第二章 命题逻辑

基本等值式
1)双重否定律 AA
2)幂等律
3)交换律 4)结合律
AAA，AAA；
ABBA，ABBA； A(BC) (AB)C, A(BC) (AB)C； A(BC) (AB)(AC)， A(BC) (AB)(AC)；
5) 分配律
基本等价式
由两个命题变项p1, p2可构成四个极小项：
p1∧ p2, p1∧p2, p1∧p2和p1∧p2。 若将pi与1对应, 而pi与0对应, 进而将极 小项 p1∧ p2与00对应, 简记为m0。 p1∧p2与01对应，简记为m1。 p1∧ p2与10对应, 简记为m2。 p1∧p2与11对应, 简记为m3。
选1～2名出国进修。由于工作需要，选派 时要满足以下条件： （1） 若A去，则C同去； （2） 若B去，则C不能去； （3） 若C不去，则A或B可以去。 问所里应如何选派他们？
2.3 联结词的完备集
设S是一个联结词的集合，如果对任一命
题公式都有由S中的联结词表示出来的公 式与之等值，就说S是完备的联结词集合， 或说S是联结词的完备集
p、q形成的极小项和极大项
p,q,r形成的极小项与极大项
主范式
定义2.5 设由n个命题变项构成的析取范
式（合取范式）中所有的简单合取式（简 单析取式）都是极小项（极大项），则称 该析取范式（合取范式）为主析取范式 （主合取范式）。
极小项和极大项的转换
定理2.4 设mi与Mi是命题变项p1,p2,…,pn
6)德摩根律 7)吸收律 (AB)AB， (AB)AB。 A(AB)A ,A(AB)A；
8)零律
9)同一律
A00，A11；
A0A，A1A；
10)排中律
11)矛盾律
A A1
A A0
基本等值式
12) 蕴涵等值式 (AB) (AB)；
归缪法
如果小张守第一垒并且小李向B队投球，
则A队未取胜，或者A队成为联赛第一名。 A队没有成为联赛第一名。小张守第一垒。 因此，小李没向B队投球。
有以下几个条件成立：
(1)如果小王是工人，那么小张不是医生。
(2)或者小李是工人，或者小王是工人。 (4)或者小赵是学生，或者小周不是经理。
公式的合取范式和析取范式。 (1) 消去已给公式中的联结词→和 。 (2) 重复使用德摩根律和双重否定律, 把否 定号内移或消去。 (3) 重复使用分配律。
举例
求下面公式的析取范式与合取范式
(pq) r
极大项和极小项
在含有n个命题变项的简单合取式(简单析
取式)中，若每个命题变项和它的否定式 不同时出现，而二者之一必须出现且仅出 现一次，且第i个命题变项和它的否定式 出现在从左算起的第i位上(若命题变项无 角标，就按字典顺序排列)，称这样的简 单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).
第三章 命题逻辑的推理理论
§3.1 推理的形式结构 §3.2 自然推理系统P
2.1 等值式
定义2.1 设A,B是两个命题公式，若A,B
构成的等价式A B为重言式，则称A与B 是等值的，记作AB 注意： 不是联结符，它是用来说明A与 B是等值的。
引例
判断下面两个公式是否等值：
p (q r)与(p q) r 虽然用真值表法可以判断任意两个命题公 式是否等值，但当命题变项较多时，工作 量很大。因此，我们引入16组重要的等值 式。
范式存在定理
任一命题公式都存在着与之等值的合取范
式和析取范式。
范式可用来判断重言式和矛盾式
定理2.2 (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的
每个简单合取式都是矛盾式。 (2)一个合取范式是重言式当且仅当它的 每个简单析取式都是重言式。
求范式的步骤
对一个已给的公式, 可按下述步骤求得该
设p，q是两个命题，复合命题 “p与
q的否定式”称为p与q的与非式，记 作 pq 。 “ ” 称 作 与 非 联 结 词 。 pq为真当且仅当p，q不同时为真。
由定义可知： pq=(pq)。
或非联结词
设p，q是两个命题，命题 “p或q的
否定”称为p与q的或非式，记作pq， 称作或非联结词。 pq为真当且仅 当p，q同时为假。
13) 等价等值式 (AB)(AB)(BA)； 14) 假言易位
AB B A (AB ) (A B) B
15) 等价否定等值式 AB A B
16) 归谬律
等值演算
由已知的等值式推演出另外一些等值式的
过程为等值演算。 置换规则 公式A的子公式置换后A化为 公式B, 必有A = B。
(3)如果小张不是医生，那么小赵不是学生。
以下哪项如果为真，可得出“小李是工人”
的结论？ (A)小周不是经理。 (B)小王是工人。 (C)小赵是学生。 (D)小周是经理。
形成的极小项和极大项, 则 ┐mi Mi， ┐Mi mi
主范式的用途
求公式的成真与成假赋值。 判断公式的类型。 判断两个命题公式是否相等。 应用主范式分析和解决实际问题 主析取范式和主合取范式可以相互转化。
例题
求公式的主析取范式和主合取范式 (pq) r
实际应用
某科研所要从3名科研骨干A，B，C中挑
2.2 析取范式与合取范式
定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。
仅由有限个文字构成的析取式称作简单析 取式。仅由有限个文字构成的合取式称作 简单合取式。
定义2.3
(1) 仅由有限个简单合取式构成的析取式
称为析取范式。 (2) 仅由有限个简单析取式构成的合取式称 为合取范式。 (3)析取范式与合取范式统称为范式。
用等值演算法验证等值式
证明( P∧( Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R) = R
证明： 左端= ( P∧( Q∧R))∧((Q∨P)∧R) (分配律) =(( P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) (结合律) =((P∨Q) ∧R))∨((Q∨P)∧R) (德摩根律) =((P∨Q) ∨(Q∨P))∧R (分配律) =((P∨Q)∨(P∨Q))∧R (交换律) =1∧R (置换规则，排中律) =R (同一律)
联结词完备集
定理 S={┐ , ∨, ∧}是联结词完备集。 推论 以下联结词集都是完备集：
（1） S1 = {┐ , ∨, ∧，→} （2） S2 = {┐ , ∨, ∧，→, } （3） S3 = {┐, ∧} （4） S4 = {┐ , ∨} （5） S5 = {┐ ，→}
与非联结词
用等值演算法验证等值式
(pq) r(pr) (qr) 证明：从左端开始证明 左端(pq)r
(蕴涵等值式) (pq)r (德摩根律) (pr)(qr)(分配律) (pr)(qr) (蕴涵等值式)
用等值演算法验证等值式
证明： (p q) r≠ p (qr) 思路：1)真值表法
2)证明法
用等值演算法判断公式类型
(p q) pq (p (pq))r p (((pq)p) q)
思考题
在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王
教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后，笑曰：你们3人中有一人全说对 了，有一人全说错了，还有一人对错各半。 试用逻辑演算法判断王教授是哪里人？
由定义可知： pq=(pq)
定理2.7 {}，{}都是联结词完备集。
第三章 命题逻辑的推推理系统P
附加前提证明法
在自然推理系统P中构造下面的证明： 如果小张和小王去看电影，则小李也去看 电影，小赵不去看电影或小张去看电影。 小王去看电影。所以，当小赵去看电影时， 小李也去。