函数极限的性质.ppt
函数的极限(高等数学课件
极限存在的充分条件
通过研究极限存在的充分条件，我们能够判断函数极限是否存在，从而分析函数的性质。
极限不存在的充分条件
极限不存在的充分条件揭示了函数在某一点无法达到收敛状态的原因，帮助我们理解函数的特性。
极限的计算方法
通过掌握极限的计算方法，我们能够简化复杂函数的分析，快速求得函数在某一点的极限值。
无穷远处的极限研究函数在无穷远处的行为，了解函数在无穷远的趋势和特征。
函数连续的定义
函数连续的定义是描述函数在一个区间内各点之间没有突变，平滑过渡的性质。
极限的性质
通过研究极限的性质，我们能够推导出一些重要的定理和计算方法，深入理解函数的行为。
夹逼定理
夹逼定理是一种重要的判断函数极限存在与计算的方法，让我们能够找到极限或证明其不存在。
极限的唯一性
极限的唯一性告诉我们，函数在某一点的极限只可能有一个确定的值，没有 歧义性。
极限的应用：导数和积分的概念
函数极限的应用非常广泛，例如在微积分中，导数和积分的概念都是基于极限的。
中值定理
中值定理是一组重要的定理，它揭示了函数在某一区间内的行为特点，是函 数研究的重要工具。
极值和最值的定义
极限与无的行为，探讨函数的无限增长和无限减小。
极限与无穷小
极限与无穷小研究函数在某一点附近的变化，帮助我们分析函数的微小变化 和趋势。
L'Hôpital法则
L'Hôpital法则是一种处理函数极限的重要方法，适用于特定的极限计算。
渐近线的定义与分类
渐近线研究函数在无穷远处的趋势，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近 线三种。
函数的极限(高等数学课 件)
探索函数极限的奥秘，从基本的概念到应用、定理和计算方法，打开数学世 界的大门。
高等数学 函数的极限课件
函数极限的定义可以用数学符号表示为：lim f(x) = A，表示当x趋近 于某个值时，f(x)趋近于A。
函数极限的性质
01
唯一性
函数的极限是唯一的，即如果 lim f(x) = A和lim f(x) = B，则
A = B。
02
有界性
函数的极限是有界的，即存在 一个正数M，使得当x在某点附 近时，f(x)的绝对值小于M。
高等数学 函数的极限课件
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的运算性质 • 无穷小与无穷大 • 函数的连续性 • 极限的应用
01
函数极限的基本概念
函数极限的定义
01
02
函数极限的定义是高等数学中的基本概念，它描述了函数在某一点的 变化趋势。具体来说，如果当自变量趋近于某一值时，函数值无限接 近于一个确定的数，则称该数为函数的极限。
求复合函数极限的方法
通过将复合函数分解为基本初等函数或已知极限的函数，利用极限的四则运算性质和已知极限，求得 复合函数的极限。
反函数的极限
反函数极限的定义
设函数y=f(x)在点x0有定义且f'(x0)=1，其反函数为x=g[f(x)]，如果lim(y→y0) x=lim(y→y0) g[f(x)]，则称反函 数在点y0处存在极限。
03
局部保号性
如果lim f(x) = A且A > 0，则 在某点附近存在一个正数δ， 使得当x满足一定条件时，f(x)
> 0。
函数极限的存在性定理
函数极限的存在性定理是高等数学中一个重要的定理，它给出了函数极限存在的 充分条件。根据这个定理，如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函数在该 点有极限。
连续性的几何意义
§3.2-函数极限的性质-数学分析(华师大-四版)课件-高教社ppt-华东师大教材配套课件
lim()x xf x A→= *点击以上标题可直接前往对应内容定理3.2（唯一性）证 不妨设以及 A x f x x =→)(lim 0.)(lim 0B x f x x =→由极限的定义，对于任意的正数 ,1δ存在正数,||010时当δ<-<x x (1),2|)(|ε<-A x f ,||020时当δ<-<x x )(lim 0x f x x →存在, 则此极限唯一.若 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0,2δ,ε后退 前进 目录 退出(2) 式均成立，.|)(||)(|||ε<-+-≤-B x f x f A B A 由ε 的任意性，推得 A = B. 这就证明了极限是唯一的.12min{,},δδδ=令(1) 式与.2|)(|ε<-B x f (2)(1),2|)(|ε<-A x f 00||,x x δ<-<当时所以定理3.3（局部有界性）证 ,1=ε取.1|)(|<-A x f .1|||)(|+<A x f 由此得,)(lim 0A x f x x =→若上在)()(0x U x f,)(0x U则存在有界.这就证明了 在某个空心邻域 上有界.),(0δx U)(x f ,0>δ存在00x x δ<-<当时，注(1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一 (2) 有界函数不一定存在极限； 这上并不是有界的在但.)2,0(1,11lim )3(1xx x =→说明定理中 “局部” 这两个字是关键性的.比较；定理3.4（局部保号性）则对任何正数)(A r A r -<<或使得存在,)(,0x U.)0)((0)(<-<>>r x f r x f 或.|)(|ε<-A x f .)