高等几何-第一章仿射坐标与仿射变换

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高等几何复习要点

高等几何复习要点第一章仿射坐标和仿射变换1.1 透视仿射对应单比，透视对应及其性质。

1.2仿射对应和仿射变换仿射对应、仿射变换及其性质。

1.3仿射坐标仿射坐标系的定义，单比的坐标表示，仿射坐标系下的直线方程，仿射变换的代数表示及其计算。

1.4仿射性质仿射性质和仿射不变量。

Ex.1.4：1-4第二章射影平面2.1射影直线和射影平面中心射影，影消线，无穷远元素，射影直线和射影平面，射影性质与射影不变量，Desargues定理及其逆定理。

Ex.2.1：1-3,62.2齐次坐标齐次点坐标，齐次线坐标。

Ex.2.2：4,52.3对偶原理对偶元素，对偶命题，对偶原则。

Ex.2.3：1,2第三章射影变换与射影坐标3.1交比和调和比点列（线束）的交比及其性质，调和共轭，交比的计算，交比是射影不变量，完全四点形与完全四线形的调和性。

Ex. 3.1： 2-53.2一维射影变换一维基本型，一维基本型的透视对应与射影对应及其关系，Pappus定理，一维射影变换，对合。

Ex.3.2： 1-33.3一维射影坐标齐次射影坐标，交比的坐标表示，一维射影对应（变换）的代数表示，对合对应的参数间的关系。

Ex.3.3： 1-43.4二维射影变换与二维射影坐标二维基本型，二维基本型的透视对应与射影对应及其关系，二维射影坐标（齐次射影坐标），二维射影对应（变换）的代数表示，自对应（不变）元素。

P.84,例；Ex.3.4： 1-3第四章变换群与几何学4.1 变换群4.2变换群与几何学射影几何、仿射几何和欧式几何的比较，基本不变量（不变性，不变图形）Ex.4.2： 3,5第五章二次曲线的射影理论5.1二次曲线的射影定义二阶曲线的方程，二阶曲线的矩阵形式，二阶曲线的射影定义，二阶曲线与直线相关位置；二级曲线及其与二阶曲线的关系。

Ex.5.1：3,4,55.2 Pascal和 Brianchon定理Pascal定理及其逆定理的应用， Brianchon定理。

第一章仿射几何学

第二部分高等几何学习指导第一章仿射几何学本章内容的安排在于揭示一种思想方法，从观察到概念形成到不变量系统再到代数系统，这种安排思想也充分反映了历史上射影几何建立过程中综合方法与解析方法各有所长交替作用互相影响的发展历程。

本节研究的内容来自于生活、自然与生产建设实践，如正交变换是从研究我们生活空间中物体位置改变的最简单的情形移动、转动和镜面反射开始的，仿射变换则是从太阳光的照射开始的。

因此在本章的学习中应注重于培养观察能力。

《数学发现的艺术》中是这样描述“观察”与“归纳”的：“观察是有意知觉的高级形式，它与有意注意结合在一起，与思维相联系。

怎样进行观察？需要注意三点：一是有意识、有目标，处处留心，总想‘找岔儿’，从中发现点什么，否则就会熟视无睹，看等于不看；二是要有基础，有必要的相关知识，否则难以看出‘门道儿’，而只能是‘外行看热闹’；三是要有方法，否则就看不到‘点子’上，抓不住要领。

在观察中，要特别注意从个别想到一般，从平常中发现异常”；而“归纳是由个别事例向关于这一类事物的一般性的过渡，是一种对经验、以实验观察结果进行去粗取精、去伪存真的综合处理方法。

人们用归纳法清理事实，概括经验，处理资料，从而形成概念，发现规律”。

通过本章学习，首先对观察、归纳应该有一个较为深刻的认识，为在以后的学习中能熟练应用观察而打下良好的基础，其次对数学研究的目标之一——对象的结构——有一个初步的了解。

§1正交变换本单元分两个部分介绍正交变换，其一是解析几何中坐标变换的复习，主要通过讨论刚体运动中的特例——平移、旋转和反射，揭示其中最基本的不变量——距离，进而提炼出正交变换的概念。

其二是利用不变量系统建立相应的坐标系，从而引入解析法，用代数方法解决正交变换的结构问题。

一、基本概念实例 (a) 平移是沿一定的方向推移物体的过程，建立适当的坐标系，就有平移：，即；(b) 旋转是物体绕着固定点转动的过程，建立适当的坐标系，就有旋转：，即；(c) 反射是关于一条固定直线的对称，建立适当的坐标系，就有反射：，即。

