数列极限的性质与运算(上交)

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数列极限的判定与运算

n2 − n + 5 例证明 lim 2 =． 1 n →∞ n + n − 1
证
∀ε > 0 ，因
n2 − n + 5 2n − 6 2n 2 −1 = 2 < 2 = <ε， 2 n + n −1 n + n −1 n n
2 故取 N = max 3, , 当 n > N 时，有 ε
0 ( a < 1 ) n lim a = 1 ( a = 1 ) n →∞ 既的的 ( a > 1 或 a = −1 )
1 .下列数列的的极限的是 (1)1,1,1, L ,1; (2)an = −
_________ . (3) a n = 2 n ;
1 ; n 3 2 n ,1 ≤ n ≤ 1000 , (4)an = 1, n > 1000 .
n→∞ n→∞ n→∞
D.若无穷数列 {a n }有极限 A, 则 lim a n = lim a n +1 .
n→∞ n→∞
4.若数列 {a n }的极限的的 , 且 lim (5n + 4) a n = 5,
n→∞
则 lim a n = ________; lim na n = __________ .
解
n → ∞时, 是无穷小之和．先变形再求极限. 是无穷小之和．先变形再求极限
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→∞ 2 n n 2

高中数学数列与数列极限的性质及定理总结

高中数学数列与数列极限的性质及定理总结数列是高中数学中的重要概念之一，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。

数列的研究对于理解数学的发展和应用具有重要意义。

本文将总结数列的性质及定理，并通过具体题目的分析，说明其考点和解题技巧，以帮助高中学生和家长更好地理解和应用数列。

一、数列的性质1. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。

有界数列是指其所有项都在某个范围内，无界数列则相反。

例如，数列{1, 2, 3, ...}是无界的，而数列{(-1)^n}是有界的，其项的取值范围在-1和1之间。

2. 单调性：数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。

单调递增数列是指其后一项大于或等于前一项，单调递减数列则相反。

例如，数列{1, 2, 3, ...}是单调递增的，而数列{3, 2, 1, ...}是单调递减的。

3. 有界单调性：数列既有界又单调，即既满足有界性，又满足单调性。

例如，数列{(-1)^n/n}既是有界的，其项的取值范围在-1和1之间，又是单调递减的。

二、数列极限的性质及定理1. 数列极限的定义：数列{a_n}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列的项a_n趋向于某个常数L。

用数学符号表示为lim(a_n) = L。

例如，数列{1/n}的极限是0，即lim(1/n) = 0。

2. 数列极限的唯一性：如果数列{a_n}的极限存在，那么它是唯一的。

即数列的极限不依赖于数列的前几项，只与数列的性质有关。

例如，数列{(-1)^n/n}的极限是0，无论数列的前几项是多少。

3. 夹逼定理：夹逼定理是数列极限的重要定理之一，它用于求解一些复杂的极限问题。

夹逼定理的核心思想是通过夹逼数列来确定数列的极限。

例如，对于数列{1/n^2}，我们可以通过夹逼定理得出其极限为0。

4. 递推数列的极限：递推数列是指通过前一项或前几项来确定后一项的数列。

递推数列的极限可以通过求解递推关系式来确定。

例如，对于数列{a_n = a_(n-1) +1/n}，我们可以通过求解递推关系式得出其极限为无穷大。

大学数列的极限知识点归纳总结

大学数列的极限知识点归纳总结数列是数学中常见且重要的概念之一，它含有很多有趣而具有挑战性的性质。

其中，数列的极限是数学分析中的重要内容之一，它在微积分、实变函数等领域中有广泛的应用。

本文将对大学数列的极限知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、数列的定义及性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一串数字。

2. 数列的记法：一般用 {an} 表示数列，其中 an 表示数列的第n项。

3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的。

二、数列极限的概念1. 数列极限的定义：对于数列 {an}，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，那么称数列的极限为A，记作lim (n→∞) an = A。

2. 数列极限的几何解释：数列的极限可以理解为当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于某个常数。

三、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：对于一个数列，如果其极限存在，则该极限是唯一的。

2. 数列极限与数列项的关系：如果数列的极限存在，那么对于任意大于极限的数M，存在正整数N，使得当n>N时，an>M。

3. 数列极限与数列的有界性的关系：如果数列的极限存在，那么这个数列一定是有界的。

四、常见数列的极限1. 等差数列的极限：对于等差数列 {an} = a1, a1+d, a1+2d, ...，其中a1为首项，d为公差，其极限为lim (n→∞) an = a1。

