离散数学期末试卷

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离散数学期末考试题及详细答案

离散数学期末考试题及详细答案

离散数学期末考试题及详细答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 在离散数学中,下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系?A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案:D2. 布尔代数中,下列哪个运算符表示逻辑“与”?A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案:B3. 下列哪个命题的否定是正确的?A. 如果今天是周一,则明天是周二。

B. 如果今天是周一,则明天不是周二。

答案:B4. 在图论中,一个图的顶点数为n,边数为m,下列哪个条件可以保证该图是连通的?A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案:D二、填空题(每题5分,共20分)1. 在集合论中,一个集合的幂集包含该集合的所有______。

答案:子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的,那么对于任意的a1, a2 ∈ A,如果a1 ≠ a2,则f(a1) ≠ f(a2)。

这种性质称为函数的______。

答案:单射性3. 在图论中,一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。

如果一个图的直径为1,则该图被称为______。

答案:完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。

布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中,当A为真,B为假,C为真时,整个表达式的值为______。

答案:真三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述什么是图的哈密顿回路,并给出一个例子。

答案:哈密顿回路是图中的一个回路,它恰好访问每个顶点一次。

例如,在一个完全图中,任意一个顶点出发,依次访问其他顶点,最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。

2. 请解释什么是二元关系,并给出一个二元关系的例子。

答案:二元关系是定义在两个集合上的一个关系,它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。

例如,小于关系是实数集合上的一个二元关系,它关联了每一对实数,如果第一个数小于第二个数。

离散数学期末复习题(6套)

离散数学期末复习题(6套)