高等几何总复习

a 2 (b c ) d 0,
一维射影变换的分类：
(ad bc 0)
( 2)
相异实根相异实二重元双曲型 0 0 (2)有两个相同实根 (1)有两个相同实二重元称为抛物型 0 共轭虚根共轭虚二重元椭圆型
18
第三章一维射影几何学
③将每一个特征根λ 分别代入方程组(A’-λ E)u=0，求出固定线的坐标.
(a11 ) y1 a12 y2 a13 y3 0 a21 y1 (a22 ) y2 a23 y3 0 a y a y (a ) y 0 33 3 31 1 32 2
28
相应的变换群
射影群
3
仿射群
运动群
变换式
xi aij x j , x a1 x b1 y c1
j 1
i 1,2,3,
y a2 x b2 y c2
x x y h y x y k
aij 0
考试重点：作图题
22
第四章德萨格定理，四点形与四线形
A
几何构形的代号：
完全四点形
4 3 2 6
B C
D
完全四线形三角形德萨格构形帕普斯定理
6 2 3 4
a
d
b c
23
第五章
射影坐标系和射影变换
5.1 一维射影坐标系 5.2 平面内的射影坐标系 5.3 射影坐标的特例 5.4 坐标转换 5.5 射影变换 5.6 二维射影几何基本定理 5.7 射影变换的二重元素（或固定元素） 5.8 射影变换的特例 5.9 换群 5.10 变换群的例证 5.11 变换群与几何学

第一部分仿射几何学的概念

高等几何需掌握的基本概念与方法第一部分仿射几何学的概念一、平行投影与仿射对应1.说明在一般情况下，仿射对应时对应点的连线不都是平行的。

2.在什么情况下，一般仿射对应时对应点的连线都互相平行。

3.两相交平面间的透视仿射对应有对应轴，如果有对应轴一般仿射对应时没有对应轴，那么这个仿射对应实质上仍然是透视放射对应。

二、仿射对应的不变性质与不变量1.证明：三角形的重心是仿射对应下的不变性质。

2.证明：平行四边形的中心是仿射对应下的不变性质。

3.证明：梯形在仿射对应下仍是梯形。

4.说明：两个全等的矩形在仿射下对应于两个等积的平行四边形。

三、平面内的仿射变换及其决定1.给出透视放射变换的对应轴即对应点',P P ；求作已知三角形的对应图形。

已知：对应轴L 及一对对应点P ，P '；求作：ABC ∆的对应图形。

2.在第一题条件下，求作已知正方形的对应图形。

已知：对应轴L 及一对对应点P ，P '；求作：正方形ABCD 的对应图形3.在题一条件下，做已知圆的对应图形。

已知：对应轴L 及一对对应点P ，P '；求作：圆O 的对应图形。

4.给定由两个三角形321,,P P P 为'3'2'1,,P P P 所决定的仿射变换，求做在此仿射变换下平面内任意一点A 的对应点'A 。

5.给定一个梯形ABCD ，并且已知梯形中的三角形ABC 在仿射变换ABC 在仿射变换下的对应三角形'''C B A 。

求做这梯形第四点D 的对应点。

C6.给定一个正五角形，而且已知定点A ， C B ,在仿射变换下的对应点''',,C B A ，求作E D ,两点的对应点'D 与'E 。

四、仿射变换的代数表示1.证明：在仿射坐标系下直线的方程是一次方程。

2.在仿射变换下，试求向量的变换式。

3.试利用代数方法证明：三对对应点决定一个仿射变换。

高等几何(第一章)

y2 y1 x2 x1
令上式为ｍ，于是 y y1 m( y2 y1)
x x1 m(x2 x1)
Ｑ PM x x1, y y1 m(x2 x1), m( y2 y1)
Ｍ
PQ {x2 x1, y2 y1} PM mPQ
Ｐ
从而Ｐ、Ｑ、Ｍ共线，即点Ｍ在直线ＰＱ上。
3.2 仿射变换的代数表示
b1
A1
A2
b2
B1 C1 a1 B2 C2 a2
an-1
bn-1
An Bn Cn an
➢仿射变换具有哪些不变性和不变量？
1、同素性、结合性两直线的平行性 2、共线三点的单比不变
下面给出仿射对应的另一种定义:
➢定义2.2 若两个平面间（平面到自身）的一个点对应（变换）保持同素性、结合性、共线三点的单比不变，则这个点对应（变换）称为仿射对应（变换）。
仿射坐标系
Py Ey
P(x,y)
仿射变换
O Ex Px
OEx OE y
x
OPx OE x
PxO ExO
(Px ExO)
y
OPy OE y
PyO EyO
(Py EyO)
P/y
P/x
E/y
E/x
O/
x'
O' Px ' O' Ex '
(Px
'
Ex
'O')
x
y'
O' Py ' O' Ey '
(Py '
x/ e/1 O/
设在下，新原点O/及新基本向量e/1,e/2的坐标分别为
O/(a13, a23)，e1/ {a11, a21}，e2/ {a12, a22}，

高等几何学习指导.

