4.5.1函数的零点与方程的解
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解教学设计
4.5.1 函数的零点与方程的解教材分析：（1）函数的零点：我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
这个概念是由二次函数的零点推广到一般函数f(x)得到的.（2）函数的零点与方程的解的关系：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.从代数上看，在函数y=f(x)的解析式中，当函数值y=0时，得到方程f(x)=0，这个方程的实数解就是使f(x)=0的实数x，因此，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解.从图形上看，函数y=f(x)的解析式可以看成关于x,y的方程，这个方程的每一组解（x,y）对应于直角坐标系平面中函数y=f(x)的图象上一个点（x,y），当函数值y=0时，对应的点为（x,0），它是函数y=f(x)的图象与x轴交点，因此，方程f(x)=0的实数解是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.函数的零点与方程的解的关系给出了利用函数图象判断方程是否有解的办法：方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)图象与x轴有交点.函数的零点与方程的解的关系也为解不能用公式求解的方程提供了思路：我们可以把方程与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解。
（3）函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）上至少有一个零点。
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，意味着在区间[a,b]上，当自变量从a连续不断地变化到b时，相应的函数值从f(a)连续不断地变化到f(b).若f(a)f(b)<0，则f(a)>0且f(b)<0,或者f(a)<0且f(b)>0，意味着当函数值从f(a)连续不断地变化到f(b)时，发生了函数值由正到负，或者由负到正的连续不断的变化，而正数和负数是以0为界线的，因此，必然存在一个c∈（a,b），使得f(c)=0.函数零点存在定理是判断方程在某个区间内是否有解的具体方法，是利用函数研究方程的有利工具。
高中数学新教材《4.5.1函数的零点与方程的解》公开课优秀课年(经典、完美)
y
a 0b
c dx
2020/11/19
思考：如果函数y=f(x)在[a,b]上满足 f(a).f(b)<0，那么函数y=f(x)在(a,b)上 一定有零点吗？
y
Oa
bx
归纳：函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点的条件？
函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续 不断的曲线,并且有f(a).f(b)<0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b), 使得f(c)=0这个c也就是方程f(x)=0的解.
1.在区间(－2,0)上有零点－1 ;f(－2)= 5 , f(0)= －3 , f(－2).f(0) < 0(<或>);
2.在区间(2,4)上有零点 3 , f(2).f(4) < 0(<或>).
探索新知
观察函数的图象 ①在区间(a,b)上_有___(有/无)零点；
f(a) f(b)__＜___0（＜或＞）． ② 在区间(b,c)上__有____(有/无)零 点；f(b) f(c) _＜____ 0（＜或＞）． ③ 在区间(c,d)上__有____(有/无)零 点；f(c) f(d) __＜___ 0（＜或＞）．
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[ 解析] f(－2)＝e－2－2－2＝e－2－4＝e12－4<0， f(－1)＝e－1－1－2＝1－3<0，
e f(0)＝e0－2＝1－2<0，f(1)＝e－1>0， ∴f(0)·f(1)<0，∴函数 f(x)的零点所在的一个区间为(0,1)．
思考1.若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续,
高中数学必修一(人教版)4.5.1函数的零点与方程的解
方法归纳
1．确定函数零点个数的方法： ①结合零点存在定理和函数单调性； ②转化为两个函数图象的交点个数． 2．已知函数零点个数求参数范围的常用方法
跟踪训练 1 (1)函数 f(x)＝12x－x3－2 在区间(－1,0)内的零点个数 是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．函数 f(x)＝log2x－1 的零点为________．
解析：令 f(x)＝log2x－1＝0，得 x＝2，所以函数 f(x)的零点为 2. 答案：2
方法归纳
函数零点的求法 求函数 y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令 f(x)＝0，根据解 方程 f(x)＝0 的根求得函数的零点；其二是画出函数 y＝f(x)的图象，图 象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．
第1课时 函数的零点与方程的解
[教材要点]
要点一 函数的零点 1．零点的定义 对于函数 y＝f(x)，把_f_(x_)_＝__0_的__实__数___x__，叫做函数 y＝f(x)的零点． 2．方程的根与函数零点的关系
交点的横坐标
零点
状元随笔 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取 该值时，其函数值等于零．
又函数 f(x)＝log3x－8＋2x 的图象是连续的． ∴函数 f(x)的零点所在区间是(3,4)．
答案：C
方法归纳
判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间 内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
状元随笔 利用数形结合讨论方程的解或图象的交点．讨论方程
4.5.1函数零点与方程的解课件高一数学
的图象与轴的公共点的横坐标.
所以方程() = 0有实数解
⇔函数 = ()有零点
⇔函数 = ()的图象与轴有公共点
2.函数零点存在定理：如果函数 = ()在区间[, ]上的图象是一条连续
由零点存在定理可知： f x 分别在区间 2,3 ， 3, 4 ， 4,5 内有零点
【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.
