《两角和与差的正弦》例题

又 cos(α－β)＝1123，sin(α＋β)＝－35，
所以 sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－11232＝153， cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β
＝－ 1－－352＝－45. 所以 sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝153×(－45)＋1123×(－35)＝－5665.
【 解 】 (1) ① 原 式 ＝ sin(29°＋ 90°)sin(1°＋ 180°) － sin(1°＋90°)sin29° ＝cos29°(－sin1°)－cos1°sin29° ＝－(sin29°cos1°＋cos29°sin1°)
＝－sin(29°＋1°)＝－sin30°＝－12.
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②法一：sin15°＋cos15°＝ 2(sin15°·22＋cos15°·22)
例1 (1)求值：①sin119°sin181°－sin91°sin29°； ②sin15°＋cos15°； (2)已知π2＜β＜α＜34π，cos(α－β)＝1123，sin(α＋β)＝－35， 求 sin2α 的值．
【思路点拨】 (1)首先把非特殊角向特殊角转化 或创造条件逆用公式，然后再应用公式求解． (2)首先观察出角的关系，即2α＝(α－β)＋(α＋β)， 再利用α，β范围正确求出sin(α－β)与cos(α＋β)， 最后利用公式求解．
＝
2sin(15°＋45°)＝
2sin60°＝
6 2.
法二：sin15°＋cos15°＝ 2(cos15°·22＋sin15°·22)
＝ 2(cos45°cos15°＋sin45°sin15°)
＝
2cos(45°－15°)＝
2cos30°＝
6 2.
(2)因为π2＜β＜α＜34π，
所以 0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π.