《高等几何》学习指导第一章仿射坐标与仿射变换一、教学目的要求1、理解透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念，注意其区别和联系；2、熟练掌握共线三点单比的概念及其坐标表示法；3、理解仿射不变性与仿射不变量的概念，并能利用它们证明平面图形的其它仿射性质；4、熟练掌握仿射变换的代数表示.二、教学重点、难点重点：透视仿射对应、仿射变换的概念；仿射不变性与仿射不变量；仿射变换的代数表示和共线三点单比的坐标表示法.难点：透视仿射对应的概念、特征及判断.三、内容小结本章主要介绍下述内容：1、共线三点单比（简比）的概念2、透视仿射对应1）、概念：①、同一平面内，直线l到直线/l的透视仿射对应；②、平面π到平面/π的透视仿射对应.2）、判断：对应点连线互相平行.3）、性质： ①、保持同素性； ②、保持结合性； ③、保持平行性； ④、保持共线三点单比不变. 3、仿射对应与仿射变换概念：透视仿射链. 4、仿射坐标 1）、仿射坐标系；2）、共线三点单比的坐标表示：设31311233232(,),(1,2,3),()i i i x x y y P x y i PP P x x y y --===--则； 3）、仿射变换的代数表示：/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩， 111221220a a a a ∆=≠；5、仿射性质1）、仿射不变性：同素性、结合性、平行性. 2）、仿射不变量：共线三点的单比；两条平行线段之比；两个三角形面积之比；两个封闭图形面积之比.3）、常见的仿射不变图形：三角形、平行四边形、梯形. 四、例题例1、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-2,-4),B(5,2),C3(,1)2-,求单比（ABC ）. 解：设A 、B 、C 的非齐次坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y由3132322()1352x x ABC x x +-===---.例2、平面上是否存在仿射变换，使点A （1，2），B （-2，-4）， C （3，6）分别变为点A /（-1，-1），B /（2，2），C /（0，0）？解：由于A ，B ，C 三点共线，A /，B /， C /也共线，下面验证它们的单比是否保持不变，由于：//////////312011(),(),()()325022AC A C ABC A B C ABC A B C BC B C -+======-∴≠+-因此这样的仿射变换不存在.例3、求使三点（0，0），（1，1），（1，-1）顺次变到三点（2，3），（2，5），（3，-7）的仿射变换.解：设所求仿射变换为：/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩111221220a a a a ∆=≠，将（0，0）对应（2，3），（1，1）对应（2，5），（1，-1）对应（3，-7）分别代人上式得：1323111213212223111223212223232537a a a a a a a a a a a a a a ===++=++=-+-=-+ ，解此方程组，得132311122122112,3,,,4,622a a a a a a ====-==故所求仿射变换为：//11222463x x y y x y ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩，且1102246-∆=≠-. 例4、求一仿射变换，它使直线210x y +-=210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）.解：在直线210x y +-=上任取两点（1，0），（-1，1），由于（1，0）→（1，0）；（-1，1）→（-1，1），又（1，-1）→（-1，2），由于三对对应点分别不共线，从而可唯一确定一仿射变换，将它们的坐标分别代入仿射变换式/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，解得：//22133222x x y y x y ⎧=+-⎪⎨=--+⎪⎩，220322∆=≠--，即为所求的仿射变换.例5、求椭圆的面积. 解法1（见教材第15页）解法2：设在笛氏直角坐标下圆的方程为222x y r +=即22221x y r r+=，令仿射变换T ：//x x a ry yb r⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即//ax x r b y y r ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，其中2000aabrb rr ∆==≠，其对应图形为椭圆：/2/2221x y a b+=故T 是圆到椭圆的仿射变换，设圆的面积为S ，椭圆的面积为S / 由定理4.3//22S abS S r ab S rππ=∆⇒=∆== 所以椭圆的面积为ab л.例6、求将点O （0，0），A （1，0），B （0，1）分别变为O /（1，1），A /（3，1），B /（3，2）的仿射变换；并求在这个变换下，半径为2的圆的仿射对应图形的面积.解：①、设所求仿射变换为：/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩111221220a a a a ∆=≠将O （0，0）对应O /（1，1）， A （1，0）对应A /（3，1），B （0，1）对应B /（3，2）分别代人上式解得//2211x x y y y ⎧=++⎪⎨=+⎪⎩且 22001∆=≠ 为所求仿射变换.②、////1,1,42OAB O A B S S S π∆∆===Q 圆，设圆的仿射对应图形面积为/S ，则//////1,42812O A B OABS S S S S ππ∆∆==∴=⨯=圆. 五、习题1、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-3,2),B(6,1),C 33(,)22,求单比（ABC ）.2、经过点A （-3，2）和B （6，1）的直线AB 与直线x+3y-6=0相交于P ，求(ABP).3、求仿射变换{4y 2x 4y 1y x 7x ++='+-='的不变点.4、试求：在仿射变换下，梯形、菱形、等边三角形、正方形、等腰三角形、圆、两全等矩形的对应图形.5、二平行线间的平行性是仿射不变性吗？6、任意两线段之比是仿射不变量吗？7、三角形三高线共点是仿射性质吗？