课本P155 习题4.5
3
f
(
x
)
x
2 x 1 ，求证：方程 f ( x) x 在 (1, 2) 内至少有两个实数解.
3.已知函数
函数 y f ( x) 在哪几个区间内一定有零点？为什么？
x
1
2
3
4
y
136.136
15.552
-3.92
10.88
5
6
-52.488 -232.064
【详解】由对应值表可得： f 2 f 3 0 ， f 3 f 4 0 ， f 4 f 5 0
函数 图像在[, ]单调
则()在(, )上存在唯一零点
课堂例题
例1 求方程 + 2 − 6 = 0的实数解的个数.
(法一)解：设函数
…
() = + 2 − 6，
1
2
利用计算工具，列出函
3
数 = () 的对应值表， 4
并画出图象.
5
-1.3069
6
7.7918
不断的曲线，且有()() < 0，那么，函数 = ()在区间(, )内至
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解教案
4.5.1 函数的零点与方程的解教学目标：1.了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.2.理解函数零点存在定理：了解函数图象连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件，了解函数零点可能不止一个，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间，达到直观想象、数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.教学重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法；掌握函数零点存在定理并能应用.教学难点：数形结合思想，转化与化归思想的培养与应用；函数零点存在定理的理解. 教学过程： （一）新课导入观察下列三组方程与函数：大家利用函数图像探究方程的根与函数图像与x 轴的交点之间的关系.教师以第一题为例阐述二者之间的关系，方程2230x x --=的根为-1和3，函数223y x x =--的图像与x 轴交于点（-1,0），（3,0）.学生思考回答下面两组关系.学生：2210x x -+=有两个相等的实根为1，函数221y x x =-+的图像与x 轴有唯一的交点（1,0）.22+30x x -=没有实根，函数22+3y x x =-的图像与x 轴无交点.教师讲解：由方程与函数的关系，接下来我们开始学习今天的内容. 探究一：零点的概念教师讲解:我们通俗地称函数图象与轴交点的横坐标为函数的零点，请同学们归纳函数零点的定义.学生思考并归纳：零点的概念：对于一般函数y =f （x ），我们把使f （x ）=0的实数x 叫做函数y =f （x ）的零点.提问：考察函数（1）lg y x =；（2）2log (1)y x =+；（3）2x y =；（4）22x y =-的零点.学生思考回答：（1）零点是x =1；（2）零点是x =0；（3）没有零点；（4）零点是x =1. 教师引导学生思考归纳函数的零点与方程的根的关系：方程f （x ）=0有实数根⇔函数y =f （x ）的图像与x 轴有交点⇔函数y =f （x ）有零点. 探究二：二次函数零点的判定提问：我们已经知道了函数的零点与方程的根的关系，那么对于二次函数来说，方程有一个根，说明函数有一个零点，方程有两个根，说明函数有两个零点；那么大家思考：二次函数的零点与一元二次方程的根的判别式之间有什么关系呢?学生思考并由教师归纳总结：二次函数零点的判定.对于二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程20ax bx c ++=，其判别式2Δ4b ac =-.师：大家思考下列问题：（1）如何求函数的零点?（2）函数零点与函数图像的关系怎样?学生回答，教师点评.生：（1）零点即函数值为零时对应的自变量的值，求零点可转化为求对应方程的根.（2）零点即函数图像与x 轴交点的横坐标.探究三：函数零点存在定理提问：探究函数245y x x =+-的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况?教师引导学生思考解决.师：利用图像观察零点所在区间，区间端点一般取整数.生：零点-5(6,4)∈--，零点1(0,2)∈，且(6)(4)0,(0)(2)0f f f f --<⋅<. 师：那么其他函数的零点是否具有相同规律呢? 观察下列函数的零点及零点所在区间： （1）()2 1.f x x =- （2）2()log (1)f x x =-.生：（1）函数()2 1.f x x =-的零点为12且(0)(1)0f f <，所以零点所在区间为（0,1）； （2）函数2()log (1)f x x =-的零点为2，2(1,3)∈且(1)(3)0f f <，所以零点所在区间为（1,3）.教师讲解，由特殊到一般，由此我们可以归纳出函数零点存在定理.如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f （a ）f （b ）<0，那么，函数()y f x =在区间（a ，b ）内至少有一个零点，即存在(,)c a b ∈，使得f （c ）=0，这个c 也就是方程f （x ）=0的解.师生合作分析，并剖析定理中的关键词： （1）连续不断；（2）f （a ）f （b ）<0.教师讲解：由于函数图象连续不断，若f （a ）>0，f （b ）<0，则函数y = f （x ）的图象将从x 轴上方变化到下方，这样必通过x 轴，即与x 轴有交点.对定义的进一步理解：（1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点；（2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号；（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数.例题：函数2()2f x x ax =-+在（0,3）内（1）由2个零点（2）有1个零点，分别求a得取值范围.学生求解：（1）()f x 在（0,3）内有两个零点，则(0)0(3)0Δ0032f f a >⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<-<⎪⎩622a ⇒-<<-；（2）()f x 在（0,3）内有一个零点，则(0)0(3)0f f >⎧⎨<⎩113a ⇒>.通过实例分析，进一步理解定理. （三）课堂练习例1.求函数3222y x x x =--+的零点，并画出他们的图像.解：因为3222x x x --+()22(2)(2)(2)1(2)(1)(1)x x x x x x x x =---=--=--+，所以这个函数的零点为-1，1，2.这三个零点把x 轴分为4个区间：(,1],[1,1],[1,2],[2,)∞∞---+.