第二章 命题逻辑

用等值演算法验证等值式
(pq) r(pr) (qr) 证明：从左端开始证明 左端(pq)r
(蕴涵等值式) (pq)r (德摩根律) (pr)(qr)(分配律) (pr)(qr) (蕴涵等值式)
用等值演算法验证等值式
证明： (p q) r≠ p (qr) 思路：1)真值表法
归缪法
如果小张守第一垒并且小李向B队投球，
则A队未取胜，或者A队成为联赛第一名。 A队没有成为联赛第一名。小张守第一垒。 因此，小李没向B队投球。
有以下几个条件成立：
(1)如果小王是工人，那么小张不是医生。
(2)或者小李是工人，或者小王是工人。 (4)或者小赵是学生，或者小周不是经理。
范式存在定理
任一命题公式都存在着与之等值的合取范
式和析取范式。
范式可用来判断重言式和矛盾式
定理2.2 (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的
每个简单合取式都是矛盾式。 (2)一个合取范式是重言式当且仅当它的 每个简单析取式都是重言式。
求范式的步骤
对一个已给的公式, 可按下述步骤求得该
用等值演算法验证等值式
证明( P∧( Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R) = R
证明： 左端= ( P∧( Q∧R))∧((Q∨P)∧R) (分配律) =(( P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) (结合律) =((P∨Q) ∧R))∨((Q∨P)∧R) (德摩根律) =((P∨Q) ∨(Q∨P))∧R (分配律) =((P∨Q)∨(P∨Q))∧R (交换律) =1∧R (置换规则，排中律) =R (同一律)
2.2 析取范式与合取范式
定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。
仅由有限个文字构成的析取式称作简单析 取式。仅由有限个文字构成的合取式称作 简单合取式。
定义2.3
(1) 仅由有限个简单合取式构成的析取式
称为析取范式。 (2) 仅由有限个简单析取式构成的合取式称 为合取范式。 (3)析取范式与合取范式统称为范式。
基本等值式
1)双重否定律 AA
2)幂等律
3)交换律 4)结合律
AAA，AAA；
ABBA，ABBA； A(BC) (AB)C, A(BC) (AB)C； A(BC) (AB)(AC)， A(BC) (AB)(AC)；
5) 分配律
基本等价式
第三章 命题逻辑的推理理论
§3.1 推理的形式结构 §3.2 自然推理系统P
2.1 等值式
定义2.1 设A,B是两个命题公式，若A,B
构成的等价式A B为重言式，则称A与B 是等值的，记作AB 注意： 不是联结符，它是用来说明A与 B是等值的。
引例
判断下面两个公式是否等值：
p (q r)与(p q) r 虽然用真值表法可以判断任意两个命题公 式是否等值，但当命题变项较多时，工作 量很大。因此，我们引入16组重要的等值 式。
13) 等价等值式 (AB)(AB)(BA)； 14) 假言易位
AB B A (AB ) (A B) B
15) 等价否定等值式 AB A B
16) 归谬律
等值演算
由已知的等值式推演出另外一些等值式的
过程为等值演算。 置换规则 公式A的子公式置换后A化为 公式B, 必有A = B。
形成的极小项和极大项, 则 ┐mi Mi， ┐Mi mi
主范式的用途
求公式的成真与成假赋值。 判断公式的类型。 判断两个命题公式是否相等。 应用主范式分析和解决实际问题 主析取范式和主合取范式可以相互转化。
例题
求公式的主析取范式和主合取范式 (pq) r
实际应用
某科研所要从3名科研骨干A，B，C中挑
选1～2名出国进修。由于工作需要，选派 时要满足以下条件： （1） 若A去，则C同去； （2） 若B去，则C不能去； （3） 若C不去，则A或B可以去。 问所里应如何选派他们？
2.3 联结词的完备集
设S是一个联结词的集合，如果对任一命
题公式都有由S中的联结词表示出来的公 式与之等值，就说S是完备的联结词集合， 或说S是联结词的完备集
6)德摩根律 7)吸收律 (AB)AB， (AB)AB。 A(AB)A ,A(AB)A；
8)零律
9)同一律
A00，A11；
A0A，A1A；
10)排中律
11)矛盾律
A A1
A A0
基本等值式
12) 蕴涵等值式 (AB) (AB)；
由两个命题变项p1, p2可构成四个极小项：
p1∧ p2, p1∧p2, p1∧p2和p1∧p2。 若将pi与1对应, 而pi与0对应, 进而将极 小项 p1∧ p2与00对应, 简记为m0。 p1∧p2与01对应，简记为m1。 p1∧ p2与10对应, 简记为m2。 p1∧p2与11对应, 简记为m3。
由定义可知： pq=(pq)
定理2.7 {}，{}都是联结词完备集。
第三章 命题逻辑的推理系统
§3.1 推理的形式结构 §3.2 自然推理系统P
附加前提证明法
在自然推理系统P中构造下面的证明： 如果小张和小王去看电影，则小李也去看 电影，小赵不去看电影或小张去看电影。 小王去看电影。所以，当小赵去看电影时， 小李也去。
(3)如果小张不是医生，那么小赵不是学生。
以下哪项如果为真，可得出“小李是工人”
的结论？ (A)小周不是经理。 (B)小王是工人。 (C)小赵是学生。 (D)小周是经理。
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p、q形成的极小项和极大项
p,q,r形成的极小项与极大项
主范式
定义2.5 设由n个命题变项构成的析取范
式（合取范式）中所有的简单合取式（简 单析取式）都是极小项（极大项），则称 该析取范式（合取范式）为主析取范式 （主合取范式）。
极小项和极大项的转换
定理2.4 设mi与Mi是命题变项p1,p2,…,pn
公式的合取范式和析取范式。 (1) 消去已给公式中的联结词→和 。 (2) 重复使用德摩根律和双重否定律, 把否 定号内移或消去。 (3) 重复使用分配律。
举例
求下面公式的析取范式与合取范式
(pq) r
极大项和极小项
在含有n个命题变项的简单合取式(简单析
取式)中，若每个命题变项和它的否定式 不同时出现，而二者之一必须出现且仅出 现一次，且第i个命题变项和它的否定式 出现在从左算起的第i位上(若命题变项无 角标，就按字典顺序排列)，称这样的简 单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).
联结词完备集
定理 S={┐ , ∨, ∧}是联结词完备集。 推论 以下联结词集都是完备集：
（1） S1 = {┐ , ∨, ∧，→} （2） S2 = {┐ , ∨, ∧，→, } （3） S3 = {┐, ∧} （4） S4 = {┐ , ∨} （5） S5 = {┐ ，→}
与非联结词
设p，q是两个命题，复合命题 “p与
q的否定式”称为p与q的与非式，记 作 pq 。 “ ” 称 作 与 非 联 结 词 。 pq为真当且仅当p，q不同时为真。
由定义可知： pq=(pq)。
或非联结词
设p，q是两个命题，命题 “p或q的
否定”称为p与q的或非式，记作pq， 称作或非联结词。 pq为真当且仅 当p，q同时为假。
2)证明法
用等值演算法判断公式类型
(p q) pq (p (pq))r p (((pq)p) q)
思考题
在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王
教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后，笑曰：你们3人中有一人全说对 了，有一人全说错了，还有一人对错各半。 试用逻辑演算法判断王教授是哪里人？