《离散数学》期末考试题(A)一、填空题(每小题3分,共15分)1.设}}{},,{{c b a A =,}}{},,{},{{c c b a B =,则)(=⋃B A ,)(=⋂B A ,)()(=A P .2.集合},,{c b a A =,其上可定义( )个封闭的1元运算,( )个封闭的2元运算,( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题(每小题3分,共15分)1.设A , B 是集合,若A B A =-,则(A)B = ∅ (B) A = ∅ (C)=⋂B A ∅ (D)A B A =⋂2.谓词公式)())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀中量词x ∀的辖域为(A))())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀ (B))()(y yQ x P ∃→(C))())()((x R y yQ x P ∧∃→ (D))()(y yQ x P ∃→和)(x R3.任意6阶群的子群的阶一定不为(A)4 (B)6 (C)2 (D)34.设n 是正整数,则有限布尔代数的元素个数为(A)2n (B)4n (C)n 2 (D)2n5.对于下列序列,可构成简单无向图的度数序列为(A)3, 3, 4, 4, 5 (B)0, 1, 3, 3, 3 (C)1, 1, 2, 2, 3 (D)1, 1, 2, 2, 2三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1. 设N N N :⨯→f ,)1,()(+=x x x f ,则f 是满射. () 2. 5男5女圆桌交替就座的方式有2880种. () 3. 设),(≤L 是格,对于L z y x ∈,,,若z x y x ⋅=⋅且z x y x +=+,则z y =. () 4. 任何树都至少2片树叶. ()5. 无向图G 有生成树的充要条件是G 为连通图. ( )四、(10分)设C B A ,,和D 是集合,证明)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯⊆-⨯-,并举例说明上式中不能将⊆改为 = .五、(15分)设N 是自然数集合,定义N 上的关系R 如下:y x R y x +⇔∈),(是偶数,1.证明R 是N 上的等价关系.2.求出N 关于等价关系R 的所有等价类.3.试求出一个N 到N 的函数f ,使得)}()(,N ,|),{(y f x f y x y x R =∈=.六、(10分)在实数集合R 中证明下列推理的有效性:因为R 中存在自然数,而所有自然数是整数,所以R 中存在整数.七、(10分)设R 是实数集合,令}0,R ,|),{(≠∈=a b a b a G ,定义G 上的运算如下: 对于任意G d c b a ∈),(),,(,),(),(),(b ad ac d c b a +=⋅,证明),(⋅G 是非Abel 群.八、(10分)若简单平面图G 的节点数7=n 且边数15=m ,则G 是连通图,试证明之.《离散数学》期末考试题(B)一、填空题(每小题3分,共15分)1.设,,},,{{b a b a A =∅},则-A ∅ = ( ),-A {∅} = ( ),)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元.5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当n 为( )时,n K 是欧拉图.二、单选题(每小题3分,共15分)1.设R 是集合A 上的偏序关系,1-R 是R 的逆关系,则1-⋃R R 是A 上的(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有(A)2 (B)4 (C)8 (D)163.设p 是素数且n 是正整数,则任意有限域的元素个数为(A)n p + (B)pn (C)n p (D)pn4.设R 是实数集合,≤是其上的小于等于关系,则(R, ≤)是(A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1.若一个元素a 既存在左逆元l a ,又存在右逆元r a ,则r l a a =. ( )2.命题联结词→不满足结合律. ( )3.在Z 8 = {0,1,2,3,4,5,6,7}中,2关于“⋅8”的逆元为4. ( )4.整环不一定是域. ( )5.任何),(m n 平面图的面数2+-=n m r . ( )四、(10分)设B A f →:且C B g →:,若g f 是单射,证明f 是单射,并举例说明g 不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ,必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、(10分) 有六个数字,其中三个1,两个2,一个3,求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(C)一、填空题(每小题3分,共15分)1. 若n B m A ==||,||,则=⨯||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3,1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射.3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号).(1)q q p p →→∧)(;(2))(q p p ∨→;(3))(q p p ∧→;(4)q q p p →∨∧⌝)(;(5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图,则G 一定是( )图,且其每个面恰由( )条边围成,G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分,共15分)1. 设A , B , C 是集合,则下述论断正确的是( ).(A)若A ⊆ B , B ∈ C ,则A ∈ C . (B)若A ⊆ B , B ∈ C ,则A ⊆ C .(C)若A ∈ B , B ⊆ C ,则A ∈ C . (D)若A ∈ B , B ⊆ C ,则A ⊆ C .2. 设R ⊆ A ⨯ A ,S ⊆ A ⨯ A ,则下述结论正确的是( ).(A)若R 和S 是自反的,则R ⋂ S 是自反的.(B)若R 和S 是对称的,则S R 是对称的.(C)若R 和S 是反对称的,则S R 是反对称的.(D)若R 和S 是传递的,则R ⋃ S 是传递的.3.在谓词逻辑中,下列各式中不正确的是( ).(A))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀=∨∀(B))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀=∧∀(C))()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃=∨∃(D)),(),(y x xA y y x yA x ∀∃=∃∀4. 域与整环的关系为( ).(A)整环是域 (B)域是整环 (C)整环不是域 (D) 域不是整环5.设G 是(n , m )图,且G 中每个节点的度数不是k 就是k + 1,则G 中度数为k 的节点个数为( ). (A)2n . (B)n (n + 1). (C)nk . (D)m k n 2)1(-+. 三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1.设f : Z → Z ,x x x f 2||)(-=,则f 是单射. ( )2.设ϕ是群G 1到群G 2的同态映射,若G 1是Abel 群,则G 2是Abel 群. ( )3.设),(≤L 是格,对于L z y x ∈,,,若z x y x ⋅=⋅且z x y x +=+,则z y =. ( )4.元素个数相同的有限布尔代数都是同构的. ( )5.设G 是n (n ≥ 11)阶简单图,则G 或G 是非平面图. ( )四、(15分)设A 和B 是集合,使下列各式(1)A B A =⋂; (2)A B B A -=-;(3)A A B B A =-⋃-)()(成立的充要条件是什么,并给出理由.五、(10分) 设S 是实数集合R 上的关系,其定义如下∈=y x y x S ,|),{(R 且是3y x -是整数}, 证明: S 是R 上的等价关系. 六、(10分) 求谓词公式)))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃的前束范式.七、(10分) 若n 个人,每个人恰有3个朋友,则n 必为偶数,试证明之.八、(10分) 利用生成函数求解递归关系⎩⎨⎧=-+=-2)1(211a n a a n n .《离散数学》期末考试题(D)一、填空题(每小题3分,共15分)1. 设|A | = 5, |B | = 2, 则可定义A 到B 的函数( )个,其中有( )单射,( )个满射.2. 令G (x ): x 是金子,F (x ): x 是闪光的,则命题“金子都是闪光的,但闪光的未必是金子”符号化为( ).3. 设X 是非空集合,则X 的幂集P (X )关于集合的⋃运算的单位元是( ),零元是( ),P (X )关于集合的⋂运算的单位元是( ).4. 不同构的5阶无向树有( )棵.5. 对于n 阶完全无向图K n , 当n 为( )时是Euler 图,当n ≥ ( )时是Hamilton 图,当n ( )时是平面图.二、单选题(每小题3分,共15分)1. 幂集P (P (P (∅))) 为( )(A){{∅}, {∅, {∅}}}. (B){∅, {∅, {∅}}, {∅}}.(C){ ∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (D){ ∅, {∅, {∅}}}.2. 设R 是集合A 上的偏序关系,则1-⋃R R 是( ).(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上答案都不对3. 下列( )组命题公式是不等值的.(A))(B A →⌝与B A ⌝∧. (B) )(B A ↔⌝与)()(B A B A ∧⌝∨⌝∧.(C))(C B A ∨→与C B A →⌝∧)(. (D))(C B A ∨→与)(C B A ∨∧⌝.4.下列代数结构(G , *)中,( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.5.4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有(A)3 (B)4 (C)5 (D)2三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1.函数的复合运算“ ”满足结合律. ( )2. {→⌝,}是最小功能完备联结词集合. ( )3. 实数集R 关于数的乘法运算“⋅”阿贝尔群. ( )4. 任意有限域的元素个数为2n . ( )5. 设G 是n (n 为奇数)简单图,则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、(10分)设A 和B 是集合,使B B A =-成立的充要条件是什么,并给出理由.五、(10分) 设R 和S 是集合A 上的对称关系,证明S R 对称的充要条件是R S S R =.六、(15分)分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 设G 是(n , m )无向图,若n m ≥,证明G 中必存在圈.八、(10分) 在初始条件f (1) = c 下,求解递归关系bn n f n f +⎪⎭⎫ ⎝⎛=22)(,其中b ,c 为常数且kn 2=,k 为正整数.《离散数学》期末考试题(E)一、填空题(每小题3分,共15分)1.设A = {2, {3}, 4, a }, B = {1, 3, 4, {a }}, 则{3}( )A ,{a }( )B ,{{a }}( )B .2. 设A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)}, S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)}, 则=S R { }, =R S { }, =R R { }.3. gcd(36, 48) = ( ),lcm(36, 48) = ( ).4.任意有限布尔代数)1,0,,,,(⋅+B 均与集合代数( )同构,其元素个数为( ).5. 不同构的5阶无向树有( )棵,不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题(每小题3分,共15分)1. 在有理数集合Q 上定义运算“*”如下:对于任意x , y ∈ Q ,y x * = x + y – xy ,则Q 关于*的单位元是( ).(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.2. 设A = {1, 2, 3}, 下图分别给出了A 上的两个关系R 和S ,则S R 是( )关系.(A)自反. (B)对称. (C)传递. (D)等价.3.令T (x ): x 是火车,B (x ): x 是汽车,F (x , y ): x 比y 快,则“某些汽车比所有的火车慢”符号化为( ).(A)()()),()()(y x H x T x y B y →∀∧∃.(B)()()),()()(y x H x T x y B y ∧∀→∃.(C)()()),()()(y x H x T y B y x ∧→∃∀.(D)()()),()()(y x H x T x y B y →∀→∃.4. 整数集合Z 关于数的加法“+”和数的乘法“⋅”构成的代数结构(Z, +, ⋅)是( ). 1 1 22 3 3G S G R(A)域(B)域和整环(C)整环(D) 有零因子环G≅,则称G为自补图. 5阶不同构的自补图5.设G是简单图,G是G的补图,若G个数为( ).(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1. { ∅, {∅}} ∉P(P({∅})). ( )2. 非空1元及2元联结词集合的个数为29-1. ( )3. 群可分为Abel群和非Abel群. ( )4. 元素个数相同的有限域都是同构的. ( )5. 设G是简单图,则G或G是连通图. ( )四、(15分)设C,:, 若gf 是单射,证明f是单射,并举例说明g→:f→gBBA不一定是单射.五、(10分)设A = {a, b, c, d}上的关系R = {(a, b), (b, d), (c, c), (a, c)}, 画出R的关系图,并求出R的自反闭包r(R)、对称闭包s(R)和传递闭包t(R).六、(10分)用CP规则证明下列推理.⌝∨→∨(.⇒),(⌝),→pqssrqrqp→七、(10分)求谓词公式))xyByAxA∀→∨∀∧⌝∃的前束范式.zC((x()))(z(()八、(10分)任意6个人中,一定有3个人彼此认识或有3个人彼此不认识.《离散数学》期末考试题(F)一、填空题(每小题3分,共15分)1. 设A = {1, 2, 3, {1, 2}, {3}}, B = {2, {2,3}, {1}} , 则A–B = { }, B–A = { }, A⊕B = { }.2. 实数集合R关于加法运算“+”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的零元为( ).3. 令Z(x): x是整数,O(x): x是奇数,则“不是所有整数都是奇数”符号化为( ).4. 有限域的元素个数为( ), 其中( )且( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图,则G 一定 ( )连通图,其每个面恰由( )条边围成,G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分,共15分)1. 函数的复合运算“ ”满足( )(A)交换律. (B)结合律. (C)幂等律. (D)消去律.2. 设集合A 中有4个元素,则A 上的等价关系共有( )个.(A)13 (B)14 (C)15 (D)163.下列代数结构(G , *)中,( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.4. 下列偏序集,( )是格.5. 不同构的(5, 3)简单无向图有( )个.(A)4 (B)5 (C)3 (D)2三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1. 设A ,B ,C 是集合,若C A B A ⊕=⊕, 则B = C . ( )2. 逻辑联结词“→”满足结合律. ( )3. 设 (L , ≤)是偏序集,若L 的任意非空子集均存在上确界和下确界,则(L , ≤)是格.( )4. 在同构意义下,有限布尔代数只有,,,),((⋂⋃X P ∅, X ). ( )5. 设G 是简单图,则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、(15分) 设C B g B A f →→:,:, 若g f 是满射,证明g 是满射,并举例说明f 不一定是满射.五、(10分) 在整数集合Z 上定义关系R 如下:对于任意∈y x , Z ,y y x x R y x +=+⇔∈22),(.判断R 是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性.六、(10分)利用真值表求命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的主析取范式和主合取范式.七、(10分)证明:在至少两个人的人群中,必有两个人有相同个数的朋友.八、(10分)将6阶完全无向图K 6的边随意地涂上红色或蓝色,证明:无论如何涂法,总存在红色的K 3或蓝色的K 3.(ps :答案见离散数学期末复习题(6套)答案文档)。