在这4个区间内，取x 得一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表. x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y…-4.381.8821.13-0.632.63…在直角坐标系中描点连线，这个函数的大致图像如图：例2.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根?2(1)350x x -++=；(2)2(2)3x x -=-；2(3)44x x =-； 22(4)5235x x x +=+.解：（1）令2()35f x x x =-++，做出函数()f x 的图像，它与x 轴有两个交点，所以方程2350x x -++=有两个不相等的实数根.（2）2(2)3x x -=-可以化为22430x x -+=，令2()243f x x x =-+，作出函数()f x 的图像，它与x 轴没有交点，所以方程22430x x -+=没有实数根.（3）244x x =-可化为2440x x -+=，做出函数()f x 的图像，它与x 轴有一个交点，所以方程244x x =-有两个相等的实数根.（4）225235x x x +=+可以化为22250x x +-=，令2()225f x x x =+-做出函数()f x 的图像，它与x 轴有两个交点，所以方程22250x x +-=有两个不相等的实数根. （四）小结作业本节课我们主要学习了哪些内容? 1.数学知识：零点的概念、求法以及判定.2.数学思想：函数与方程的相互转化，即转化思想；借助图象探寻规律，即数形结合思想.板书设计：1. 零点的概念、求法以及判定.2. 函数与方程的相互转化，借助图象探寻规律.。
4.5.1 函数的零点与方程的解 (教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
由零点存在定理，可知包含f(x)零点的区间是(2，4).
思维升华
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否
落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否 连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a， b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点
提示 零点分别是52，0，3.图象与 x 轴交点的坐标分别为52，0，(0，0)，(3，0).
2.填空 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使_f_(_x_)_＝__0_______的实数x 叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
f(x)＝0
(1)二次函数的零点是几何中的“点”吗？ 提示 不是，二次函数的零点是一个实数.
(2)对于下列函数：①f(x)＝2x－5；②g(x)＝2x－1；③h(x)＝ln(x－2)；④p(x)＝x－2 1. 它们是否都存在使得其函数值等于 0 的实数 x?
提示 f(x)，g(x)，h(x)存在；p(x)不存在. (3)上述问题(2)中，函数f(x)，g(x)，h(x)的零点分别是什么？它们的图象 与x轴交点的坐标分别是什么？
5.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
(1)若方程 f(x)＝0 有实根 x1，则函数 y＝f(x)的零点为(x1，0).( × ) (2)设 f(x)＝1x，由于 f(－1)f(1)<0，所以 f(x)＝x1在(－1，1)内有零点.( × ) (3)若函数 f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)f(b)<0.( × )
函数的零点与方程的解讲义
新教材必修第一册4.5.1：函数的零点与方程的解课标解读：1. 函数零点的概念.（理解）2. 0)(=x f 有解与)(x f y =有零点的关系.（理解）3. 函数零点的判断.（理解）学习指导：在熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图像与性质的基础上，提炼方程0)(=x f 的解与函数)(x f y =的图像与x 轴交点的关系，进而理解并准确把握函数零点的概念，以及函数零点、方程的实数解、函数图像与x 轴交点三者之间的关系，并能从“形”（函数图像）与“数”（函数零点存在定理）两个角度分析解决函数零点有关问题.知识导图知识点1：函数的零点1.函数零点的概念对于一般函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.2.函数的零点与方程的解的关系函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数解，也就是函数)(x f y =的图像与x 轴的公共点的横坐标.所以方程0)(=x f 有实数解⇔函数)(x f y =有零点⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有公共点.3.几种常见函数的零点（1）二次函数的零点一元二次方程）（002≠=++a c bx ax 的实数根也称为函数）（02≠++=a c bx ax y 的零点.当0>a 时，一元二次方程02=++c bx ax 的实数根、二次函数c bx ax y ++=2的零点之间的关系如下表所示： ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆ 02=++c bx ax 的实数根a acb b x 2422,1-±-=（其中21x x <）a b x x 221-== 方程无实数根 c bx ax y ++=2的图像c bx ax y ++=2的零点 aac b b x 2422,1-±-= a b x x 221-== 函数无零点 类似可得当0<a 的情形.（2）正比例函数)0(≠=k kx y 仅有一个零点0.（3）一次函数)0(≠+=k b kx y 仅有一个零点.kb -（4）反比例函数)0(≠=k x k y 没有零点.（5）指数函数)10(≠>=a a a y x 且没有零点.（6）对数函数）且（00log ≠>=a a x y a 仅有一个零点1.（7）幂函数,a x y =当0>a 时仅有一个零点0；当0≤a 时，没有零点.例1-1：观察如图所示的四个函数图像，指出在)0,(-∞上哪个函数有零点.例1-2：判断下列说法是否正确：（1）函数)102(1)(≤≤-=x x x f 的零点为1；（2）函数x x x f 2)(2-=的零点为（0,0），（2,0）.例1-3：函数x x x f -=3)(的零点个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3例1-4：”“1<m 是“函数m x x x f ++=2)(有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件知识点2：函数零点存在定理1.