2. 等比数列的极限：对于等比数列 {an} = a1, a1r, a1r^2, ...，其中a1为首项，r为公比（r≠0），其极限存在的条件是|r|<1，极限为lim(n→∞) an = 0。

3. 斐波那契数列的极限：斐波那契数列 {Fn} = 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...，其中每一项等于前两项之和。

斐波那契数列的极限不存在，即lim (n→∞) Fn 不存在。

沪教版(上海)数学高二上册-7.7 数列极限的运算法则课件精选课件

求常数a, b的值
评析：这是一个求待定常数的极限逆向问题，一般都是从求极限
入手建立关于 a, b 的方程组求
解
课堂练习2：
已知lim n
an2 cn bn2 c
2,
求
lim
n
an2 c cn2 an
lim bn c 3, n cn a
例3、计算lnim（ n12
+
4 n2
+
7 n2
能胜，以其无以易之。天长地久。天地所以能长且久者，以其不自生，故能长生。是以圣人後其身而身先；外其身而身存。非以其无故能成其私。譬道之在天
所以能为百谷王者，以其善下之，故能为百谷王。是以圣人欲上民，必以言下之；欲先民，必以身後之。是以圣人处上而民不重，处前而民不害。是以天下乐
，能了解别人心灵活动的人永远不必为自己的前途担心。志当存高远。绳锯木断，水滴石穿让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧！锲而舍之，朽木
没有天生的信心，只有不断培养的信心。路曼曼其修远兮，吾将上下而求索天行健，君子以自强不息。会当凌绝顶，一览众山小。丈夫志四海，万里犹比邻。
美言不信。善者不辩，辩者不善。知者不博，博者不知。挫其锐，解其纷，和其光，同其尘，是谓“玄同”。故不可得而亲，不可得而疏；不可得而利，不可
1) 2
(2)设
lim
n
an2 4n2
bn 5n
1 1
1 b
,
求a b
3
lim（
n
1 n2 +1
+
2 n2 +1
+
3 n2 +1
+...+
n） n2 +1
(4) lim 1-2+3-4+...+(2n-1)-2n

数列的极限性质与计算方法

数列的极限性质与计算方法数列在数学中起着重要的作用，它们与极限的关系密切相关。

本文将介绍数列的极限性质以及常用的计算方法。

通过了解数列的极限性质，我们可以更好地理解和处理数学问题。

一、数列的极限性质数列的极限是指数列随着项数的增加趋向于某个确定的值。

数列的极限性质包括数列的有界性、单调性和收敛性。

1. 数列的有界性对于数列{an}，如果存在常数M，使得对所有的n，有|an| ≤ M，那么数列{an}是有界的。

数列的有界性是指数列中的所有项都不会无限增加或减小，而是有一个上界和下界。

2. 数列的单调性对于数列{an}，如果对于所有的n，都有an ≤ an+1 或an ≥ an+1，那么数列{an}是单调的。

数列的单调性是指数列中的项是否按照一定的规律递增或递减。

3. 数列的收敛性对于数列{an}，如果存在常数L，使得当n趋向于无穷大时，an趋向于L，那么数列{an}收敛于L。

数列的收敛性是指数列是否有一个确定的极限值。

二、数列的计算方法在计算数列的极限时，我们常用的方法包括通项公式、夹挤准则以及数列的运算法则。

1. 通项公式有些数列可以通过通项公式来表示，通项公式可以帮助我们计算数列的任意一项。

例如，斐波那契数列可以通过通项公式an = (φ^n - (1-φ)^n)/√5来计算。

2. 夹挤准则夹挤准则是一种常用的计算数列极限的方法。

如果存在数列{bn}和数列{cn}，满足对于所有的n，有bn ≤ an ≤ cn，并且{bn}和{cn}的极限都为L，那么数列{an}的极限也是L。

3. 数列的运算法则数列的运算法则包括数列的加法、减法、乘法和除法的性质。

例如，如果数列{an}和{bn}都收敛于L，那么它们的和数列{an + bn}也收敛于2L。

总结：数列的极限性质和计算方法是数学中的重要知识点。

通过了解数列的有界性、单调性和收敛性，我们可以判断数列的特性。

在计算数列的极限时，可以运用通项公式、夹挤准则和数列的运算法则等方法。

高中数学数列极限的性质与计算方法详解

高中数学数列极限的性质与计算方法详解数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。

在高中数学中，数列极限的性质和计算方法是一个重要的考点。

本文将详细解析数列极限的性质和计算方法，并通过具体题目进行举例，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。