(r A x f >->ε由此证得 有对一切,)(0x U x∈有时，当δ<-<||00x x 证 不妨设 0.A >,)0(0)(lim 0<>=→或A x f x x 若 ,0>δ存在,r A -=ε取 (0,),r A ∈对于任何定理3.5（保不等式性）)(lim )(lim 0x g x f x x x x →→与设则内有且在某邻域,)()()(0x g x f x U ≤).(lim )(lim 0x g x f x x x x →→≤证 0lim (),lim (),x x x x f x A g x B →→==设;)(ε->A x f 有时而当,||020δ<-<x x .)(ε+<B x g 分别存在正数 12,,δδ有 都存在，0,ε>则对于任意使当 010||x x δ<-<时, 满足时则当令,||0,},min{021δδδδ<-<=x x ,)()(εε+<≤<-B x g x f A所以证得是任意正数因为从而有,.2εε+<B A .B A ≤定理3.6（迫敛性）lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==设0x 且在的某个空心).()()(x g x h x f ≤≤.)(lim 0A x h x x =→那么证 因为 00lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==有时当,||00δ<-<x x (),A f x A εε-<<+().A g x A εε-<<+.)()()(εε+<≤≤<-A x g x h x f A 再由定理的条件，又得这就证明了 0)(x x h 在点的极限存在，并且就是 A .0,ε>所以对于任意,0>δ存在0()U x 邻域内有定理3.7（四则运算法则）;)(lim )(lim )]()([lim )1(0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±;)(lim )(lim )()(lim )2(000x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=g f g f ⋅±,在点 x 0 的极限也存在, 且都存在, ,0)(lim )3(0≠→x g x x 又若在点 x 0 的极限也存在,g f则.)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=并有,)(lim 0x f x x →若)(lim 0x g xx → 则§2 函数极限概的性质A x f x x =→)(lim 0范例这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理, 这就可以知道这些定理是显然的.里将证明留给读者. 在下一节学过归结原则之后, 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0的基本性质 §2 函数极限概的性质A x f xx =→)(lim 0范例arctan lim x x x→+∞πlim arctan ,2x x →+∞=因解为例1 .arctan limxxx ∞+→求002=⋅=π范例1lim 0,x x →∞=所以1=lim arctan lim x x x x →+∞→+∞⋅例 2 .1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 求有时又当,0<x 0>x 当,11lim )1(lim 00==-++→→x x x 由于,111x x x -≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<于是求得.11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 解 由取整函数的性质， .1111xx x ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-时, 有 ,111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x 因此由迫敛性得 ;11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x x x 同理得 .11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→x x x例 3 求极限 π4lim(tan 1).x x x →-π4lim tan tan1,4x x π→==解 因为所以π4ππlim(tan 1)11 1.44x x x →-=⋅-=-例4 .)1(1lim 0>=→a a xx 求证特别又有.1111εε+<<<--NNa a ,1N=δ取,|0|0时当δ<-<x ,1111εε+<<<<--NxNa a a .1lim 0得证即=→xx a 证 ,11lim ,1lim ==∞→∞→n n nn aa 因为所以 ,,0N ∃>∀ε有时当,N n ≥,1111εε+<<<--nna a复习思考题1. lim (), lim (),x x x x f x a g x →→=设存在不存在试问02. lim (),lim (),x x u u g x u f u A →→==设这时是否必有lim (())?x x f g x A →=0lim ()()?x x f x g x →极限是否必定不存在。
第二节函数的极限
lim f ( x) A
x
设 f (x)在 ( , a ) 内有 定义, A为常数.若当x无 限减小时, 函数f (x)无 限趋近常数A, 则称函数 f (x) 当 x 以 A 为 极限.
