数列极限的性质与运算(上交)

12 2 2 3 2 n 2 n (4) lim( ) 2 n n 3
解
1 2 3 n n lim( ) 2 n n 3
2 2 2 2
n( n 1)(2n 1) n lim( ) 2 n 6n 3
＝
3n 1 1 lim n 6n 2
n
)
x 1
三、小结
1. 收敛数列的性质: 有界性，唯一性，数列与子数列的收敛性的关系。 2. 数列极限的运算：
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作业 P 89 12. （ 1 ） , (4), (5), (6), (7)
n sin n (6) lim n n1
n2 lim 0, 为 无 穷 小 ，sin n 1, 有界量 . n n 1
3
3
2
7. lim(1 x )(1 x )(1 x
2 n
2 n1
), (其中x 1)
2 n1
解 lim(1 x )(1 x )(1 x
证毕.
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例8
{n+(-1)nn}:
0, 4, 0, 8, 0, 12, …
是无界的, {n+(-1)nn} 发散.
1 ( 1)n 但不收敛。 又 : 0,1,0,1,,0,1, 有界， 2
注意
收敛有界; 发散无界. 收敛有界; 发散无界.
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上式仅当a b时才能成立.
故收敛数列极限唯一.证毕。
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3、保序性(保号性)
定理3 若 lim xn a, lim yn b, 且 a b, 则N ,
n N :
n
n
xn yn .
n
证 lim xn a , 取 b a 0, N 1 , n N 1 :
2、唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限 .
n n
证 设 lim x n a , 又 lim x n b,
由定义,
任给定 0，N 1 , N 2，使得 n N1时，恒有xn a ;
当n N 2时，恒有xn b ; 取N maxN 1 , N 2 , 则当n N时，有 a b ( x n b) ( x n a ) x n b x n a 2.
推论1 若 lim xn a, 且 a 0, 则N , n N : n (保号性) a xn 0 . 2 推论2 设数列xn , 若N , n N : xn 0, 且
lim xn a, 则 a 0 .
n
注意 推论2中条件改为xn 0, 结论仍为a 0.
1 1 ( 3) 由(2)知, 只要证 lim . n y b n
2
即得证.
例12.试求下列数列的极限 n3 3n2 1 (1) xn 3 ; 4n 2n 3
3 1 3 1 1 3 1 lim lim 3 1 n n n n n n xn lim . 解 lim n n 2 3 2 3 4 4 2 3 4 lim 2 lim 3 n n n n n n
定理4 数列{ xn}收敛于a {xn}的任一子数列 都收敛于a．
证 “ ” 设数列 x nk 是数列 x n 的任一子数列． lim xn a ,
n

任给定 0，N 0，使 n N 时, 恒有 xn a .
取 K N,
则当 k K 时, 有nk nK nN N，
2 此命题常用于证明一个 数列的收敛性 .
下面不加证明的介绍一 个实数连续性定理：
0
0
致密性定理 ( Bolzano Weierstrass定理 )
有界数列必有收敛的子 数列.
注 无界数列必存在无穷大的子数列.
二. 数列极限的四则运算
定理4
n
若 lim xn a , lim yn b , 则
n
由定义, 取 1,
则N , 使得当 n N时，恒有xn a 1,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数n,皆有 x n M , 故x n 有界.
推论
无界数列必定发散.
x , x n ,, x n , { xnk } k 1： n
1 2 k
0 1 注意： 下标数列nk 一定是严格单调增的正无穷大量；
显然，nk k . 而 x nk 在原数列 x n 中却是第 x k 项，
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20 在子数列 xnk 中，一般项 x n 是第 k 项，
k


x nk a . lim xnk a .
k
“ ”易证(略)。 证毕。
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推论
若{xn}有发散子列或有两个收敛于不同
极限的子列 {xn}发散.
1 ( 1)n 例10 (1) xn 2
n n
lim x2n 1, lim x2 n1 0 xn 发散
其中 yn M .
a M x n a a yn b ( M ) , 即得证. 2
b 0, N 1 , n N 1 : yn b , 2 b 又 lim yn b 0, 由保号性 , N 2 , n 2 b n N 2 : yn , 取 N max N 1 , N 2 , n N : 2 yn b 2 yn b 1 1 . 2 yn b yn b
1 1 1 4 n 0 ( ) 5 n ( 4) n 1 5 5 5 5 解 lim n 1 lim n 1 n n n 5 4 n1 4 1 0 5 1 ( ) 5
(3) xn n( n 1 n );
n xn lim lim 解 lim n n n 1 n n 1 1 2 1 1 1 n
2 n
2
)
2 n1
(1 x )(1 x )(1 x ) (1 x lim n 1 x 2 2 2 n1 (1 x )(1 x )(1 x ) lim n 1 x 2 1 1 x lim . n 1 x 1 x
a0 , a0 n l a1n l 1 al b0 一般有 lim m m 1 n b n b n bm 0, 0 1 , 若l m; 若l m; 若l m .
5 n ( 4 ) n ( 2) x n n 1 5 4 n1
n n
n n
(1) lim( xn yn ) lim xn lim yn a b; (2) lim( xn yn ) lim xn lim yn a b;
n n n
(2) c R, lim(c xn ) c lim xn c a;
第二节 数列极限的性质与运算
一、收敛数列的性质 二、极限的四则运算
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本学期助教联系信息
高等数学（A类）（1）
助教：欧阳纬菲
电话：18202165580 邮箱：weifeiouyang@163.com
一、收敛数列的性质
1、有界性
定理1 证 收敛的数列必定有界 .
设 lim x n a ,
( 2) xn n
n

( 1 ) n

1 1 : , 2, , 4,, 1 3
lim x2 n , xn 发散
2Байду номын сангаас/28
例11 lim xn a lim x2n lim x2n1 a.
n n n
注 1 证明参见教材 P 46，例2.8;
4、子数列的收敛性
这样得到 这些项在原数列xn 中的先后次序，
定义： 在数列 xn 中任意抽取无限多项并保持
的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）
例如，{ x n } x1 , x 2 , , x n1 , x n2 , , , x nk , n 1：
1 1 1 (5) lim( 2 ) n 2 15 4n 1
解
1 1 1 2 ( ), 4n 1 2 2 n 1 2 n 1
1
1 1 1 1 1 1 )] 原式 lim[(1 ) ( ) ( 2n 1 2n 1 2 n 3 3 5 1 1 1 lim(1 ) . 2 n 2n 1 2
n n
2 取 N max N 1 , N 2 , n N :
n N 1 : xn a

; n N 2 : yn a

2
( x n yn ) (a b) x n a yn b

2


2
.
(2) xn yn ab ( xn a) yn a( yn b)
n n
xn a xn lim ( 3) lim n , (b 0). n y lim yn b n
n
证 (1) xn yn xn ( yn ), 故只证加法情况.
lim xn a , lim yn b ,按定义 有 0, N 1 , N 2 :
2
xn a , x n a
ba a b a 2 2
ba 又 lim yn b, 对 0, N 2 , n N 2 : n 2 ba a b yn b , yn b b 2 2
ba 故对 0, 取 N max N 1 , N 2 , 当n N时， 2 ab 有 xn yn . 2