高中数学核心考点：解析几何压轴大题四大策略

解析几何压轴大题四大策略

解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的关键所在．突破解析几何难题，先从找解题突破口入手．

策略一 利用向量转化几何条件

[典例] 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

[解题观摩] 假设存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点．

设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

联立⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，

消去y 并整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42.①

因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.

又y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，

则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0. 由①知，b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝－4或b ＝1. 当b ＝－4或b ＝1时，

均有Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＝－4b 2－24b ＋36＞0， 即直线l 与圆C 有两个交点．

所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. [题后悟通]

以AB 为直径的圆过原点等价于OA ⊥OB ，而OA ⊥OB 又可以“直译”为x 1x 2＋y 1y 2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．

[针对训练]

1．已知椭圆M ：x 24＋y 2

3＝1，点F 1，C 分别是椭圆M 的左焦点，左顶点，过点F 1的直线l (不与

x 轴重合)交椭圆M 于A ，B 两点．

(1)求椭圆M 的离心率及短轴长．

(2)问：是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意知，椭圆M 的离心率e ＝c a ＝1

2，短轴长2b ＝2 3.

(2)设点B (x 0，y 0)，由题意知BC ⊥BF 1，点F 1(－1,0)，C (－2，0)， 由BC ·BF 1＝0，得(－2－x 0，－y 0)·(－1－x 0，－y 0)＝0， 即(x 0＋2)(x 0＋1)＋y 20＝0.①

又知点B (x 0，y 0)满足x 204＋y 2

3

＝1.②

联立①②，解得x 0＝－2或x 0＝－10.

由椭圆方程知，x 0＝－2或x 0＝－10均不满足题意，故舍去． 因此，不存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上．

策略二 角平分线条件的转化

[典例] 已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；

(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PB Q 的角平分线，求证：直线l 过定点．

[解题观摩] (1)设动圆圆心为点P (x ，y )，则由勾股定理得x 2＋42＝(x －4)2＋y 2，化简即得圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .

(2)证明：法一：由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．

联立⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋b ，y 2＝8x ，得k 2x 2＋2(kb －4)x ＋b 2＝0.

由Δ＝4(kb －4)2－4k 2b 2＞0，得kb ＜2. 设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2kb －4k 2，x 1x 2＝b 2

k

2.

因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以k PB ＋k Q B ＝0， 即k PB ＋k Q B ＝

y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝2kx 1x 2＋k ＋b x 1＋x 2＋2b x 1＋1

x 2＋1＝8k ＋b

x 1＋1x 2＋1k 2

＝0，

所以k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以l 的方程为y ＝k (x －1)． 故直线l 恒过定点(1,0)．

法二：设直线PB 的方程为x ＝my －1，它与抛物线C 的另一个交点为Q ′，

设点P (x 1，y 1)，Q ′(x 2，y 2)，由条件可得，Q 与Q ′关于x 轴对称，故Q(x 2，－y 2)．

联立⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝my －1，y 2＝8x ，消去x 得y 2－8my ＋8＝0，

其中Δ＝64m 2－32＞0，y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝8. 所以k P Q ＝

y 1＋y 2x 1－x 2＝8

y 1－y 2

， 因而直线P Q 的方程为y －y 1＝8

y 1－y 2

(x －x 1)． 又y 1y 2＝8，y 21＝8x 1，

将P Q 的方程化简得(y 1－y 2)y ＝8(x －1)， 故直线l 过定点(1,0)．

法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在， 则它一定在x 轴上，

所以设定点坐标为(a,0)，直线P Q 的方程为x ＝my ＋a .

联立⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝my ＋a ，y 2＝8x 消去x ，

整理得y 2－8my －8a ＝0，Δ＞0.

设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则⎩

⎪⎨⎪⎧

y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8a .

由条件可知k PB ＋k Q B ＝0， 即k PB ＋k Q B ＝y 1x 1＋1＋y 2

x 2＋1

＝

my 1＋a y 2＋my 2＋a y 1＋y 1＋y 2

x 1＋1x 2＋1

＝2my 1y 2＋a ＋1y 1＋y 2

x 1＋1x 2＋1＝0，

所以－8ma ＋8m ＝0.

由m 的任意性可知a ＝1，所以直线l 恒过定点(1,0)． 法四：设P ⎝⎛⎭⎫y 2

18，y 1，Q ⎝⎛⎭⎫y 2

2

8，y 2， 因为x 轴是∠PB Q 的角平分线， 所以k PB ＋k Q B ＝

y 1

y 218＋1＋y 2

y 228＋1＝0， 整理得(y 1＋y 2)⎝⎛⎭⎫

y 1y 28＋1＝0. 因为直线l 不垂直于x 轴，