一、数列极限的性质1. 有界性：如果数列{an}存在有界的上界和下界，那么该数列必定收敛。

例如，考虑数列{an} = (-1)^n，该数列的值在-1和1之间，因此数列{an}是有界的，且极限为0。

2. 单调性：如果数列{an}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列必定收敛。

例如，考虑数列{an} = 1/n，该数列单调递减且有下界0，因此数列{an}是收敛的，且极限为0。

3. 夹逼定理：如果数列{an}满足an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = L，那么数列{bn}也收敛，并且极限为L。

例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = (1 + 1/n)^n，{cn}= (1 + 1/n)^(n+1)，显然有an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = 0，因此数列{bn}也收敛，且极限为0。

二、数列极限的计算方法1. 基本四则运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{an + bn}的极限为A + B，数列{an - bn}的极限为A - B，数列{an * bn}的极限为A * B，数列{an / bn}的极限为A / B（其中B ≠ 0）。

2. 极限的乘法法则：如果数列{an}的极限为A，数列{bn}的极限为B，那么数列{an * bn}的极限为A * B。

例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = n，显然lim an = 0，lim bn = ∞，但是lim (an * bn) = 1。

3. 极限的倒数法则：如果数列{an}的极限为A（A ≠ 0），那么数列{1/an}的极限为1/A。

数列极限的性质与计算

数列极限的性质与计算数列是数学中一种重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。

在数学中，我们经常会遇到数列的极限问题。

数列极限是指当数列中的数趋于无穷时，数列的某个特定值。

本文将探讨数列极限的性质与计算方法。

一、数列极限的定义与性质数列极限的定义：设有数列{an}，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an-a|<ε成立，那么数a就是数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。