函数零点存在定理如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条连续不断的曲线，且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内至少有一个零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的解.2.函数零点存在定理的几何意义.在闭区间],[b a 上有连续不断的曲线)(x f y =，且曲线的起点))(,(a f a 与终点))(,(b f b 分别在x 轴的两侧，则连续曲线与x 轴至少有一个交点.3.函数零点的性质如果函数图像通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点.如图（1）所示，210,,x x x 都是变号零点；如果没有穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点，如图（2）所示，二次函数2x y =有一个不变号零点（或叫二重零点）.对于任意函数)(x f y =，只要它的图像是连续不断的，则有：（1）当它的图像听过零点且穿过x 轴时，零点两侧的函数值异号；（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.例2-5：若函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ ）A.若0)()(>⋅b f a f ，则不存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fB.若0)()(<⋅b f a f ，则只存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fC.若0)()(>⋅b f a f ，则有可能在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fD.若0)()(<⋅b f a f ，则有可能不存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c f。
新教材人教A版4.5.1函数的零点与方程的解课件(34张)
函数f(x)＝2x|logx|－1的零点个数是_____2__．
【解析】 求函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点， 即求 2x|log0.5x|－1＝0 的解， 即|log0.5x|＝21 x 的解．作出函数 g(x)＝|log0.5x| 和函数 h(x)＝12 x 的图象，如图所示．由图知 两函数的图象共有 2 个交点，故函数 f(x)的零点 个数是 2.
第四章 指数函数与对数函数
4．5 函数的应用(二)
4． 函数的零点与方程的解
函数y＝f(x)的零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，把使 ____f(_x_)_＝__0___的实数x叫做函数y＝f(x)的__零__点_____．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数的零点是一个点．
(
(2)函数y＝x2－1有零点．
(
(3)有些函数没有零点．
(
(4)函数y＝ 的零点是2或(2，0).
(
×) √) √) ×)
【解析】 (1)函数的零点是一个实数，不是一个点． (2)函数 y＝x2－1 的零点是 1 和－1. (3)如函数 y＝x2＋1 没有零点． (4)函数 y＝ x－2 的零点是 2.
4．若函数f(x)＝|x2－4x|－a的零点个数为3，则a＝_4_____． 5．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数是2______． 【解析】 作出函数g(x)＝ln x和h(x)＝x－2的图象如图所 示．由图可知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个 零点．
A．[－1，0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
【解析】 函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方 程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线 y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图 象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
新教材《4.5.1函数零点与方程的解》教学设计及反思
新教材《4.5.1函数零点与方程的解》教学设计及反思作者：贾静妍来源：《学校教育研究》2021年第06期一.教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.5.1节《函数零点与方程的解》，由于学生在第二章《一元二次方程与二次函数的关系》中已经学习了零点的概念，本节课的内容就是在此基础上的推广。
从而建立一般的函数的零点概念，进一步理解零点判定定理及其应用。
培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。
二.教学目标与核心素养三、教学重点难点教学重点：零点的概念及存在性的判定;教学难点：零点的确定.四.课前准备多媒体五.教学过程六.教学反思函数零点的概念在新教材第二章《一元二次不等式的解法》中已经介绍过，所以就没必要在重新讲一次。
本节内容第一个问题是函数的零点与方程的解的关系，所以结合学生的认知水平，先研究方程的解（一元一次方程，二次方程，对数方程），再画相应的函数，观察的出方程的解与函数图像与x轴交点的关系，由特殊到一般，由具体到抽象，认识了函数的零点，方程的根与函数图像与x轴交点的横坐标的等价性。
这个关系从数，形两个角度说明了函数的零点，也是零点的本质。
逐层铺垫，降低难度。
从求函数零点的过程中发现问题，有些方程不会求解，如何解決零点，有没有零点？有几个？问题提出来了。
解决过程中由实际问题引出，转化为数学问题，再进一步将数学问题符号化。
同时验证了定理的充分不必要条件，强调学生连续+异号一定有零点，反之不成立。
整个过程中锻炼了学生提出问题，分析问题，解决问题的能力，发展学生数学抽象的核心素养。
最后回到提出的问题，方程不会求解，不能求解的可以用定理法、图像法找到零点的区域、个数，并总结求函数零点的方法。
体现了数形结合及函数与方程的思想。
不足之处：教师讲的太多，应该留给学生更多时间去参与，探究，讨论，总结。
恰当使用信息技术，让学生直观形象的理解问题，了解知识的形成过程。
4.5.1函数的零点与方程的解课件(人教版)
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以其零点一定位于区间(3，4)．
2，1
2.函数f(x)=-x2+3x-2的两个零点是________.