离散数学期末试卷及答案

离散数学期末试卷及答案

一.判断题(共10小题,每题1分,共10分)在各题末尾的括号内画 表示正确,画 表示错误:1.设p、q为任意命题公式,则(p∧q)∨p ⇔ p ( )2.∀x(F(y)→G(x)) ⇔ F(y)→∃xG(x)。

( )3.初级回路一定是简单回路。

( )4.自然映射是双射。

( )5.对于给定的集合及其上的二元运算,可逆元素的逆元是唯一的。

( )6.群的运算是可交换的。

( )7.自然数集关于数的加法和乘法<N,+, >构成环。

( )8.若无向连通图G中有桥,则G的点连通度和边连通度皆为1。

( )9.设A={a,b,c},则A上的关系R={<a,b>,<a,c>}是传递的。

( )10.设A、B、C为任意集合,则A⨯(B⨯C)=(A⨯B)⨯C。

( )二、填空题(共10题,每题3分,共30分)11.设p:天气热。

q:他去游泳。

则命题“只有天气热,他才去游泳”可符号化为。

12.设M(x):x是人。

S(x):x到过月球。

则命题“有人到过月球”可符号化为。

13.p↔q的主合取范式是。

14.完全二部图K r,s(r < s)的边连通度等于。

15.设A={a,b},,则A上共有个不同的偏序关系。

16.模6加群<Z6,⊕>中,4是阶元。

17.设A={1,2,3,4,5}上的关系R={<1,3>,<1,5>,<2,5>,<3,3>,<4,5>},则R的传递闭包t(R) = 。

.18.已知有向图D的度数列为(2,3,2,3),出度列为(1,2,1,1),则有向图D的入度列为。

19.n阶无向简单连通图G的生成树有条边。

20.7阶圈的点色数是。

三、运算题(共5小题,每小题8分,共40分)21.求∃xF(x)→∃yG(x,y)的前束范式。

22.已知无向图G有11条边,2度和3度顶点各两个,其余为4度顶点,求G 的顶点数。

离散数学期末考试复习题及参考答案

离散数学期末考试复习题及参考答案
A. B. C. D.
参考答案: B
6、 设 A. 代数系统 B. 半群 C. 群
,*为普通乘法,则<S,*>是( )
D. 都不是
参考答案: A
7、 设S={0,1},*为普通乘法,则< S , * >是( ) A. 半群,但不是独异点 B. 只是独异点,但不是群 C. 群 D. 环,但不是群
参考答案: B
A. B. C. D.
参考答案: B
3、 命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为( ) 设D:全总个体域,F(x):x是花,M(x) :x是人,H(x,y):x喜欢y
A. B. C. D.
参考答案: D
4、 下列等价式成立的有( )
A. B. C. D.
参考答案: D
5、 下列公式是重言式的有( )
5、 ( )设S={1,2},则S在普通加法和乘法运算下都不封闭。 参考答案: 正确
8、 谓词公式
中的x是( )
A. 自由变元
B. 约束变元
C. 既是自由变元又是约束变元
D. 既不是自由变元又不是约束变元
参考答案: C
9、 设
是一个有界格,如果它也是有补格,只要满足( )
A. 每个元素都至少有一个补元
B. 每个元素都有多个补元
C. 每个元素都无补元
D. 每个元素都有一个补元
参考答案: A
10、 一棵无向树T有4度、3度、2度的分枝点各1个,其余顶点均为树叶,则T中有( )片树叶
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
参考答案: C
11、 设
A. {{1,2}} B. {1,2 } C. {1} D. {2}
参考答案: A
,则有( )

重庆工程学院《离散数学》2020-2021学年期末试卷

重庆工程学院《离散数学》2020-2021学年期末试卷

重庆工程学院《离散数学》2020-2021学年第一学期期末考试一、选择题(每小题5分,共30分)1.设H,K是群(G, )的子群,下面代数系统是(G, )的子群的是()A.(H∩K, )B.(H∪K, )C.(K-H, )D.(H-K, )2.A,B是集合,P(A),P(B)为其幂集,且A∩B=,则P(A)∩P(B)为()A.B.{}C.{{}}D.{,{}}3.下列句子为命题的是()A.走,看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗?4.下列式子不是谓词合式公式的是()A.(∀x)(P(x)→(x)(Q(x)∧A(x,y)))B.(∀x)∧(y)∨P(x,y)C.(∀x)P(x)→R(y)D.(x)P(x)∧Q(y,z)5.设Z+是正整数集,R是实数集,函数f:Z+→R,f(x)=lgx是()。