三角形三中线共点是仿射性质吗？8、若（ACB ）＝2，则C 是A ，B 的中点吗？ 9、在仿射变换 {73532-+='+-='y x y y x x 下，点O （0，0），A （3，2），的像点为、；B （1，-4）的原像点为 .10、求将点A （1，0），B （0，-1），C （-1，1）分别变为A /（8，-1），B /（6，-6），C /（1，1）的仿射变换；并求在这个变换下，半径为3的圆的仿射对应图形的面积.第二章射影平面一、教学目的要求1、理解中心射影、无穷远元素及射影平面的概念，掌握无穷远元素的性质，了解射影观点与仿射观点的区别；2、掌握笛沙格定理及其应用，了解笛沙格构图；3、掌握齐次坐标的定义，熟练掌握点和直线的方程、齐次坐标的求法及其应用；4、理解对偶元素、对偶运算及对偶命题的概念，掌握对偶原理及写出一命题的对偶命题的方法；5、明确完全四点形、四线形的概念，掌握它们的调和性质及应用；6、了解复元素的概念.二、教学重点、难点重点：无穷远元素的概念及其性质，齐次坐标的定义及运算，笛沙格定理及其应用，对偶原理.难点：无穷远元素的概念，点方程、线坐标的定义.三、内容小结本章主要介绍下述内容：1、无穷远元素的概念2、射影直线与射影平面的概念3、图形的射影性质经过中心射影（透视对应）后图形的不变性质（量）叫做图形的射影性质（不变量）.射影性质⎧⎧⎨⎨⎩⎩点列同素性，射影图形结合性线束但平行性、共线三点的单比不是射影性质.4、笛沙格定理1）、笛沙格（Desargues ）定理：如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上.2）、笛沙格（Desargues ）定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一直线上，则对应顶点的连线交于一点.3）、透视三点形：如果两个三点形对应边的交点共线——所在直线称为透视轴；如果两个三点形对应顶点的连线共点——该点称为透视中心. 由笛沙格定理知，两个三点形若有透视心，则必有透视轴，反之亦然，这样的两个三点形称为透视三点形.4）、笛沙格构图：构成一个图形的基本元素有两类：点和线，分别称为第一类和第二类元素，用11a 和22a 表示，而12a 表示第一类元素点与第二类元素线结合，21a 表示第二类元素线与第一类元素点结合.Desargues 定理所表示的图形所含的第一类元素点的个数11a ＝10个，所含的第二类元素线22a ＝10条，每一点与12a ＝3个第二类元素线结合，每一线与21a ＝3个第一类元素点结合.可表示为：A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛103310 （A 称为构形矩阵，且A 为对称矩阵）. 即：图形中有10个点，每个点有3条线通过；有10条线，每条线上有3个点.布局十分巧妙！更为巧妙的是：在10个点中，任一个点都可作为透视心，在10条线中，任一条线都可作为透视轴.如图，对于任一点C,考察两个三点形/YXC ABO 和，它们对应顶点连线/,,AY BX OC 交于一点C,则其对应边交点YX AB Z Y C OA A XC BO B I I I ===,,////共线.即如果以C 为透视心，则其对应的透视轴为直线Z A B //. （读者可另行考虑以图中其余的点作为透视心，则必能找到其对应的透视轴！）5、齐次坐标 1）、齐次点坐标：① 一维齐次点坐标设直线上普通点的坐标为x，则该点的齐次坐标是122(,),,(0)x x x x x x =≠12其中，当210,(,0)(1,0)(0)x x =∝≠1时即其中x 规定为这直线上无穷远点的一维齐次坐标.② 二维齐次点坐标设平面上的点的非齐次坐标为(x,y),则该点的齐次坐标是1212333(,,),,x xx x x x y x x == 斜率为k 的直线上的无穷远点的齐次坐标为(1,k,0)或者2121(,,0),x x x k x = ③ 直线的（齐次坐标）方程：1122330a x a x a x ++= ④ 无穷远直线的方程：30x = 2）、齐次线坐标：① 直线的齐次线坐标 []123,,u u u点123(,,)x x x x 在直线[]123,,u u u u 上1122330u x u x u x ⇒++= ② 点的方程（线有坐标，点有方程）在齐次坐标中，点123(,,)a a a a 的方程为 1122330a u a u a u ++=，反之，[]123,,u u u 所构成的一次齐次方程表示一点. 3）、点几何与线几何的观点：点几何——点有坐标；线有方程，平面上，把点看成几何基本元素，点的轨迹构成曲线，直线看成一系列点构成；线几何——线有坐标；点有方程，平面上，把直线看成几何基本元素，直线的集合构成曲线，点看成一束直线构成.6、对偶原理 1）、对偶图形：对偶元素 ——“点”与“直线”；对偶作图——“点在线上”与“线通过点”；对偶图形——由点和直线组成的图形，将其元素换成对偶元素，其作图改为对偶作图，这样的两个图形称为一对对偶图形.如：点列——线束三点形——三线性（自对偶）简单四点形——简单四线形（自对偶）完全四点形——完全四线形 2）、对偶命题与对偶原则：对偶命题——由点和直线组成的命题，将其元素换成对偶元素，其作图改为对偶作图，这样的两个命题称为一对对偶命题.对偶原则——在射影平面上，如果一个命题成立，则其对偶命题也成立. 3）、代数对偶：① 两个不同点（线）123123(,,),(,,)a a a a b b b b 的连线（交点）的线坐标（点坐标）为：233112233112(,,)a a a a a a a b b b b b b b =⨯ ② 三个不同点（线）123123123(,,),(,,),(,,)a a a a b b b b c c c c 共线（共点）的充要条件是：1231231230a a a b b b c c c =③ 以两个不同已知点（线）123123(,,),(,,)a a a a b b b b 的连线为底的点列中一点（交点为顶点的线束中任一直线）的齐次坐标能够写为la mb +，其中,l m 为不全为零的常数.7、复元素在复射影平面上有以下重要结论：1）、一元素为实元素的充要条件是该元素与其共轭复元素重合； 2）、如果点x 在直线u 上，则x 的共轭复点x 在直线u 的共轭复直线u 上；3）、两共轭复直线的交点为一实点，两共轭复点的连线为一实直线. 四、例题例1、写出下列点的齐次坐标：(0,0)、(1,0)、(0,1)、以3为斜率的直线上的无穷远点.解：这些点的齐次坐标依次为：(0,0,1)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,3,0) 例2、写出下列直线的齐次坐标：x 轴、y 轴、无穷远直线、过原点且斜率为2的直线.