解析：令-x2+3x-2=0，
解方程得x1=2，x2=1 ，
所以函数f(x)=-x2+3x-2的零点是2，1.
所以f(x)=x2-2x-3在区间 −2,1 内有零点.
O
-1
-2
-3
-4
1
2
3 4
5
x
二次函数f(x)=x2-2x-3在区间
y
2,4 内是
否也具有这种特点呢？
5
4
3
2
1
因为(2)(4) < 0
所以函数f(x)=x2-2x-3在
区间 2,4 内有零点.
-1
O
-1
-2
-3
-4
1
2
3 4
5
x
如何判断一般函数y=f(x)在区间(a，b)内是否存在零点?
y=x2-2x+1
y=x2-2x+3
方程的实数根
x1=-1， x2=3
x=1
无实根
y
y
y
函数图象
-1
O
3 x
1
O1
x
O
x
2+bx+c=0
ax方
程
函 数
Δ>0
x2-2x-3=0
Δ<0
x2-2x+3=0
y= x2-2x-3y=ax2+bx+c（a＞0）
y=x2-2x+1
4.5.1函数的零点与方程的解(答案版)
一、函数的零点对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。
方程、函数、图象之间的关系：方程0)(=x f 有实数解⇔函数)(x f y =有零点⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点。
二、函数的零点、方程的解、函数图象与x 轴的交点方程0)(=x f 有实数解⇔函数)(x f y =有零点⇔函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
三、函数零点存在定理如果函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间）（b a ,内至少有一个零点，即存在()b a c ,∈，使得0)(=x f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的解。
例1：函数x y +=1的零点是（ ）A. ()01-，B.-1C.1D.0【答案】B 【解析】由01=+x ，得1-=x 。
例2：函数x x x f lg -)(lg 2=）（的零点为 【答案】1和10【解析】由0lg -)(lg 2=x x ，得.1011lg 0lg 01-lg lg ==∴==∴=x x x x x x 或，或，）（例3：已知函数的零点为则函数，（)(),12log 1,1,12)(x f x x x x x f >+≤-=（ ） A.12B.0C.-2.0D.0函数的零点与方程的解知识讲解典型例题【答案】D 【解析】当1≤x 时，令01-2x=，得0=x 。
当1>x 时，令12,0log 12==+x x 得，此时无解。
综上所述，函数零点为0。
例4：若函数)0()(≠-=b b ax x f 有一个零点3，则函数ax bx x g 3)(2+=得零点是 。
【答案】-1和0【解析】因为)0()(≠-=b b ax x f 的零点是3，所以0)3(=f ，即a b b a 3,03==-即。
函数的零点与方程的解 教学设计(1)
第五章函数的应用（二）4.5.1 函数零点与方程的解本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.5.1节《函数零点与方程的解》，由于学生已经学过一元二次方程与二次函数的关系，本节课的内容就是在此基础上的推广。
从而建立一般的函数的零点概念，进一步理解零点判定定理及其应用。
培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。
1、了解函数（结合二次函数）零点的概念；2、理解函数零点与方程的根以及函数图象与x轴交点的关系,掌握零点存在性定理的运用；3、在认识函数零点的过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学数形结合及函数思想；教学重点：零点的概念及存在性的判定；教学难点：零点的确定．多媒体（一）创设问题情境 问题1 求下列方程的根．（1）016=-x ； （2）01632=-+x x ； （3）01635=-+x x ； 解方程的历史（二）问题探究探究1：观察函数的图象思考：方程 x 2-2x -3=0 x 2-2x +1=0 x 2-2x +3=0 根 x 1=-1，x 2=3 x 1=x 2=1 无实数根 函数y =x 2-2x -3y =x 2-2x +1y =x 2-2x +3方程解法时间图 · 西方一次方程、二次方程 的一般解法1541年·意大利 塔尔塔利亚三次方程一般解法18证明记载了费拉里的四次方程一般解法9世纪·阿拉伯花拉子米1545年·意大利卡尔达诺方程解法时间图 · 中国 公元50年—100年 一次方程、二次方程 和三次方程根11世纪·北宋·贾宪三次方程正根数值解法任意7世纪·隋唐·王孝通三次或三次以上方程两个交点： 判别式Δ Δ＝0 方程a x 2+bx +c =0 (a >0)的根 x 1、x 2有两个相等的 实数根x 1 = x 2函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象函数的图象0()yf x 的实数根函数的图象与零点：对于函数y =f (x ),我们把使函数的零点是一个点吗？4 2 --3- 1 2 Oy4 2--3- 1 2 Oy4 2-3 - 1 2 OxyO xyx 1 x 2Oyxx 1 Ox y问题1: 零点不是一个点，零点指的是一个实数. 问题2: 试归纳函数零点的等价说法？ 跟踪训练 1．思考辨析(1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)(x 2,0)．