A.单射B.满射C.双射D.非以上三种的一般函数6.设r为集合A上的相容关系,其简化关系图(如图),则[I]r产生的最大相容类为();A、},{21xx;B、},,{321xxx;C、},{54xx;D、},,{542xxx二、填空题(每题3分,共30分)1、设p:张三的祖籍是山东,q:张三的祖籍是浙江,则“张三的祖籍是山东或浙江”可符号化表示为:。

2.集合A={Φ,{Φ}}的幂集P(A)=。

3.设A={1,2,3,4},A上二元关系R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>}画出R的关系图。

4.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>},B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则BA⋃=。

BA =。

5.设|A|=3,则A上有个二元关系。

6.A={1,2,3}上关系R=时,R既是对称的又是反对称的。

7.偏序集><≤R A ,的哈斯图为,则≤R =。

离散数学期末试卷(4套附答案)

离散数学期末试卷(4套附答案)

一、单项选择题(每小题3分,共30分)1.下列为两个命题变元p,q的最小项的是( ) A .p∧q∧⎤ pB .⎤ p∨qC .⎤ p∧qD .⎤ p∨p∨q 2.下列句子不是命题的是( ) A .中华人民共和国的首都是北京 B .张三是学生 C .雪是黑色的D .太好了!3.对于公式(∀x ) (∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x ,y ),下列说法正确的是( ) A .y 是自由变元 B .y 是约束变元C .(∃x )的辖域是R(x , y )D .(∀x )的辖域是(∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x ,y )4.7.集合A={1,2,…,10}上的关系R={(x ,y )|x +y =10,x ∈A ,y ∈A},则R 的性质是( )A .自反的B .对称的C .传递的、对称的D .反自反的、传递的 5.设论域为{l ,2},与公式)(x xA ∃等价的是( ) A.A (1)∨A (2)B. A (1)→A (2)C.A (1)D. A (2)→A (1)6. 下列关系矩阵所对应的关系具有反自反性的是( ) A .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001110101B .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101100001 C .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100100D .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0010101017. 下列运算不满足...交换律的是( ) A .a *b =a+2bB .a *b =min(a ,b )C .a *b =|a -b |D .a *b =2ab8..设A 是奇数集合,下列构成独异点的是( ) A.<A ,+> B.<A ,-> C.<A ,×> D.<A ,÷> 9. 右图的最大入度是( ) A .0 B .1 C .2D .3第9题图拟题学院(系): 高密校区 适用专业: 学年 2学期 离散数学 (B卷) 试题标准答案10. 设有向图D 的节点数大于1,D=(V ,E )是强连通图,当且仅当( ) A. D 中至少有一条通路 B. D 中至少有一条回路C. D 中有通过每个结点至少一次的通路D. D 中有通过每个结点至少一次的回路 二、填空题(每空3分,共30分)1.设A ={1,2,3,4},B ={2,4,6},则A -B =________,A ⊕B =________。

离散数学期末考试题(附答案和含解析)

离散数学期末考试题(附答案和含解析)

一、填空2.A ,B ,C 表示三个集合,文图中阴影部分的集合表达式为 (B ⊕C)-A4.公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 )()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝ 。

5.若解释I 的论域D 仅包含一个元素,则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 1 。

6.设A={1,2,3,4},A 上关系图如下,则 R^2= {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)} 。

//备注:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000101001012R7.设A={a ,b ,c ,d},其上偏序关系R 的哈斯图如下,则R= {(a,b),(a,c), (a,d), (b,d), (c,d)} U {(a,a),(b,b)(c,c)(d,d)} 。

//备注:偏序满足自反性,反对称性,传递性8.图的补图为 。

//补图:给定一个图G ,又G 中所有结点和所有能使G 成为完全图的添加边组成的图,成为补图. 自补图:一个图如果同构于它的补图,则是自补图 9.设A={a ,b ,c ,d} ,A 上二元运算如下:* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统<A ,*>的幺元是 a ,有逆元的元素为 a,b,c,d ,它们的逆元分别为 a,b,c,d 。

//备注:二元运算为x*y=max{x,y},x,y ∈A 。

10.下图所示的偏序集中,是格的为 c 。

//(注:什么是格?即任意两个元素有最小上界 和最大下界的偏序)二、选择题1、下列是真命题的有( C 、D )A . }}{{}{a a ⊆;B .}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ;C .}},{{ΦΦ∈Φ; D .}}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有( B 、C )A .{4,3}Φ⋃;B .{Φ,3,4};C .{4,Φ,3,3};D . {3,4}。

离散数学期末考试试题及答案

离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题(B卷答案1)一、证明题(10分)1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R证明: 左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∨(Q∨P))∧R((P∨Q)∨(P∨Q))∧RT∧R(置换)R2) x (A(x)B(x))xA(x)xB(x)证明:x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))x A(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)xA(x)xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。

证明:(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))(P∧(Q∨R))∨(P∧Q∧R)(P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R)m0∨m1∨m2∨m7M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题(10分)1)C∨D,(C∨D)E,E(A∧B),(A∧B)(R∨S)R∨S 证明:(1) (C∨D) E P(2) E(A∧B) P(3) (C∨D)(A∧B) T(1)(2),I(4) (A∧B)(R∨S) P(5) (C∨D)(R∨S) T(3)(4),I(6) C∨D P(7) R∨S T(5),I2) x(P(x)Q(y)∧R(x)),xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))证明(1)xP(x) P(2)P(a) T(1),ES(3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)Q(y)∧R(a) T(3),US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I(6)Q(y) T(5),I(7)R(a) T(5),I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I(9)x(P(x)∧R(x)) T(8),EG(10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。

离散数学考试题及答案

离散数学考试题及答案

离散数学考试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象?A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案:C2. 在逻辑学中,下列哪个命题是真命题?A. 如果今天是周一,那么明天是周二。

B. 如果今天是周一,那么明天是周三。

C. 如果今天是周一,那么明天是周四。

D. 如果今天是周一,那么明天是周五。

答案:A3. 在集合论中,下列哪个符号表示集合的并集?A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案:B4. 在图论中,下列哪个术语描述的是图中的顶点集合?A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案:D二、填空题(每题5分,共20分)1. 如果一个集合A包含5个元素,那么它的子集个数是______。