解：这些直线的齐次坐标依次为：[0,1,0]、[1,0，0]、[0，0，1]、[2，-1，0].例3、求直线340x y -+=上的无穷远点的坐标和线坐标方程. 解：直线的齐次坐标方程为123340x x x -+=，这条直线与无穷远直线30x =的交点1233340x x x x -+=⎧⎨=⎩即为无穷远点，从而无穷远点的坐标（3，1，0）.这个点的齐次线坐标方程是1230u u +=.例4、求直线[1,-1,2]与两点A （3，4，-1）、B （5，-3，1）之连线的交点的坐标.解：两点A （3，4，-1）、B （5，-3，1）连线上的点（3+5λ，4-3λ，-1+λ）在直线[1,-1,2]上，所以（3+5λ）-（4-3λ）+2（-1+λ）=0，解得310λ= 所以交点坐标为（45，31，-7）.例5、试证、[2,-1,1]、[3,1,-2]和[7,-1,0]三线共点，并把[2,-1,1]表示成[3,1,-2]和[7,-1,0]的线性组合.解：由211312071--=-得三线共点，所以存在二实数λ，μ，使得 [2,-1,1]=λ[3,1,-2]+μ[7,-1,0]，于是有372121λμλμλ+=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，解得11,22λμ=-=，故[][][]112,1,13,1,27,1,022-=--+-，即 [2,-1,1]表示成[3,1,-2]和[7,-1,0]的线性组合.例6、利用对偶命题解题：(1)、求通过两直线[2,1,3]与[1,-1,0]的交点与点P ：12320u u u +-=的直线坐标；(2)、求两点123340u u u +-=，123530u u u -+=的连线与直线12320x x x -+=的交点坐标.解：(1)、这两直线的交点Q 方程为123213011u u u =-，即1230u u u +-=，即Q 点的坐标为（1，1，-1），而P 点的坐标为（1，2，-1），所以过这两点的直线方程为1231210111x x x -=-，即130x x +=，其坐标为[1，0，1] .(2)、过这两点的直线l 的方程为1233410531x x x -=-，即1238290x x x --=，其坐标为[1,-8,-29]，而直线/l 坐标为[1,-1,2]，所以这两直线交点的方程为12311201829u u u -=--，即123453170u u u +-=，其坐标为(45,31,-7).例7、（1）求过点(1,,0)i -的实直线；（2）求直线[,2,1]i i -上的实点.解：（1）因为过点(1,,0)i -的实直线必过其共轭复点(1,,0)i ，所以所求直线为1231001x x x i i-=，即30x =为所求.（2）直线[,2,1]i i -上的实点为此直线与其共轭复直线[,2,1]i i -+的交点，由方程1231232(1)02(1)0ix x i x ix x i x ++-=⎧⎨-+++=⎩，解得实点为（2，-1，2）.例8、设三点形ABC 的三边BC, CA, AB 的方程分别为052,0153,0237=-+=--=+-y x y x y x ,求证三点形 ABC 与坐标三点形A 1A 2A 3透视，并求出透视轴方程.解：在三点形ABC 和 A 1A 2A 3中，123123123:7320,:350,:250,BC x x x CA x x x AB x x x -+=--=+-= 231312123:0,:0,:0,A A x A A x A A x ===其对应边之交点：233112(0,2,3),(1,0,3),(1,2,0)BC A A L CA A A M AB A A N ⨯=⨯=⨯=-因为023130120=-，所以L 、M 、N 共线，即三点形ABC 和 A 1A 2A 3透视，且透视轴方程为1236320x x x +-=例9、如图，设直线AB 与CD 交于M ，AC 与BD 交于N ，直线MN 分别交AD 、BC 于K 、H ，直线BK 交AC 于L ，求证：HL 、CK 、MA 交于一点.解：在三点形HCM 与LKA 中，对应边的交点HC хLK=B ，CM хKA=D ，MH хAL=N ，而B 、D 、N 在一条直线上，由笛沙格定理的逆定理，这两个三点形对应顶点的连线HL 、CK 、MA 交于一点.五、习题1、回答下列问题：①、坐标原点的方程是U 3＝0吗？②、X 轴上的无穷远点坐标是（0，1，0）吗？③、三直线［1，1，1］，［1，－1，1］，［3，－1，3］共点吗？ ④、共线三点的单比是射影不变量吗？⑤、直线03)2()1(321=+++-ix x i x i 上的实点有无数多个吗？ ⑥、方程22120x x -=表示什么图形？方程22120u u -=表示什么图形？ ⑦、当正负号任意选取是，齐次坐标（1,1,1±±±）表示多少个相异的点？2、写出下列点的坐标：①、P 1(3,7,-2),P 2(0,0,1),P 3(3,-1,0)的非齐次坐标. ②、直线5x+3y-1=0上的无穷远点的齐次坐标. ③、直线l [1,1,2]与m[0,1,1]的交点坐标. ④、直线ix 1+4x 2+(1+i)x 3 = 0上的实点坐标.3、直线03)2()1(321=+++-ix x i x i 上的实点有无数多个，对吗？4、写出下列直线的方程：①、点A(0,1,2)与B(1,0,1)D 连线方程. ②、通过点（1,i,0）的实直线方程.5、已知点123(1,1,1),(1,1,1),(3,1,3)P P P --，求证123,,P P P 共线，并求λ，μ的值，使得312P P P λμ=+.6、下列诸方程表示什么？123123120;0;0;20u u u u u u u u =-=++=+=；221122540;u u u u -+=7、已知Pappus 定理：设直线l 上有互异三点A ，B ，C ，直线l '有互异三点C ,B ,A '''，那么三点B A B A N ,A C A C M ,C B C B L '⨯'='⨯'='⨯'=共线.写出其对偶命题.8、“一线束中三直线a,b,c 与不过中心的二直线21,l l 相交得两个互成透视的点列”.写出其对偶命题.9、“如果两个三角形对应边的交点在一直线上，则对应顶点的连线共点”.写出此命题的对偶命题.10、证明三角形三中线共点.11、指出下图中以B 为透视心的两个三点形和其对应的透视轴.12、ABCD 是个四面体，点M 在BC 上，一直线通过M 分别交AB ，AC 于P 、Q ，另一直线过M 分别交DB 、DC 于R 、S ，求证PR 、QS 、AD 交于一点.13、画出下面图形的平面对偶图形。