数列极限的性质：1. 极限的唯一性：如果数列{an}存在极限，那么该极限是唯一的，不会有其他极限存在。

2. 极限的有界性：如果数列{an}存在极限，那么这个数列必然是有界的，即对于某个正数M，对于任意的n，有|an|≤M成立。

3. 极限的保序性：如果数列{an}存在极限，且由an≤bn（n为任意正整数）可得an的极限不大于bn的极限；由an≥bn可得an的极限不小于bn的极限。

二、数列极限的计算方法根据数列极限的定义，可以通过以下几种方法来计算数列的极限。

1. 递推法：对于一些简单的数列，可以通过递推公式来计算其极限。

例如，斐波那契数列的递推公式是an = an-1 + an-2，初始值为a1=1，a2=1。

通过递推公式计算，可以得到斐波那契数列的极限为黄金分割比（约为1.618）。

2. 常用极限法则：利用一些已知的数列极限的性质，可以计算复杂数列的极限。

例如，对于数列an=(n+1)/(3n+2)，可以利用极限的四则运算法则，将该数列拆分成两个已知的数列的极限，从而计算得到极限为1/3。

3. 夹逼准则：夹逼准则也是一种常用的计算数列极限的方法。

它可以用来证明极限的存在，并且在计算极限时也非常有用。

夹逼准则的思想是通过找到两个数列，一个比待求数列始终大，另一个比待求数列始终小，且两个数列的极限相等，从而确定待求数列的极限。

例如，对于数列an=sin(πn/2)，可以利用夹逼准则证明其极限不存在。

1.3数列极限的性质

n
n
1.
2
例 2．求 lim [ 1 1 1 1 ] . n 12 23 34 n(n1)
解：由于 1 1 1 ，所以 n(n1) n n1
1 1 1 1
12 23 34
n(n1)
(1 1 )(1 1 )(1 1)( 1 1 ) 1 1 ,
2 23 34
n n1
n1
lim [ 1 1 1 1 ] lim (1 1 ) 1.
2 23
n1 n n
故xn 是单调增加且有上界的数列，必收敛.
例 5．设 x1
1,
xn
1 xn1 (n 2, 3, ), 1 xn1
求 lim xn.
n
解先证xn单调增加.
∵ x1分1析，:且由递xn推1公 1式x得nxn1数1 (列n的2前, 3,几项) ，：
∴ ∵
∴
xxx2n猜2想0xx1(11此,n.23数,11,58列2,1,单123x31,1调x,1增53)54.加1, 且1有x1上x1界 .12
由 lim xn
n
a
xn 必有界,
即M 0, n N , 有 xn M.
因为 xn yn a b (xn yn xnb) (xnb ab) xn yn xnb xnbab
xn yn b b xn a
M b ( M b ) ,
所以 lim (xn yn ) lim xn lim yn a b.
故A 0, 即 lim xn 0.
n
作业
习题二（P26）
4（1）（3）（4）（6）（9）(10)； 5； 6（1）（4）； 8（1）.
则n N , 有 xn M ,即xn有界.
性质 3（保序性）若 lim xn a ， lim yn b ，且a b ，

高数上1.3数列极限与性质

2n2 n 4 2 2 2n2 n 4 n
所以
n2 n 4 1
lim
n
2n2
n
4
2
分析:
3 n2 nn44
22n22n2 n
n4
4
1 2
3 2
3n 22n
22n2n43nn4
1 n4
这对是任一意个不>易0,取求N解=的[1绝/对]即值可不。等式，必须使用放大法
为了去掉绝对值，不妨设n>4,则有
对 ε >0, 数列点xn落入U(1, ε ) |xn-1|<ε
对于任意给定的正数 ,(这个正数可以任意小), 一定存在某一时刻N, 距离|xN1| , 而且从N以后的所有xn与1的距离|xn1|都小于 ,
当越变越小时, 始终存在时刻N, 当n>N时, 都有 |xn1|< ,
当 0 时, 距离 |xn1| →0.
,只要
n
10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正整数 N ,使得对于n N 时的一切 xn,不等式 xn a 都成立,那么就称常数 a是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于 a,记为
则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
例2 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , n ln q ln ,

数列与级数的极限性质及计算方法

数列与级数的极限性质及计算方法数列与级数是数学中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将讨论数列与级数的极限性质以及计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、数列的极限性质数列是由一系列有序的数所组成的，它们按照一定的规律排列。

数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值趋于一个确定的常数。

数列的极限性质包括以下几个方面：1. 有界性：如果一个数列存在一个上界和一个下界，那么它是有界的。

具体来说，如果存在一个正数M，使得对于数列中的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么这个数列是有界的。

2. 单调性：数列的单调性指的是数列中的项按照一定的规律递增或递减。

如果数列的项递增，那么这个数列是递增的；如果数列的项递减，那么这个数列是递减的。

3. 收敛性：数列的收敛性是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值趋于一个确定的常数。

如果一个数列存在极限，那么这个数列是收敛的；如果一个数列不存在极限，那么这个数列是发散的。

二、数列的计算方法计算数列的方法主要包括以下几种：1. 递推法：递推法是指根据数列的前一项来计算后一项。

例如，Fibonacci数列就是通过递推法计算的，每一项都是前两项的和。

2. 通项公式：通项公式是指通过一个数学公式来计算数列的任意一项。

例如，等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_1是首项，d是公差。

3. 递归公式：递归公式是指通过数列的前几项来计算后一项。

例如，斐波那契数列的递归公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2) = 1。

三、级数的极限性质级数是由一个数列的项相加而得到的。

级数的极限是指当级数的项数趋于无穷大时，级数的和趋于一个确定的常数。

级数的极限性质包括以下几个方面：1. 绝对收敛性：如果一个级数的各项都是正数，并且这个级数的部分和数列是有界的，那么这个级数是绝对收敛的。

2. 条件收敛性：如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么这个级数是条件收敛的。

极限的性质与四则运算法则

。
0
2lim( x212x)2 。
x 3x2 1
计
3lim ( x x x x)。
算
x
极限
4xl im 2(x12x3128)。
5limarctan1 。
x0Biblioteka x思考题若 li(m a xx2x 1 b )0， a 、求 b。 x
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 im fi(x)存,而在 ai为常 (i1 数 ,2,,n)则 ,
lim a1f1 [(x)a2f2(x)anfn(x)] lim a1f1(x)lim a2f2(x)lim anfn(x)
推论3 如果 limfi(x)存在 (i1,2,,n),则 l i mf1[(x)f2(x) fn(x)]
0

lx i m b am nxxm n a bm n 1 1xxn m 11 a b00

a b
n m

nm nm nm
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例求极l限 im (2)n 3n 。计算过程 n(2)n1 3n1
注求分式极限，楚一是 0定还看是。清 0
4、有理化法若分子或分母有根号(特别是有根号相减)时，可将之
有理化。
例求极l限 im 5 4x。计算过程 x1 13 x
练习求 li极 ( x m a ) x ( b ) 限 ( x a ) x ( b ) 。 x
二、四则运算法则根据极限的定义, 只能验证某个常数 A是否为某个函数
ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的计算问题, 下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则和一些已知结果来求函数极限。