答案:322. 在逻辑学中,如果命题P和命题Q都是真命题,那么复合命题“P且Q”的真值是______。

答案:真3. 在图论中,如果一个图的顶点数为n,那么它的最大边数是______。

答案:n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3,那么它最多包含______个节点。

答案:7三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述什么是图的连通性,并给出一个例子。

答案:图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。

例如,在一个完全图K3中,任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接,因此它是连通的。

2. 解释什么是逻辑蕴含,并给出一个例子。

答案:逻辑蕴含是指如果一个命题P为真,则另一个命题Q也必须为真。

例如,命题P:“如果今天是周一”,命题Q:“明天是周二”。

如果今天是周一,那么根据逻辑蕴含,明天必须是周二。

3. 请描述什么是二叉搜索树,并给出它的一个性质。

答案:二叉搜索树是一种特殊的二叉树,其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数,右子树只包含大于当前节点的数。

它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。

四、计算题(每题15分,共30分)1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5},请计算它的幂集,并列出所有元素。

(完整word版)离散数学期末练习题带答案

(完整word版)离散数学期末练习题带答案

4, 2 } U I A ,则对应于 R 的划分是(
)。
A. {{ 1},{2,3},{4}}
B. {{ 1,3},{2,4}}
C. {{ 1,3},{2},{4}}
D. {{ 1},{2},{3},{4}}
23.设 G A, 是群,则下列陈述不正确的是(
)。
A. (a 1) 1 a C. an a m an m
Байду номын сангаасC. a b ab 1
D. a b a b 1
19. 设简单图 G 所有结点的度数之和为 50,则 G 的边数为(
(
)
A. 50
B. 25
C. 10
D. 5
20.设简单无向图 G 是一个有 5 个顶点的 4-正则图,则 G 有(
A. 4
B. 5
C. 10
D. 20
)。 )条边。
21.设集合 A {1,2,3,4} , A 上的等价关系 R { 1,1 , 3,2 , 2,3 ,
D. x y lcm{ x, y} ,即 x, y 的最小公倍数
25. 设 X {1,2,3 }, Y { a,b, c, d}, f { 1, a , 2, b , 3, c } ,则 f 是
(
)。
A .从 X 到 Y 的双射
B.从 X 到 Y 的满射,但不是单射
C.从 X 到 Y 的单射,但不是满射
)。
A. G 的所有结点的度数全为偶数
B. G 中所有结点的度数全为奇数
C. G 连通且所有结点度数全为奇数
D. G 连通且所有结点度数全为偶数
36.下列 不.一.定.是树的是( ) A. 无回路的连通图 D
B. 有 n 个结点, n-1 条边的连通图

离散数学试题及答案解析

离散数学试题及答案解析

离散数学试题及答案解析一、选择题1. 在集合{1,2,3,4}中,含有3个元素的子集有多少个?A. 4B. 8C. 16D. 32答案:B解析:含有3个元素的子集可以通过组合数公式C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]来计算,其中n为集合的元素个数,k为子集中的元素个数。

在本题中,n=4,k=3,所以C(4, 3) = 4! / [3!(4-3)!] = 4。

2. 下列哪个命题是真命题?A. 所有偶数都是整数。

B. 所有整数都是偶数。

C. 所有整数都是奇数。

D. 所有奇数都是整数。

答案:A解析:偶数是指能被2整除的整数,因此所有偶数都是整数,选项A是真命题。

选项B、C和D都是错误的,因为并非所有整数都是偶数或奇数。

二、填空题1. 逻辑运算符“非”(NOT)的真值表是:当输入为真时,输出为______;当输入为假时,输出为真。

答案:假解析:逻辑运算符“非”(NOT)是一元运算符,它将输入的真值取反。

如果输入为真,则输出为假;如果输入为假,则输出为真。

2. 命题逻辑中,合取词“与”(AND)的真值表是:当两个命题都为真时,输出为真;否则输出为______。

答案:假解析:合取词“与”(AND)是二元运算符,只有当两个命题都为真时,输出才为真;如果其中一个或两个命题为假,则输出为假。

三、简答题1. 解释什么是等价关系,并给出一个例子。

答案:等价关系是定义在集合上的一个二元关系,它满足自反性、对称性和传递性。

例如,考虑整数集合上的“同余”关系。

对于任意整数a,b,如果a和b除以同一个正整数n后余数相同,则称a和b模n同余。

这个关系是自反的(a同余a),对称的(如果a同余b,则b同余a),并且是传递的(如果a同余b且b同余c,则a同余c)。

2. 什么是图的连通性?一个图是连通的需要满足什么条件?答案:图的连通性是指在无向图中,任意两个顶点之间都存在一条路径。

一个图是连通的需要满足以下条件:图中的任意两个顶点v和w,都可以通过图中的边相互到达。

《离散数学》期末练习题考试卷和答案

《离散数学》期末练习题考试卷和答案

a , b, c , d , e, f , g,那么 所对应的 19. 设集合 A a , b , c , d , e , f , g , A 上有一个划分
等价关系 R 应有( )个序偶。 )。
20. 在有理数集合 Q 上定义二元运算*: a * b a b ab ,则 Q , * 的幺元是(
等价关系 R 应有( )个序偶。 )。
25. 在有理数集合 Q 上定义二元运算*: a * b a b ab ,则 Q , * 的幺元是(
26. 一个(
)称为布尔代数。
27.P Q P Q 的主析取范式是
。(写出一般
5
表示形式即可) 28.设集合 A a , b , c , d , R 是 A 上的二元关系,且 R a , b , b , a , b , c , c , d , a , c , 则 R 的传递闭包 t R 。
C. x x是正整数, x 5


D. x x是有理数, x 5

6.下面有关集合之间的包含和属于关系的说法,正确的是 Ⅰ. Ⅲ.
Ⅱ. , ,
Ⅳ.
a, b a, b, a, b
B.Ⅰ和Ⅲ
a, b a, b, a, b, c
二、填空题 1.设 A 为非空集合,且 A n ,则 A 上不同的二元关系的个数为 为 。 时, P Q 的真值为 1。 , A 上不同的映射的个数
2.设 P 、 Q 为两个命题,当且仅当
3. 在运算表中的空白处填入适当符号,使 a , b , c, * 成为群。 *
a a
a b c
4. 当 n 为 数时, K n n 3 必为欧拉图。

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号:1009)

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号:1009)