定理 lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A.
x
x
x
09:38
09:38
15
再考察函数 g ( x ) x 1 当自变量 x 1 的变化趋势.
仿上例可以得到下表.
x 0.5 0.9 0.99 g(x) 1.5 1.9 1.99
1.01 1.1 1.5 2.01 2.1 2.5
从上述图表中可以看出,当自变量 x 1 时, g ( x ) 2
上述两例说明：f ( x)在 x0 1 处没有定义.g ( x )在 x0 1 处有定义.而当x 1 时，f ( x )与 g ( x ) 都有相同的变化趋
证明 0 ， , 当 0 x 1 时 ， 有
2
2x2 2
x1 4 2(x 1) 4 2 x 1
所以
2x2 2
lim
4
x1 x 1
09:38
22
例 证明 lim x sin 1 0
x0
x
证明 0 ， , 当 0 x 1 时 ， 有
x sin 1 0 x sin 1 x
x
09:38
3
极限定义的几何意义：对任意给定的正数 ， 在直
线 y的上A 、下方各作一直线 ，y 则A存在
X 使0 得在区间 (与, X ) 内(函X 数,的) 图形全部落在
这两条直线
之间y. A
09:38
4
lim f ( x) A 0, M 0,x :| x | M有 | f ( x) A |
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
《极限定理教学》课件
02
无穷小和无穷大在极限理论中有 着重要的应用，如极限的定义、 性质和计算等。
06
极限定理的深化理解
极限定理的几何解释
极限定理的几何解释
通过几何图形和图形的变化趋势，深入 理解极限的概念和性质。例如，通过观 察函数图像的变化趋势，理解函数在某 点的极限值。
VS
动态演示
利用动画或动态图演示函数的变化趋势， 帮助学生直观地理解极限的概念。
注意事项
强调在求幂函数的极限时需要注意 的要点，例如n不能为负数且分母不 能为零等。
指数函数的极限
指数函数的形式
指数函数的一般形式为a^x（ a>0且a≠1），其极限值取决于a
的值。
举例说明
通过具体例子演示如何求指数函 数的极限，例如求lim(x->∞) a^x的极限值，其中a>1和 0<a<1的情况。
在微积分中，极限的应用可以帮助我们更好地理解微积分 的本质和思想，解决微积分中的问题，如求解函数的极值 、求解定积分等。
04
极限的运算
极限的四则运算
极限的四则运算法则
注意事项
极限的四则运算法则是极限运算的基 础，包括加法、减法、乘法和除法的 极限运算规则。
强调在运用极限的四则运算法则时需 要注意的要点，例如分母不能为零等 。
左极限与右极限
根据函数在某点处的左右两侧的变化 趋势，可以将极限分为左极限和右极 限。
单侧极限与双侧极限
根据函数在某点处是否只有一个方向 上的变化趋势，可以将极限分为单侧 极限和双侧极限总结词
单调有界定理是极限理论中的基本定理之一，它表明如果一 个数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则该数列收 敛。
无穷大的定义与性质
函数极限PPT课件
有|f(x)-A|<e
例例33 证 明 lim (2x -1) 1 x1
证明 因为e 0 de /2 当0|x-1|d 时 有
|f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|e
所 以 lim (2x -1) 1 x1
分析 |f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|
e >0 要使|f(x)-A|<e 只要|x-1|<e /2
证明 因为e 0 d e 当0|x-x0|d 时 有
|f(x)-A||x-x0|e
所以
lim
x x0
x
x0
分析
|f(x)-A||x-x0|
e >0 要使|f(x)-A|e 只要|x-x0|e
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铃
lim
x x0
f(x)A或fe(>x)0 Ad(>x0 当x0)。0<|x-x0|<d
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铃
lim
x x0
f(x)A或fe(>x)0 Ad(>x0 当x0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
例6 当x 0时，lim x2 4. x2
证明 因为 x2 - 4 x - 2 x + 2.