第一章第二节仿射坐标系

证明：可表性：设e1 , e2 , e3量起始于共同点O 作OA , OA , OA , OM 分别表示 e , e , e , m 1 2 3 1 2 3 OP // e1 , PN // e2 , NM // e3 , A M 3 e3 m 存在实数x , y , z，使得 e o 2 e A2 OP xe1 , PN ye2 , NM ze3 1A N
向量OA xe1 ye2 OA的坐标 ( x, y )
e1

y e2 e 2 A O x e1
2.2
向量的坐标
空间仿射坐标系: [O; e1 , e2 , e3 ]
向量OA xe1 ye2 ze3 OA的坐标 ( x, y, z )
坐标向量： e1的坐标(1,0,0)， e2的坐标(0， 1,0)， e3的坐标(0,0，。 1)
坐标法：将几何性质转化为点或向量的坐标满足的代数关系(方程)，证明几何性质。。
作业：P25 5，6，7，8
( A, B, P ) , AP ＝ AB 证明：设＝ 1 ＋ ,0) 于是点 P 在 [ A; AB, AC ] 中的坐标为( 1 1 AC 由 (C , A, R), AR ＝ 1 ＋ 1 )； R 的坐标为 (0, C 1 R 由 ( B, C , Q), Q 1 P AQ AB AC 1 1 B A 1 , ). Q 的坐标为 ( 1 1
由e1 , e2 , e3不共面，得 x x1 y y1 z z1 0 x x1，y y1，z z1
定义1.3空间中一个O点和三个不共面向量
e1 , e2 , e3 , 一起构成空间中的一个仿射标架，记作[O; e1 , e2 , e3 ]，称O为它的原点,称e1 , e2 , e3 为坐标向量。空间中任意一点A，将向量OA 对

高等几何仿射坐标与仿射变换

a 11
原象点： A,B,C,D…… 直线a上的点
映象点：A, B,C, D…… 直线上 a 的点平行射影的方向：直线 l
记透视仿射对应T： T A A,T B B ………
透视仿射对应与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射
对应
D
a
C
l
A
B
O A B C D
a
点 O 为自对应点( 同一平面上两相交直线的公共点 ) 12
CB
10
二.两直线间透视仿射对应、仿射对应与仿射变换
1..两直线间的透视仿射对应
≠ ≠
点若A直,B线,C,aD,…a… a，,l过点A,B,且C,Dl…作a直线, ll的平行a线交, a于
A, B,C, D……，则可得直线 a 到直线 a的一个映射。
称为透视仿射对应，记为 T D
a
l AB C
A B C D
1.透视仿射对应：如图
点A,B,C共线a，则 A, B,C 共线 a
T A A T B B T C C g
C a l
B A
T a a
A B
两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴 C
a
15
第一章、仿射坐标与仿射变换如图
16
2仿射对应：平面到平面的仿射对应是有限次透视仿射对应的积组成的，是透视仿射对应链。
2.两直线间的仿射对应
T Tn T 1 n2
T2T1
仿射对应是透视仿射对应链或平行射影链
T1,T2, Tn2 ,Tn1 表示透视仿射链，T表示仿射对应（如图）
A1
B1
C1
A2
B2
C2
l2
A3 B3
C3