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号:1009)一、单项选择题(每小题3分,本题共16分)若集合A = {1,2,3,4},则下列表述不正确的是( ).A.{2,3)€AB.AU{1,2,3,4}C. <1,2,3,4)QAD. 16A2.若无向图G的结点度数之和为20,则G的边数为( ).A.10B. 20C. 30D. 53.无向图G是棵树,结点数为10,则G的边数为( ).A. 5B. 10C.9D. 114.设A(x):x是人,B(x):x是学生,则命题“有的人是学生”可符号化为( )•A.Vx)(A(x)-*B(x»B.(3x)(A(x)AB(x))C.(Vx)(A(x)AB(x»D.-«(3x)(A(x)A -B(x»5.下面的推理正确的是( ).A.(l)(Vx)F(x)->G(x) 前提引入(2)F(>-)-*G(y) US(1).B.(1)( 3 x)F(x)-*G(x) 前提引入(2)F(y)-*G(y) US(1),C.(l)(3x)(F(x)->G(x»前提引入(2)F(y)-*G(x) ES(1).D.(l)(3x)(F(x)-*G(x)) 前提引入(2)F(y)-*G(y) ESQ).二、填空题(每小题3分,本题共15分)6.设A = {1,2),H = {1,2,3},则A到B上不同的函数个数为________________ .7.有&个结点的无向完全图的边数为 ____________ .8.若无向图G中存在欧拉路但不存在欧拉回路,则G的奇数度数的结点有________ 个.9.设G是有10个结点的无向连通图,结点的度数之和为30,则从G中删去条边后使之变成树.10.设个体域£> = {1,2,3,4},则谓词公式(*)人(了)消去量词后的等值式为三、逻辑公式翻译(每小题6分,本息共12分)11.将语句“昨天下甬“翻译成命题公式.12.将语句“小王今天上午或者去看电彩或者去打球”翻译成命JS公式.四、判断说明题(判断各题正误,并说明理由.每小题7分,本黑共14分)13.存在集合A与B,使得A6B与AUB同时成立.14.完全图K<是平面图.五、计算题(每小题12分,本题共36分)15.设偏序集VA,R>的哈斯图如下,B为A的子集,其中B = 试(1)写出R的关系表达式;(2)画出关系R的关系图;(3)求出B的最大元、极大元、上界.16.设图G — <V,E>,V={vj f v it v t,Vi»v s)»(v2, v3)»(v3»vs)}»试(1)画出G的图形表示;(2)写出其邻接矩阵;(3)求出每个结点的度数;(4)画出图G的补图的图形,17.求P TQ代R)的合取范式与主合取范式.六、证明题(本题共8分)18.设A.B是任意集合,试证明:若AXA=BXB,^ A = B.M答杖松标准(仅辩者)一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)1. A2. A3. C4.B5. D二、填空题(每小题3分,本题共]5分)6.97.”3 — 1)/2(或庆)8.210. A(l) VA(2) V A(3) V A(4)三、 逻辑公式翻译(每小题6分,本题共】2分)H,设P :昨天下雨. 则命题公式为:P ,12. 设P :小王今天上午去看电影 Q :小王今天上午去打球 则命题公式为:r (PiQ ). 或者(rPAQ )V 〈PA rQ )四、 判断说明题(每小题7分,本题共14分)13. 正确.例:设 A = {a} t H — {a,{a}) 则有且ACI3.说明:举出符合条件的例均给分. 14. 正确.完全图K 〈是平面图, 如K,可以如下图示嵌入平面.(7分)五、计算题(每小题12分,本题共36分)15. (l )R = {Va ,a>,Vb,Q>,Vc,c>,Vd,d>・Va0>・Va ・c>,V&,d>,VQ,d >}. (4 分)(2)关系图(8分)(3)集合B 无最大元,极大元为6与c.无上界. 16, 解: (1)关系图(2分) (6分)(2分)(6分)(3分) (517. P TQAR) 5PV(QAR) 0(rPVQ 〉A(rPVR)合取范式<=>(-PVQ)V(K A rR)A(rPVR) 0("VQ)V(& A rR)A(" VR)V(QA -Q)D(rPVQVR)A(rPVQVA("VR VQ) A(-、PVR V -Q) c=>(-PVQV7?)A(-'PVQV-R)A(-PV-QVR) 主合取范式 六、证明题(本意共8分)18. 证明:V2(2)邻接矩阵bioir 101001001 1 00 0(6分)(3) deg(vi)=,3deg(v t )—2 <ieg(v 3)~2 deg顷)=1 deg(v s )=2 (4) 补图(9分)(】2分)(2分) (5分)(7分〉设x€A,则Vx,x>€AXA,(1 分)因AXA = BXB,故V X,X>€BXB,则有xGB, (3 分)因此AGB. (5分)设xQB,则Vx,x>€BXB,(6 分)因AXA-BXB,故Vx,x>eAXA,则有因此BWA. (7 分)故得A=B. (8分)。

(完整word版)离散数学期末考试试题及答案

(完整word版)离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题(B卷答案1)一、证明题(10分)1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明:∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。

证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔(⌝P∧(⌝Q∨⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题(10分)1)C∨D, (C∨D)→⌝E,⌝E→(A∧⌝B), (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明:(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2),I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4), I(6) C∨D P(7) R∨S T(5),I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)),∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1),ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3),US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I(6)Q(y) T(5),I(7)R(a) T(5),I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8),EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案1. 题目描述:以下是离散数学期末考试的题目。

请仔细阅读每个问题,并在题后给出相应的答案。

请注意,答案应尽量详细和准确,以确保得分。

1.1 命题与谓词逻辑(20分)1.1.1 什么是命题逻辑?它可以用于解决哪些问题?1.1.2 简要解释谓词逻辑的概念和其在离散数学中的应用。

1.2 集合和图论(30分)1.2.1 定义两个集合的并、交和差的概念。

1.2.2 解释有向图和无向图的区别,并给出一个实际应用中的例子。

1.3 关系和函数(40分)1.3.1 什么是关系?请给出一个实际应用中关系的例子。

1.3.2 定义函数的概念,并解释函数与关系的区别。

1.4 计数原理(20分)1.4.1 简要阐述乘法原理和加法原理的概念,并给出一个应用实例。

1.4.2 什么是排列和组合?请说明它们的应用场景,并给出一个例子。

2. 答案解析:2.1 命题与谓词逻辑1.1.1 命题逻辑是一种数学分支,用于研究命题之间的关系和推理规则。

其应用范围广泛,包括数学、计算机科学、哲学等领域。

1.1.2 谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑体系,它考虑了命题中的变量、谓词和量词等元素。

在离散数学中,谓词逻辑常用于描述集合、函数和关系等概念。

2.2 集合和图论1.2.1 集合的并(∪)是指将两个或多个集合中的所有元素取出形成一个新的集合;交(∩)指仅包含两个或多个集合中共有的元素;差(-)是指从一个集合中去除另一个集合中的元素。