令 x - 2 1,则有3 x + 2 5,
所以 x2 - 4 x - 2 x + 2 5 x - 2。
y=f(x)
A+e
A
A-e
x0-d x0 x0+d
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铃
函数的极限PPT课件
函数极限的唯一性是函数极限的一个重要性质，它表明在某一点附近，函数的 极限值是唯一的。这个性质在研究函数的连续性和可导性等方面有着重要的应 用。
函数极限的局部有界性
总结词
函数极限的局部有界性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处有极限，那么在点$x_0$的某个邻域内，函 数$f(x)$是有界的。
详细描述
函数极限的保号性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数 的符号与极限值的符号保持一致。这个性质在研究函数的单调性和不等式证明等方面有
着重要的应用。
03 函数极限的计算方法
直接代入法
总结词
直接代入法适用于求函数在某点的极限 值，当函数在该点的值已知时，可以直 接代入计算。
VS
详细描述
直接代入法是最基本的求函数极限的方法 。当函数在某点的值已知时，我们可以直 接将该点的值代入函数表达式中，得到该 点的极限值。这种方法适用于一些简单的 函数，如常数函数、一次函数等。
抓大头法
总结词
抓大头法适用于求函数在某点的极限值，当 函数在该点的值未知，但存在一个较大的项 或几个项的组合可以确定函数的极限值时。
详细描述
函数极限的局部有界性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数值是有界 的。这个性质在研究函数的单调性和收敛性等方面有着重要的应用。
函数极限的保号性
总结词
函数极限的保号性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值大于0，那么在点$x_0$ 的某个邻域内，函数$f(x)$的值也大于0；如果极限值小于0，那么函数值也小于0。
详细描述
等价无穷小替换法是一种通过将函数中的某 些项替换为等价的无穷小量来估算函数的极 限值的方法。这种方法适用于一些复杂的函 数，如幂函数、三角函数等。在等价无穷小 替换法中，常用的等价无穷小量包括x→0时，
函数的极限定义及性质(共9张PPT)
两种特殊情况 :
lim f (x) A
x
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f (x) A
lim f (x) A
x
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f (x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，f (x) 1 , g(x) 1
x
1 x
都有水平渐近线 y 0 ;
又如， f ( x) 1 2 x , g (x) 1 2 x
都有水平渐近线 y 1.
1 y y 1 12x
1 x
x
1 O2Ox
xx
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几何解释
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2. 左极限与右极限
左极限 :
f
( x0 )
lim
x x0
f
(x)
A
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
时, 有 f ( x) A .