数列与数列极限的性质与应用知识点总结

数列与数列极限的性质与应用知识点总结数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的研究对于理解数学中的许多问题和应用具有重要意义。

而数列的极限则使得我们能够更好地理解和描述数列的性质以及在实际问题中的应用。

本文将对数列与数列极限的性质与应用进行总结。

一、数列的性质1. 有界性：一个数列称为有界的，当且仅当存在一个确定的正数M，对于数列中的所有项an，有|an| ≤ M。

有界数列在数学分析中有着重要的应用。

2. 单调性：一个数列称为单调递增的，当且仅当对于所有的n，有an ≤ an+1。

类似地，如果对于所有的n，有an ≥ an+1，则称数列为单调递减的。

单调性常常在数列的收敛性和极限的证明中发挥重要作用。

3. 递推关系：数列中的每一项可通过前一项或前几项来定义。

这种定义方式称为递推定义。

递推关系在解决实际问题中的数学建模中经常出现。

二、数列的极限1. 数列极限的定义：对于一个数列{an}，若存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n > N时，有|an - L| < ε成立，则称L为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an = L。

2. 数列极限的性质：数列极限具有唯一性、有界性、保号性质等。

具体可根据极限定义以及数列的性质进行证明。

三、数列极限的运算与应用1. 数列的收敛性：若一个数列存在极限，称该数列为收敛数列。

否则，称为发散数列。

收敛数列是数学分析中的一个重要概念，它使得我们能够对数列的性质进行更深入的研究。

2. 数列极限的运算法则：加减法法则、数乘法则、乘法法则等等。

这些法则使得我们可以通过已知数列的极限，求解新的数列的极限，或者对已知数列进行运算。

3. 数列极限在实际问题中的应用：数列极限在实际问题中具有广泛的应用，例如在物理学中，可以通过数列极限来描述物体在运动中的位置、速度和加速度等；在经济学中，可以通过数列极限来描述货币的贬值和汇率的波动等。

数列极限性质

数列极限性质数列是我们在数学学习中经常遇到的概念，也是数学中的基础知识之一。

在数学中，数列是按照一定的规律把一组数排成一行，其中每一个数叫做这个数列的项。

数列的极限性质是数列学习中非常重要的一个概念，通过对数列的极限性质的研究，可以帮助我们更好地理解数学中的数列和函数的概念。

本文将介绍数列的概念和极限性质，并举例说明其应用。

首先，我们先来了解数列的概念。

数列是由一列有序的数按照一定的规律排列形成的。

通常情况下，数列的项用字母 a 和下标 n 表示，其中 a1, a2, a3,..., an,... 分别表示数列的第一项、第二项、第三项和第 n 项。

每一项都有唯一确定的位置，并且有一个确定的值与之对应。

数列的通项公式可以表示数列的每一项与项号之间的关系，例如 a_n = 2n 表示数列的第 n 项是 2n。

接下来，我们将探讨数列的极限性质。

在数学中，极限是一个非常重要的概念，也是对数列进行研究的基石。

一个数列的极限是指当数列的项越来越接近一个常数时，这个常数就是数列的极限。

数列的极限可以是有限值，也可以是无穷大或无穷小。

对于数列 a_n，如果存在一个常数 L，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数 N，当 n > N 时，有 |a_n - L| < ε 成立，那么我们就称 L 是数列 a_n 的极限。

数列的极限性质具有以下几个重要的特点：1. 极限的唯一性：一个数列只能有一个极限；2. 极限和数列项的大小关系：如果数列的每一项都小于一个常数 M，并且数列的极限存在，那么它的极限也小于这个常数 M；3. 子列的极限和原数列的极限：如果一个数列的子列有极限，那么原数列也有极限，并且它们的极限相同；4. 收敛数列的有界性：如果一个数列有极限，那么它是有界的；5. 极限运算法则：对于两个收敛数列 a_n 和 b_n，它们的和、差和积的极限分别是 a_n 和 b_n 的极限的和、差和积。