《高等几何》复习大纲、样题及答案全要点

《高等几何》复习大纲仿射坐标与仿射变换一、要求1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。

熟练掌握单比的定义和坐标表示。

2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。

3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。

二、考试内容1.单比的定义和求法。

2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。

3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。

射影平面一、要求1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。

2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。

3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。

4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。

5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。

二、考核内容1.中心投影与无穷远元素中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。

2.笛萨格（Desargues）定理应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。

3.齐次点坐标齐次点坐标的计算及其应用。

4.线坐标线坐标的计算及其应用。

5.对偶原则作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。

射影变换与射影坐标一、要求1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。

2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。

3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。

4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。

5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。

二、考试内容1.交比与调和比交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。

2.完全四点形与完全四线形完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。

3.一维基本形的射影对应一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。

4.二维射影变换5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。

6.射影坐标一维射影坐标、二维射影坐标。

7.一维、二维射影变换的不变元素求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。

高等几何第一章PPT课件

教材分析
本章地位
从透视仿射（平行射影）引入仿射不变性与仿射不变量，为拓广欧氏平面作准备。
本章内容
定义透视仿射，学习仿射不变性与仿射不变量，证明平面仿射几何基本定理，引入仿射变换的代数表示。将注意力集中在仿射变换及其特征上，学习用综合法、代数法证明几何命题的方法。
3
学习注意
高等几何──朱维宗
y
OPPP2 OPPP2. 1 1
P( x, y)
P2பைடு நூலகம்
B T 3 ( B) B T ( B )
19
高等几何──朱维宗
1.4平面内的一般仿射
1.本节主目的
在1.3中，我们知道一条对应轴和一对对应点完全确定平面内的一个透视放射变换。当每一个透视仿射确定时，就确定了由它们所组成的放射变换。但这种确定的方法必须先知道组成放射变换的透视仿射的个数及每一个透视仿射的自对应轴。因而受到限制。实际上不能依靠这样的方法。怎么去确定一个仿射变换呢？这就是本节所要解决的。
7
高等几何──朱维宗
1.2仿射不变性与不变量
2.重要结论例讲
(1)定理1.4.一直线上任两线段之比是仿射不变量(Ex1.11)
A [证]设 A、B、C、D是直线a上任意四点，、B、C 、D 是其仿射象，则
AB AB BD AB BD CD BD CD DB CD 简比是仿射量 AB BD AB . DB C D C D
T 1 T2 Tn1
T Tn1 T2T1 , k k1k2 kn1
则SAn BnCn kSABC
或 SAn BnCn SABC k
13
高等几何──朱维宗
推论1：在仿射变换下，任意一对对应多边形面积之比是常量。

第一章仿射几何学

因此在本章的学习中应注重于培养观察能力。

《数学发现的艺术》中是这样描述“观察”与“归纳”的：“观察是有意知觉的高级形式，它与有意注意结合在一起，与思维相联系。

人们用归纳法清理事实，概括经验，处理资料，从而形成概念，发现规律”。

1213§1 正交变换本单元分两个部分介绍正交变换，其一是解析几何中坐标变换的复习，主要通过讨论刚体运动中的特例——平移、旋转和反射，揭示其中最基本的不变量——距离，进而提炼出正交变换的概念。

其二是利用不变量系统建立相应的坐标系，从而引入解析法，用代数方法解决正交变换的结构问题。

一、基本概念实例 (a) 平移是沿一定的方向推移物体的过程，建立适当的坐标系，就有平移0X l ： ⎩⎨⎧+='+='00y y y x x x ，即 0X X X +='； (b) 旋转是物体绕着固定点转动的过程，建立适当的坐标系，就有旋转θr ： ⎩⎨⎧+='-='θθθθcos sin sin cos y x y y x x ，即 X X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='θθθθcos sin sin cos ； (c) 反射是关于一条固定直线的对称，建立适当的坐标系，就有反射x r ： ⎩⎨⎧-='='yy x x ，即 X X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='1001。

高等几何讲义第一章欧氏平面及仿射平面上的变换仿射坐标及仿射坐标变换

§1 变换与变换群
• 4．变换群
• 若集合 S 上的某些变换构成的集合 G 满足条件： 1. G 中任二变换的乘积仍属于 G ； 2. G 中每一变换 T 的逆 T 1也属于 G ，则称 G 为集合 S 上的一个变换群．
• 由定义知：任何变换群一定包含恒等变换．
• 可以证明：平面上绕定点 O 的旋转变换的集合 G 是一个变换群，称为旋转群．记为 G1 ．
|OM/| |OM|，MOM/
的点变换称为以 O 为中心的旋转变换，简称
旋转，记为R ．其表达式为：y M/
R
：
x/ y/
xcos ysin xsin ycos
(1.3)
j
oi
M x
§1 变换与变换群
• 例4．镜射变换对平面上的定直线，使原象点 M与象点M/之间的线段被垂直平分的点变换称为以为轴的镜射变换，简称镜射．建立如图坐
主要内容
欧氏几何仿射几何射影几何
第一章：欧氏平面及仿射平面上的变换，仿
射坐标及仿射坐标变换
本
重点讨论共点性与共线性
教材基
射影几
第二章：射影平面的定义，射影坐标，交比，调和共轭，对偶原理第三章：射影变换，包括透视、一维射
本框架
何
影变换、直射、对射、配极第四章：配极与二次曲线、一维射影变换与二次曲线、二次曲线的射影分类
标系，则其表达式为： y
Mox： xy//
x
y
(1.4)
M
j
Oi
x
M/
§1 变换与变换群
• 例5．平行射影二平面
、 / 交于直线，向量
M
与二平面都不平行．对