右极限 :
f
( x0 )
lim
x x0
f
(x)
A
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
解: 利用结论 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
x 0
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
函数的极限定义及性质
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
函数极限的性质
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发 计算较复杂的函数极限。 1 。 x
例1
求 lim x
x 0
解
1 由 第 一 章 § 3 习 题 13， 当 x 0 时 有 1 x x 1 ， x
3
1
x
x 2
2
x 1
。
故所求极限等于
3 1 lim 3 x 1 x 1 x 1
x
1 2
1
2
1
1 。 1
例 4 证
证 明 lim a
x 0
1
a
1
任 给 0 （ 不 妨 设 1） ， 为 使
/
（ 4）
（ 5） f x g x 与 （ 4 ） , （ 5 ）
2
， 则 当 0
x x0 时 ， 不 等 式
式 同 时 成 立 ，于 是 有 A f x g x B ，从 而 A B 2 。由 的 任 意 性 得 A B ， 即 （ 3） 式 成 立 。
a
即 1 a
x
x
1
（ 9） x（当 a 1时）的严格增性，只要
1 ， 利 用 对 数 函 数 lo g lo g
a
a
1
x l o g a 1
于 是 ， 令 m in lo g a 1 , lo g
a
1 ， 则 当
x 0 ;
有
大专-高等数学--第二章-PPT
定义１ 设函数 f (x) 在 x0 的某一空心邻域N (xˆ0 , )
内有定义，如果当自变量 x 在N (xˆ0 , ) 内无限接近于 x0
时，相应的函数值无限接近于常数 A ，则 A 为x x0 时
函数
f
( x) 的极限，记作lim xx0
f
(x)
A或
f
(x)
A( x
x0 ) ．
２． x x0 时函数 f (x)的极限
x
定理 2 lim f (x) A的充要条件是 x
lim f (x)= lim f (x) A．
x
x
例 3 由图 5 可知： lim 1 0 ； lim 1 0 ．
x x
x x
由图 6 可知 lim ex 0 ． x
y y ex
y
y
1 x
O
x
O
x
图5
图6
二、数列的极限
1． 数列的概念
设自变量为正整数的函数un f (n)(n 1,2,)，其 函数值按自变量 n 由小到大排列成一列数
6． x 时函数 f (x)的极限
定义 6 设函数 f (x)在(, a)内有定义( a为某个 实数)，当自变量无限变小(或 x 无限变大)时，相应的 函数值 f (x)无限接近于常数 A，则称 A为 x 时函 数 f (x)的极限，记 lim f (x) A或 f (x) A(x )．
定理 3 (单调有界原理) 单调有界数列必有极限．
三、极限的性质
性质 性质 1 (惟一性) 则A B.
若 lim f (x) A， lim f (x) B，
xx0
xx0
性质 2
(有界性)
若 lim xx0
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n
n
注
①若存在某个数列xn ，xn x ， lim xn x ， n
而 lim f ( xn ) 不存在，则 lim f ( x) 不存在。
n
xx
②若存在某两个数列xn 与xn ，xn x ， lim xn x ， n
与 xn x ， lim xn x ，但 lim f ( xn ) lim f ( xn ) ，则
1.3.4 函数极限的性质
性函质数1极（限唯具一有性与）数列相类似的性质,且证明方法相同。
下面仅就 x x 的情形加以叙述。 若 lim f ( x) 存在，则极限值是唯一的。
xx
性质 2（局部有界性）
若 lim f ( x) 存在，则在点x的 附近，函数f ( x) 有界。
xx
即M0 和0 ， xN ( x, ) 时，有 f ( x) M 。
xx
xx
∴ 0 ， 10, 2 0 ，
当0 x x 1 时，有 f ( x) A ，从而A f (x) ， 当0 x x 2 时，有 h( x) A ，从而h( x) A ，
取 min( 1, 2 ) ，则当 0 x x 时，有
A f ( x) g( x)h( x) A ， 故 lim g( x) A 。
性质 3（局部保序性）
若 lim f ( x) A ， lim g( x)B ，且AB ，
xx
xx
则 0 ， xN ( x,) 时， f ( x) g( x) 。
推论 1（局部保号性）
若 lim f ( x)0 ( 或 0 ) ，则0 ， xN ( x,) 时，
x x
f ( x)0 ( 或 0 ) 。
。
解：
lim
x3
xx227xx1122
lim ( x3(
x x
3)( 3)(
x x
4) 4)
lim x4 7 。 x3 x4
例 4．求下列极限
（1）
lim
x
3x3 4x2 2 7x35x3
( 型)
；（2）
lim
x
3 7
x x
2 3
4 5
x x
2 3
( 型).