数列的极限性质在数学中有着广泛的应用。

极限的性质和运算法则

•推论如果数列{xn}从某项起有xn0(或xn0) 且数列{xn}收敛于a 那么a0(或a0) >>>
函数极限的性质
性质1(函数极限的唯一性) 如果当xx0时f(x)的极限存在那么这极限是唯一的性质2(函数极限的局部有界性) 如果 f(x)A(xx0) 那么 f(x) 在 x0 的某一去心邻域内有界 > 性质3(函数极限的局部保号性) 如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么在x0的某一去心邻域内有f(x)0(或f(x)0) >
n n mm n n mm n n mm
定理6(复合函数的极限运算法则) 设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则
x
x
x
lim f ( x) A 对 0 , M 0 , 当x M 时，有 | f ( x) A |
lim f ( x) A 对 0 , M 0 , 当x Ｍ时，有 | f ( x) A |
A
x
A
-M
M
x
A M
3 x2 5 2 x 7 求 lim 例例 7 2 x 3x 2x 1 3 x2 5 2 x 解 lim 2 x 3x 2x 1
•讨论
a0 x n a1x n 1 an 有理函数的极限 lim ? m m 1 x b0 x b bm 1x作业：P25 习题1—3
1：（2）（4）、（5）、（6）。
2：（3）、（6）。
x x0
lim f [g(x)] lim f (u) A

