2.9 函数与方程—讲义

2.9 函数与方程

一．【目标要求】

①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性.

二．【基础知识】

1．函数零点的概念：

对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。

2．函数零点与方程根的关系：

方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有点⇔函数)(x f y =有零点

3．函数零点的存在性定理：

如果函数)(x f y =在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有

0)()(

这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。

注：若()0()0f x f x ><或恒成立，则没有零点。

三．【技巧平台】

1.对函数零点的理解及补充

（1）若)(x f y =在x a =处其函数值为0，即()0f a =，则称a 为函数()f x 的零点。 （2）变号零点与不变号零点

①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(

(),a b 内有零点的充分不必要条件。

（3）一般结论：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根。从图像上看，函数)

(x f y =的零点，就是它图像与x 轴交点的横坐标。

（4）更一般的结论：函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函

数()y f x =与()y g x =的图像交点的横坐标。

2.函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法

1) 代数法：函数)(x f y =的零点()0f x ⇔=的根

2) 几何法：有些不容易直接求出的函数)(x f y =的零点或方程0)(=x f 的根，可利用)(x f y = 的图像和性质找出零点。画 3) 注意二次函数的零点个数问题

0∆>⇔)(x f y =有2个零点()0f x ⇔=有两个不等实根 0∆=⇔)(x f y =有1个零点()0f x ⇔=有两个相等实根 0∆<⇔)(x f y =无零点()0f x ⇔=无实根

对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定

4) 对于函数()()()F x f x g x =-的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。

5) 方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。 6) 要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。

3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。

为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数a 化为正数，

（1）20(0)ax bx c a ++>≠恒成立00a >⎧⇔⎨

∆<⎩，20(0)ax bx c a ++<≠恒成立0

0a <⎧⇔⎨∆<⎩

（2）2

0ax bx c ++>的解集为R 00

00

a a

b

c >==⎧⎧⇔⎨

⎨

∆<>⎩⎩或 2

0a x b x

c ++<的解集为R 00

00a a b c >==⎧⎧⇔⎨⎨

∆<<⎩⎩

或 （3）对于二次函数在区间[],a b 上的最值问题，参照第1.5（1）和1.5（2）节

3.构造函数解不等式恒成立的问题

（1）含有参数的不等式恒成立问题，若易于作出图像，则用图像解决，若不易作图，可分离参数。 （2）()m f x >恒成立[]max ()m f x ⇔≥，()m f x <恒成立[]min ()m f x ⇔≤（注意等号是否成立） （3）()m f x >有解[]min ()m f x ⇔>，()m f x <有解[]max ()m f x ⇔≤ （4）()0f x ≥在区间[],a b 上恒成立[]min ()f x ⇔在[],a b 上大于0

四．【例题精讲】

考点一、函数的零点

例1.判断函数23

2()143

f x x x x =++-

在区间[]1,1-上零点的个数，

例2.若函数()f x ax b =+有一个零点为2，那么2()g x bx ax =-的零点是 。

例3.设3()f x x bx c =++在[]1,1-上的增函数，且11022f f ⎛⎫⎛⎫

-

⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则方程()0f x =在区间[]1,1-内有 个实数根。

【举一反三】

1.判断下列函数在给定区间上是否存在零点.

（1）[]2()318,1,8f x x x x =--∈ （2）3()1,[1,2]f x x x x =--∈- （3）()[]2()log 2,1,3f x x x x =+-∈ （4）()1

(),0,1f x x x x

=-∈