解：（一1）般x地lim， 3当 7xx3a3b45xx20,32n,mxlimN73,nx45x2mx2x时333 ， 73有00
0 0
3 7
;
（2）xlixmlimba73xxxxmn32ba4511xxxxmn3211xlimab7n3mxxx54220ab,,xx323当当3 nm0.mn.,
例 5．已知 lim ( x2 1axb)0 ，求常数 a 和 b 。 x x1
解： lim ( x2 1axb) x x1
lim (1a)x2 (ab)x(1b) ，
n
n
n
lim f ( x) 不存在。
xx
例 1．证明： f ( x)sin1 当x0 时极限不存在。
x
证明：先取
xn
1 2n
,
nN
，
y
1
2 则 xn 0 ， xn 0 (n) ，
ysin 1 x
o
x
lim f ( xn ) lim 11 ，
n
n
-1
再取
xn
Hale Waihona Puke 1 2n,nN ，则 xn 0
，xn 0
xx
例
6．求极限:
lim
x0
x
1 x
。
解：∵
1 x
1
1 x
1 x
，（
x0
）
∴当
x
0
时，1
x
x
1 x
1
；
当
x
0
时，1
x
x
1 x
1
，
∵ lim 1 lim (1 x)1 ，
x0 x0
∴由夹逼定理可知
lim
x0
x
1 x
1
。
定理 5（复合函数求极限定理）
设由 y f (u), u g( x) 构成的复合函数 y f [g( x)]
(n) ，
而 lim
n
f
2
( xn ) lim (1)1
n
，∴
1 lim sin x0 x
不存在。
1.3.5 函数极限的运算
仅设讲xlxi mxxf(的x)情 形A ，。
lim
x x
g(
x
)
B
，则
（1） lim [ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x) A B ；
xx
xx
xx
（2） lim [ f ( x)g( x)] lim f ( x) lim g( x) AB ；
x x
x x
x x
（3） lim [Cf ( x)]C lim f ( x)C A ；
x x
x x
lim f ( x)
（4） lim f ( x) xx
A (B0) 。
xx g( x) lim g( x) B
在 N ( x) 内有定义，
若 lim g( x)u， lim f (u) A 且当x x 时，g( x)u ，
x x
uu
则 lim f [g( x)] lim f (u) A 。
x x
uu
分析：要证 0 ， 0 ， 0 x x 时， 有 f [g( x)] A f (u) A 成立。
例 7．求极限： lim
xx
（5） lim ( x)k xk (kN ) 。
xx
若 Pn( x) 和Qm ( x) 都是多项式，且Qm ( x)0 ，
则
lim
Pn( x)
lim Pn( x)
xx
Pn( x)
.
xxQm ( x) lim Qm ( x) Qm ( x)
xx
例 3．求极限：
lim
x3
x2 x12 x2 7x12
推论 2
若 lim f ( x) A ， lim g( x) B ，且0 ，
x x
x x
xN ( x,) 时，恒有 f ( x) g( x) ，则A B 。
定理 3（海涅定理）它给出了函数极限与数列极限的关系。
lim f ( x) A 对任意数列xn ，xn x ，
xx
且 lim xn x，有 lim f ( xn ) A 。
x
x1
∵上式极限为零的必要条件是1a0 且ab0 ，
∴a1 ，b1 。
定理 4（夹逼定理）
设在 N ( x) 内 f ( x) g( x)h( x) 且 lim f ( x) lim h( x) A ，
xx
xx
则 lim g( x) A 。
xx
证明：∵ lim f ( x) lim h( x) A ，
）.
解：设 un 1 x ，则 xun 1 ， 当 x0 时，u1 ，
x0 时，u1 ，由定理 5 得
lim
x0
n
1 x x
1
x0
x293 . x2
解： lim
x 0
x
29 x2
3
lim
x0
(
x2 9 3)( x2 9 3) x2( x2 9 3)
lim x0 x2 (
x2
x2 9 3)
lim
x0
1 x293
( ) 令u
x2 9 lim
u3
1 u3
1. 6
可省略
例 8．求极限: lim n 1 x 1 x0 x
（nN