1.2.2 有向图中,边是具有方向性的;而在无向图中,边是没有方向性的。

例如,在社交网络中,有向图可以表示人与人之间的关注关系,而无向图可以表示人与人之间的好友关系。

2.3 关系和函数1.3.1 关系是集合之间的一种特殊的子集,它描述了元素之间的某种联系。

例如,家族中的血亲关系可以看作是一个关系。

关系可以用图、矩阵等方式表示。

1.3.2 函数是一种特殊的关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

大一期末离散数学试卷

大一期末离散数学试卷

考试时间:120分钟满分:100分一、选择题(每题2分,共20分)1. 下列集合中,属于空集的是()A. {1, 2, 3}B. {x | x ∈ N, x > 5}C. {x | x ∈ Z, x^2 = 4}D. {x | x ∈ R, x^2 - 1 = 0}2. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5},集合B={3, 4, 5, 6, 7},则A∩B=()A. {3, 4, 5}B. {1, 2, 3, 4, 5}C. {3, 4, 5, 6, 7}D. 空集3. 下列关系中,属于等价关系的是()A. R1={(a, b) | a+b=0}B. R2={(a, b) | ab=0}C. R3={(a, b) |a^2=b^2} D. R4={(a, b) | a-b=1}4. 下列命题中,为永真命题的是()A. P→(¬P∧Q)B. P∨(¬P∧Q)C. P∧(¬P∨Q)D. P∧(¬P∧Q)5. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5},集合B={3, 4, 5, 6, 7},则A∪B=()A. {1, 2, 3, 4, 5}B. {3, 4, 5, 6, 7}C. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}D. 空集6. 下列命题中,为充分不必要条件的是()A. 若a>0,则a^2>0B. 若a^2>0,则a>0C. 若a^2>0,则a<0D. 若a>0,则a^2<07. 设集合A={1, 2, 3},集合B={x | x∈N, x≤5},则A×B=()A. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3,3)} B. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3,2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5,3), (5, 4), (5, 5)} C. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (7, 1), (7, 2), (7, 3), (7, 4), (7, 5)} D. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4,3), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (7, 1), (7, 2), (7, 3), (7, 4), (7, 5), (8, 1), (8, 2), (8, 3), (8, 4), (8, 5)}8. 下列命题中,为必要不充分条件的是()A. 若a>0,则a^2>0B. 若a^2>0,则a>0C. 若a^2>0,则a<0D. 若a>0,则a^2<09. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5},集合B={3, 4, 5, 6, 7},则A-B=()A. {1, 2}B. {3, 4, 5}C. {3, 4, 5, 6, 7}D. 空集10. 下列命题中,为充分必要条件的是()A. 若a>0,则a^2>0B. 若a^2>0,则a>0C. 若a^2>0,则a<0D. 若a>0,则a^2<0二、填空题(每题3分,共15分)1. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5},集合B={3, 4, 5, 6, 7},则A∩B=__________,A∪B=__________,A-B=__________。

离散数学考试试题及答案

离散数学考试试题及答案

离散数学考试试题及答案一、单项选择题(每题5分,共20分)1. 在离散数学中,以下哪个概念不是布尔代数的基本元素?A. 逻辑与B. 逻辑或C. 逻辑非D. 逻辑异或答案:D2. 下列哪个命题不是命题逻辑中的命题?A. 所有学生都是勤奋的B. 有些学生是勤奋的C. 学生是勤奋的D. 勤奋的学生答案:D3. 在集合论中,以下哪个符号表示集合的并集?A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案:B4. 以下哪个图不是无向图?A. 简单图B. 完全图C. 有向图D. 多重图答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 如果一个命题的逆否命题为真,则原命题的________为真。

答案:逆命题2. 在图论中,如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接,则称这个图为________图。

答案:完全3. 一个集合的幂集是指包含该集合的所有________的集合。

答案:子集4. 如果一个函数的定义域和值域都是有限集合,那么这个函数被称为________函数。

答案:有限三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述什么是图的欧拉路径。

答案:欧拉路径是一条通过图中每条边恰好一次的路径。

2. 解释什么是二元关系,并给出一个例子。

答案:二元关系是指定义在两个集合之间的关系,它将第一个集合中的元素与第二个集合中的元素联系起来。

例如,小于关系就是一个二元关系。

3. 请说明什么是递归函数,并给出一个简单的例子。

答案:递归函数是一种通过自身定义来计算函数值的函数。

例如,阶乘函数就是一个递归函数,定义为:n! = n * (n-1)!,其中n! = 1当n=0时。

四、计算题(每题10分,共30分)1. 计算以下逻辑表达式:(P ∧ Q) ∨ ¬R答案:首先计算P ∧ Q,然后计算¬R,最后计算两者的逻辑或。

2. 给定集合A = {1, 2, 3},B = {2, 3, 4},求A ∪ B。

答案:A ∪ B = {1, 2, 3, 4}3. 已知函数f(x) = 2x + 3,求f(5)。

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北京工业大学经管学院期末试卷《离散数学》(A)学号姓名:成绩一、单项选择题(每题2分,共18分)1.令P:今天下雪了,Q:路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不.滑”可符号化为(D)A.P→Q B.P∨QC.P∧Q D.P∧Qp→q,蕴涵式,表示假设、条件、“如果,就”。

“→”与此题无关2. 关于命题变元P和Q的极大项M1表示( C )。

书P1520,此题换作p、q更容易理解A.┐P∧QB.┐P∨Q p∨┐q 01 1 M1∨┐Q∧┐Q3.设R(x):x是实数;S():x小于y。

用谓词表达下述命题:不存在最小的实数。

其中错误的表达式是:(D)4.在论域{}中与公式(x∃)A(x)等价的不含存在量词的公式是(B)A.)b()a(A∨AA)a(A∧ B. )b(C. )b()b(A→AA)a(A→ D. )a(5.下列命题公式为重言式的是(C)A.Q→(P∧Q)B.P→(P∧Q)C.(P∧Q)→P D.(P∨Q)→Q牢记→真假条件,作为选择题可直接代入0、1,使选项出现1→0,排除。

熟练的可直接看出C不存在1→0的情况6. 设{1,2,3},{},下列二元关系R为A到B的函数的是( A )A. {<1>,<2>,<3>}B. {<1>,<2>}C. {<1>,<1>,<2>,<3>}D. {<1>,<2>,<3>,<1>}7.偏序关系具有性质(D)背A.自反、对称、传递B.自反、反对称C.反自反、对称、传递D.自反、反对称、传递8.设R 为实数集合,映射:,R R σ→2()21,x x x σ=-+-则σ 是( D ).(A) 单射而非满射 (B) 满射而非单射 (C) 双射 (D) 既不是单射也不是满射. 书P96.设函数f :A→B(1)若,则f 是满射的【即值域为B 的全集,在本题中为R ,该二次函数有最高点,不满足】(2)若对于任何的x 12∈A , x 1≠x 2,都有f(x 1)≠f(x 2),则称f 是单射的【即真正一一对应,甚至不存在一个y 对应多个x 。