( )(3)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，则一定有f (a )·f (b )<0.( )2．函数y ＝2x －1的零点是( )A.12B.⎝⎛⎭⎫12，0C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．2 A [由2x －1＝0得x ＝12.]零点存在性定理的探索． 问题5：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？观察函数的图象：①在区间(a ，b )上___(有/无)零点；f (a )·f (b ) ___ 0（“＜”或“＞”）． ②在区间(b ，c )上___(有/无)零点；f (b )·f (c ) ___ 0（“＜”或“＞”）． ③在区间(c ，d )上___(有/无)零点；f (c )·f (d ) ___ 0（“＜”或“＞”）．零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点.即存在c ∈(a ,b )，使得f (c )=0，这个c 就是方程f (x )=0的根. 定理解读思考1:为什么强调“函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象一条不间断的曲线”？如果函数图象不连续，或者y =f (x )不满足f (a )·f (b ) <0，那么零点存在性定理还成立吗？通过零点概念的辨析，进一步提出零点判定定理，发展学生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养；[答案] (1)× (2)× (3)×Oyxb axyOab cbd a xO y例１ 求方程lnx +2x −6=0的实数解的个数．分析：可以先借助计算工具画出函数y =lnx +2x −6的图象 或列出x ，y 的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助． 解：设函数f (x )=lnx +2x −6，利用计算工具，列出函数y =f (x )的对应值表并画出图象由表和图可知，f (2)<0，f (3)>0 ，则f (2)f (3)<0．由函数零点存在定理可知，函数f (x )=lnx +2x −6在区间（２，３）内至少有一个零点．容易证明，函数f (x )=lnx +2x −6 ，x ∈（０，＋∞）是增函数， 所以它只有一个零点，即相应方lnx +2x −6=0只有一个实数解．三、当堂达标 Oyxb aOyx baA ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】B [∵f (1)＝2－3＝－1<0，f (2)＝4－3＝1>0， ∴f (1)·f (2)<0，即f (x )的零点所在的区间为(1,2)．] 3．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)<0，则( ) A ．方程f (x )＝0一定有实数解 B ．方程f (x )＝0一定无实数解 C ．方程f (x )＝0一定有两实根 D ．方程f (x )＝0可能无实数解【答案】D [∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)<0，但方程f (x )＝0在(－1,3)上可能无实数解．]4．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________． 【答案】B(－1,0) [∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 0<0，f 1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1＋b >0，∴－1<b <0.] 5．已知函数f (x )＝x 2－x －2a . (1)若a ＝1，求函数f (x )的零点； (2)若f (x )有零点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x －2.令f (x )＝x 2－x －2＝0，得x ＝－1或x ＝2.,即函数f (x )的零点为－1和2. (2)要使f (x )有零点，则Δ＝1＋8a ≥0，解得a ≥－18，所以a 的取值范围是a ≥－18.。
函数的零点与方程的解
2
2
2
f(2)=e2-2- 3>0,f(e)=ee-e- 3>0,
2
2
可得f(x)在(0,1)内存在零点.
2.已知函数f(x)=ln x+x-6的零点x0∈(k,k+1),则整数k的值为________. 【解析】由函数的解析式可得函数在(0,+∞)上是增函数,且f(4)=ln 4+46<0,f(5)=ln 5+5-6>0,故有f(4)f(5)<0, 根据函数零点存在定理可得函数在区间(4,5)上存在零点.结合所给的条件可 得,k=4, 答案:4
4.5 函数的应用(二) 4.5.1 函数的零点与方程的解
必备知识·自主学习
1.函数的零点 (1)概念:使f(x)=0的_实__数__x_. 零点、图象与x轴交点、方程实数解的关系:
(2)本质:方程f(x)= 0的根、函数y= f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标. (3)应用:利用零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系,实现三种问题的相 互转化.
