2.9 函数与方程—讲义

2.9 函数与方程一．【目标要求】①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数．③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性.二．【基础知识】1．函数零点的概念：对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。

2．函数零点与方程根的关系：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有点⇔函数)(x f y =有零点3．函数零点的存在性定理：如果函数)(x f y =在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。

注：若()0()0f x f x ><或恒成立，则没有零点。

三．【技巧平台】1.对函数零点的理解及补充（1）若)(x f y =在x a =处其函数值为0，即()0f a =，则称a 为函数()f x 的零点。

（2）变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。

②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。

③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

（3）一般结论：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根。

从图像上看，函数)(x f y =的零点，就是它图像与x 轴交点的横坐标。

（4）更一般的结论：函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =与()y g x =的图像交点的横坐标。

2.函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法1) 代数法：函数)(x f y =的零点()0f x ⇔=的根2) 几何法：有些不容易直接求出的函数)(x f y =的零点或方程0)(=x f 的根，可利用)(x f y = 的图像和性质找出零点。

画 3) 注意二次函数的零点个数问题0∆>⇔)(x f y =有2个零点()0f x ⇔=有两个不等实根 0∆=⇔)(x f y =有1个零点()0f x ⇔=有两个相等实根 0∆<⇔)(x f y =无零点()0f x ⇔=无实根对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定4) 对于函数()()()F x f x g x =-的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。

5) 方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。

6) 要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。

3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。

为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数a 化为正数，（1）20(0)ax bx c a ++>≠恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩，20(0)ax bx c a ++<≠恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩（2）20ax bx c ++>的解集为R 0000a abc >==⎧⎧⇔⎨⎨∆<>⎩⎩或 20a x b xc ++<的解集为R 0000a a b c >==⎧⎧⇔⎨⎨∆<<⎩⎩或 （3）对于二次函数在区间[],a b 上的最值问题，参照第1.5（1）和1.5（2）节3.构造函数解不等式恒成立的问题（1）含有参数的不等式恒成立问题，若易于作出图像，则用图像解决，若不易作图，可分离参数。

（2）()m f x >恒成立[]max ()m f x ⇔≥，()m f x <恒成立[]min ()m f x ⇔≤（注意等号是否成立） （3）()m f x >有解[]min ()m f x ⇔>，()m f x <有解[]max ()m f x ⇔≤ （4）()0f x ≥在区间[],a b 上恒成立[]min ()f x ⇔在[],a b 上大于0四．【例题精讲】考点一、函数的零点例1.判断函数232()143f x x x x =++-在区间[]1,1-上零点的个数，例2.若函数()f x ax b =+有一个零点为2，那么2()g x bx ax =-的零点是 。

例3.设3()f x x bx c =++在[]1,1-上的增函数，且11022f f ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则方程()0f x =在区间[]1,1-内有 个实数根。

【举一反三】1.判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）[]2()318,1,8f x x x x =--∈ （2）3()1,[1,2]f x x x x =--∈- （3）()[]2()log 2,1,3f x x x x =+-∈ （4）()1(),0,1f x x x x=-∈考点二：二次函数的零点例4.是否存在这样的实数a ，使函数2()(32)1f x x a x a =+-+-在区间[]1,3-上与x 轴恒有一个零点，且只有一个零点，若存在，求出范围，若不存在，说明理由。

考点三、方程的根与函数的零点例5.已知二次函数2()f x ax bx c =++（1）若(1)0a b c f >>=且，试证明()f x 必有两个零点；（2）若对1212,x x R x x ∈<且,12()()f x f x ≠,方程121()[()()]2f x f x f x =+有两个不等实根，证明必有一个实根属于()12,x x【举一反三】2. 12x x 与分别是实系数方程20ax bx c ++=和20ax bx c -++=的一个根，且1212,0,0x x x x ≠≠≠，求证：方程202ax bx c ++=的一个根介于12x x 与之间。

【练习】 1. 函数(1)ln ()3x xf x x -=-的零点有 个。

2. ()f x 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间()0,6内解的个数是 。

3. 已知函数()45f x x x =--，则当方程()f x a =有三个根时，实数a 的取值范围是 。

4. 函数321()252f x x x x λ=--+-在区间[]1,2-上有三个零点，求λ的取值范围。

5. 设01a a >≠且，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值，则不等式log (1)0a x ->的解集为 。

6. 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a=-对称，据此可推测，对任意的非零实数,,,,,a b c m n p 关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集不可能是下列表达式中的哪一个 。

①{}1,2 ②{}1,4 ③{}1,2,3,4 ④{}1,4,16,647. 若函数()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 。

8. 已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，若方程()(0)f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++=。

9. 已知函数21()log ,,()()()03xf x x a b c f a f b f c ⎛⎫=-<<⋅⋅< ⎪⎝⎭，实数d 是函数()f x 的一个零点，给出下列四个命题：①d a < ②a b > ③d c < ④d c > 其中可能成立的是 。

10. 设函数()||f x x x bx c =++，则下列命题中说法正确的是①当0b >时，函数()f x 在R 上是单调增函数 ②当0b <时，函数()f x 在R 上有最小值 ③函数()f x 的图像关于点()0,c 对称 ④方程()0f x =可能有三个实数根11.在平面直角坐标系中，设直线2m y +和圆222x y n +=相切，其中,m n N *∈，0||1m n <-≤，若函数1()x f x m n +=-的零点0(,1),x k k k Z ∈+∈，则k = 。

12.方程210x -=的解可视为函数y x =1y x=的图像交点的横坐标，若方程440x ax +-=的各个实根12,,,,(4)k x x x k ⋅⋅⋅≤所对应的点4,(1,2,)i ix i k x ⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭均在直线y x =同侧，则实数a 的取值范围是 。

13. 方程2240xx +-=的实数解的个数是 。

14. 设定义域为R 的函数lg 1,1()01x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7 个 不同实数解的充要条件是 。

15. 若关于x的方程10kx +有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 。

16. 若函数2()lg 22f x x a x =-+在区间()1,2内有且公有一个零点，则实数a 取值范围是 。