显然,本题为二次函数,不满足】(3)若f 既是满射的,又是单射的,则称f 是双射的【本题中两个都不满足,既不是单射也不是满射】二、填空题(每空2分,共22分)1.设Q 为有理数集,笛卡尔集×Q ,*是S 上的二元运算,∀<a, b>,<x, y>∈S,<a, b>*<x, y>=<, >, 则*运算的幺元是<1,0>。

∀<a, b>∈S, 若a≠0,则<a, b>的逆元是<1>。

书P123定义2.在个体域D 中,公式)x (xG ∀的真值为假当且仅当某个G(x)的真值为假,公式)x (xG ∃的真值为假,当且仅当所有G(x)的真值都为假。

3.给定个体域为整数域,若F (x ):表示x 是偶数,G (x ):表示x 是奇数;那么,)x (G )x ()x (F )x (∃∧∃是一个 永真式 ;而))x (G )x (F )(x (∧∃是一个 永假式 。

4.设{}{}===)R (r ,c ,b ,b ,a R A ,c ,b ,a A 则上的二元关系 {<>,<>,<>,<>,<>,<>} ;s(R)= {<>,<>,<>,<>} 。

书P89、P85.自反闭包:r(R) = R U R 0={<>,<>} U {<>,<>,<>,<>} ={<>,<>,<>,<>,<>,<>}对称闭包:s(R) = R U R -1 = {<>,<>} U {<>,<>} = {<>,<>,<>,<>}传递闭包:t(R) = 2 3U……5. 设{1,2,3}{},则从X 到Y 的不同的函数共有8个.书P96,B 上A 的概念:设A、B为集合,所有从A到B的函数构成集合BA ,读作“B 上A”如果 = m , = n ,m 、n 不全是0,则 =即,若题中给出集合A 有m 个元素,B 有n 个元素,可直接用 计算出A 到B 的函数个数。

本题中为23 = 86.设,,G 是群*∈,则(1)-1= a ,(*)-1= 1 * 1 。

书P139公式7. 设{1,2,3},f :X→X ,g :X→X ,{<1, 2>,<2,3>,<3,1>},{<1,2>,<2,3>,<3,3>},则ο{<1,3>,<2,1>,<3,1>},ο{<1,3>,<2,3>,<3,2>}。

书P82-83合成:ο = {<>∧}需要说明的是,这里的合成ο是左复合,即G 先作用,然后将F 复合到G 上。

之前的答案“有误”,因为采用了右复合。

这两种合成定义所计算的合成结果是不相等的,但两个定义都是合理的,只要在体系内部采用同样的定义就可以了。

总之,在咱们的离散里牢记左复合。

三、计算题(每题9分,共36分)1. 设集合A ={1, 2, 3,4,5},A 上的关系R ={<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}(1) 画出R 的关系图;(2) 问R 具有关系的哪几种性质(自反、对称、传递、反对称).自反性、传递性书P87表格,根据关系图可直接判断性质……(3) 给出R 的传递闭包。

{<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3, 3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}R 2 = ο = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}R 3 = R 2οR = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>} ……所以,t(R) = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}2. 集合{}上的二元运算*的运算表如下,求出它的幺元,零元,及逆元。

* a b c d ea b a c c cb a bcd ec c c c c cd e d c b ae d e c d b幺元:b零元:c逆元:1 1 , 1 1书P123定义3.求合式公式→((P→Q)∧┐(┐Q∨┐P))的主析取范式及成真赋值。

A = P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))= P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))= P→((┐P ∧Q∧P)∨(Q∧Q∧P))= P→(Q∧P)= ┐P∨(Q∧P)= (┐P∧(Q∨┐Q))∨(Q∧P)= (∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(P∧Q)= (┐P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧Q)= m0∨m1∨m3成真赋值为00,01,114.求在1到1000000之间有多少个整数既不是完全立方数,也不是完全平方数?完全平方数的个数:10002 =1000000,所以有1000个(即1到1000)完全立方数的个数:1003 =1000000,所以有100个(即1到100)既是完全平方数又是完全立方数的重复部分:106 =1000000,所以有10个(即16到106)所以既不是完全立方数,也不是完全平方数的整数有:1000000-(1000+100-10) = 998910四、证明题(每题8分,共24分)1.若公司拒绝增加工资,则罢工不会停止,除非罢工超过三个月且公司经理辞职。

公司拒绝增加工资,罢工又刚刚开始。

罢工是否能停止?(给出相应推理的证明过程)2.给出关系不满足对称性的条件并证明。

∃<>∈R∧<>∉R⇔∃<>∈R∧<>∉R⇔┐∀(<>∈R∧<>∈R)3.如果关系R和S为X上的等价关系,证明:R∩S也是X上的等价关系。

(1)自反设∀x∈X【推<>∈R∩S】∵R和S为X上的等价关系∴R和S均为X上的自反关系∵x∈X∴<>∈R, <>∈S∴<>∈R∩S∴R∩S在X上是自反的(2)对称设∀<>∈R∩S【推<>∈R∩S】∵<>∈R∩S∴<>∈R,<>∈S∵R和S为X上的等价关系∴R和S均为X上的对称关系∴<>∈R,<>∈S∴<>∈R∩S∵此时<>∈R∩S∴R∩S在X上是对称的【<>∈R∩S时,必有<>∈R∩S】(3)传递设∀<>∈R∩S,∀<>∈R∩S【推<>∈R∩S】∵<>∈R∩S∴<>∈R,<>∈S∵<>∈R∩S∴<>∈R,<>∈S∵R和S为X上的等价关系∴R和S均为X上的传递关系∴<>∈R,<>∈S∴<>∈R∩S∵此时<>∈R∩S,<>∈R∩S∴R∩S在X上是传递的【<>∈R∩S,<>∈R∩S时,必有<>∈R∩S】综上所述,R∩S在X上是自反、对称、传递的∴R∩S为X上的等价关系书P90等价关系:自反、对称、传递偏序关系:自反、反对称、传递因此要证明某关系在非空集合上是等价关系或偏序关系,一般需分为三个性质分别证明,同时,题目条件中若给出等价关系或偏序关系,也可分为三部分选择使用。

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