2.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,且其中的四组对应值如表,那么 在下列区间中,函数f(x)不一定存在零点的是 ( )
x f(x)
A.(1,2)
1 3
B.[1,3]
2 -1C.[2,5)3 Nhomakorabea5
2
0
D.(3,5)
3.(教材二次开发:例题改编)函数f(x)=ln x-6的零点是________. 【解析】令f(x)=ln x-6=0,则ln x=6,解得x=e6. 答案:e6
()
A.(-3,0)
B.(-3,1)
C.(-1,3)
D.(-1,1)
课件2：4.5.1 函数的零点与方程的解
考点
学习目标
函数零点的概念 理解函数零点的定义，会
及求法
求函数的零点
掌握函数零点的判断方
函数零点的判断 法，会判断函数零点的个
数及其所在区间
会根据函数零点的情况求 函数零点的应用
参数
核心素养 数学抽象、
数学运算
逻辑推理、 直观想象
数学运算、 直观想象
新知初探 1．函数的零点 (1)概念：对于一般函数 f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫 做函数 y＝f(x)的零点． (2)方程的根、函数的图象与 x 轴的交点、函数的零点三者 之间的联系
结论 存在 c∈(a，b)，使得__f(_c_)＝__0____，这个 c 也就 是方程 f(x)＝0 的根
自我检测 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点是一个点．( × ) (2)任何函数都有零点．( × )
(3)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)
跟踪训练
1．函数 f(x)＝xlo＋g21x，，xx≤>00，的所有零点构成的集合为
() A．{1}
B．{－1}
C．{－1，1}
D．{－1，0，1}
解析：当 x≤0 时，f(x)＝x＋1＝0⇒x＝－1； 当 x>0 时，f(x)＝log2x＝0⇒x＝1， 所以函数 f(x)的所有零点构成的集合为{－1，1}． 答案：C
名师点拨 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值 时，其函数值等于零．
2．函数零点的判断 (1)函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条
条件 __连_续__不__断___的曲线． (2) _f(_a_)_·f_(b_)_＜__0_ 函数 y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即
4.5.1函数的零点与方程的解课件(人教版)
谢谢！
3.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点，求a的值。
解：由题可知：ax2-x-1=0的解只有一个.
所以当a≠0时， Δ=1+4a=0. 解得a= - 1
当a=0时，x=-1.符合题意。 故a=0或a= - 1 .
4
y
4 log1 x, x > 0,
2
2
4.已 知 函 数f ( x) = 2x , x ≤0,
4.5.1函数的零点与方程的解
预习并回答下列问题：
（1）什么是函数零点？（函数零点的概念）
（2）求下列函数的零点？并画出相应函数的图像
f(x)=x2-2x-3
f(x)=x2-2x+1 f(x)=x2-2x+3
（3）怎么判断二次函数零点的个数？
（4）怎样求一个函数的零点？
（1）什么是函数零点？（函数零点的概念）
y
2 1
－1 0 1 2 3 4 5
x
－1
－2
－3
－4
7.已知
f(x)＝
x2＋2x－3，x≤0， x2－3＋lnx，x>0，
，则函数的零点个数为( B
)
A．3
B．2 C．1
D．0
解：当 x≤0 时，由 x2＋2x－3＝0，得 x＝－3 或 1（舍）；
当 x>0 时，函数对应的方程为 lnx＋x2－3＝0，
没有零点
y
.
.
5
零点分为变号 零点和不变号
.1
.
－1 0 1 2 3
－1
－2 －3
. －4
2
. x 1
.
－1 0
.
12
4
3. . 2.
课件1：4.5.1 函数的零点与方程的解
[跟踪训练 2] (1)使得函数 f(x)＝ln x＋12x－2 有零点的一个区间是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
解析 函数 f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，
且 f(2)＝ln 2－1<ln e－1＝0，
f(3)＝ln 3－12>ln e－12＝12>0，∴f(2)·f(3)<0.
[方法总结] 函数零点的求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根； (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标 即为函数的零点．
[跟踪训练 1] 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝－x2－4x－4； (2)f(x)＝(x－1)(xx－2－34x＋3)； (3)f(x)＝4x＋5； (4)f(x)＝log3(x＋1)．
又 f(3)＝ln 3－23＞0，∴f(2)·f(3)＜0. ∴f(x)在(2,3)内有一个零点． 答案 B
(2)若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
解析 构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)
方法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1) 的草图，如图所示．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x) ＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－ 2有且只有一个零点．
[变式探究] 将本例中函数解析式改为f(x)＝x－3＋ln x 呢？
解 (1)当 x≤0 时，令 x2＋2x－3＝0，解得 x＝－3； 当 x>0 时，令－2＋ln x＝0，解得 x＝e2. 所以函数 f(x)＝x－2＋2＋2xl－n x3，，xx>≤00， 的零点为－3 和 e2. (2)由已知得 f(3)＝0 即 3a－b＝0，即 b＝3a. 故 g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)． 令 g(x)＝0，即 ax(3x＋1)＝0，解得 x＝0 或 x＝－13. 所以函数 g(x)的零点为 0 和－13.
