函数极限的性质.ppt

性质 3（局部保序性）
若 lim f ( x) A ， lim g( x)B ，且AB ，
xx
xx
则 0 ， xN ( x,) 时， f ( x) g( x) 。
推论 1（局部保号性）
若 lim f ( x)0 ( 或 0 ) ，则0 ， xN ( x,) 时，
x x
f ( x)0 ( 或 0 ) 。
在 N ( x) 内有定义，
若 lim g( x)u， lim f (u) A 且当x x 时，g( x)u ，
x x
uu
则 lim f [g( x)] lim f (u) A 。
x x
uu
分析：要证 0 ， 0 ， 0 x x 时， 有 f [g( x)] A f (u) A 成立。
例 7．求极限： lim
n
n
n
lim f ( x) 不存在。
xx
例 1．ห้องสมุดไป่ตู้明： f ( x)sin1 当x0 时极限不存在。
x
证明：先取
xn
1 2n
,
nN
，
y
1
2 则 xn 0 ， xn 0 (n) ，
ysin 1 x
o
x
lim f ( xn ) lim 11 ，
n
n
-1
再取
xn
1 2n
,
nN ，则 xn 0
，xn 0
xx
例
6．求极限:
lim
x0
x
1 x
。
解：∵
1 x
1
1 x
1 x
，（
x0
）
∴当
x
0
时，1
x
x
1 x
1
；
当
x
0
时，1
x
x
1 x
1
，
∵ lim 1 lim (1 x)1 ，
x0 x0
∴由夹逼定理可知
lim
x0
x
1 x
1
。
定理 5（复合函数求极限定理）
设由 y f (u), u g( x) 构成的复合函数 y f [g( x)]
xx
xx
∴ 0 ， 10, 2 0 ，
当0 x x 1 时，有 f ( x) A ，从而A f (x) ， 当0 x x 2 时，有 h( x) A ，从而h( x) A ，
取 min( 1, 2 ) ，则当 0 x x 时，有
A f ( x) g( x)h( x) A ， 故 lim g( x) A 。
x
x1
∵上式极限为零的必要条件是1a0 且ab0 ，
∴a1 ，b1 。
定理 4（夹逼定理）
设在 N ( x) 内 f ( x) g( x)h( x) 且 lim f ( x) lim h( x) A ，
xx
xx
则 lim g( x) A 。
xx
证明：∵ lim f ( x) lim h( x) A ，
0 0
3 7
;
（2）xlixmlimba73xxxxmn32ba4511xxxxmn3211xlimab7n3mxxx54220ab,,xx323当当3 nm0.mn.,
例 5．已知 lim ( x2 1axb)0 ，求常数 a 和 b 。 x x1
解： lim ( x2 1axb) x x1
lim (1a)x2 (ab)x(1b) ，
(n) ，
而 lim
n
f
2
( xn ) lim (1)1
n
，∴
1 lim sin x0 x
不存在。
1.3.5 函数极限的运算
仅设讲xlxi mxxf(的x)情 形A ，。
lim
x x
g(
x
)
B
，则
（1） lim [ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x) A B ；
xx
xx
（5） lim ( x)k xk (kN ) 。
xx
若 Pn( x) 和Qm ( x) 都是多项式，且Qm ( x)0 ，
则
lim
Pn( x)
lim Pn( x)
xx
Pn( x)
.
xxQm ( x) lim Qm ( x) Qm ( x)
xx
例 3．求极限：
lim
x3
x2 x12 x2 7x12
x0
x293 . x2
解： lim
x 0
x
29 x2
3
lim
x0
(
x2 9 3)( x2 9 3) x2( x2 9 3)
lim x0 x2 (
x2
x2 9 3)
lim
x0
1 x293
( ) 令u
x2 9 lim
u3
1 u3
1. 6
可省略
例 8．求极限: lim n 1 x 1 x0 x
（nN
n
n
注
①若存在某个数列xn ，xn x ， lim xn x ， n
而 lim f ( xn ) 不存在，则 lim f ( x) 不存在。
n
xx
②若存在某两个数列xn 与xn ，xn x ， lim xn x ， n
与 xn x ， lim xn x ，但 lim f ( xn ) lim f ( xn ) ，则
1.3.4 函数极限的性质
性函质数1极（限唯具一有性与）数列相类似的性质,且证明方法相同。
下面仅就 x x 的情形加以叙述。 若 lim f ( x) 存在，则极限值是唯一的。
xx
性质 2（局部有界性）
若 lim f ( x) 存在，则在点x的 附近，函数f ( x) 有界。
xx
即M0 和0 ， xN ( x, ) 时，有 f ( x) M 。
xx
xx
（2） lim [ f ( x)g( x)] lim f ( x) lim g( x) AB ；
x x
x x
x x
（3） lim [Cf ( x)]C lim f ( x)C A ；
x x
x x
lim f ( x)
（4） lim f ( x) xx
A (B0) 。
xx g( x) lim g( x) B
推论 2
若 lim f ( x) A ， lim g( x) B ，且0 ，
x x
x x
xN ( x,) 时，恒有 f ( x) g( x) ，则A B 。
定理 3（海涅定理）它给出了函数极限与数列极限的关系。
lim f ( x) A 对任意数列xn ，xn x ，
xx
且 lim xn x，有 lim f ( xn ) A 。
）.
解：设 un 1 x ，则 xun 1 ， 当 x0 时，u1 ，
x0 时，u1 ，由定理 5 得
lim
x0
n
1 x x
1
。
解：
lim
x3
xx227xx1122
lim ( x3(
x x
3)( 3)(
x x
4) 4)
lim x4 7 。 x3 x4
例 4．求下列极限
（1）
lim
x
3x3 4x2 2 7x35x3
( 型)
；（2）
lim
x
3 7
x x
2 3
4 5
x x
2 3
( 型).
解：（一1）般x地lim， 3当 7xx3a3b45xx20,32n,mxlimN73,nx45x2mx2x时333 ， 73有00