仿射变换原理解析ppt课件

若位似中心的坐标为C(c1, c2), 则(1.8)可化为 y x '' k k y x a a 1 2 3 3 或 x y '' k 0k 0 x y a a 1 2 3 3
( 1 .9 )
一个一般的位似变换是一个以原点为中心的位似与一个平移的积, 若k1则为平移, 故平移是特殊的位似.
仿射变换仿射变换仿射坐标系定义设在平面上取定一点o和以o为起点的两个线性无关向量则由此构成平面上一个仿射坐标系或仿射坐标架记作o平面上任一点p的仿射坐标xy由下式唯一确定opxeye反之对任意给定的有序实数偶x112式可唯一确定仿射平面上的一个点具有坐标x建立了仿射坐标系的平面称为仿射平面为单位正交向量则oepeooeoppeooe仿射变换仿射变换点变换为上的一个仿射变换有表达式111213131112212223232122的坐标矩阵11122122满足a0称为仿射变换的矩阵
.
几种特殊的仿射变换
2. 相似变换
定义设为上的一个点变换, P, Q为上任意相异二点, (P)P', (Q)Q'. 满足
P 'Q ' k (0 k R 为常数 ) (1 .1 0 ) P Q 则称为上的一个以k为相似比的相似变换.
注. 相似变换的基本性质 (1) 保持共线三点的简单比不变. (2) 使得任意图形变成其相似图形; 使平行直线变为平行直线. (3) 保持任意两条线段的比值不变. 从而保持两直线夹角不变. (4) 正交变换、位似变换都是其特例.
其中(x, y)与(x', y')为任一对对应点P, P' 的坐标, 矩阵
A
a11 a21
a12
a22
满足|A|0, 称为仿射变换的矩阵.

仿射变换与全仿射变换

仿射变换与全仿射变换
仿射变换和全仿射变换都是数学术语，它们都在仿射几何中发挥作用。

仿射变换是在几何中定义的两个向量空间之间的一个仿射映射（或仿射变换），它由一个非奇异的线性变换接上一个平移变换构成。

在有限维的情况中，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，写作A和附加的列b。

一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。

全仿射变换（Total Affine Transformation）是更一般的概念。

它是从一个坐标系到另一个坐标系的映射，这个映射不仅包括仿射变换，还包括投影变换。

换句话说，全仿射变换是仿射变换和投影变换的总称。

在机器视觉和图形处理等领域中，全仿射变换被广泛使用在各种应用中，如形状建模、图像配准、拼接等。

总结来说，仿射变换和全仿射变换都是用于描述向量空间之间变换的方法，但全仿射变换涵盖的范围更广。

高等几何复习

[课外训练方案]部分第一章、仿射坐标与仿射变换第二章、射影平面一、主要内容：基本概念：射影直线与射影平面；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素基本定理：德萨格定理：如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。

德萨格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共点对偶原理：在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。

二、疑难解析无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做无穷远点.此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点.无穷远点记为P ∞，平面内原有的点叫做有限远点.无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上，引入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内每一直线有且只有一个交点.因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线.一般记为∞l ，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线.平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面.若对仿射平面上无穷远元素（无穷远点、无穷远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面.三、典型例题：1、求直线10x -= 与直线340x y -+=上无穷远点的齐次坐标解：（1）直线10x -= 即 1x =它与y 轴平行所以位y 轴上的无穷远点 (0,1,0) (2) 由直线340x y -+= 得1433y x =+故无穷远点为1(1,,0)3或（3，1，0） 2、求证：两直线1230x x x +-= 和123220x x x -+= 的交点C 与两点(3,1,2),(2,A B 三点共线证明：解方程组：1231230220x x x x x x +-=⎧⎨-+=⎩的交点 (1,4,3)C --因为行列式 1433120255--= 所以三点共线 3、试证：两共轭复点的连线是一实直线证明：23123,,),(,,)u u a u u u la l a l a l a l =1设a=(u 与是共轭复点，两点连线为由定理在上，在上，又在上，所以a 的共轭也在直线上而两点确定一条直线所以，3121112212321111133233()()u u u u u ul l u u u u u u u u u u uu u u u u ==∴====与重合，故即与都为实数所以123::u u u 与一组实数成比例，即直线为实直线。

高等几何-第一章仿射坐标与仿射变换

高等几何复习要点

第一章仿射几何学

高等几何 总复习

第一部分仿射几何学的概念

高等几何(第一章)

高等几何学习指导.

第一章第二节 仿射坐标系

高等几何仿射坐标与仿射变换

《高等几何》复习大纲、样题及答案全要点

高等几何第一章PPT课件

第一章仿射几何学

高等几何讲义第一章欧氏平面及仿射平面上的变换仿射坐标及仿射坐标变换

仿射变换原理解析ppt课件

仿射变换与全仿射变换

高等几何复习

高等几何总复习

第一章第二节仿射坐标系