是ACH Rt ∆斜边上的中线，故AF HF =，即AF DE =．另一方面，因为EG AH ⊥，而点D 与点H 不重合，所以AD 与EG 不垂直，也就是四边形AEDF 不为菱形．例12 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的平面角的关系为（ ）．A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定本题大部分学生会误选C ．但构造具体的立体图形作为反例，本题答案显而易见．若构造正方体1111ABCD A B C D -（图7），则易发现二面角11111CC A A A A A ABB --与11B C CB CB CBAD --的两个半平面分别垂直，但一个二面角的平面角为45o ，另一个平面角为90o ，通过此反例可知答案为D ．例13 （1984年全国高中数学联赛试题）以下命题是否正确？若正确，请给予证明，否则举出反例．设A ，B 是坐标平面上的两个点集，(){}222,r C x y x y r =+≤，若对于任何0r ≥，都有r r C A C B ⋃⊆⋃，则必有A B ⊆． 例13是直接列举特殊反例证明其是假命题．()0,0点是特殊点，因此构造反例：(){}22,1A x y x y =+≤，()}{22,01B x y x y =+≤， 容易看出r r C A C B A B ⋃⊆⋃⊄，但．通常情况下，这个命题不是“一切情况下均假”，而是在有的情况下真，有的情况下假，经过全面考虑所有可能，通过严格验证，把成立的情况排除，不成立的情况得以挑选出来，从而得到反例．在这种情况下，通常是由于分类不全以致以假乱真，所以考虑二分法验证是有效的．例14（1995年高考题改编）等差数列{}n a ，{}n b 的前项和分别为n S 与n T ，且:2:(31)n n S T n n =+，求:n n a b ．误解：:2:(31)n n S T n n =+ ()2T=31n k n k n ∴=⋅+可设S ，， ,0k R k ∈≠其中且。