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(1)若f (a) f (b) 0,则在区间(a,b)内函数y f (x)有且仅 有一个零点；
(2)若f (a) f (b) 0,则在区间(a,b)内函数y f (x)无零点；
(3) y f (x)在(a,b)内有零点，必有 f (a) f (b) 0
(4)若f (a) f (b) 0,则在区间(a,b)内函数y f (x)有零点；
积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间
2, 4上是否也具有这种特点呢？
y 5 4 3
2 1
-2 -1 0 1 2 -1 -2 -3 -4
345 x
函数零点存在性的探究 y
观察函数的图象
a
c
Ob
dx
① f(a).f(b)_<_0（＜或＞） ，在区间[a,b]上_有_(有/无)零点
② f(b).f(c) _<_0（＜或＞），在区间[b,c]上_有_(有/无)零点
定义： 对于函数y=f(x) 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点.
巩固练习
1、函数f (x)=x(x-1)(x+4)的零点为B
A. (1,0), (-4,0)
B. 0, 1,-4
C. (– 4 ,0), (0,0),(1,0) D. 1, -4
注意：零点是自变量的值，而不是一个点．
2 1
－1 0 －11(12,0) 3
x
－2
－3
－4
问结题论3：：填表，观察说出表中一元二次方程的实数
根方与程相的应实的数二根次就函是数函图数像图与象x与轴x的轴交交点点的的关横系坐.标.
方程 函数 函 数 的 图 象
方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0
y= x2－2x－3 y= x2－2x+1
代数法求函数零点的步骤： 1.令f(x)=0; 2.解方程f(x)=0； 3.写出零点.
你能判断函数f(x)=lnx+2x－6有零点吗？
探究
观 察 二 次 函 数 f (x) x2 2x 3 的 图 象，如右图，我们发现函数 f (x) x2 2x 3在
区间2,1 上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘
x1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0，
y 10
∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
思考：如何说明零点的唯一性？
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
将上述结论推广至一般 方程f (x) 0与相应的函数 y f (x).
数 方程f (x) 0的根x0
函数f (x)的零点 x0
形函数y f (x)图像与x轴交点的横坐标x0
我们把x0叫做函数 y f x的零点
元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，
上述结论是否仍然成立？
判别式△ = b2－4ac
△＞0
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等
(a>0)的根
的实数根x1 、x2
y
函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象
x1 0
x2 x
△=0 有两个相等的 实数根x1 = x2
y
0 x1 x
△＜0 没有实数根
探究：观察下图，试判断应满足什么条件，函数
y=f(x)在区间(a,b)内有且只有一个零点？
y
y
0a
bx
0a
bx
y)f(b)b﹤0x； 0a
bx
3、函数y=f(x)在(a,b)上是单调函数。
例1 、函数f(x)=lnx+2x- 6是否有零点，有的话有几
个，并确定零点所在的区间[n, n+1] (n∈Z) . 解法 用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表：
f(c)=0，这个c也就是方程f(x()1=)0图的像根是. 连续不断的曲线
判断下列说法是否正确。 (2) f (a) f (b) 0
函数y=f(x)定义在[a,b]上,并且有f(a)·f(b)<0，则函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点。
练习1：已知函数y=f(x)在区间 [a,b]上是连续不断的曲线，判断下列结论，正确的是
4.5.1 函数的零点与方程的解
结论：
问方题程1的：实方数程根x-1就=是0与函函数数图y象=x与-1x在轴形交式点上的有横什坐么标区.
别？如何将函数变成相应的方程？
问题2：画出函数f(x)=x-1的图像，分析方程x-1=0 的根和函数f(x)=x-1图像与x轴的交点坐标有什么关 系？
y
y x 1
y
. 2
.
.y
.
.1
.
－1 0 －11 2 3
－3 －2
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
(－1,0)、(3,0) (1,0)
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.5 .4
..
. 3
2
1
－1 0 1 2 3 x
无实数根
无交点
问题4： 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一
2、函数y=f(x)的图象如下图，则其零点为 -2，_1_，__3_.
y
2
1
x
O
3
函数零点的求法: 1.代数法;
2.图象法.
3.求下列函数的零点
(1)f(x)= 1-lgx (2)f(x)= x2 –3x+2
10
1和2
巩固练习
(3)f(x) = x2 –x+2
没有零点
思考：代数法求函数零点的步骤?
③ f(c).f(d) _<_ 0（＜或＞），在区间[c,d]上_有_(有/无)零点
你认为应满足什么条件可以判断函数y=f(x)在区间[m,n] 一定有零点？
y
零点存在性定理：
a
c
Ob
dx
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不
断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数
y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得
f(x8)=lnx+2x- 6
6
4
由于函数y=lnx和y=2x-6在定义域域(0,+∞) 2
内是增函数， 所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内 O 1 2 3 4 5 6 x
是增函数，因此它仅有一个零点。．
-2 -4
练习2：在下列哪个区间内,函数f(x)= x3＋3x－5
一定有零点（C）
A、(－1,0） B、(0,1） C、(1,2） D、(2,3）