数列极限的概念与性质

数列极限的概念与性质数列是数学中一个重要的概念，其一般形式指的是一个无限序列。

而序列中的每一个元素所组成的数列，其极限是数学中另一个重要的概念。

本文将以此为主题，探讨数列极限的概念与性质。

一、数列极限的概念数列极限的概念通俗来说，就表示的是数列趋于一个确定的值。

特别地，如果一个数列a_n有着极限l，那么我们可以写作：lim_(n→∞)a_n = l其中，lim表示极限，n表示序号。

这一表达式意味着，当数列a_n的序号n趋近于无穷大时，其对应的元素a_n与极限l之间的差异越来越小。

注：∞是一个想象不出的数，在这里表示为极限所在的位置不受限制。

比如，考虑序列1, 2, 3, …，在此数列中，每个元素的值都比它之前的元素值大1。

此时，很容易看出，数列的极限并不存在。

例如，当n接近无穷大时，序列中各个元素之间的差异都是无限大。

这说明，数列的发散是存在的。

而另一方面，如果我们考虑1/2,2/3, 3/4, …，很容易看出，这个数列的极限是1。

因为当n接近无穷大时，序列中各个元素之间的差异都趋向于0。

因此，数列各项的值都在逐渐地接近1，于是数列的极限就是1了。

通常来说，函数的极限也是通过数列的极限来推导的。

不过，这里暂且不做展开。

有兴趣的读者可以寻找相关资料进行拓展。

二、数列极限的性质1、数列极限的唯一性一个数列如果存在极限，那么它的极限是唯一的。

也就是说，如果一个数列a_n有两个极限l1和l2，那么lim_(n→∞)a_n应当等于l1和l2。

其证明可以通过“反证法”来进行。

2、数列极限的保号性如果a_n > 0，且a_n的极限为l，那么l > 0。

相反地，如果a_n < 0，且a_n的极限为l，那么l < 0。

举个例子，考虑到每个元素的平方一定是正的，那么如果a_n²的极限存在，并且代表为l，那么l一定大于0。

3、数列极限的有界性如果数列a_n存在极限，那么它是有界的。

通俗来说，就是指数列a_n中的元素不会无限制地变大（或者变小）。

高等数学数列极限的性质和运算法则

1 2 1 2n lim lim 2 2 n 2 n 1 1 2 n n n n 1 1 n n 1 . 2
18
1.2 数列极限的性质和运算法则
1 1 1 1 [ ]。（3） lim n 1 2 2 3 34 n( n 1) 1 1 1 解：∵ ， n( n 1) n n 1
ab yn 。则当 n N 时，有 x n 2
5
1.2 数列极限的性质和运算法则
推论 1 若 lim x n a ， lim y n b ，且 xn yn ，则 a b 。
n
n
推论 2 若 lim x n a ，且 a .2 数列极限的性质和运算法则
1.2.2. 数列极限的性质
性质 1（唯一性）若 { xn } 收敛，则其极限唯一。
性质 2（有界性）若 { xn } 收敛，则 { xn } 必有界，
即 M 0 ， n N , 有 xn M 。
性质 3（保序性）若 lim x n a ， li m yn b ，且 a b ，
n n
ab ∴ N 1 N ，使得当 n N 1 | x n a | 0 x n ， 2 ab yn ， ∴ N 2 N ，使得当 n N 2 | yn b | 0 2 令 N max{ N1 , N 2 } ，
1 1 1 1 ∴ 1 2 2 3 3 4 n( n 1)
1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 n n1
技巧
1 1 , n1
1 1 1 1 1 ∴ lim [ ] lim (1 )1。 n 1 2 2 3 34 n( n 1) n n1

数列极限的定义和性质

数列极限的定义和性质数列是指按照一定规律排列的一系列数，而数列极限是数列理论中的重要概念之一。

在本文中，我们将探讨数列极限的定义和性质，并对其应用进行简要介绍。

一、数列极限的定义在数列中，当它的项逐渐趋于某个值时，我们称这个值为该数列的极限。

形式化地说，设有数列{an}，若对于给定的数ϵ（ϵ>0），总存在正整数N，使得当n>N时，数列的每一项an与极限值之差的绝对值|an - A|<ϵ都成立，则称极限A为数列{an}的极限，记为lim(an) = A。

要注意的是，数列的极限并不一定要存在，可能是有限的，也可能是无穷的。

二、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：若数列{an}的极限存在，那么它是唯一的，即一个数列只能有一个极限。

2. 数列收敛的必要条件：若数列{an}收敛，那么它是有界的。

即如果一个数列存在极限，那么它必然是有上下界的。

3. 数列极限的保号性：若数列{an}的极限为A，并且A>0（或A<0），那么当n充分大时，数列的每一项an也大于0（或小于0）。

4. 收敛数列的四则运算性质：设有两个收敛数列{an}和{bn}，它们的极限分别为A和B，则：(1) 数列和的极限：lim(an + bn) = A + B(2) 数列差的极限：lim(an - bn) = A - B(3) 数列积的极限：lim(an * bn) = A * B(4) 数列商的极限（假设B≠0）：lim(an / bn) = A / B5. 数列极限与数列项的关系：若数列{an}的极限为A，则对于任意正整数m，都有：lim(an) = Alim(am) = A三、数列极限的应用1. 数列极限在微积分中的应用：数列极限是极限的概念之一，而极限是微积分中的基本概念。

在微积分中，我们经常使用数列极限来定义导数和积分等重要概念。

2. 数列极限在数学分析中的应用：数列极限是数学分析中的重要内容，它也是许多数学定理的基础。

极限的性质与运算

limx3 lim1

x2
lim(x2
x2
3x 5)
23 1 3
7. 3
x2
9
2019/8/29
例2 求xl im 1x24x2x13.
解 lim (x22x3) 0, x 1
又 lim (4x1) 30,
x 1
limx22x3 0 0.
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 ifm i(x)存,而在 ai为常 (i1,2 数 , ,n)则 , lim a1f1(x [)a2f2(x) anfn(x)]
lim a1f1(x)lia m 2f2(x) lia m nfn(x) 推论3 如果 lim fi(x)存(在 i1,2, ,n)则 ,
围确定。 2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由
具体函数确定。
1
2019/8/29
性质3(局部保号性) 若 lim f(x)A0 ，则 0 ， x x0
使 x U 0(x0)， f(x)0。
性质4 已 x l x i 0f 知 ( m x ) A ，若 0 ， x 使 U 0 (x 0 ) ，
lim f1([x)f2(x) fn(x)] lim f1(x)lim f2(x)lim fn(x) 推论4 如果 lim f(x)存,在而n是正,整则数
lim f(x[)n ][lim f(x)n ].
推论5 如l果 im f(x)存在且 ,而不 n是为正,零则整数 lim f(x)[ ]n[lifm (x) ]n.
实际上是我们下一节将要学到的∞
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例求极l限 im (2)n 3n 。计算过程 n(2)n1 3n1